Et le thermique. Ecoulement incompressible d un fluide visqueux newtonien à paramètres constants.

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Dorothée Bastien
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1 Et le thermique Ecoulement incompressible d un fluide visqueux newtonien à paramètres constants. Les équations de continuité et de quantité de mouvement ne font pas intervenir la température : on peut résoudre la dynamique de l écoulement sans tenir compte des aspects thermiques! Etape 1 Etape 2 Une fois la dynamique de l écoulement connue, on peut ensuite résoudre le problème thermique

2 Principes physiques universels! Lois de conservation Lois de comportement Conditions aux limites Conservation de la masse, de la quantité de mouvement, du moment de la quantité de mouvement et de l énergie.

3 Lois de comportement très approximatives Lois de conservation Lois de comportement Conditions aux limites Loi de Fourier Modèle du fluide visqueux Newtonien

4 Mécanismes du transfert conductif Le point de vue microscopique On examine le transfert d énergie entre porteurs du milieu considéré. La fonction de distribution des porteurs est régie par l équation de Boltzmann de la théorie cinétique. L énergie se propage du chaud vers le froid Isolants Métaux 10-2 W/mK 10 2 W/mK Lois de conservation Lois de comportement Conditions aux limites L approche phénomélogique Un flux thermique dans un corps est lié à l existence d un gradient de température. L équation de Fourier relie ces deux grandeurs.

5 Validité de la loi de Fourier L effet (le flux de chaleur) est proportionnel à la cause (le gradient de température) Toutefois, lorsqu on observe un déséquilibre thermique initial, il faut un temps très faible, mais fini de l ordre de grandeur du temps moyen entre collisions pour que les porteurs donnent naissance au flux thermique L absence d inertie dans l expression de Fourier conduit à une vitesse de propagation infinie dans l équation de la chaleur (équation parabolique)

6 Diffusivité thermique Caractérise la facilité avec laquelle un flux de chaleur transmis à un solide se traduit par un relèvement de température Milieu semi infini soumis initialement à température nulle Surface externe mise à 100 degrés. Temps requis pour avoir 50 degrés à 30 cm

7 Conduction dans une plaque soumise à la convection Conduction Convection Radiation Radiateur domestique : h = 15 W/m 2 K La convection libre et le rayonnement ont une contribution plus ou moins identique régime permanent

8 Un problème pas aussi élémentaire que prévu Simplifions-le!

9 Loi de Newton Lois de conservation Lois de comportement Conditions aux limites

10 Conduction dans une plaque soumise à la convection analogie avec l électricité - résistance convective - résistance conductive

11 Transfert de chaleur établi L écoulement est établi lorsque le profil de la différence de températures du fluide et de la paroi reste constante le long de l axe de la coonduite! Cela suppose que l écoulement est établi!

12 T w constante Si T w constante Deux cas particuliers T w linéaire

13 T w constante Si T w constante T w linéaire

14 Un nombre adimensionnel qui mesure le rapport entre deux effets! Effets de dissipation visqueuse Transformation d énergie Effets de convection Transport de l énergie

15 Le petit frère de Reynolds : Péclet Effets de conduction Diffusion de l énergie Effets de convection Transport de l énergie

16 Oui : c est bien le petit frère! Effets visqueux Diffusion de la quantité de mouvement Effets d inertie Transport de la quantité de mouvementc

17 Nombre de Péclet caractérise le transfert de chaleur d un écoulement d un fluide! Born: 10 Feb 1793 in Besancon, France Died: 6 Dec 1857 in Paris, France Puissance transportée Puissance diffusée à savoir!

18 Nombre de Prandtl caractérise un fluide! Born: 1875 in Freising, Germany Died: 1953 in Gottingen, Germany Peclet = Effets de convection / effets de conduction Reynold = Effets d inertie / effets de viscosité à savoir!

