Introduction à la mécanique classique. cours ESAIP

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1 Introduction à la mécanique classique cours ESAIP 14 avril 2007

2 Table des matières 1 Introduction 3 2 Rappels mathématiques Les fonctions Les vecteurs Dénition Changement de base Dérivée d'un vecteur Moment d'un vecteur par rapport à un point Les dérivés Les intégrales Les intégrales dénis Les intégrales non-dénis Les développements autour d'un petit parametre La mécanique du point La cinématique du point Dénitions Mouvement à accélération constante Mouvement parabolique Mouvement relatif Mouvement circulaire Dynamique du point Lois de Newton La friction La gravitation Le travail Le pendule Problèmes Corrigés des exercices La mécanique des solides rigides La cinématique des solides rigides Centre de masses Energie cinétique Rotation Equilibre statique Problèmes La mécanique des uides Dénitions Les uides La masse volumique La pression Le débit Fluide compressible et incompressible Statique des uides Le principe d'équilibre statique dans un uide

3 5.2.2 Le principe de Pascal Le principe d'archimède Dynamique des uides incompressibles La continuité de la masse L'équation de Bernoulli Les pompes La viscosité Le nombre de Reynolds Les pertes de charge La loi de Poiseuile Problèmes Corrigés des exercices Résistance de matériaux Dénitions Types de sollicitations Etudes des poutres Equation de Bernoulli Problèmes Problèmes transversaux 44 A Examens précedents 45 A.1 Examen de mécanique I du 3 février A.2 Examen de mécanique I du 12 Juin A.2.1 Corrigé A.3 Examen de mécanique II du 30 Janvier A.3.1 Corrigé

4 Chapitre 1 Introduction Ce polycopié recueille les notes du cours de mécanique de l'esaip, à Grasse. Ce cours est distribué, approximativement sur vingt heures de cours la première année, et vingt heures de cours à la deuxième année. Le but est de familiariser les éleves avec les notions de base de la mécanique. L'enseignement est généraliste et il n'a pas comme priorité l'approfondissement des sciences de la physique. Mais l'auteur n'y peut rien, il est amoureux de la beauté de la mathématique et il a une grosse tendance à partir dans les champs des vecteurs, du calcul diérentiel ou d'autres choses encore plus obtuses. Par contre, il y a un but très important à l'étude des sciences, qui est l'apprentisage de la riguer et d'une méthode de travail scientique qui, malgré le nom, est completement indispensable aux ingénieurs. Cet ouvrage veut trouver un équilibre entre ses trois composantes. D'un côté une certaine simplicité mathématique, qui puisse permetre à l'éleve de se centrer sur les concepts physiques, d'un autre côté l'utilisation de temps en temps, de quelques outils mathématiques (et certainement d'entre le plus simples), et pour fermer le triangle, la presentation d'une méthode scientique, c'est à dire, une façon de travailler qui permet de discerner l'essentiel du superu sans appeler A à B ou viceversa entre temps. La théorie occupe peu de place, parce que on n'a pas besoin de beaucoup de théorie pour présenter des concepts simples et qui correspondent, géneralment, à un niveau un plus au delà du BAC. Par contre, les exercices prennent beaucoup de place, parce que c'est grace à la pratique qu'on apprend la méthode. La résolution, aussi nécessaire que l'enoncé, parfois va au delà de l'enoncé, et présente des applications ou de procédures qui peuvent être utilisé d'une façon très generale. Il y a aussi quelques exemples d'examens, question de ne pas faire peur, et, toute à la n, il y a un série de problèmes qui mélangent toutes les notions acquises pendant le cours. A mon avis, ils sont le plus intéressants, car c'est avec eux qu'on peut mieux comprendre que la mécanique n'est qu'un outil qu'il faut connaître pour l'utiliser quand il n'a besoin pour un autre n plus elevé, et qui vient donner par le métier de l'ingénieur. 3

5 Chapitre 2 Rappels mathématiques 2.1 Les fonctions Une fonction est une opération mathématique qui assigne une valeur a une variable (f) en fonction d'autres variables (x,y,...). On peut écrire une fonction d'une façon générale : f(x, y,...) = f(x, y,..., A, B, C,...) (2.1) Dans une fonction on trouve les éléments suivants : variables indépendantes : sont les variables auxquelles on va assigner une valeur. C'est nous qui choisissons la valeur qui aura cette variable en fonction de notre intérêt. variables dépendantes : sont les variables auxquelles on n'assigne pas une valeur mais qui dépendent des variables indépendantes. inconnues : sont les variables des quelles on connaît pas la valeur. paramètres : sont des variables qui décrivent la physique du problème. Leur valeur peut être une inconnue ou une donnée. Chaque lettre (f, x, y, A, B, C,..) peut être une variable, une inconnue ou un paramètre. Pour chaque problème particulier il faudra les identier. 2.2 Les vecteurs Dénition Un vecteur est déni comment un segment orienté AB où on a déni l'origine sur A et l'extrémité sur B. Pour dénir un vecteur il est nécessaire d'avoir déni préalablement un repère. Dans le repère utilisé le vecteur sera exprimé selon les trois composantes sur les trois axes du repère : Le vecteur peut s'exprimer aussi d'une façon plus compacte : où on considère la base implicitement Changement de base AB = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + λ 3 e 3 (2.2) AB = (λ 1, λ 2, λ 3 ) (2.3) Pour changer le repère dans lequel le vecteur est exprimé, il faut exprimer les vecteurs directeurs du premier repère en fonction des vecteurs directeurs du deuxième. ei = j α ij ej (2.4) 4

