Décomposition en série de Fourier Signaux périodiques

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1 Décomposition en série de Fourier Signaux périodiques Hugues GARNER

2 . ntroduction Organisation de l UE de. Analyse et traitement de signaux déterministes Analyse de Fourier de signaux analogiques Signaux à temps continu Décomposition en série de Fourier Transformée de Fourier à temps continu De l analogique au numérique Analyse de Fourier de signaux numériques. Filtrage des signaux V. Analyse et traitement de signaux aléatoires

3 ntroduction Domaine, jusqu à présent, habituel pour analyser un signal : Domaine temporel : analyse de l évolution du signal dans le temps Permet de mettre en évidence certaines caractéristiques : signal périodique ou non (détermination de la période, amplitude (valeur moyenne, maximale, signal analogique/numérique, énergie finie/infinie,... Déterminer l expression analytique du signal ci-dessous? s(t s(t=? t (ms 3

4 ntroduction L expression mathématique du signal est : s(t = A cos(f t ϕ + A cos(f t ϕ + A cos(f t ϕ A = f = ϕ = A = f = ϕ = 3 s(t A = f = ϕ = L observation dans le domaine temporel est souvent insuffisante pour déduire l expression mathématique du signal l serait intéressant de trouver une autre représentation qui apporterait plus d informations sur le signal que la représentation usuelle temporelle Cette nouvelle représentation devra faire directement apparaître certaines caractéristiques du signal (par exemple A o, A, A, ϕ o, ϕ, ϕ non plus dans le domaine temporel (en fonction du temps mais dans le domaine fréquentiel, c est à dire en fonction de la fréquence. t (ms 4

5 Représentation habituelle : amplitude du signal en fonction du temps s(t s(t =? t (ms Nouvelle représentation : amplitude et phase initiale en fonction de la fréquence s(t = A o cos(f o t ϕ o + A cos(f t ϕ + A cos(f t ϕ f o = A o = ϕ o = ; f = A = ϕ = 3 ; f = A = ϕ = A n A = ϕ n A o = A = ϕ o = ϕ = f (Hz ϕ = 3 f (Hz

6 Série & transformée de Fourier Joseph FOURER Auxerre Paris 83 Grand savant français A profondément influencé les mathématiques et la physique des sciences de son siècle L étude de la propagation de la chaleur l a amené à la découverte des séries trigonométriques portant son nom 6

7 Théorème de Fourier Sous certaines conditions de dérivation et de continuité, tout signal à temps continu s(t périodique de période T o peut s écrire sous la forme d une somme de signaux sinusoïdaux Cette somme peut s écrire de deux manières : forme trigonométrique réelle forme exponentielle complexe 7

8 Forme trigonométrique réelle Tout signal à temps continu s(t périodique de période T o ω o = peut s écrire : s(t = a + a n cos(nω o t + b n sin(nω o t n= s(t = a + A n cos(nω o t-ϕ n n= T o avec : a = T o t +T o s(tdt b = t A n = a n + b n A n n a n = T o b n = T o t +T o t t +T o t s(tcos(nω o tdt s(tsin(nω o tdt n n ϕ n = arctan b n a n Le terme général u n (t=a n cos(nω o t+b n sin(nω o t=a n cos(nω o t-ϕ n est appelé harmonique de rang n C est un signal cosinusoïdal d amplitude A n de période T o /n (fréquence nf o et de phase à l origine -ϕ n 8

9 Remarques et propriétés a : valeur moyenne du signal (composante continue Harmonique d ordre : fondamental Amplitudes A n tendent vers lorsque n tend vers l infini Décomposition indépendante de l intervalle [t, t +T o ] Si s(t pair b n = n s(t = a + a n cos(nω o t n= A n = a n n ϕ n = n Si s(t impair a n = n s(t = b n sin( nω o t = b n cos nω o t n= n= A = A n = b n n ϕ = ϕ n = si b n n ϕ n = si b n = n 9

10 Spectres unilatéraux d amplitude et de phase Spectre d amplitude de s(t : tracé de A n en fonction des pulsations (fréquences Spectre de phase de s(t : tracé de ϕ n en fonction des pulsations (fréquences On parle de représentation fréquentielle ou spectrale A n et ϕ n n existant que pour des multiples entiers de ω o, on parle de spectres de raies. composante continue A n A fondamental A A A3 A 4 A s(t T o ω o ω o 3 ω o 4 ω o ω (rd/s ω o Spectre unilatéral d amplitude ϕ n t Evolution temporelle du signal ϕ ϕ ω o ϕ ϕ 3 ϕ 4 ϕ ω (rd/s ω o 3 ω o 4 ω o ω o Spectre unilatéral de phase

