Observateur d état courant d ordre réduit

Dimension: px

Commencer à balayer dès la page:

Download "Observateur d état courant d ordre réduit"

Hugues Gagnon
il y a 6 ans
Total affichages :

Observateur d état courant d ordre réduit Najib ennis To cite this version: Najib ennis. Observateur d état courant d ordre réduit. Master. Commande par retour d état, Maroc. 05.

fr/cel-035885 Submitted on 6 Dec 05 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not.

1 Observateur d état courant d ordre réduit Najib ennis To cite this version: Najib ennis. Observateur d état courant d ordre réduit. Master. Commande par retour d état, Maroc. 05. <cel > HAL Id: cel Submitted on 6 Dec 05 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

2 Observateur d état courant d ordre réduit Najib ennis ENSET de Rabat, Université M ed V de Rabat, Maroc Lors de la reconstruction d un observateur d état courant, certaines variables d état n ont pas besoin d être reconstruites puisqu elles sont disponibles par mesure. Il est souvent intéressant de ne reconstruire que celles qui ne sont pas accessibles. On parle par la suite d un observateur d ordre réduit. On considère un système linéaire continu décrit par les équations d état suivantes : x(t) Ax(t) u(t) y( t ) Cx( t ) () A matrice d état de dimension (n,n) matrice de commande de dimension (n,m) C matrice d observation de dimension (p,m) x vecteur d état de dimension n : n variables d état u vecteur de commande de dimension m : m entrées de commande y vecteur de sortie de dimension p : p sorties. On suppose que l état est partitionné en deux sous-ensemble x (t) = y(t) -accessibles-, x (t) non accessibles-, avec x de dimension n et x de dimension n=n- n. Le système dynamique original peut alors s écrire : x(t) A A x(t) u( t ) A x y(t) x(t) () Afin de mettre en valeur les dynamiques de l état inconnu, on effectue provisoirement le changement de variables suivant : x Ax Ax (t) u(t), et on pose : w(t) x(t) Ax(t) u(t) Ax D où : x Ax u(t) w( t ) Ax ( t ) u( t ) (3) Cette représentation fait apparaitre un système d ordre réduit dont la matrice d état est A, et la matrice de sortie est A. On propose alors de construire un observateur pour le système d ordre réduit (3) en s inspirant de la structure de l observateur d ordre complet (Observateur de Luenberger), soit :

3 S Observateur réduit z(t) (A GA )z(t) Gw(t) u(t) z( 0 ) z0 (4) Afin d écrire le système en fonction des signaux disponibles y(t) et u(t) du système original, on transforme l observateur minimal ainsi : S Observateur réduit z(t) (AGA )z(t) G(x (t) Ax (t) u(t)) Ax (t) u(t) z( 0 ) z0 Pour éviter la dérivée x (t) dans le second membre de la première équation, on introduit une nouvelle variable notée s(t) telle que: s(t) z(t) Gx (t) z(t) Gy(t) D où en développant : s(t) z(t) Gx (t), on a : s(t) (A GA )s(t) (A GA )GGA A y(t) ( G )u(t) z(t) s(t) Gy(t) s( 0 ) s0 (5) Ces dernières équations représentent bien la structure d un observateur excités par les signaux disponibles, à savoir, d entrée u(t) et la sortie y(t). La sortie z(t) est de dimension réduite par rapport à l observateur classique. On montre par ailleurs que si la paire (C, A) est observable alors il en est de même pour la paire (A, A ), ce qui permet d assurer l existence de la matrice G. Celle-ci sera calculée en fixant une dynamique appropriée à l observateur d ordre réduit. On note que l erreur d observation : e( t ) x ( t ) s(t) obéît à l équation différentielle : e( t ) ( A GA )e( t ) (6) e( 0 ) e0 Cette erreur transitoire tend asymptotiquement vers zéro quelle que l erreur initiale eo et ce, selon une dynamique fixée par les valeurs propres attribuées à la matrice (A GA ) Exemple : On considère le système suivant qui est naturellement partitionné : x(t) x(t) u(t) (7) y(t) 0x(t) Ici x (t) y(t) est accessible et donc seule x (t)est à reconstruire. Selon la notation adoptée, on a : A, A, A, A On choisit de prendre A GA =-5G=7. Il s en suit : (A GA )GGA A=-6 G = - 6

4 D où les équations de l observateur d ordre : s(t) 5s(t) 6y(t) 6u(t) SObservateur z(t) s(t) 7 y(t) réduit s( 0 ) s0 (8) Schéma de principe pour la réalisation de l observateur d ordre réduit Généralisation Lors de la construction de l observateur réduit, on avait supposé que les équations d état sont structurées de la manière suivante : x(t) A A x(t) u( t ) A x (9) y(t) x(t) Si ce n est pas le cas, il est possible de s y ramener moyennant une transformation. En effet, après une permutation des variables d état, les matrices A,, C, et le vecteur x sont de la forme : x(t) A A x(t) u( t ) A x y(t) C Cx(t), où rang C = l, A et C R l l, x R l, et R l m. On effectue le changement de variable : C C C C C x(t) Mx(t) x(t) x(t) M x(t) x(t) 0nl,l I nl 0 nl,l Inl Il en résulte : x(t) A A x(t) u( t ) x(t) A A x(t) y(t) I 0 x(t) x (t) Avec :

5 A (C A C A )C A A C C A C A A AC A A A C C C C ibliographie [] : [] : [3] : Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering, Fifth Edition Prentice Hall,00. Luenberger D. Observers for multivariable systems. IEEE Trans. Automatic, Control, :90 97, Friedland, Reduced-Order State Observers, Control Systems, Robotics and Automation Vol. viii

Documents pareils

La voix en images : comment l évaluation objectivée par logiciel permet d optimiser la prise en charge vocale

La voix en images : comment l évaluation objectivée par logiciel permet d optimiser la prise en charge vocale Stéphanie Perriere To cite this version: Stéphanie Perriere. La voix en images : comment l