Feuille d exercices : Électronique analogique et numérique

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1 Feuille d exercices : Électronique analogique et numérique P olin 2017/ Modulation d amplitude Soit un signal x(t) = cos(2πf 1 t) + 2 cos(2πf 2 t) avec f 1 = 100 Hz et f 2 = 200 Hz. 1. Tracer le spectre en amplitude de ce signal. On module un signal sinusoïdal de fréquence f 0 = 1000 Hz (porteuse) par x(t) en faisant le produit des deux : y(t) = x(t) cos(2πf 0 t) 2. eprésenter, en vous aidant de votre calculatrice, le graphe de la fonction y : t y(t). 3. Tracer le spectre en amplitude du signal y(t). On souhaite retrouver x(t) à partir de y(t) (démodulation). Pour cela, on multiplie y(t) par le signal de la porteuse : 4. Quel est le spectre de z(t)? z(t) = y(t) cos(2πf 0 t) 5. Quel filtre doit utiliser pour retrouver x(t) à partir de z(t)? 2 Signal téléphonique Quelle est la capacité mémoire nécessaire pour stocker une minute de signal téléphonique, sachant que ce signal a une fréquence maximale de 4 KHz et qu on le mémorise en respectant le théorème de Shannon et en utilisant 8 bits par échantillon? 3 Signal à bande limitée On considère le signal x(t) dont le spectre en amplitude n est non nul que pour les fréquences f ]f 0 B, f 0 + B[ (0 < B < f 0 ). 1

2 1. À quelle fréquence peut-on échantillonner ce signal en respectant la condition de Shannon? 2. Si on échantillonne à la fréquence limite de Shannon et si les échantillons son codés sur 8 bits, quel le débit (bit/s) nécessaire pour la transmission de ce signal? On utilise une fréquence d échantillonnage f e = f Tracer le spectre du signal échantillonné. 4. En déduire qu il est possible de ne pas avoir de recouvrement de spectre si B ne dépasse pas une valeur maximale B max à déterminer. 5. À quoi est du cette "entorse" au théorème de Shannon? 6. Quel est le nouveau débit nécessaire pour la transmission si B < B max? 4 Action d un filtre sur un signal périodique i s = 0 u e (t) u s (t) Figure 1 Filtre de Wien 1. Déterminer la fonction de transfert du montage de la figure 1. On posera τ =. 2. Préciser la nature du filtre. 3. alculer sa bande passante. On donne = 16 nf et = 100 kω. 4. eprésenter le signal de sortie si le signal d entrée est un signal créneau de fréquence 100 khz. 5. Même question avec une fréquence 10 Hz. 5 Bilan énergétique d un circuit Pour t < 0, le condensateur du circuit de la figure 2 est déchargé et l interrupteur K est ouvert. À t = 0, on ferme l interrupteur. 1. Donner sans calcul l allure du graphe de la fonction u : t u(t). 2. Quelle est l énergie E contenue dans le condensateur pour t +? 2

3 K i(t) E Figure 2 Bilan énergétique d un circuit 3. Déterminer complètement l expression de i(t) en fonction de E, i 0 = E et de τ =. 4. Que peut-on dire de la continuité de la fonction i : t i(t) en t = 0? Est-ce acceptable? 5. Proposer un bilan énergétique pour la charge du condensateur. En particulier, il conviendra de définir et de calculer le rendement η de cette charge. 6. La transformation correspondant à la charge du condensateur est-elle réversible? Pour améliorer ce rendement, on réalise le circuit modifié de la figure 3. 1 K i(t) 2 E 2 E Figure 3 Proposition d amélioration du rendement de charge À t = 0, le condensateur étant déchargé, on bascule l interrupteur dans la position 1. Lorsque la charge sous la tension E 2 est terminée, on bascule l interrupteur dans la position alculer le nouveau rendement η de la charge du condensateur. 8. omment faire pour faire tendre vers 1 ce rendement? 6 Oscillateur quasi-sinusoïdal On considère le montage de la figure 4 constitué de deux filtres. Le filtre 1, dont le comportement en régime linéaire a été étudié dans l exercice 4, contient un ALI dont le gain est supposé infini et dont le seul écart par rapport au modèle 3

4 2 1 ε + µ (jω) e s L e Filtre 1 Filtre 2 Figure 4 Oscillateur quasi sinusoïdal de l ALI idéal consiste en la prise en compte de la saturation en tension de la sortie : s V sat. 1. En distinguant les cas où l ALI fonctionne en régime linéaire ou saturé, déterminer la relation entre s et e imposée par le filtre 1. eprésenter le graphe de la fonction f 1 : e f 1 (e) = s. 2. Déterminer sans calcul la nature du filtre 2. Établir ensuite sa fonction de transfert H = e s et la mettre sous forme canonique en faisant apparaître une constante sans dimension H 0, le facteur de qualité Q et une pulsation caractéristique ω 0, dont les expressions sont à déterminer en fonction de, et L. 3. En gardant les notations G, H 0, Q et ω 0, établir les équations différentielles vérifiées par e seule, en distinguant le régime linéaire et le régime saturé de l ALI du filtre Montrer que e : t e(t) est une fonction de classe Déduire des questions précédentes que, sous certaines conditions à préciser, le montage entier de la figure 4 peut constituer un oscillateur quasi sinusoïdal. Dans ce cas, préciser les caractéristiques des oscillations de e : t e(t). 7 Oscillateur olpitts On considère le circuit de la figure 5 pour lequel l ALI est supposé idéal. 4