11 Exemple : cas d'un signal sinusoïdal Soit un signal sinusoïdal décrit par : s(t = cos( t 4 C est un signal ne contenant qu un seul harmonique! Domaine temporel Domaine fréquentiel A n A fondamental s(t. T o =.s. t 4 A A 3 A 4 A 3 4 f (Hz Spectre unilatéral d amplitude ϕ n ϕ ϕ ϕ 3 ϕ 4 ϕ 3 4 f ( Hz Spectre unilatéral de phase

12 Exemple : cas d un créneau Montrer que le développement en série de Fourier d un signal créneau s écrit : s(t = 4A (p + sin (p +ω o t ( p= Domaine temporel = 4A cos ω o t + 4A 3 cos 3ω o t +... A n Domaine fréquentiel 4A s(t 4A 3 A T o t ω ο 3ω ο ω ο Spectre unilatéral d amplitude ϕ n ω ω ο 3ω ο ω ο Spectre unilatéral de phase ω

13 Evolution temporelle des harmoniques A= T o = Reconstruction du signal à partir des harmoniques - - Harmonique Harmonique Harmonique Harmoniques et 3 - Harmonique - Harmoniques, 3 et - Harmonique 7 - Harmoniques, 3, et 7 - Harmonique 9 - Harmoniques, 3, 7 et 9 Ondulations = phénomène de Gibbs 3

14 Théorème de Fourier Sous certaines conditions de dérivation et de continuité, tout signal à temps continu s(t périodique de période T o peut s écrire sous la forme d une somme de signaux sinusoïdaux. Cette somme peut s écrire de deux manières : forme trigonométrique réelle forme exponentielle complexe 4

15 De la forme trigonométrique à la forme exponentielle complexe Tout signal à temps continu s(t périodique de période T o peut s écrire : En utilisant les formules d Euler : On montre que tout signal à temps continu s(t périodique de période T o peut également s écrire : s(t = n= c n = T o s(t = a + a n cos(nω o t + b n sin(nω o t n= cos(nω o t = e jnω o t + e jnω o t c n e jnω o t t +T o t s(te jnω o t dt sin(nω o t = e jnω o t e jnω o t j Forme exponentielle complexe Forme trigonométrique réelle

16 Forme exponentielle complexe Tout signal à temps continu s(t périodique de période T o peut s écrire : s(t = c n e jnω o t c n = t +T o s(te jnω o t dt T o Remarques n= Les coefficients c n sont appelés coefficients de Fourier Ces coefficients sont généralement complexes et peuvent s écrire sous forme exponentielle complexe : c n = c n e jarg(c n L harmonique de rang n s écrit également : L harmonique de rang n est donc une cosinusoïde de pulsation nω o, d amplitude c n et de déphasage Arg(c n t ( u n (t = c n e jnω o t + c n e jnω o t = c n cos nω o t + Arg(c n n Z 6

17 Spectres bilatéraux d amplitude et de phase Les coefficients de Fourier sont généralement complexes et peuvent s écrire : c n = c n e jarg(c n Spectre d amplitude de s(t : tracé de c n en fonction des pulsations Spectre de phase de s(t : tracé de Arg(c n en fonction des pulsations s(t = c n e j nω o t+arg(c n n= ( c - c n c fondamental s(t T o c -3 c - c c c 3-3ω o -ω o ω o ω o ω o 3ω o ω (rd/s Spectre bilatéral d amplitude t Evolution temporelle du signal Arg(c n ω o ω o 3ω o -3ω o -ω o ω o ω (rd/s Spectre bilatéral de phase 7

18 Propriétés des spectres bilatéraux l apparaît dans l'expression de s(t des termes pour les fréquences s'étendant de - à, d'où le nom de spectres bilatéraux Le spectre d amplitude bilatéral est toujours pair Le spectre de phase bilatéral est toujours impair Les spectres ne comportent des composantes qu aux multiples entiers de la fréquence du signal, on parle de spectres de raies c - c n c fondamental c -3 c - c c c 3 Arg(c n ω o ω o 3ω o -3ω o -ω o ω o ω o ω o 3ω o ω (rd/s -3ω o -ω o ω o ω (rd/s Spectre bilatéral d amplitude Spectre bilatéral de phase 8

19 Exemple : cas d'un signal sinusoïdal Soit un signal sinusoïdal décrit par : s(t = cos( t 4 s(t = e j 4 e j t + e j 4 j t e = c e jf o t + c e jf o t Domaine temporel c = e j 4 c = arg ( c = 4 c = e j 4 c = arg ( c = 4 Domaine fréquentiel c n s(t. T o =.s. t c c c - c c 3 3 f ( Hz Spectre bilatéral d amplitude Arg(c 4 n Spectre bilatéral de phase f (Hz 9