6 2.2.3 Dérivée d'un vecteur La dérivé d'un vecteur est dénie comme : C'est à dire : d v dx = lim v x 0 x d AB dx = dλ 1 d e 1 e 1 + λ 1 dx dx + dλ 2 d e 2 e 2 + λ 2 dx dx + dλ 3 d e 3 e 3 + λ 3 dx dx (2.5) (2.6) Moment d'un vecteur par rapport à un point On dénit le moment d'un vecteur v appliqué à un point O exprimé en un autre point C comme : 2.3 Les dérivés Une dérivé est dénie comme : M = OC v (2.7) df dx = lim f(x + x) f(x) (2.8) x 0 x C'est à dire, c'est le coecient entre la variation de la fonction est la variation de la variable. On peut le visualiser sur la gure suivante : f(x)!f(x)!x x Fig. 2.1 Répresentation visuelle de la dérivée La dérivé correspond aussi à la pente de la ligne droite représenté dans la gure. Le calcul de dérivées ne pose pas de problèmes parce que il sut d'appliquer les formules qu'il y a indiqué dans le cadre suivant : 2.4 Les intégrales L'intégration est l'opération inverse à la dérivation. Il consiste à trouver des fonctions à partir de leur dérivés. L'intégration est une opération très nécessaire à cause de sa signication physique. L'intégral d'une fonction est égal à la surface balayé par la fonction entre les limites d'intégration. On peut dire qu'une intégrale est le limite d'une somme en faisant des morceaux très petits. entre deux extremes x inf et x sup. On peut regarder l'example de la surface balayé. Si on a une fonction entre deux limites inférieur et supérieur et on veut calculer la surface balayé par la fonction, on peut procéder de plusieurs façons. On pourrait faire une première approximation en se prenant la moyenne des valeurs de la fonction aux extrêmes et multipliant par la largeur de l'intervalle : S = f(x sup) + f(x inf ) (x sup x inf ) (2.9) 2 5

7 Fig. 2.2 Dérivées élémentaires Si on voulait faire un peu plus exacte, on pourrait prendre une, ou deux, ou n valeurs moyennes et calculer la surface comme la somme de rectangles : S = n i=1 f(x i+1 ) + f(x i ) x sup x inf (2.10) 2 n 1 Quand n tend vers l'inni, n, la largeur de charque rectangle tend vers zero, et on va l'appeler dx, et la valeur moyenne de la fonction tend vers la valeur ponctuelle de la fonction f(x). Il nous reste que à changer le signe de sommation ( ) par le signe d'intégrale ( ) pour obtenir : S = xsup x inf f(x)dx (2.11) Les intégrales dénis Quand les limites d'intégration sont connus, l'intégrale se calcule entre les deux limites, et on appelle l'intégrale dénie. Si la primitive de l'intégrale d'une fonction f(x) est F (x) ( f(x) = F (x)), l'intégrale déne entre x min et x max vaut : x x max L'exemple précèdent de la surface d'une fonction, est une intégrale déne. min f(x) = F (x max ) F (x min ) (2.12) Example : Calculer la surface comprise entre la fonction f(x) = x 2 1 et l'axe horizontale, et les droites verticales x = 1 et x = 4 6

8 f(x) f(x) f(x sup ) f(x sup ) f(x min ) S 1 f(x min ) S 2 x x x min x sup x min x sup Fig. 2.3 Calcul d'une surface S = x=4 x= Les intégrales non-dénis [ x (x 2 3 1)dx = 3 x ] 4 1 = = 54 3 Quand les limites d'intégration ne sont pas connus, ou quand on cherche toutes les primitives d'une fonction, on dit que l'intégrale est non-dénie, et on rajoute une constante au lieu d'évaluer l'intégrale entre les limites d'intégration : f(x) = F (x) + cte (2.13) Pour évaluer la valeur de la constante, il faudra évaluer la valeur de la intégrale pour une condition donnée. Example : Calculer la primitive de la fonction f(x) = 5 cos x 3 qui vaut zéro à x = 0. D'abord il faut intégrer la fonction sans donner les limites d'intégration : F (x) = (5 cos x 3)dx = 5 sin x 3x + K Au lieu d'appliquer les limites d'intégration, on rajoue une constante K. Pour trouver la valeur de la constante il faut imposer la condition qu'on nous a donné : Donc, K = 0. 5 sin K = Les développements autour d'un petit parametre Pour faire des calculs physiques, on essai d'une façon récurrente à simplier des expressions. Pour cela, on prote des cas où une des variables a une faible valeur pour faire un développement en série de Taylor autour de ce paramètre. On utilise l'expression suivante : f(x 0 + dx) = f(x 0 ) + df(x) dx x 0 dx + 1 d 2 f(x) 2 dx 2 x0 dx 2 + o(dx 3 ) (2.14) Cette expression est valable seulement si dx < x 7

9 Chapitre 3 La mécanique du point 3.1 La cinématique du point La cinématique du point s'occupe de l'étude du mouvement des corps en supposant toute la masse concentrée sur un seul point de l'espace. La cinématique ne s'occupe pas de l'étude des forces qui provoquent le mouvement, c'est le rôle de la dynamique. Pour décrire le mouvement d'un corps il faut toujours le référencer dans un repére. Il y a deux types de repères : inertiel : le repère ne subit pas d'accélérations au cours du temps. Ce type de repères n'existent pas dans la nature, mais, pour chaque problème en particulier, on va en dénir un. non inertiel : le repère subit d'accélérations au cours du temps Dénitions On dénit la position d'un corps comme la distance entre sa position en un instant donné et l'origine du repére : r = OM (3.1) Pour connaître le mouvement du corps, il sut de connaître sa position au cours du temps : r = (x(t), y(t), z(t)) (3.2) On dénit la vitesse d'un corps comme la dérivée de sa position par rapport au temps : d r v = dt Et son accélération comme la dérivée de la vitesse par rapport au temps : d v a = dt On dénit aussi la quantité de mouvement d'un corps comme la multiplication de sa masse et sa vitesse : (3.3) (3.4) p = m v (3.5) Mouvement à accélération constante Le mouvement à accélération constante est le résultat d'intégrer les équations du mouvement quand le vecteur accélération est constant : a. En appliquant les dénitions de la vitesse et de la position on arrive aux résultats suivants : v (t) = v (t0 ) + a (t t 0 ) (3.6) r (t) = r (t0 ) + v (t t 0 ) + 1 a (t t0 ) 2 (3.7) 2 Même si dans la plupart des cas, le mouvement n'a pas une accélération constante, dans certains cas, on va faire cette approximation. Par exemple, la chute libre á faibles distances est normalement modélisé comme un mouvement á accélération constante, même si l'accélération de la gravité varie avec la hauteur. 8

