Récurrences et sommes. () Récurrences et sommes 1 / 23

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1 Récurrences et sommes () Récurrences et sommes 1 / 23

2 1 Le raisonnement par récurrence 2 Sommes et produits 3 La formule du binôme de Newton Dans ce très court chapitre, on introduit deux outils : un outils de raisonnement (la récurrence) et un outils de calcul (la notation somme). Ces deux outils pourront apparaître régulièrement dans les cours et les exercices des autres chapitres. () Récurrences et sommes 2 / 23

3 Plan 1 Le raisonnement par récurrence 2 Sommes et produits 3 La formule du binôme de Newton () Récurrences et sommes 3 / 23

4 Le raisonnement par récurrence simple Soit n 0 un entier fixé et Propriete(n) une propriété mathématique dépendant d un nombre entier n et définie pour tout entier n n 0. Rappelons qu une propriété est une phrase (en français ou en notations mathématiques). On veut montrer que la propriété est vraie par le principe de récurrence. () Récurrences et sommes 4 / 23

5 Rédaction d une démonstration par récurrence : 1 Enoncé : Pour tout entier n n 0, on considère la propriétés Propriete(n) : on cite la propriété qu on veut montrer. 2 Initialisation : Démonstration de la propriété Propriete(n 0 ). On vérifie à la main que la propriété marche quand on prend n = n 0 le plus petit entier possible pour cette propriété. 3 Hérédité : Soit un entier n n 0 tel que Propriete(n) est vraie. On démontre alors la propriétés Propriete(n + 1). La phrase qui précède est OBLIGATOIRE! En utilisant la Propriete(n) et des calculs, on doit arriver à montrer la propriété avec n + 1 à la place de n. 4 Conclusion : Par récurrence, pour tout entier n n 0, on la Propriete(n). Remarque: C est le principe des dominos. Si des dominos sont disposés côte à côte, la chute d un domino entraîne de proche en proche la chute de tous les dominos situés après lui. () Récurrences et sommes 5 / 23

6 Exemple: Soient q un nombre réel et (u n ) n N la suite géométrique définie par { u0 = 1 u n+1 = q u n, n N. Démontrons par récurrence que u n = q n pour tout n N. () Récurrences et sommes 6 / 23

7 On note la propriété Propriete(n) : u n = q n, définie pour tout n N. C est bien une phrase mathématique, qui peut se traduire en français par : le nombre numéro n de la suite est égal à q n. Initialisation : Le premier entier pour lequel la propriété doit être vraie est 0. On a u 0 = 1 et q 0 = 1 donc u 0 = q 0. La propriété Propriete(0) est vraie. Hérédité Soit n (fixé) tel que Propriete(n) est vraie, à savoir u n = q n. On montre Propriete(n + 1) (c est à dire qu on veut arriver au résultat u n+1 = q n+1 ). On a par définition de la suite : u n+1 = q u n. Or, la Propriete(n) donne u n = q n, donc on remplace : u n+1 = q (q n ) = q n+1 Donc la propriété Propriete(n + 1) est vraie. En conclusion, par récurrence, pour tout n N, on a u n = q n. () Récurrences et sommes 7 / 23

8 La récurrence double Pour montrer qu une propriété (P n ) est vraie pour tout n n 0, on peut avoir besoin des deux crans précédent. C est le principe de la récurrence double. Rédaction d une démonstration par récurrence double : 1 Enoncé de Propriete(n) : Pour tout entier n n 0, on considère la propriétés Propriete(n) :... 2 Initialisation : Démonstration de Propriete(n 0 ) et de Propriete(n 0 + 1) 3 Hérédité : Soit un entier n n 0 tel que Propriete(n) et Propriete(n + 1) sont vraies. On démontre alors la propriétés Propriete(n + 2). 4 Conclusion : Par récurrence, pour tout entier n n 0, on la propriété Propriete(n). () Récurrences et sommes 8 / 23

9 Plan 1 Le raisonnement par récurrence 2 Sommes et produits 3 La formule du binôme de Newton () Récurrences et sommes 9 / 23

