CHAPITRE III PARTITIONS DE L UNITÉ

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1 CHAPITRE III PARTITIONS DE L UNITÉ 1. Variétés paracompactes 1. Recouvrements ouverts d un espace topologique Soit X un ensemble. On appelle recouvrement de X une famille (A i ) i I de X dont la réunion est X. On dit qu un recouvrement (B j ) i J (A i ) i I si chacun des B j est contenu dans un des A i. de parties de X est plus fin que Soit X un espace topologique. On appelle recouvrement ouvert de X un recouvrement de X par des parties ouvertes. Remarque. Soit (U i ) i I un recouvrement ouvert de X. Pour qu un sous-ensemble A de X soit ouvert (resp. fermé) dans X, il faut et il suffit que A U i soit ouvert (resp. fermé) dans U i pour tout i I : c est clair dans le cas des ouverts et le cas des fermés s en déduit par passage au complémentaire. 2. Familles localement finies de parties d un espace topologique Soit X un espace topologique. Une famille (A i ) i I de parties de X est dite localement finie si chaque point de X possède un voisinage qui ne rencontre qu un nombre fini des A i. En ce cas, chaque partie compacte de X ne rencontre qu un nombre fini des A i. La réunion d une famille localement finie de parties fermées de X est fermée. Soit en effet (F i ) i I une famille localement finie de parties fermées de X et soit F sa réunion. Chaque point x de X possède un voisinage ouvert U x qui ne rencontre qu un nombre fini des F i. Alors F U x, qui est réunion d un ensemble fini de parties fermées de U x, est fermé dans U x, et ceci pour tout x X. Il s en suit que F est fermé dans X (remarque du n o 1). 3. Espaces localement compacts dénombrables à l infini Rappelons qu un espace topologique est dit localement compact s il est séparé et que chacun de ses points possède un voisinage compact. Chacun de ses points possède alors un système fondamental de voisinages compacts. Nous dirons qu un espace topologique est dénombrable à l infini s il est réunion d une famille dénombrable de parties compactes. Remarques. 1) Toute partie ouverte ou fermée d un espace localement compact est localement compacte. 2) Toute partie fermée d un espace dénombrable à l infini est dénombrable à l infini. Une partie ouverte d un espace dénombrable à l infini (ou même compact) n est pas forcément dénombrable à l infini. 1

2 3) Toute partie ouverte U de R n est dénombrable à l infini. En effet, pour tout m 1, l ensemble K m des x R n tels que x m et d(x, U) 1 m est fermé et borné dans Rn, donc compact, et U est réunion des K m. 4) Pour qu une variété différentielle (ou plus généralement topologique) soit dénombrable à l infini, il faut et il suffit qu elle possède un atlas dénombrable. Chacun de ses ouverts est alors dénombrable à l infini, et par suite chacune de ses sous-variétés est dénombrable à l infini. Proposition 1. Soit X un espace topologique localement compact dénombrable à l infini. Il existe un recouvrement de X par une suite (K n ) n N de parties compactes telles que K n K n+1 pour tout n N. Il existe un recouvrement de X par une suite (A n ) n N de parties compactes. Définissons K n par récurrence comme suit : on pose K 0 = A 0 ; une fois K n défini, on choisit pour chaque point x K n un voisinage compact V x de x dans X, puis un ensemble fini S K n tel que K n soit contenu dans V x ; on pose K n+1 = A n+1 V x. x S x S Pour tout n N, K n est compact, est contenu dans K n+1 et contient A n ; la réunion de la suite (K n ) n N est égale à X. 3. Espaces paracompacts On dit qu un espace topologique X est paracompact s il est séparé et que, pour tout recouvrement ouvert (U i ) i I (V j ) j J de X plus fin que (U i ) i I. Supposons X paracompact. Soit (U i ) i I de X, il existe un recouvrement ouvert localement fini un recouvrement ouvert de X. Il existe un recouvrement ouvert localement fini (V i ) i I de X tel que V i U i pour tout i I. En effet, il existe un recouvrement ouvert localement fini (W j ) j J de X plus fin que (U i ) i I. Pour chaque j J, soit t(j ) un élément de I tel que W j U t(j ). On peut prendre V i = Supposons X paracompact. Toute partie fermée de X est paracompacte. j t 1 (i) Soit Y une partie fermée de X et (O i ) i I un recouvrement ouvert non vide de Y. Chacun des ensembles O i est de la forme U i Y, où U i est un ouvert de X. Quitte à remplacer l un des U i par U i (X -- Y), on peut supposer que (U i ) i I est un recouvrement ouvert de X. Il existe un recouvrement ouvert localement fini (V j ) j J de X plus fin que (U i ) i I. Alors (V j Y) j J est un recouvrement ouvert localement fini de Y, plus fin que (O i ) i I. Soit X un espace topologique et soit (X i ) i I une partition de X formée d ensembles ouverts. Pour que X soit paracompact, il faut et il suffit que chacun des X i W j. le soit. 4. Variétés paracompactes 2