10 3.1.3 Mouvement parabolique Le mouvement parabolique est un mouvement qui a lieu dans un plan, et qui est composé, sur l'axe verticale, d'un mouvement á accélération constante, et sur l'axe horizontale, un mouvement non-accéléré. Le vecteur accélération sera : a = (g, 0), g est la valeur de la gravité au point étudié (normalement on utilise la valeur g = 9, 81m 2 /s), comme on verra plus tard, cette hypothèse est valable seulement pour des faibles hauteurs vue que la gravité varie avec la distance au centre de la terre. Sur l'axe verticale on va appliquer les équations du mouvement uniformément accéléré et sur l'axe horizontale le corps va décrire une trajectoire linéaire avec le temps. Example : tir d'un projectile. Nous nous intéressons au mouvement d'un projectile lancé avec une vitesse initiale de module v et qui forme un angle α avec la horizontale. y v y! v x x Fig. 3.1 Conditions initiales et trajectoire d'un tir parabolique mouvement sur l'axe vertical : la vitesse initiale sur cet axe sera v sin α, et la position initiale, avec les axes qu'on a dénit, 0. Avec toutes ces données on peut appliquer directement les équations du mouvement uniformément accéléré : v y = v sin α g.(t t 0 ) (3.8) r y = v sin α.(t t 0 ) 1 2 g(t t 0) 2 mouvement sur l'axe horizontale : sur l'axe horizontale le mouvement est á vitesse constante : la vitesse initiale est v cos α, et la position initiale, aussi zéro. Le résultat est : v x = v cos α (3.9) r x = v cos α.(t t 0 ) Dans ce calcul on a fait deux simplications. D'abord, on a supposé la gravité constante, et deuxièmement, on a négligé la courbure de la Terre. En exercice très intéressant consiste à refaire les calculs en tenant compte de ces eets pour vérier quelle est leur importance Mouvement relatif On parle de mouvement relatif quand on met en relation le mouvement par rapport à deux repères diérents. La relation de composition de positions est donné par : OM = OO + O M (3.10) Et on applique la dénition de la vitesse pour trouver la relation entre les vitesses : d OM dt = d OO dt De la même façon on trouve des relations pour les accélérations : d 2 OM dt 2 = d2 OO dt 2 + d O M dt (3.11) + d2 O M dt 2 (3.12) 9

11 3.1.5 Mouvement circulaire Quand le point décrit une trajectoire circulaire autour d'un point central, il subit une accélération dite accélération centripète, qui est égale à : a cen = v2 (3.13) r où v est la vitesse du corps et r le rayon du cercle décrit. Le mouvement circulaire a besoin d'une force qui crée l'accélération centripète. Normalement on décrit le mouvement circulaire à travers d'un angle θ qui est liée à la distance à travers le rayon x = θ, de la dérivée de l'angle : ω = dθ dt qui s'appelle vitesse angulaire, et de la dérivée de la vitesse angulaire, connue comme accélération angulaire. (3.14) 3.2 Dynamique du point Lois de Newton En 1687, Newton publie dans ces 'Principia' les trois lois de la dynamique : 1. Dans un repère inertiel, les corps gardent leur état initial, ou bien le repos, ou bien la vitesse, en absence de forces externes 2. Dans un repère inertiel, la variation de quantité de mouvement est proportionelle à la force qui agit sur le corps : d p dt = F (3.15) 3. Principe d'action et réaction : quand un corps A produit une force sur un corps B, le corps B produit une force sur le corps A égale en direction et module, mais avec le sens inverse La friction Quand un corps est en equilibre sur une surface, cette surface peut exercer une force pour compenser la force qui ménerait le corps hors de équilibre. Cette force doit être toujours perpendiculaire à la surface, c'est une force dite 'normale'. Le frottement entre la surface et le corps va créer une résistance au mouvement, on va l'appeler force de frottement. La force de fortement est proportionnelle à la normale exercée par la surface sur le corps et a un coecient de frottement µ. Ce coecient est diérent en fonction de si il y a un mouvement relatif ou non. S'il n'y a pas de mouvement relatif : et s'il y a un mouvement relatif : avec : F F µ s N (3.16) F F = µ d N (3.17) µ d : coecient de frottement dynamique µ s : coecient de frottement statique Ces deux coecients sont déterminés d'une façon empirique. µ d < µ s (3.18) 10

12 3.2.3 La gravitation Newton donna aussi une loi qui relie la force à laquelle est soumise une masse en présence d'une autre masse. La force créée par la masse 2 sur la masse 1 est donnée par l'expression : De la même façon, la masse 1 va exercer une force sur la particule 2 : F 12 = Gm 1m 2 r 12 3 r 12 (3.19) m i : masse de la particule i r 12 : distance entre les particules 1 et 2 F 21 = Gm 1m 2 r 21 3 r 21 (3.20) Le travail Le travail est déni comme : tf W = F d x (3.21) t 0 On peut l'interpréter comme la capacité de réaliser un travail. On associe une énergie à chaque force qui dérive d'un potentiel. On aura donc l'énergie potentielle de la gravité : L'énergie potentiel d'un ressort : E = mgh (3.22) Et on associe aussi une énergie à la vitesse, on l'appele énergie cinétique : E = 1 2 mx2 (3.23) E = 1 2 mv2 (3.24) On peut utiliser le theoréme de conservation de l' énergie pour calculer la dynamique d'un sytéme : W = E (3.25) 11