10 Notations sommes et produits Définition Soit n N fixé et a 0, a 1,..., a n des nombres (réels ou complexes). On note a k = a 0 + a 1 + a a n, ce qui se lit somme pour k allant de 0 à n des a k. Si m N est inférieur à n, on note de même a k = a m + a m a n k=m () Récurrences et sommes 10 / 23

11 Exemples: 3 Pour n = 3 et a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 0 et a 3 = 2, on a a k = Pour tous entiers m et n tels que m n, et pour tout x C, on a x = k=m On a 5 k 2 = Remarque: Dans la notation, l indice de sommation k est un indice muet. On peut choisir une autre lettre pour indexer la somme : a k et a j sont la même somme. j=0 () Récurrences et sommes 11 / 23

12 Définition Soit n N fixé et a 0, a 1,..., a n des nombres (réels ou complexes). On note n a k = a 0 a 1 a 2 a n, ce qui se lit produit pour k allant de 0 à n des a k. Si m N est inférieur à n, on note de même n a k = a m a m+1 a n k=m () Récurrences et sommes 12 / 23

13 Exemples: On a 5 (k 2 + 1) = k=3 Pour tous entiers m et n tels que m n, et pour tout x C, on a n x = k=m () Récurrences et sommes 13 / 23

14 Propriétés Proposition Soient a 1,..., a n, b 1,..., b n et λ des nombres réels. Pour les sommes, on a ( ) ( ) λa k = λ et (a k + b k ) = a k + b k. a k k=1 k=1 k=1 k=1 k=1 Pour les produits, on a n n λa k = λ n k=1 k=1 a k et ( n n ) ( n ) (a k b k ) = a k b k. k=1 k=1 k=1 Exemple: Calculer 11 k=8 2k 1 7 en développant la somme au maximum. () Récurrences et sommes 14 / 23

15 Valeurs classiques Proposition Soit n un entier naturel et a un nombre réel ou complexe. k = n(n + 1), 2 (Somme des termes d une suite arithmétique) { a k 1 a n+1 = 1 a si a 1 n + 1 si a = 1, (Somme des termes d une suite géométrique) () Récurrences et sommes 15 / 23

16 Démonstration. + k = (n 1) + n k = n + (n 1) k = (n + 1) + (n + 1) (n + 1) + (n + 1) = n(n + 1) D où la première égalité. () Récurrences et sommes 16 / 23

17 Pour la deuxième égalité, la formule avec a = 1 est évidente. Pour a 1, on a (1 a) a k = 1 + a + a a n 1 + a n a a k = a + a a n 1 + a n + a n+ a k = 1 a n+1 Comme a 1, on peut tout diviser par 1 a et on obtient la deuxième égalité. () Récurrences et sommes 17 / 23

18 Plan 1 Le raisonnement par récurrence 2 Sommes et produits 3 La formule du binôme de Newton () Récurrences et sommes 18 / 23

19 La factorielle et les coefficients du binôme Définition Soit n un entier naturel, on appelle factorielle n et on note n! le nombre n! = Par convention, 0! = 1. n k = n. Définition ( Soient ) n N et p Z. On appelle coefficient binomial n, p le nombre noté n ou Cn p défini par : p C p n = ( ) n n(n 1)... (n p + 1) = = p p! ( ) et Cn p n = = 0 sinon. p n! p!(n p)! si 0 p n () Récurrences et sommes 19 / 23

20 Proposition Pour tout n N et p Z, on a ( ) ( ) n n = = 1; Cn 0 = Cn n = 1 0 n et ( ) n + 1 = p (formule de Pascal) ( ) ( ) n n =, Cn p = Cn n p p n p ( ) ( ) n n +, C p p p 1 n+1 = C n p + Cn p 1 () Récurrences et sommes 20 / 23

21 Ces propriétés permettent de calculer de proche en proche les valeurs des coefficients binomaux (pour des n, p pas trop grand) en utilisant le triangle de Pascal : n\p () Récurrences et sommes 21 / 23

22 Le binôme de Newton Théorème Pour tous nombres complexes x et y, et tout entier naturel n, on a (x + y) n = Cn k x k y n k, formule du binôme de Newton Exemples: 1 Soient x, y R. Développer (x y) 4 =. 2 Soit x R et n N. On a (x + 1) n = 3 En déduire la valeur de Cn k pour tout n N. () Récurrences et sommes 22 / 23