3 Proposition 2. Pour qu une variété différentielle X soit paracompacte, il faut et il suffit qu elle soit séparée et que chacune de ses composantes connexes soit dénombrable à l infini. Les composantes connexes de X forment une partition de X en sous-ensembles ouverts. Il suffit donc de démontrer la prop. 1 lorsque X est connexe et non vide. Supposons d abord la variété X paracompacte, donc séparée. Choisissons un voisinage compact V x de chaque point x X, puis un recouvrement ouvert localement fini (U i ) i I plus fin que (V x)x X. Pour tout i I, U i est contenu dans l un des V x, donc compact. Considérons dans X la relation R définie par : on a xry s il existe une suite finie (i 0,..., i m ) d éléments de I telle que x U i0, y U im et U ik U ik+1 pour 0 k < m. C est une relation d équivalence. Chaque classe d équivalence est ouverte. Comme X est connexe et non vide, il y en a une seule. Construisons alors une suite (K n ) de parties compactes de X par récurrence comme suit : on choisit un indice i 0 tel que U i0 et on pose K 0 = U 0. Une fois K n construit, on remarque qu il n y a qu un nombre fini de U i qui rencontrent K n. On note K n+1 la réunion de leurs adhérences. Puisque R a une seule classe d équivalence, X est réunion des K n, donc dénombrable à l infini. Réciproquement, supposons la variété X séparée et dénombrable à l infini. Soit (U i ) i I un recouvrement ouvert de X. Il existe un recouvrement de X par une suite (K n ) n N de parties compactes telles que K n K n+1 pour n N. Posons K n = pour n < 0. Pour chaque entier n N, K n = K n -- K n 1 est compact et contenu dans O n = K n+1 -- K n 2 qui est ouvert. Il existe donc une partie finie I n de I telle que K n (U i O n ) La i I n famille (U i O n ) n N,i In est un recouvrement ouvert de X plus fin que (U i ) i I. Ce recouvrement est localement fini, puisque O n est disjoint de O m dès que n m 3. Cela démontre que la variété X est paracompacte. Remarques. 1) La prop. 2 s étend aux variétés topologiques. Plus généralement, pour qu un espace topologique localement compact soit paracompact, il faut et il suffit qu il possède une partition formée d ouverts dénombrables à l infini. 2) Toute sous-variété d une variété paracompacte est paracompacte. Cela résulte de la prop. 2 et de la remarque 3 du n o Partitions de l unité de classe C 1. Familles localement finies de fonctions 3

