CONCOURS D ADMISSION Filière MP (Durée de l épreuve : 4 heures) (L usage d ordinateur ou de calculette est interdit).

Transcription

1 A 003 Math MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L AÉRONAUTIQUE ET DE L ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D ADMISSION 003 ÉPREUVEDEMATHÉMATIQUES DEUXIÈME ÉPREUVE Filière MP (Durée de l épreuve 4 heures) (L usage d ordinateur ou de calculette est interdit). Sujet mis àladispositiondesconcours Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie MATHÉMATIQUES -Filière MP. Cet énoncé comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il est amené à prendre. L objet du problème est l étude de méthodes analytiques (méthodes du gradient, du Lagrangien) pour résoudre l équation linéaire A.x = b où A est une matrice symétrique positive, inversible, b un vecteur donnéder n et x un vecteur inconnu de R n ou d un sous-espace vectoriel F de R n. Dans tout le problème, l entier n est un entier naturel supérieur ou égal à (n ) ; la base canonique de R n est notée e 1,e,..., e n ; le produit scalaire de deux vecteurs x et y de R n est noté (x y). La norme d un vecteur x est notée x. Les matrices considérées sont réelles ; l espace vectoriel des matrices carrées réelles d ordre n est noté M n (R). Il est admis que l application qui, à une matrice M de M n (R), associe la borne supérieure N (M) des normes des images par M des vecteurs unitaires de R n est une norme 1

2 N (M) = sup M.x. x =1 Une matrice symétrique A est dite positive lorsque, pour tout vecteur x de R n, le produit scalaire des vecteurs A.x et x est positif ou nul (A.x x) 0. Première partie Le but de cette partie est la résolution de l équation A.x = b où A est une matrice carrée d ordre n symétrique positive et inversible, b un vecteur donné de R n et x un vecteur inconnu. Résultats préliminaires Soit M une matrice carrée symétrique d ordre n. 1. Démontrer qu il existe un plus grand réel p et un plus petit réel q tels que, pour tout vecteur x de R n, le produit scalaire (M.x x) vérifie l encadrement suivant p x (M.x x) q x. Préciser ces deux réels p et q en fonction des valeurs propres de la matrice M.. Montrer que, pour que cette matrice M soit inversible et positive, il faut et il suffit que toutes ses valeurs propres soient strictement positives. 3. Démontrer que la norme N (M) d une matrice M symétrique est égale à la plus grande valeur absolue des valeurs propres λ i (1 i n) delamatrice M N (M) = sup λ i. 1 i n Étantdonnés la matrice carrée, d ordre n, symétrique positive A et le vecteur b, soitα un réel strictement positif strictement majoré par/λ n (0 <α</λ n ) où λ n est la plus grande valeur propre de la matrice A ;soit ( x k) la suite k N définie par un premier vecteur x 0 choisi arbitrairement dans R n et par la relation de récurrence suivante pour tout entier naturel k, x k+1 = x k + α ( b A.x k). Étude de la suite ( x k) k N 4. Démontrer que la suite ( x k) est une suite convergente de limite le k N vecteur z de l espace R n, solution de l équation A.x = b.

3 Soit f la fonction réelle, définie dans R n, par la relation f (x) = 1 (A.x x) (b x). Minimum de f 5. Calcul préparatoire démontrer que l expression f (x + u) f (x) se calcule en fonction des expressions (A.u u), (A.x u) et(b u). 6. Démontrer que la fonction f x f (x) admet des dérivées partielles f x k (1 k n) x f (x). x k Étant donné un vecteur x de R n, soit g (x) le vecteur de R n dont les coordonnées, dans la base canonique de R n,sontégales aux valeurs des dérivées partielles de la fonction f en ce point x b. g (x) = n k=1 f x k (x) e k. 7. Exprimer ce vecteur g (x) au moyen de la matrice A et des vecteurs x et Étant donnés deux vecteurs x et u de R n,soiti (x, u) l expression suivante I (x, u) =f (x + u) f (x) (g (x) u). 8. Démontrer que, pour tout vecteur x donné, il existe deux constantes positives ou nulles r et s telles que, pour tout vecteur u, I (x, u) vérifie la relation suivante r u I (x, u) s u. 9. Démontrer que, pour que la fonction f admette en z un minimum, il faut et il suffit que le vecteur z vérifie la relation A.z = b. Recherche du minimum de f Soit α un réel compris strictement entre 0 et /λ n (0 <α</λ n ). 10. Étant donné un vecteur x de R n,déterminer le signe de l expression suivante f (x αg(x)) f (x). 3