13 3.3 Problèmes Exercice 1 Un objet qui tombe dans l'atmosphére est soumis à la force de la gravité et à une force de frottement avec l'air qui est proportionnelle à la vitesse, avec une constante de proportionalité K. Calculer la vitesse et la position de l'objet en fonction des conditions initiales x 0 et v 0. Calculer la vitesse terminale et tracer les courbes x(t) et v(t). Exercice 2 Un ballon est lancé avec une vitesse initiale v 0, un angle avec l'horizontal de 45, à une hauteur h, et à une distance d'une paroi verticale 2h. A quelle distance de la paroi le ballon va t'il tomber? (quand le ballon arrive à la parois, la composante verticale du ballon change de signe et la composante verticale reste invariante) Exercice 3 Deux balles sont lancées, depuis un bâtiment avec des vitesses, égales en module, mais avec des angles par rapport à l'horizontal dierents α < 0, β > 0. Montrer que les deux balles vont arriver au sol avec la même vitesse et calculer cette vitesse en fonction de la hauteur du bâtiment, et du module initial de la vitesse. Exercice 4 Calculer la hauteur et la vitesse d'un satellite geostationnaire. Utiliser l'expression exacte de la force de gravité. Un satellite geostationnaire reste toujours placé sur le même point de la Terre. Quelle est la vitesse minimale pour mettre en orbite un satellite? Exercice 5 Calculer le mouvement d'un ressort de constante k dans le plan horizontal, avec et sans frottement (de constante µ), et dans le plan vertical. Considérer des conditions initiales genériques, elongation x 0 et vitesse v 0. Exercice 6 Un corps glisse sans frottement sur une pente d'angle α. Calculer la vitesse et la position en fonction du temps en utilisant les équations de Newton et le principe de conservation de l'énergie. Comment le probléme change si on rajoute une force de frottement avec un coecient dynamique µ d? Exercice 7 Une masse m est lié à un plafond par une celle de longueur l. En sachant que la masse décrit un cercle dans le plan horizontal de rayon r à une vitesse constante. Calculer la force que subit la celle et la vitesse de rotation de la masse. Exercice 8 Un corps de masse m est au repos sur une surface sans frottement qui est incliné d'un angle α. La surface subit une accelération constante a vers la droite de façon à ce que le corps reste en equilibre. Calculer l'accelération. Exercice 9 Un virage est incliné d'un angle α et il a un coecient de frottement dynamique µ d. Calculer la vitesse maximale à laquelle une voiture de masse m peut prendre le virage. Quelle serait la vitesse si il n'y avait pas d'inclinaison? Et si il n'y avait pas non plus de frottement? Exercice 10 Une voiture descend une pente inclinée de θ degrés. En plus de la force de frottement avec le sol de coecient dynamique µ d, il y aussi une force de frottement aérodynamique proportionnelle au carré de la vitesse de coecient α. En sachant qu'il part du repos, calculer l'évolution temporelle de la vitesse. (Résoudre explicitement l'intégrale) Exercice 11 12

14 Une masse est liée à un point dans l'espace par une barre rigide. La masse décrit un cercle dans le plan vertical autour du point. Calculer la vitesse minimale nécessaire pour qu'à partir de la position la plus basse, la masse arrive au point le plus haut. Et si la barre n'était pas rigide? Quelle serait l'accéleration maximale subit par la masse dans les deux cas? Exercice 12 Un mobile M décrit une hélice circulaire d'axe Oz, dénie par les équations, en coordonnées cartésiennes : x = R cos θ y = R sin θ z = H 2π θ On posera h = H 2π 1. Le mouvement est déni par la loi θ(t) = ωt (avec ω constant) Déterminer la vitesse V du mobile : on précisera son module et son orientation. Déterminer l'accélération A, en module et direction. En déduire l'expression du rayon de courbure R C de la trajectoire Reprendre la même étude en coordonnées cylindriques. 2. Utiliser encore les coordonnées cylindriques, et la loi θ(t) étant maintenant quelconque Exprimer V et A dans la base ( e r, e θ, e z ) associée aux coordonnées cylindriques, en fonction des données et des dérivéees de θ(t) En introduisant le rayon de courbure R C, montrer que : ( T, N ) étant les vecteurs de base du repére mobile. V = RRC θ T A = RRC θ T + R θ2 N Exercice 13 Un navire N est animé d'un mouvement rectiligne uniforme de vitesse v le long d'une droite D. Un sous-marin immobile S tire une torpille T à l'instant où l'angle ( v, NS) a la valeur α. T étant animée d'un mouvement rectiligne uniforme de vitesse u, quelle doit être la valeur de l'angle de tir θ = ( SN, u ) si l'on veut couler N. Si l'on veut que T atteigne N en un temps minimum, à quel instant, c'est-à-dire pour quelle valeur de α, convient-il de tirer? Calculer la valeur de l'angle de tir θ 0 correspondant. Exercice 14 La Terre décrit autour du Soleil, d'un mouvement uniforme, une orbite assimilée à un cercle de rayon R = 150 millions de kilométres en T = 365 jours. Déterminer par rapport au référentiel lié au Soleil : la vitesse linéaire du centre de la Terre l'accélération du centre de la Terre Exercice 15 Un nageur parti de A, se déplace à la vitesse constante V par rapport à l'eau d'une riviére de largeur d dont les eaux sont animées d'un courant de vitesse constante v (v < V ). 1. Le nageur eectue les trajets aller et retour AA 1 A en un temps t 1 et AA 2 A en un temps t Exprimer le rapport t2 t 1 en fonction du rapport des vitesses v. V 1.2. Sachant que t 2 = 2t 1 = 7 min, déterminer la direction de la vitesse V du nageur qui se déplace à contre courant pour atteindre A (en partant de A 1 ). 2. Le nageur quitte le bord A, au moment où il se trouve à la distance d de l'avant d'un bateau, de largeur l, qui se déplace à la vitesse constante u par rapport à l'eau, en suivant le bord de la riviére dans le sens de A vers A Déterminer la direction et la grandeur de la vitesse absolue minimale du nageur pour ne pas être heurté par le bateau. A.N. l = 20m, d = 98m, u = 19, 8km/h, v = 1, 8km/h Déterminer alors la direction et la grandeur de la vitesse V du nageur par rapport à l'eau. 13