19 Une grande famille! Effets de conduction Diffusion de l énergie Effets de convection Transport de l énergie Effets de dissipation visqueuse Transformation d énergie

20 Nombre d'eckert Picture was taken on August 22, 2000 caractérise un écoulement d un fluide! Energie cinétique Energie interne

21 Transferts de chaleur stationnaires Nombre de Reynolds : Re Nombre de Péclet : Pe Nombre de Prandtl : Pr Nombre d Eckert : Ec Nombre de Nusselt : Nu Nombre de Biot : Bi Coeff de frottement : C f Nombre de Stanton : St Pertes de charges : λ

22 Nombre de Nusselt caractérise une condition d interface! Born: 25 Nov 1882 in Nurnberg, Germany Died: 1 Sep 1957 in Munchen, Germany Flux de chaleur à la paroi Flux de chaleur diffusé dans l écoulement

23 A mi-rayon, β négatif la température est indépendante de la valeur de β! β positif

24 Température moyenne Cup mixing temperature

25 Flux de chaleur à la paroi

26 C est la chaleur générée par dissipation visqueuse qui s échappe par la paroi du tuyau! Flux de chaleur à la paroi T w constante

27 Estimation du flux de chaleur à la paroi par rapport aux effets de diffusion! L écart de température caractéristique est pris avec la température moyenne! T w constante Nombre de Nusselt

28 Estimation du flux de chaleur à la paroi par rapport aux effets de diffusion! L écart de température caractéristique est pris avec la température moyenne! T w linéaire Nombre de Nusselt

29 Ecart de température T w constante Nombre de Nusselt Pas de dissipation visqueuse Cas adiabatique Un petit graphe récapitulatif! Adimensionnalisation inadéquate! Flux pariétal

30 Nombre de Biot caractérise une condition d interface! Born: 21 April 1774, Paris, France Died: 3 Feb 1862, Paris, France Flux de chaleur à la paroi Flux de chaleur diffusé dans le solide

Ecoulement de l air dans la salle de bain Flux conductif de l eau chaude

31 Le Nusselt et le Biot de l ex-tuyau en plomb de ma salle de bain :-) Ecoulement de l eau dans le tuyau! Ecoulement de l air dans la salle de bain Flux conductif de l eau chaude Flux conductif de l air! Conduction thermique dans le tuyau : tension thermiques (thermoélasticité!) Flux conductif dans le plomb

32 Transfert non-établi dans un écoulement établi Transfert thermique stationnaire dans un écoulement établi d un fluide visqueux newtonien à paramètres constants, sans dissipation visqueuse et diffusion axiale Ecoulement de Hagen-Poiseuille : problème de Poiseuille (1885) Ecoulement bouchon : problème de Grätz (1883)

33 Problème de Grätz Transfert thermique stationnaire dans un écoulement établi d un fluide visqueux newtonien à paramètres constants, sans dissipation visqueuse et sans diffusion axiale Ecoulement bouchon La coordonnée horizontale est relié à la vitesse par le temps de diffusion caractéristique! Beaucoup d algèbre inutile! Seul, le choix de l adimensionnalisation est vraiment utile à retenir!

34 Adimensionalisation du temps sur base de la viscosité qui est l unique donnée contenant une unité de temps! En ζ=1, on a un écoulement de régime Même approche pour le démarrage d un écoulement!

35 Non bornée à l origine (i) (ii) Solutions obtenues par la technique de séparation de variables Résolution analytique :-( Condition à la paroi (iii) Condition initiale

36 Temps d établissement Temps d établissement nécessaire afin que la vitesse au centre de la conduite vaille un pourcentage critique de la valeur du profil de Poiseuille

37 Longueur d établissement Analogie spatio-temporelle Pas de solution analytique : il est possible de trouver une solution approchée par la théorie des couches limites pour le cas axisymétrique Ou d effectuer une petite analogie :-) Longueur d établissement nécessaire afin que la vitesse au centre de la conduite vaille un pourcentage critique de la valeur du profil de Poiseuille

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