4 11. Proposer, àpartirdecerésultat, une méthode pour construire une suite de vecteurs ( y k) qui converge vers le vecteur z en lequel la fonction f atteint k N son minimum ; la justification de la convergence n est pas demandée. Seconde partie Le but de cette partie est de rechercher un vecteur x appartenant àunsousespace vectoriel F de R n qui vérifie l équation A.x = b où A est une matrice carrée d ordre n symétrique positive et inversible. Le sous-espace vectoriel F de R n est supposé être le noyau d une matrice B appartenant à M n (R) ;cenoyau est supposé différent de tout l espace R n (ker B R n ). L équivalence, établie dans la première partie, entre d une part résoudre l équation A.x = b et d autre part chercher le vecteur z rendant minimum la fonction f définie sur R n par la relation suivante f (x) = 1 (A.x x) (b x), conduit à se poser le problème suivant Soit B une matrice appartenant à M n (R) dont le noyau F est différent de R n ; rechercher un vecteur x appartenant à F rendant minimum la restriction de la fonction f au sous-espace vectoriel F. Existence du minimum de la fonction f dans F 1. Démontrer que la fonction f possède la propriété suivante pour tout réel c, il existe un réel ρ, tel que, pour tout vecteur x de F de norme supérieure ou égale à ρ ( x ρ), le réel f (x) est supérieur ou égal à c (f (x) c). 13. En déduire que, si y est un point de F,ilexisteunréel r tel que pour tout vecteur x de F de norme supérieure ou égale à r ( x r), f(x) est supérieur ou égal à f (y). 14. Démontrer à l aide du résultat précédent qu il existe au moins un vecteur x du sous-espace vectoriel F en lequel la restriction de la fonction f àcesousespace F atteint un minimum. 15. Démontrer qu il existe un seul vecteur x en lequel la fonction f atteint son minimum dans F, en admettant que la fonction f est convexe ; c est-à-dire pour tout couple (x, y) R n R n de vecteurs et tout réel λ appartenant à l intervalle ouvert ]0, 1[, les valeurs prises par la fonction f vérifient la relation suivante f (λ x+(1 λ) y) λf(x)+(1 λ) f (y), où l inégalité est stricte si et seulement si les vecteurs x et y sont différents. Propriétés du point x 4

5 16. Démontrer que, pour qu un vecteur y de F rende minimum la restriction de la fonction f au sous-espace vectoriel F, il faut et il suffit que le vecteur Ay b soit orthogonal à ce sous-espace F de R n. 17. Démontrer que la valeur prise par la fonction f au point x, en lequel elle atteint son minimum dans F, est donnée par la relation suivante f (x) = 1 (Ax x) = 1 (b x). Le Lagrangien L Soit L la fonction définie sur l espace produit R n R n par la relation suivante L (x, y) =f (x)+(y Bx). Un point (x,y ) de l espace produit R n R n est dit point selle de la fonction L, s il possède la propriété suivante quel que soit le point (x, y) de l espace produit R n R n, les valeurs prises par la fonction L aux points (x,y),(x,y ) et (x, y )vérifient la double inégalité suivante L (x, y) L (x, y ) L (x, y ). Propriétés du Lagrangien et de ses points selles 18. Établir l inégalité suivante ( ) ( ) sup inf y R n x RnL (x, y) inf sup L (x, y). x R n y R n Il est supposé dans toute la suite qu il existe un point selle (x, y )dela fonction L. 19. Démontrer que la valeur priseparlafonctionl en un point selle (x,y ) vérifie les égalités suivantes ( ) ( ) L (x,y )= sup inf y R n x RnL (x, y) = inf sup L (x, y). x R n y R n 0. Démontrer, pour tout point (x 1,y 1 )der n R n, les équivalences suivantes y R n, L(x 1, y) L (x 1, y 1 ) Bx 1 =0. x R n, L(x 1, y 1 ) L (x, y 1 ) Ax 1 + t By 1 = b. 1. Soient x 1 un vecteur du sous-espace vectoriel F et y 1 un vecteur de R n. Démontrer qu une condition nécessaire et suffisante pour que le couple (x 1, y 1 ) 5

6 soit un point selle du Lagrangien L est que le vecteur x 1 réalise le minimum de la restriction de la fonction f à F et que les vecteurs x 1 et y 1 vérifient la relation suivante Ax 1 + t By 1 = b. La suite logique est la recherche d un point selle du Lagrangien L. Algorithme d Uzawa soit toujours (x,y ) un point selle, supposé exister ; étant donnés un vecteur y 0 arbitraire de R n, une suite (ρ m ) m N de réels, qui seront précisés plus loin, soient (x m ) m N et (y m ) m N lesdeuxsuitesde vecteurs définies par les conditions suivantes Pour tout entier naturel m, le vecteur x m est le vecteur qui rend minimum la fonction x L (x, y m ). Pour tout entier naturel m, le vecteur y m+1 est défini par la relation suivante y m+1 = y m + ρ m Bx m. Existence des deux suites (x m ) m N et (y m ) m N. Démontrer que les conditions énoncées permettent de déterminer tous les termes de ces deux suites (x m ) m N et (y m ) m N et que les vecteurs de ces suites vérifient, pour tout entier naturel m, les relations suivantes A (x m x )+ t B (y m y )=0, y m+1 y = y m y + ρ m B (x m x ). où x et y sont les deux vecteurs d un point selle de L. 3. En déduire l égalité ci-dessous y m+1 y = y m y ρ m (A (x m x ) (x m x ))+(ρ m ) B (x m x ). Convergencedelasuitenumérique de terme général y m y, m N 4. Un résultat préliminaire démontrer l existence d une matrice carrée d ordre n symétrique positive inversible, notée A 1/, telle que ( A 1/) = A. Soit C la matrice définie par la relation suivante C = A 1/. t B.B.A 1/, 6

7 où lamatricea 1/ est la matrice inverse de la matrice A 1/. 5. Démontrer que la matrice C est une matrice symétrique positive. Établir qu il existe une constante ν telle que, pour tout vecteur u de R n, l inégalité cidessous soit vraie Bu ν (Au u). Soient α et β deux réelstels que le segment [α, β] soit contenu dans l intervalle ouvert ]0, /ν[, (0 <α<β</ν). La suite des réels ρ m est supposée vérifier pour tout entier naturel m l inégalité suivante α ρ m β. 6. Démontrer que la suite de terme général y m y,m Nest monotone décroissante ; utiliser, pour simplifier, la suite (u m ) m N dont le terme général est définie par la relation suivante u m = x m x. Convergencedelasuite(x m ) m N 7. En déduire la convergence et la limite de la suite (x m ) m N. FINDUPROBLÈME 7