15 Exercice 16 Dans le plan xoy, un cercle de diamétre OA tourne à la vitesse angulaire constante ω autour du point O. On lie à son centre mobile O deux axes rectangulaires O x et O y ; l'axe O x est dirigé suivant OA. A l'instant initial, A est sur Ox. Un point M initialement en A parcourt la circonférence dans le sens positif avec la même vitesse angulaire ω. 1. Calculer directement les composantes des vecteurs vitesse et accélération de M dans le référentiel lié à Oxy (en dérivant les composantes de OM). 2. Calculer les composantes de la vitesse et de l'accélération de M dans son mouvement relatif (c'est-à-dire dans le référentiel lié à O x y z ). 3. Calculer la vitesse d'entraînement, l'accélération d'entraînement et l'accélération complémentaire. Montrer qu'en appliquant les lois de composition des vitesses et des accélérations, on retouve les résultats du 1. Exercice 17 Un disque (d) de rayon r, roule sans glisser autour d'un disque (D) de rayon R. Soit M un point de la périphérie de (d). Exprimer la vitesse et l'accélération de M dans le repére lié à (D). Exercice 18 Un train d'engrenages est constitué par 4 roues dentées (1), (2), (3), (4), de rayons R 1, R 2, R 3, R 4 dont les centres O, A, B, C restent alignés sur le bras OC tournant autour de Oz dans le plan (Ox, Oy) à la vitesse angulaire Ω. La roue dentée (1) étant xe dans le plan (Ox, Oy), calculer les vitesses angulaires ω 2, ω 3, ω 4 des roues (2), (3), (4) par rapport au repére (Ox, Oy). Exercice 19 Un cône plein homogéne de demi-angle au sommet α, de hauteur h et de sommet O, roule sans glisser sur un plan horizontal. On appelle u le vecteur unitaire porté par la génératrice de contact cône-plan, et l'on repére la position du c ne par l'angle θ(t) que fait u avec l'axe Ox d'un référentiel R, appartenant au plan horizontal. 1. Déterminer l'axe instantané de rotation du cône. 2. Déterminer la vitesse dans R du centre C de la base du cône, en fonction de h, α et θ. 3. En déduire l'expression du vecteur rotation instantané du cône dans R. 4. Déterminer la vitesse et l'accélération d'un point de la périphérie de la base du cône au moment ou il co ncide avec le point de contact cône-plan. 14

16 3.4 Corrigés des exercices Exercice 4 D'abord, on résout le probléme en utilisant les lois de Newton. On applique la troisiéme loi de Newton sur les axes paralléles et perpendiculaires à la pente et on obtient les équations : Et, comme la force de frottement est égal à : N = mg cos α (3.26) mg sin α F F = m d2 x dt 2 (3.27) on arrive à l'équation diérentielle suivante : F F = µn (3.28) mg sin α µmg cos α = m d2 x dt 2 (3.29) Sa résolution, en supposant que, à l'instant initiale la vitesse et la position sont nulles, nous donne : Et, si il n'y a pas de frottement, il sut de particulariser le résultat avec µ = 0 x(t) = g 2 (sin α µ cos α) t2 (3.30) x(t) = g 2 sin αt2 (3.31) Et aprés, on utilise le theoréme de conservation de l'énérgie. Les forces présentes sur le corps sont : N : comme elle est perpendiculaire au mouvement, elle ne réalise pas de travail mg : comme il dérive d'un potentiel, il ne réalise pas de travail, mais il faudra tenir compte du potentiel de gravité F F : comme cette force n'est pas conservative, il faudra calculer son travail L'énérgie potentiel gravitationnelle est donné par l'expression : E p = mgh (3.32) où h est la distance verticale à un point de référence, nous prenons comme référence la position originale. Le travail realisé par le frottement est aussi trés facile à calculer parce que la force est constante et paralléle au déplacement : Et il ne faut pas oublier l'énérgie cinétique! W F F = xf x0 F dx = FF x (3.33) Avec tout ça, on peut appliquer le théoréme de conservation de l'énérgie : E C = 1 2 mv2 (3.34) 15

17 E f E 0 = W (3.35) (E p + E C ) f (E p + E C ) 0 = W Dans l'équation antérieur on introduit l'expression des diérents potentiels et du travail réalisé, et, en utilisant la relation issue de la géométrie du probléme : On arrive à l'équation : qui a comme solution : h = sin αx (3.36) ( ) 2 1 dx 2 m mg sin α = µmg cos αx (3.37) dt x = 1 2 g (sin α µ cos α) t2 (3.38) Expression qui est exactement égal au résultat qu'on trouve en utilisant les lois de Newton. Avec ce probléme on veut montrer que les deux démarches sont possibles et équivalentes et que le choix entre une et l'autre dépendra seulement du probléme et de la facilité de résolution. 16

18 Exercice 5 Une fois le dessin et les forces qui interviennent dans le probléme sont bien compris, la résolution est trés simple. On applique l'equilibre de forces sur les axes verticaux et horizontaux : Et, si r << l, on peut dire aussi : mω 2 r = T sin α (3.39) T cos α = mg (3.40) tan α r l Donc, d'abord on peut calculer la tension en utilisant l'équation verticale et aprés la vitesse en utilisant l'équation horizontale : ω = T = mg cos α g tan α r (3.41) (3.42) (3.43) 17

19 Exercice 6 Cet exercicie peut être résolu dans un repére inertiel ou dans un repére non-inertiel. Avec un repére inertiel, les seules forces qui apparaissent sont, le poids et la normale à la surface, on peut appliquer les lois de Newton, mais l'equilibre par rapport à la surface implique que la surface doit accelerer au même ritme que le corps tombe. A = mg sin α (3.44) Dans un repére non-inertiel, il faut imposer la condition que le corps reste en equilibre : F = 0 (3.45) Ou il faudra appliquer une force ctive pour tenir compte du fait que le repére est non-inertiel. Pour calculer cette force, on utilise la relation entre acclérations : Et, si on met cette relation dans la loi de Newton : a NI = a I + A (3.46) on arrive à : F = ma I (3.47) F = ma NI + ma (3.48) C'est à dire, si on veut appliquer la loi de Newton dans un repére inertiel il faut rajouter une force ctive ma. Cette force est de la même nature que la force centrifuge qu'on rajoute dans le mouvement circulaire. En tout cas, le résultat ne change pas : A = mg sin α (3.49) 18

20 Exercice 7 Encore une fois, toute la diculté de l'exercice est dans le bilan de forces. Même si la voiture prend un virage avec une certaine inclinaison, le virage a lieu à l'horizontale, et la force centrifuge sera aussi horizontale. La force de frottement s'oppose toujours au mouvement. En conséquence, quand la voiture veut se déplacer vers l'extérieur, la force de forttement sera dirigiée vers l'intérieur. En faisant le bilan de forces sur les axes paralléle et perpendiculaire au plan on arrive à : mg sin α m v2 cos α + µn = 0 (3.50) R mg cos α + m v2 sin α N = 0 (3.51) R Les seules inconnues du sytéme sont N et v. Si on résout le probléme on arrive à : gr (sin α + µ cos α) v = cos α µ sin α si il n'y a pas d'inclinaison α = 0 : (3.52) Et si il n'a pas de frottement µ = 0 v = grµ (3.53) v = gr tan α (3.54) 19