4 Soit X un espace topologique. On appelle support d une fonction f : X R et on note Supp(f) l adhérence de l ensemble des points x X tels que f(x) 0. C est le plus petit fermé en dehors duquel f est nulle. Une famille (f i ) i I de fonctions sur X est dite localement finie si la famille des supports des f i est localement finie. On peut en ce cas définir sa somme f en posant f(x) = f i(x) pour tout x X. Le support de f est contenu dans la réunion des i I supports des f i. La fonction f est continue si les f i le sont. Si X est une variété différentielle et que les f i sont de classe C, f est de classe C. 2. Définition des partitions de l unité Soit X un espace topologique. On appelle partition localement finie de l unité dans X une famille localement finie (f i ) i I de fonctions sur X à valeurs 0, dont la somme est la fonction constante égale à 1. Soit (f i ) i I une telle partition de l unité. Les fonctions f i sont à valeurs dans [0, 1]. On dit que la partition de l unité (f i ) i I est subordonnée à un recouvrement ouvert (U i ) i I si l on a Supp(f i ) U i pour tout i I. On dit que c est une partition continue de l unité si les fonctions f i sont continues. Lorsque X est une variété différentielle et que les fonctions f i sont de classe C, on dit que (f i ) i I une partition de l unité de classe C. 3. Théorème d existence de partitions de l unité de classe C Théorème 1. Soit X une variété différentielle paracompacte et soit (U i ) i I un recouvrement ouvert de X. Il existe une partition localement finie de l unité de classe C dans X subordonnée au recouvrement (U i ) i I. Nous démontrerons ce théorème au n o 5. Corollaire 1. Soit X une variété différentielle paracompacte et soient A et B deux parties fermées de X disjointes. a) Il existe une fonction f de classe C sur X qui est égale à 0 au voisinage de A et à 1 au voisinage de B. b) Il existe des ouverts disjoints U et V de X tels que A U et B V. En effet, (X -- A, X -- B) est un recouvrement ouvert de X. Soit (f, g) une partition de l unité de classe C subordonnée à ce recouvrement. Comme Supp(f) X A, f est nulle au voisinage de A. Comme Supp(g) X B, g est nulle et f égale à 1 au voisinage de B. Cela démontre a). 4

5 Dans b), on peut prendre pour U et V les complémentaires des supports de f et g. Corollaire 2. Soit X une variété différentielle paracompacte et soit (U i ) i I recouvrement ouvert de X. Il existe un recouvrement ouvert localement fini (V i ) i I X tel que V i U i pour tout i I. On peut en effet prendre V i = f 1 i (]0, + [), où (f i ) i I est une partition de l unité satisfaisant les conditions du théorème 1. Remarques. 1) Le th. 1 et ses corollaires 1 et 2 peuvent s étendre à tout espace topologique paracompact, à condition d y remplacer les fonctions et partitions de l unité de classe C par des fonctions et partitions de l unité continues. 2) Une variété différentielle séparée dénombrable à l infini peut être recouverte par une famille dénombrable d ouverts relativement compacts. Elle admet donc une partition localement finie de l unité, constituée par une suite (h n ) n N de fonctions de classe C à support compact. un de Corollaire 3. Toute variété différentielle paracompacte est métrisable. Soit en effet X une telle variété et soit A un atlas de X. Pour chaque carte c = (U c, ϕ c, E c ) A, choisissons une norme sur E c. Il existe une partition continue de l unité (f c ) c A localement finie subordonnée au recouvrement ouvert (U c ) c A. Notons ψ c : X E c l application qui est égale à f c ϕ c sur U c et à 0 sur U c. Elle est continue (car continue sur U c et nulle sur X -- Supp(f c ) ). On définit une distance d sur X en posant d(x, y) = ( f c (x) f c (y) + ψ c (x) ψ c (y). c A Comme la sommation est localement finie, d est continue sur X X. Toute boule ouverte pour d est donc ouverte pour la topologie T de X. Il s en suit que T est plus fine que la topologie définie par d. Pour démontrer que ces deux topologies sont identiques, il suffit de prouver que, pour tout x X et toute suite (x n ) de points de X telle que d(x n, x) 0, la suite (x n ) converge vers x pour T. Choisissons c A tel que f c (x) 0. Les suites (f c (x n )) et (ψ c (x n )) convergent vers f c (x) et ψ c (x) respectivement. La suite (x n ) est donc contenue dans U c à partir d un certain indice n 0, et la suite (ϕ c (x n )) n n0 s en suit que (x n ) converge vers x pour T. converge vers ϕ c (x). Il Remarques. 1) Nous donnerons ultérieurement une démonstration plus simple de l énoncé plus précis suivant : toute variété différentielle paracompacte possède une métrique riemannienne. 2) Le cor. 3 est aussi une conséquence immédiate du théorème de Whitney que nous prouverons au chapitre suivant, mais la démonstration de ce dernier est toutefois bien plus difficile. 5

