Modèles matriciels pour la gestion de population naturelle structurée en taille

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1 Modèles matriciels pour la gestion de population naturelle structurée en taille Application à la gestion forestière en Afrique centrale Nicolas Picard, Sylvie Gourlet-Fleury, Frédéric Mortier, Vivien Rossi, Guillaume Cornu, Pierrette Chagneau, CIRAD, UPR 37 et UPR 39 Colloque INRA Modélisation pour les ressources naturelles Montpellier, juin 2008

2 Modèles matriciels pour la gestion forestière 1 Contexte 2 Le taux de reconstitution du stock 3 Estimateurs des taux vitaux 4 Autres questions et perspectives

3 Le bois, une ressource naturelle Exemple du Gabon 60 % des forêts sous concession Secteur forestier : 2 e source de devises après le pétrole 2 e employeur après l État 3

4 Gestion durable des forêts d Afrique centrale Renouveau des codes forestiers des pays d Afrique centrale République Centrafricaine : 1990 Cameroun : 1994 Guinée Équatoriale : 1997 Congo : 2000 Gabon : 2001 République Démocratique du Congo : 2002 Z le plan d aménagement est devenu légalement obligatoire

5 Paramètres de l aménagement forestier 1 DME : seuil (défini par la loi) au-delà duquel un arbre est exploitable 2 DMA : seuil (défini par le plan d aménagement) au-delà duquel les arbres seront exploités 3 Intensité d exploitation : pourcentage d arbres exploités au-delà du DMA 4 Rotation : intervalle de temps entre deux exploitations successives

6 Comment se passe l exploitation? Effectif Stock exploitable DME DMA Diamètre Temps Taux de reconstitution du stock = stock à la fin d un cycle stock au début d un cycle

7 Comment se passe l exploitation? Effectif Stock exploitable DME DMA Diamètre Temps Taux de reconstitution du stock = stock à la fin d un cycle stock au début d un cycle

8 Comment se passe l exploitation? Effectif Stock exploitable DME DMA Diamètre Temps Taux de reconstitution du stock = stock à la fin d un cycle stock au début d un cycle

9 Comment se passe l exploitation? Effectif Stock exploitable DME DMA Diamètre Temps Taux de reconstitution du stock = stock à la fin d un cycle stock au début d un cycle

10 Comment se passe l exploitation? Effectif Stock exploitable DME DMA Diamètre Temps Taux de reconstitution du stock = stock à la fin d un cycle stock au début d un cycle

11 Comment se passe l exploitation? Effectif Stock exploitable DME DMA Diamètre Temps Taux de reconstitution du stock = stock à la fin d un cycle stock au début d un cycle

12 Comment se passe l exploitation? Effectif Stock exploitable DME DMA Diamètre Temps Taux de reconstitution du stock = stock à la fin d un cycle stock au début d un cycle

13 Comment se passe l exploitation? Effectif Stock exploitable DME DMA Diamètre Temps Taux de reconstitution du stock = stock à la fin d un cycle stock au début d un cycle

14 Comment se passe l exploitation? Effectif Stock exploitable DME DMA Diamètre Temps Taux de reconstitution du stock = stock à la fin d un cycle stock au début d un cycle

15 Comment se passe l exploitation? Effectif Stock exploitable DME DMA Diamètre Temps Taux de reconstitution du stock = stock à la fin d un cycle stock au début d un cycle

16 Comment prédire le taux de reconstitution du stock? Il est calculé séparément pour chaque essence commerciale Il dépend de la distribution diamétrique initiale et de la dynamique future Z Modèle de dynamique forestière (aussi simpliste soit-il) Estimation des paramètres démographiques taux de croissance taux de mortalité taux de recrutement pour chaque essence commerciale

17 Critères et indicateurs de gestion durable Indicateur La rotation et la possibilité sont clairement établies et sont compatibles avec une production soutenue. Sous-indicateur Les calculs de possibilité et de rotation sont vérifiables à partir des documents d aménagement ou de gestion Sous-indicateur La rotation est basée sur les rythmes de croissance, les diamètres minima d exploitabilité et les données issues de l inventaire d aménagement. Sous-indicateur Le plan d aménagement établit des perspectives au-delà de la première rotation.