21 Exercice 8 La diculté de ce probléme est surtout mathématique. Le bilan de forces est facile à faire : En sachant que la force de frottement est proportionnelle à la normale : N mg cos θ = 0 (3.55) mg sin θ α F F = m dv dt (3.56) on trouve l'équation diérentielle suivante : F F = µmg cos θ (3.57) (g sin θ µg cos θ) α m v2 = dv dt Pour la résoudre, d'abord il faut l'écrire sous la forme : (3.58) dt = dv (g sin θ µg cos θ) α m v2 (3.59) Et aprés faire le changement de variable suivant : α z = m (g sin θ µg cos θ) v (3.60) On convertit l'intégrale à : Cette intégrale est immédiate et donne un atan : ( ) m t = α atan α m (g sin θ µg cos θ) v t = m z(t) dz α z(t 0) 1 z 2 (3.61) (3.62) 20

22 Exercice 9 La meilleure méthode pour résoudre le probléme est l'utilisation du théoréme de conservation de l'énergie parce que il n'y a pas de forces non-conservatives qui agissent sur la masse. Les deux forces qui sont : T : la tension de la barre. Elle est toujours perpendiculaire au déplacement, donc elle ne réalise pas de travail mg : le poids qui provient d'un potentiel. On utilisera l'énergie gravitationnelle. On peut appliquer le principe de conservation de l'énergie entre le point de départ, le plus bas, et le point le plus haut, où on veut arriver : 1 2 mv2 i = mgh mv2 f (3.63) Si la barre est rigide, la vitesse minimale au départ correspond à une vitesse nale nulle : v i = 4gR (3.64) Par contre, si la barre est non-rigide il faut imposer la condition, pour n'importe quel moment, que la tension T soit positive. Dans la moitié supérieure du cercle, le poids contribue avec une composante negative à la tension, et c'est seulement la force centrifuge qui a une composante positive sur la tension. Le point le plus critique est l'extrême supérieur, et c'est là qu'il faut imposer que la condition soit positive : Donc, T mg + m v2 f R (3.65) v f gr (3.66) Et, comme on cherche la vitesse minimale de départ, on veut aussi la vitesse minimale à la n : v f = gr (3.67) Et, avec la nouvelle vitesse nale, on peut calculer la nouvelle vitesse initiale : v i = 4gR (3.68) 21

23 Chapitre 4 La mécanique des solides rigides 4.1 La cinématique des solides rigides On dénit un solide rigide comme un ensemble de particules qui gardent les distances entre elles Centre de masses On dénit le centre de masses comme : X CM = x dm dm (4.1) On va noter : M T = dm (4.2) Pour un systéme discret de particules la formule devient : x i x i m i CM = i m i Et en dérivant ces expressions on trouve aussi la vitesse et l'accélération du centre de masses : (4.3) v CM = v dm dm (4.4) a CM = Et on peut appliquer aussi le lois de Newton au systéme : a dm dm (4.5) F ext = d dt (M T v CM ) (4.6) On peut annoncer la troisiéme loi de Newton en disant que le centre de masse d'un systéme bouge comme une particule avec une masse égale à la somme de toutes les masses du systéme, sous l'action des forces externes au systéme. De la même façon, en absence de forces exterieures la quantité de mouvement du systéme est conservé Energie cinétique L'énergie cinétique d'un systéme est dénie de la façon suivante : E c = 1 v (m) 2 dm (4.7) 2 V 22

24 4.1.3 Rotation Pour décrire le mouvement d'un solide rigide, il ne sut pas de connaître la position d'un des points du solide, il faut aussi connaître son orientation dans l'espace. La cinématique étudie la variation de l'orientation du solide. La rotation d'un solide rigide a toujours lieu autour d'un axe privilégié qui est l'axe de rotation. L'axe de rotation n'est pas forcement constant, il peut varier au cours du temps. La magnitude qui décrit la rotation est la vitesse de rotation : ω = dω dt où Ω est un angle qui décrit l'orientation du solide est ω est la vitesse angulaire On dénit aussi l'accélération angulaire comme le taux de variation de la vitesse angulaire : (4.8) α = dω (4.9) dt La dynamique, qui va s'occuper d'étudier les forces qui provoquent ces changements de vitesse, utilise une nouvelle quantité, appelée moment d'inertie, et qui est dénie comme : I = r 2 dm (4.10) V r est la distance entre le diérentiel de masse et un axe (l'axe de rotation), donc le moment d'inertie est déni par rapport à une distribution de masses et par rapport à un axe aussi. La masse aura des moments d'inertie diérents par rapport à des axes dierents. La relation entre le moment d'inertie de la même masse par rapport à l'axe qui passe par le centre de masses et un axe paralléle situé à une distance h est : L'équivalent de la deuxiéme équation de Newton pour la rotation est : Equilibre statique I = Mh 2 + I CM (4.11) M ext = Iα (4.12) Un cas particulier de la cinématique est la statique, qui s'occupe d'étudier les corps qui sont en repos ; lorsque la vitesse de tous les points du corps est nulle. Pour un solide rigide, il y a deux conditions d'equilibre : F ext = 0 (4.13) M ext = 0 23

