Agrandissement et réduction dans l espace

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1 Agrandissement et réduction dans l espace Exercice 1 : En travaux pratiques de chimie, les élèves utilisent des récipients, appelés erlenmeyers, comme celui schématisé ci-contre. Le récipient est rempli d'eau jusqu'au niveau maximum indiqué sur le schéma par une flèche. On note : C 1 le grand cône de sommet S et de base le disque de centre O et de rayon OB. C 2 le petit cône de sommet S et de base le disque de centre O' et de rayon O'B'. On donne SO = 12 cm et OB = 4 cm (la figure n'est pas à l'échelle). a) Calculer la valeur exacte du volume du cône C 1. b) Le cône C 2 est une réduction du cône C 1 (on donne SO' = 3 cm). Quel est le coefficient de cette réduction? c) Prouver que la valeur exacte du volume du cône C 2 est égale à π cm³. d) En déduire que la valeur exacte du volume d'eau contenue dans le récipient est 63 π cm³. e) Donner la valeur approchée de ce volume d'eau arrondie au cm³ près. f) Ce volume d'eau est-il supérieur à 0,2 L? Exercice 2 : Une société propose sur le marché trois formats de cônes glacés : le grand, d'un volume de 720 ml, le moyen et le petit. a) Le cône moyen est une réduction du grand dans le rapport de 75 %. Calculer son volume. b) Le petit cône est une réduction du grand cône dans le rapport de 50 %. Marie affirme : «Le volume du petit cône est deux fois plus petit que celui du moyen». Qu'en pensez-vous?

2 Exercice 3 : Cette photo représente une maquette d'un avion de ligne très grosporteur, à l'échelle 1/125. a) La longueur de l'avion est 73 m. Quelle est celle de la maquette? b) L'aire d'une aile de la maquette est 540,8 cm². Quelle est la surface d'une aile (en m²) de l'avion? c) Le réservoir de l'avion contient L. Quelle est la capacité en cm³ de celui de la maquette? Exercice 4 : Maths et Arts La statue de la Liberté à New York, d'une hauteur (hors socle) de 46 m, a été conçue par le sculpteur français A. Bartholdi ( ). Une œuvre d'essai est située sur l'île aux Cygnes, à Paris ; sa hauteur est 11,50 m. a) Quel est le rapport de réduction? b) La masse d'une statue est liée au volume des matériaux utilisés. Pour la statue de la Liberté new yorkaise, il a fallu 225 tonnes de matériaux (cuivre et acier en particulier), pour la réplique française, 14 tonnes. La statue française est-elle une parfaite réduction de sa grande sœur new yorkaise? Exercice 5 : a) On effectue un agrandissement de rapport 3 d'un cube. Par quel nombre est multiplié(e) la longueur d'une de ses arêtes? l'aire d'une de ses faces? son volume? b) On effectue une réduction de rapport 1/4 d'un cône de révolution. Par quel nombre est multiplié(e) sa hauteur? l'aire de sa base? son volume? son aire totale? c) On considère un pavé droit d'aire totale 148 cm² et de volume 120 cm³. On effectue une réduction de rapport 1/2 de ce pavé droit. Quelle est l'aire totale du solide réduit? Quel est son volume? Exercice 6 : Le volume d'un cube est 408 cm³. On réduit ce cube dans le rapport 1/2. Quel est le volume de ce cube réduit?

3 Exercice 7 : Le volume d'une boule lyonnaise est environ 378 cm³. Son diamètre est le triple de celui du «but». Calculer une valeur approchée du volume du but. Problème 8 : Partie A Un cocktail sans alcool est préparé avec 8 cl de jus d'abricot, 6 cl de jus d'ananas, 2 cl de jus de citron vert et 2cL de sirop de cerise. a) Quelle est la proportion de jus d'abricot dans ce cocktail? b) Pour préparer un pichet contenant 2,7 litres de ce cocktail, quelle quantité de jus d'abricot faut-il prévoir? Partie B Lors d'une fête, une personne sert ce cocktail dans des verres qui ont la forme d'un cône de révolution. Le bord du verre est un cercle de rayon OC avec OC = 5,9 cm. Ce cercle est situé dans un plan horizontal. La droite (OS), axe du cône, est verticale et OS = 6,8 cm. La figure donnée n'est pas réalisée à l'échelle. c) Calculer le volume de ce verre arrondi au centimètre cube près. d) En déduire que la contenance de ce verre est d'environ 25 cl. d) Le serveur remplit les verres aux quatre cinquièmes de leur hauteur SO. Le liquide occupe alors un cône de hauteur SO' dont la base est le disque de rayon O'C'. On considère que ce cône est une réduction du cône formé par le verre. Calculer le volume de cocktail contenu dans chaque verre. On donnera le résultat au centilitre près. e) Le graphique ci-contre représente les variations du volume de cocktail contenu dans le verre en fonction de la hauteur de liquide. Le volume est-il proportionnel à la hauteur de liquide? f) Déterminer le volume de cocktail lorsque la hauteur de liquide atteint 6 cm. g) Déterminer la hauteur de liquide lorsque le volume servi est 10 cl.

4 Exercice 9 : Maths et Architecture La pyramide du Louvre est une pyramide régulière SABCD à base carrée, de 35 m de côté. Sa hauteur SH est égale à 22 m. a) Faire une figure en perspective de la pyramide. b) Calculer la valeur exacte du volume V de cette pyramide, puis donner sa valeur arrondie au mètre cube. c) Dans un parc de loisirs, on souhaite construire une réduction de cette pyramide dont la base aurait 7 m de côté. Calculer la hauteur du modèle réduit. d) Calculer le volume V' du modèle réduit. Exercice 10 : d'après DNB Un silo à grain a la forme d'un cône surmonté d'un cylindre de même axe. A, I, O et S sont des points de cet axe. On donne SA = 1,60 m, AI = 2,40 m et AB = 1,20 m. a) Montrer que le volume du cône, arrondi au millième, est de 2,413 m³. b) Sachant que le volume du cylindre, arrondi au millième, est de 10,857 m³, donner la contenance totale du silo en litres. c) Actuellement, le silo à grains est rempli jusqu'à une hauteur SO = 1,20 m. Le volume de grains prend ainsi la forme d'un petit cône de sommet S et de hauteur [SO]. On admet que ce petit cône est une réduction du grand cône de sommet s et de hauteur [SA]. Calculer le coefficient de réduction. d) En déduire le volume de grains contenu dans le silo. On exprimera le résultat en mètres cubes et on en donnera la valeur arrondie au millième.

5 Exercice 11 : ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 9 cm et AC = 6 cm. D est le point du segment [AC] tel que AD = 2 cm. E est le point du segment [AB] tel que (ED)//(BC). a) Construire la figure en vraie grandeur. b) Calculer la valeur exacte de BC puis donner sa valeur arrondie au centième. c) Calculer AE. d) En tournant autour de la droite (AB), le triangle ABC engendre un cône (C1). AB est sa hauteur et AC est le rayon de sa base. Calculer la valeur exacte de l'aire de la base. e) Calculer la valeur exacte du volume V du cône (C1), puis donner sa valeur arrondie au millimètre cube. f) En tournant autour de la droite (AB), le triangle AED engendre un cône (C2). AE est la hauteur de ce cône, AD est le rayon de sa base. Le cône (C2) est une réduction de (C1). Calculer le coefficient de réduction. g) Exprimer le volume du cône (C2) en fonction de V puis en déduire sa valeur exacte.