5 + i r 2 1 L 1 2 bloc A bloc B Figure 5 Oscillateur olpitts On s intéresse d abord au bloc A (figure 6). + i s,a 2 e a s a 1 Figure 6 Bloc A 1. Pourquoi peut-on faire l hypothèse d un fonctionnement linéaire de l ALI? 2. Déterminer la fonction de transfert H a = sa e a du bloc A. 3. ette fonction de transfert dépend-elle de l intensité i s,a du courant de sortie? On s intéresse maintenant au bloc B (figure 7). 4. À l aide d arguments purement qualitatifs, analyser rigoureusement le comportement à haute fréquence, puis à basse fréquence de ce bloc dans le cas où i s,b = 0. 5

6 1 i s,b e b L 2 s b Figure 7 Bloc B On montre que la fonction de transfert H b = s b e b du bloc B s écrit pour i s,b = 0 : H 0 b (p) = τ 1 K p 1 + pτ 1 + p 2 τ 1 τ 2 K avec τ 1 = L, τ 2 = 2 et K = Vérifier la cohérence de ce résultat. 6. Quelle valeur prend H 0 b (p) pour la pulsation ω 0 telle que L 1 2 était-il prévisible sans calcul? ω 2 0 = 1. e résultat 7. Écrire un système d équations traduisant les lois de Kirchhoff permettant d obtenir l expression de H 0 b (p) (on ne cherchera pas à résoudre ce système). 8. La fonction de transfert H b (p) du bloc B dépend-elle de l intensité i s,b du courant de sortie? On prend maintenant en compte l ensemble du circuit de la figure Dans ce montage, pourquoi peut-on prendre l expression de H 0 b (p) comme fonction de transfert du bloc B? 10. Dans le cadre des hypothèses faites, montrer que les signaux e a = s b et s a = e b ne peuvent être non nuls que si leur pulsation est égale à ω 0 et si la valeur de 2 1 prend une valeur particulière que l on précisera. 11. Analyser ce qui se passe dans le cas où 2 1 est légèrement plus grand ou plus petit que cette valeur théorique. 8 econstruction d un signal échantillonné. On échantillonne à 500 échantillons par seconde un signal réel analogique qui est la somme de 3 sinusoïdes de fréquences respectives 50 Hz, 100 Hz et 300 Hz. 1. Dessiner le spectre en amplitude du signal analogique. 6

7 2. Dessiner le spectre du signal échantillonné. On utilise un filtre passe bas idéal (pente d atténuation infinie) pour reconstruire le signal réel à partir du signal échantillonné. 3. omment choisir la fréquence de coupure de ce filtre? 4. Quel est le signal obtenu? 9 Principe d un oscilloscope numérique La structure de principe d un oscilloscope numérique est la suivante : un étage atténuateur dont l impédance d entrée est très élevée (1MΩ environ) ; un échantillonneur prélevant N e échantillons par seconde ; un convertisseur analogique-numérique.a.n. dont les valeurs successives sont transférées dans une mémoire tampon à accès rapide ; une unité de traitement et d affichage qui permet d exploiter les données prélevées. 1. Un utilisateur désire disposer d une grande gamme d analyse, allant de 0,1 Hz à 10 MHz et pouvoir examiner des signaux de formes diverses : sinusoïde, carrée, impulsionnelle. Justifier les conseils suivants : "ne pas se contenter d un oscilloscope dont la bande passante soit égale à la fréquence maximale des signaux à analyser ;" "le taux d échantillonnage recommandé ne peut pas se limiter à 2 échantillons par période ;" 2. Laquelle des limites 0,1 Hz ou 10 MHz conduit au choix le plus contraignant pour fixer la cadence maximale N e,max? 3. La notice précise que, pour une bonne gestion de la capacité mémoire, le taux N e est ajusté en fonction du calibre sélectionné. En supposant qu un échantillon occupe 2 octets dans la mémoire tampon de capacité 256 ko, quel taux N e maximal permettrait d observer 10 périodes d un signal de fréquence 10 khz? 4. On restreint la cadence à N e = 10 8 s 1. ombien un balayage occupe-t-il de capacité mémoire? ombien cela représente-t-il de points par période? 5. Le choix du convertisseur est également important et conditionne fortement le prix de l appareil. Justifier et commenter les valeurs portées dans le tableau suivant : Nombre de bits Nombre de niveaux Plus petite variation détectable 0,4% 244 ppm 15 ppm 6. L utilisateur veut pouvoir examiner des signaux dont l amplitude va de quelques dixièmes de millivolt à 240 V (utilisations en électricité domestique). Un des convertisseurs présentés dans le tableau peut-il couvrir cette gamme? À quoi sert l étage atténuateur? 7