25 4.2 Problèmes Exercice 1 Calculer les moments d'inertie suivants : D'une sphère massive par rapport à un axe qui passe par son centre D'une barre cylindrique massive par rapport à un axe perpendiculaire à l'axe du cylindre qui passe par le centre de la barre D'une barre cylindrique massive par rapport à un axe parallele à l'axe du cylindre Exercice 2 Un corps de masse m 1 est lié à une corde de masse négligeable qui tourne autour d'un disque de rayon r et de masse m 2. En négligeant toutes les frictions, calculer la tension de la corde et l'acceleration du corps. Exercice 3 Deux objets sont liés autour de deux roues de rayons r 1 et r 2 avec le même axe. Calculer la relation entre les masses des objets qui sont en équilibre. Calculer le mouvement résultant pour un ensemble de masses quelconques m 1 et m 2. Exercice 4 Les calottes polaires de Mars contiennent une quantité de glace M pendant l'hiver. Pendant l'été cette quantité de glace fond et se réparti de maniére homogéne sur toute la surface de la planéte. Calculer la variation de la longueur du jour résultante. Exercice 5 Une barre de longueur l et de masse m est accrochée à un plafond par une extrémité. On la laisse en chute libre en partant d'un angle θ 0 avec la verticale. Démontrer que, quand l'angle avec la verticale est θ, le plafond subit une force F r sur l'axe de la barre et une force F t perpendiculaire à l'axe de la barre de magnitude : F r = 1 2 mg (5 cos θ 3 cos θ 0) (4.14) F t = 1 mg sin θ 2 Exercice 6 Pour localiser le centre de gravité d'une personne on fait l'expérience suivante. On place une personne de masse m allongée sur une table de longueur l. La table est appuyé sur les deux côtés et sur un côté on y a mit un dynamométre qui mesure une force N. Quelle est la position du centre de gravité de la personne? Exercice 7 Une boîte carrée de côté l et de masse uniforme est placée à l'extrémité d'un plan incliné avec un angle d'inclinaison variable θ. En sachant que la force de frottement est assez grande pour empécher le glissement de la boîte, calculer l'angle θ max auquel on peut arriver sans faire tomber la boîte. Exercice 8 Un cylindre de masse homogéne m et rayon R repose sur une surface horizontale et sur une marche de hauteur h (h < R). Calculer la force F qu'il faut appliquer sur l'axe pour faire monter la marche au cylindre. 24

26 Exercice 9 Une porte de poids 200N est soutenue par deux charniéres (une au plus haut de la porte, et l'autre tout un bas) et par un câble, comme montre la gure. 1. Quelle est la force du cable en sachant que la charniére supérieure n'a aucune composante horizontale? 2. Quelle est la composante horizontale de la charniére inférieure? 3. Quelles sont les forces verticales sur les deux charniéres? 25

27 Chapitre 5 La mécanique des uides 5.1 Dénitions Les uides Un uide est une substance ou un milieu continu qui se déforme d'une façon continue quand on lui applique une force de cisaillement. On peut aussi dénir un uide comme une substance qui, dû à sa faible cohésion moléculaire, est amorphe et adopte la forme du récipient qui le contient. Le mouvement des gaz et des liquides peut s'étudier en utilisant les équations de la mécanique des uides si on fait la hypothèse de milieu continu. Cette hypothèses exprime le fait que la densité des molécules du uide est assez grande comme pour appliquer les lois de la statistique sur l'ensemble et supposer que les propriétés du uide comme la densité, la pression ou la vitesse sont continues. La validité de cette hypothèse vient donné par le numéro de Knudsen. Le numéro de Knudsen est une magnitude sans dimensions qui exprime le rapport entre la quantité de molécules et leur mobilité. Quand le numéro de Knudsen est très faible par rapport à un, la hypothèse de milieu continu est valable et on peut étudier le gaz ou le liquide comme un uide. Mais la mécanique des uides ne s'intéresse pas seulement aux gaz et aux liquides, il y a d'autres cas où les équations sont aussi valables. Par exemple, le sable, ou les amas globulaires (ensemble de milliers d'étoiles connés dans une "petite" région) La masse volumique La masse volumique est déni comme le coecient entre la masse et le volume. ρ = m V (5.1) Il n'y a pas d'unités spéciques pour exprimer la masse volumique, on utilise donc le coecient Kg m La pression La pression est une magnitude qui se dénit comme le quotient de la force perpendiculaire à la surface sur la quelle elle s'applique, sur l'aire de cette surface. ρ = F S (5.2) L'unité internationale de pression est le Pascal, qui est la pression résultante d'appliquer un Newton sur une surface d'un mètre carré. P a = N m On utilise aussi d'autres unités pour mesurer la pression. Les plus importantes sont le bar (bar) et l'atomsphère (atm). 2 Les relations entre elles sont les suivantes : 1bar = 10 5 P a = 0.987atm Le débit Le débit de masse se dénit comme le quotient de masse sur un temps. On le simbolise avec la lettre q : q m = m t (5.3) 26

28 Il n'y a pas des unités spéciques pour le débit, mais si on veut garder les unités internationales de masse et de volume il s'exprime en Kgs 1. Le débit de masse s'utilise pour mesurer le débit des canalisations. Dans le cas d'un écoulement stationnaire, il peut être calculé aussi comme le produit de la vitesse de l'écoulement, la section perpendiculaire à cette vitesse, et la densité : q m = ρv.s (5.4) Parfois on utilise aussi le débit en volume (q v ). Il est dénit comme le quotient d'un volume sur un temps. La relation avec le débit de masse est la suivante : Fluide compressible et incompressible q m = ρq v (5.5) On parle de uide incompressible quand on suppose sa masse volumique constante. D'un point de vue theorique les seuls uides incompressibles son les liquides. Dans la pratique, on considère aussi l'air comme étant incompressible á faibles vitesses. Un uid compressible a une masse volumique qui varie en fonction de la temperature et la pression. Typiquement, sont le gaz. Leur dynamique est beaucoup plus compllqué car il faut tenir compte des variations de pression. 5.2 Statique des uides Le principe d'équilibre statique dans un uide Un uide est en equilibre quand, sur n'importe quel point du uide, la somme de forces externes au point (pressions) et des forces internes (poids) est égal a zéro. En prenant l'hauteur positive vers le haut, la pression dans un liquide un equilibre est donné par la formule suivante : p = p 0 ρgz (5.6) où z est la hauteur. Par example, si on connaît la pression á la surface de l'ocean (pression atmosphèrique), la pression a une profondeur de hm. est égal á : p 0 ρg( h) où on met la profondeur avec un signe negative parce que c'est vers le bas Le principe de Pascal Comme application particulière du principe d'équilibre statique, on peut déduire le principe de Pascal : "Toute pression appliquée à un liquide conné dans un récipient, est transmise sans pertes sur tous les points du liquide et sur les parois du réservoir qui le contient." Pascal a découvert cette application au XVIème siècle et elle a été très utilisé par la conception d'engins. L'utilisation suivante est bien connue : Le mécanisme montré, sert à multiplier la force exercé à condition de diminuer le longitude parcouru par le cylindre. La pression exercé sur le premier cylindre est égal à : 27

