Mathématiques I. Recueil d exercices #2. Analyse II

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1 FACULTE DES SCIENCES ECONOMIQUES ET SOCIALES Sections des sciences économiques et des hautes études commerciales Mathématiques I Cours du professeur D. Royer Recueil d exercices #2 Analyse II Semestre d automne 2010

2 Exercice 1 Calculer les dérivées partielles de l application f : R 2 R définie par f(x, y) = x + 2xy + y 2. Exercice 2 Calculer les dérivées partielles premières et secondes des fonctions de R 2 dans R définies par les formules suivantes : 1. f(x, y) = ye x + xe y 2. f(x, y) = x 3 3x + xy 2 3. f(x, y) = 12xy x 2 y xy 2 4. f(x, y) = Log(x 2 + y 2 ) 5. f(x, y) = 1/ x 2 + y 2 Exercice 3 Calculer l élasticité E de la fonction f(x 1, x 2 ) = x α1 1 xα2 2 par rapport à x 1. Exercice 4 Soit les applications f et g de R 2 dans R définies par f(x, y) = e 3x+2y avec x = ϕ 1 (t) = Log t, y = ψ 1 (t) = t 2 g(x, y) = x y avec x = ϕ 2 (t) = e t, y = ψ 2 (t) = Log t On pose F (t) = f(ϕ 1 (t), ψ 1 (t)), et G(t) = g(ϕ 2 (t), ψ 2 (t)). Calculer les dérivées totales F = df dt et G = dg dt. Exercice 5 Soit l application f(x, y) = x y, avec y = ϕ(x). Calculer Exercice 6 Soit f : R 2 R une application continue, avec f x et df dx. f(x, y) = y 2 x(x 1) Quel est le sous-ensemble de R 2 dans lequel il existe une fonction unique et continue y = ϕ(x) définie par f(x, y) = 0 au voisinage d un couple (x, y)? 2. Pour tout couple (x, y) appartenant à cet ensemble, calculer ϕ (x). 3. Quel est le sous-ensemble de R 2 dans lequel il existe une fonction unique et continue x = ψ(y) définie par f(x, y) = 0 au voisinage d un couple (x, y)? 2

3 Exercice 7 Soit la fonction d utilité u : R 2 ++ R définie par u(x, y) = α Log x + β Log y, où α et β sont des paramètres positifs tels que α + β = Donner l équation qui définit une courbe de niveau pour une valeur u de u fixée (u R ++ ). Quel nom porte cette courbe dans ce cas particulier? 2. Montrer que les conditions du théorème des fonctions implicites sont vérifiées pour l équation du point 1. Calculer f, où y = f(x). 3. Donner le graphe de y = f(x). Exercice 8 Soit la fonction de production F : R 2 ++ R définie par où α et β sont des paramètres positifs. F (x, y) = x α y β, 1. Donner l équation qui définit une courbe de niveau pour une valeur q de F fixée (q R ++ ). Quel nom porte cette courbe dans ce cas particulier? 2. Montrer que les conditions du théorème des fonctions implicites sont vérifiées pour l équation du point 1. Calculer f, où y = f(x). 3. Donner le graphe de y = f(x). Exercice 9 Déterminer, parmi les fonctions suivantes, celles qui sont homogènes. Le cas échéant, donner leur degré d homogénéité. 1. f(x, y) = x y + 2 3x 2. f(x, y, z) = x2 y + 2x2 z 3. f(x, y) = x2 + y 3 y 4. f(x, y, z) = 2x 2 + 3yz z 2 5. f(x, y, z) = ax 5 + bx 3 y 2 + c y6 z Exercice 10 Montrer que f : R R \ {0} R avec f(x, y) = xy 4 + y 5 + x 6 /y est une fonction homogène. Quelle est la somme de ses élasticités partielles? 3