20 Exemple : cas d un créneau Montrer que les coefficients de Fourier sont donnés par : c n = A jn ( n c = (, n c n = A pour n impair p + pour n pair Arg(c n> = pour n impair pour n pair Arg(c n = Arg(c n Domaine temporel Domaine fréquentiel c n A A s(t A 3 A 3 A T o t 3ω ο ω ο ω ο 3ω ο ω ο Spectre bilatéral d amplitude Arg ( c n ω ω ο 3ω ο ω ο -3ω ο - ω ο - ω Spectre bilatéral de phase

21 Evolution temporelle des harmoniques A= T o = Reconstruction du signal à partir des harmoniques - - Harmonique Harmonique Harmonique Harmoniques et 3 - Harmonique - Harmoniques, 3 et - Harmonique 7 - Harmoniques, 3, et 7 - Harmonique 9 - Harmoniques, 3, 7 et 9 Ondulations = phénomène de Gibbs

22 Tableau récapitulatif Tout signal à temps continu s(t périodique de période T o peut s écrire : Forme trigonométrique réelle s(t = a n cos(nω o t + b n sin(nω o t n= u n (t = A n cos(nω o t-ϕ n Forme exponentielle complexe s(t = c n e jnω o t = c n e j nω o t+arg(c n n= n= u n (t = c n cos ( nω o t + Arg(c n ( a n = T o b n = T o t +T o t t +T o t A n = a n + b n s(tcos(nω o tdt s(tsin(nω o tdt ϕ n = arctan b n a n A n n n n c n = T o t +T o t s(te jnω o t dt c n = c n e jarg(c n

23 Relations entre les spectres unilatéraux et bilatéraux d amplitude et de phase Forme trigonométrique réelle u n (t = a n cos(nω o t + b n sin(nω o t = A n cos(nω o t-ϕ n Forme exponentielle complexe u n (t = c -n e -jnω o t + c n e jnω o t ( = c n cos nω o t + Arg(c n c = A c n = A n Arg(c n = ϕ n pour n Arg(c n = Arg(c n A n c n ω o ω Spectre d amplitude unilatéral ϕ n ω o Spectre de phase unilatéral ω -ω o ω o ω Spectre d amplitude bilatéral Arg(c n ω o -ω o ω Spectre de phase bilatéral 3

24 dentité de Parseval Signaux périodiques : signaux à énergie infinie mais à puissance moyenne finie L identité de Parseval montre l égalité du calcul de la puissance moyenne d un signal périodique de période T o à partir de sa représentation dans le domaine temporel ou fréquentiel : T o n= P S = T o s(t dt = c n c n s(t = cos( t 4 T o =.s.. t c - - c c c c3 3 f (Hz P s = T o s(t dt = T o P s = c = c n + c = n= 4

25 Détermination du signal temporel à partir des spectres d amplitude et de phase A n c n ω o Spectre d amplitude unilatéral ω -ω o ω o Spectre d amplitude bilatéral ω ϕ n Arg(c n ω o ω o Spectre de phase unilatéral ω -ω o ω Spectre de phase bilatéral s (t =? T o t

26 Détermination du signal temporel à partir des spectres unilatéraux en amplitude et phase A n n= s(t = a + A n cos(nω o t-ϕ n ϕ n ω o Spectre d amplitude unilatéral ω o Spectre de phase unilatéral ω ω s(t = sin( ω o t s(t = A cos(ω o t-ϕ A = φ = s(t = cos(ω o t- = sin(ω o t T o t 6

27 Détermination du signal temporel à partir des spectres bilatéraux en amplitude et phase c n -ω o ω o ω Spectre d amplitude bilatéral Arg(c n ω o -ω o ω Spectre de phase bilatéral s(t = sin( ω o t T o t s(t = n= c n e jnω o t c n = c n e j Arg( c n = c e jω o t + c e jω o t c = e j c = e j s(t = e j e jω o t + e j e jω o t s(t = ( j e jω o t + ( j e jω o t s(t = e j ω o t ( j ω e ( o t j = sin ω o t ( 7

28 Objectifs à l issue de ce cours Etre capable de : Déterminer la forme trigonométrique réelle ou la forme exponentielle complexe de la décomposition en série de Fourier d un signal périodique à temps continu d en déduire les tracés des spectres unilatéraux et bilatéraux d amplitude et de phase d interpréter les spectres en déduisant, par exemple, de ces tracés la bande de fréquences utilisée par le signal Déterminer la description mathématique du signal à partir des spectres d amplitude et de phase unilatéraux ou bilatéraux 8