29 P 1 = F 1 S 1 (5.7) et, par le principe de Pascal, cette pression est transmise sur l'autre cylindre. Donc, la pression exercé par l'autre cylindre sera égale à P 2 = P 1, mais la force résultante, sera proportionnelle au rapport de surface : F 2 = F 1 S 2 S 1 (5.8) Et, si la surface S 2 est plus grande que la surface S 1, la force résultante sera plus grande. Le prix à payer est que le déplacement du cylindre sera plus court aussi. En appliquant la conservation de la masse, et si on supposer que le liquide et incompressible, le volume ne va pas diminuer, donc le volume parcouru par le premier cylindre doit être égal au volume parcouru par le deuxième. En imposant cette condition on trouve facilement la relation entre les deux distances L 1, L 2 : Le principe d'archimède L 2 = L 1 S 1 S 2 (5.9) "Tout corps plongé dans un uide, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et égale au poids du volume de uide déplacé ; cette force est appelée Ç poussée d'archimède." Cette force résulte de la variation de la pression du uide avec la profondeur : la pression augmente lorsque l'on descend (eet de la gravité sur le uide), donc la pression sur la face du bas d'un objet immergé est supérieure à la pression sur la face du haut, d'où une force globalement verticale dirigée vers le haut. Même si le calcul suivant n'est pas une démonstration rigoureuse, elle peut servir à comprendre le fondement physique de la poussé d'archimède. Imaginons un cube de côté L immergé dans un uide de densité ρ. Gr ce à l'équation d'équilibre statique d'un uide, on sait que la pression varie linéairement avec la profondeur. Sur l'axe vertical, ils vont agir seulement deux forces dues à la pression. Du côté superieur, la force sera égal à la surface (L 2 ) fois la pression (p 0 + ρgz 0 ), et du côté inferieur, la force sera égal aussi à la surface (L 2 ) fois la pression inferieur (p 0 + ρg(z 0 + L)), mais dans la direction opposée. Quand on fait la diérence entre les duex, la force résultante est : tel comme est prédit par le principe d'archimède F = ρgll 2 = ρgv (5.10) 5.3 Dynamique des uides incompressibles Les équations de la dynamique des uides, dans sa forme plus générale, sont très complexes. On va se limiter à étudier seulement le cas des uides incompressibles. Comme leur densité reste constante, leur comportement dynamique est beaucoup plus facile à modéliser La continuité de la masse En régime stationnaire, le débit de masse est le même à travers toutes les sections droites d'un même tube de courant. Par example, si on a un débit constant dans un tube avec des aires d'entrée (S 1 ) et de sortie (S 2 ) diérentes, les vitesses d'entrée (v 1 ) et de sortie seront diérentes aussi. Elles sont reliés para la conservation de masse. Comme on sait que : On peut facilment deduire que : q 1 = q 2 (5.11) S 1.v 1 = S 2.v 2 (5.12) 28

30 5.3.2 L'équation de Bernoulli L'équation de Bernoulli est la simplication de l'équation de conservation d'énergie pour le cas d'un uide incompressible en regime stationnaire sans frottement. Elle a la forme suivante : ρ v2 + ρgz + p = cte (5.13) 2 où v est la vitesse moyenne de l'écoulement et z est une hauteur moyenne par rapport à une référence. Si on introduit des pompes dans le système, l'expression n'est plus valables, il faudrait rajouter les termes correspondants. Pour convertir la puissance (P) introduite ou extraite du système en pression, il faut la diviser par le débit en volume. On retrouve l'expression suivante : ρ v ρgz 1 + p 1 = ρ v ρgz 2 + p 2 P q v (5.14) Le signe plus ou moins va dépendre de si la puissance est introduite (-) ou extraite (+) du système Les pompes Les pompes sont de mecanismes qui servent á introduire ou a extraire de l'énergie d'un écoulement. D'un point de vue, mathematique, pour les introduire il faut rajouter des variations dans l'équation de Bernoulli p P. L'équation de Bernoulli modié sera : ρ v ρgz 1 + p 1 ± p P = ρ v ρgz 2 + p 2 (5.15) où le signe sera positif si la pompe introduite énergie dans le système, et negatif si la pompe extrait énergie de l'écoulement, et : p P = P q v (5.16) où P est la puissance de la pompe. On dénit le rendement d'une pompe η comme le rapport entre l'énergie consommé et l'énergie fournie : η = P fournie P consomm (5.17) La qualité d'une pompe vient déterminé par son rendement. Plus grand est le rendement, meilleure est la pompe. Un rendement typique d'une pompe peut osciller entre 0, 5 et 0, La viscosité La viscosité est une propriété des uides qui désigne leur capacité à s'écouler. Lorsque la viscosité augmente, la capacité du uide à s'écouler diminue. La viscosité tend à diminuer lorsque la température augmente. Par contre, on pourrait croire que la viscosité d'un uide s'accroît avec sa densité mais ce n'est pas nécessairement le cas. Il existe deux coecients pour mesurer la viscosité : η : viscosité dynamique µ = η ρ : viscosité cinématique Le nombre de Reynolds Le nombre de Reynolds est un coecient adimmensionel qui donne le type d'écoulement. Il a été déni en 1886 par Reynolds, qui s'est apperçu que le type d'écoulement varié en fonction de ce paramètre. Il est dénit de la façon suivante : Re = ρvd (5.18) µ où ρ est la de masse volumique du liquide, v la vitesse de l'écoulement, D le diamètre de l'écoulement, et µ est un coecient de la viscosité. Il y a deux types d'écoulements : écoulement laminaire : il a lieu quand le nombre de Reynolds est faible (Re < 1000). Dans ce type d'écoulement, la viscosité joue un rôle très important, de façon a que les mouvements relatifs entre les diérents couches de uide sont peu importants. Le mouvement du uide est donc très ordonné. 29