4 Exercice 11 On considère la fonction de production dite de Cobb-Douglas (K, L) F (K, L) = AK α L 1 α, où K représente le stock de capital, L le travail, A une constante positive et α [0, 1]. 1. Montrer que la fonction F est homogène et déterminer son degré d homogénéité. Quelle est l interprétation économique de ce résultat? 2. Calculer les dérivées partielles F F (K, L) et (K, L) au point (K, L) K L Montrer que ce sont des fonctions homogènes et déterminer leur degré d homogénéité. Quelle est la signification économique de ce résultat? 3. Calculer l élasticité de la production par rapport à chacun des deux facteurs. 4. Écrire la relation d Euler relative à cette fonction. Donner une interprétation économique de ce résultat. Exercice 12 Trouver les points critiques de la fonction f : R 2 R, définie par et étudier leur nature. Exercice 13 f(x, y) = x 3 3x + xy 2, Chercher les points (x, y) réalisant les conditions nécessaires du premier ordre pour être un extremum des fonctions définies par 1. f(x, y) = 4x 2 + 2xy + y 2, 2. f(x, y) = x 2 + x xy + y y 2, 3. f(x, y) = x 2 2xy y 2 + y. Déterminer dans chaque cas s il s agit d un maximum, d un minimum ou d un point selle. Exercice 14 Chercher les extremums de la fonction f : R 2 R définie par Exercice 15 f(x, y) = 2x 2 y + 2x 2 + y 2. Étudier, selon la valeur du paramètre réel m, l existence et la nature des extremums de la fonction définie par f(x, y) = y 3 + x 2 3my. 4

5 Exercice 16 Soit les fonctions f : R 2 ++ R et u : R 2 ++ R définies par 1. Déterminer la solution du problème f(x, y) = px + qy, p > 0, q > 0, u(x, y) = x α y 1 α, α (0, 1). min f(x, y) 2. Représenter cette solution dans le plan (x, y). Exercice 17 s.c. u(x, y) = u, u > 0. Déterminer les points candidats de la recherche des extremums de 1. f(x, y) = xy, sous la contrainte x + y = 6, 2. f(x, y) = x 2 y 3, sous la contrainte x + y = 5, 3. f(x, y) = x 2 3y 2, sous la contrainte x + 2y = 1. Exercice 18 Soit une fonction d utilité u : R 2 ++ R telle que u u (x, y) > 0 et (x, y) > 0 x y pour tout couple (x, y) R Soit p x x + p y y = w la contrainte de budget du consommateur, où p x et p y représentent les prix des biens correspondants, w sa richesse. 1. Donner les conditions du premier ordre du problème : { Max u(x, y) s.c. p x x + p y y = w Soit (x 0, y 0 ) une solution de ce problème. Montrer que u x (x 0, y 0 ) u(x y 0, y 0 ) = p x p y 2. Soit u(x, y) = α Log x + β Log y, avec α > 0, β > 0. Déterminer les fonctions de demande du consommateur, à savoir x = f(w, p x, p y ) et y = g(w, p x, p y ) Exercice 19 Soit l application f : R R ++ définie par f(x, y) = 1 2 y2 3y + Log y + x. 1. Calculer les points candidats à un extremum de f sous la contrainte g(x, y) = 0, où g(x, y) = y e x. 2. La relation f(x, y) = 1/2 définit, sous une certaine condition, une fonction implicite x y. Donner cette condition et calculer la valeur de la dérivée de cette fonction implicite au point y = 1. 5

6 Exercice 20 A l aide des dérivées secondes, déterminer si les fonctions suivantes définies dans R 2 et à valeur dans R sont strictement concaves ou strictement convexes. 1. f(x, y) = x 2 + xy + y 2, 2. f(x, y) = x 2 + 2xy + y 2, 3. f(x, y) = [ (x 1) 2 + (y 1) 2], 4. f(x, y) = Log(x + y). Exercice 21 Déterminer, à l aide des définitions de la concavité et de la convexité, si les fonctions suivantes de R 2 dans R sont (strictement) concaves ou (strictement) convexes. 1. f(x, y) = x 2 2xy y 2 2. g(x, y) = 3x 2 + y 2 Exercice 22 Soit les fonctions f : R 2 R et g : R 2 R définies par les formules f(x, y) = [ (x 1) 2 + (y 1) 2] g(x, y) = x + y Trouver le ou les points critiques candidats à la recherche d extremums de f sous la contrainte g = Discuter leur nature. 6