6 3) Le cor. 3 s étend aux variétés topologiques paracompactes (mais il existe des espaces topologiques paracompacts, et même compacts, qui ne sont pas métrisables). 4) Tout espace topologique métrisable est paracompact (1). Il s en suit qu une variété différentielle est paracompacte si et seulement si elle est métrisable. 4. Construction de fonctions auxiliaires La fonction f définie par est de classe C sur R. f(x) = { 0 si x 0 e 1/x si x > 0 Soit m N. La fonction g m : x f(1 x x 2 m) est de classe C sur R m. Son support est la boule unité fermée B m. Ses valeurs sur B m sont strictement positives. Soient X une variété différentielle, U un ouvert de X et ϕ un difféomorphisme de U sur un ouvert de R m qui contient B m. Il existe une fonction de classe C sur X, dont le support est ϕ 1 (B m ) et qui est à valeurs > 0 sur ϕ 1 (B m) : par exemple, la fonction égale à g m ϕ dans U et à 0 dans U convient. 5. Démonstration du théorème 1 Il suffit de démontrer le théorème 1 lorsque la variété paracompacte X est connexe. Elle est alors dénombrable à l infini et pure. Soit m sa dimension. Soit (U i ) i I un recouvrement ouvert de X. Notons A l ensemble des cartes de X de la forme c = (V c, ϕ c, R m ) pour lesquelles B m ϕ c (V c ) et V c est contenu dans l un des U i. Lemme. Il existe un sous-ensemble J de A tel que la famille (V j ) j J finie et que X soit recouvert par les ϕ 1 j (B m ), où j J. Choisissons un recouvrement de X par une suite (K n ) n N soit localement de parties compactes telles que K n K n+1 pour n N. Posons K n = pour n < 0. Pour chaque entier n N, l ensemble K n = K n -- K n 1 est compact et contenu dans l ensemble O n = K n+1 -- K n 2, qui est ouvert. Pour chaque point x K n, il existe une carte c A telle que V c O n et x ϕ 1 c (B m ). Choisissons un ensemble fini J n de ces cartes de sorte que K n ϕ 1 j (B m ). On peut prendre J = J n. j J n n N est ϕ 1 j Pour chaque j J, choisissons une fonction f j (B m ) et qui est à valeurs > 0 sur ϕ 1 j de classe C sur X, dont le support (B m ) : il en existe d après le n o 4. La (1) N. Bourbaki, Éléments de Mathématique, Topologie Générale, Chapitre IX, p. 51, th. 4. 6

7 famille (f j ) j J est localement finie ; sa somme f est de classe C et partout strictement positive. En remplaçant f j par f j /f, on se ramène au cas où f = 1, i.e. où (f j ) j J est une partition localement finie de l unité de classe C subordonnée au recouvrement ouvert (V j ) j J. Choisissons alors pour chaque j J un élément t(j) I tel que V j U t(j), et posons g i = f j. La famille (g i ) i I est une partition continue de l unité de classe j t 1 (i) C subordonnée au recouvrement (U i ) i I. 7