18 Question que se pose l aménagiste et question que nous nous posons Le taux de reconstitution du stock (noté ρ) est-il inférieur ou supérieur à un seuil donné (considéré comme acceptable)? ρ > 1 : prélèvement inférieur à la possibilité ρ < 1 : prélèvement supérieur à la possibilité ρ = 1 : prélèvement égal à la possibilité Dans les plans d aménagement actuels, ρ est un chiffre tout nu Z Quel est l intervalle de confiance autour de cette prédiction? ρ = 0.60 ± 0.05 n a pas la même signification que ρ = 0.60 ± 0.50 Combien d arbres mesurer pour estimer ρ avec une précision donnée?

19 Modèles matriciels pour la gestion forestière 1 Contexte 2 Le taux de reconstitution du stock 3 Estimateurs des taux vitaux 4 Autres questions et perspectives

20 Formule de la reconstitution du stock Aménagement Pilote Intégré de Dimako Effectif ρ 1 = DME at k<dme N 0 k DME N k (0) Diamètre N k (0) Avant exploitation DME DMA (1 m) T a : vitesse de croissance en diamètre T : durée de rotation m : taux de mortalité N k (0) : effectif dans la classe de diamètre k au temps initial Z Formule «légale» Non valable au-delà de la première rotation (pas de recrutement)

21 Formule de la reconstitution du stock Aménagement Pilote Intégré de Dimako Effectif ρ 1 = DME at k<dme N 0 + k DME N k (0) Diamètre N k (0) Après exploitation DME DMA (1 m) T a : vitesse de croissance en diamètre T : durée de rotation m : taux de mortalité N k (0) : effectif dans la classe de diamètre k au temps initial Z Formule «légale» Non valable au-delà de la première rotation (pas de recrutement)

22 Formule de la reconstitution du stock Aménagement Pilote Intégré de Dimako Effectif ρ 1 = DME at k<dme N 0 + DMA 4a k DME N k (0) Diamètre N k (0) Pas de temps 0 DME DMA (1 m) T a : vitesse de croissance en diamètre T : durée de rotation m : taux de mortalité N k (0) : effectif dans la classe de diamètre k au temps initial Z Formule «légale» Non valable au-delà de la première rotation (pas de recrutement)

23 Formule de la reconstitution du stock Aménagement Pilote Intégré de Dimako Effectif ρ 1 = DME at k<dme k DME N 1 + DMA 3a N k (0) Diamètre N k (0) Pas de temps 1 DME DMA (1 m) T a : vitesse de croissance en diamètre T : durée de rotation m : taux de mortalité N k (0) : effectif dans la classe de diamètre k au temps initial Z Formule «légale» Non valable au-delà de la première rotation (pas de recrutement)

24 Formule de la reconstitution du stock Aménagement Pilote Intégré de Dimako Effectif ρ 1 = DME at k<dme k DME N k (0) Diamètre N k (0) Pas de temps 2 N 2 + DMA 2a DME DMA (1 m) T a : vitesse de croissance en diamètre T : durée de rotation m : taux de mortalité N k (0) : effectif dans la classe de diamètre k au temps initial Z Formule «légale» Non valable au-delà de la première rotation (pas de recrutement)

25 Formule de la reconstitution du stock Aménagement Pilote Intégré de Dimako Effectif ρ 1 = DME at k<dme k DME N k (0) Diamètre N k (0) Pas de temps 3 N 3 + DMA 1a DME DMA (1 m) T a : vitesse de croissance en diamètre T : durée de rotation m : taux de mortalité N k (0) : effectif dans la classe de diamètre k au temps initial Z Formule «légale» Non valable au-delà de la première rotation (pas de recrutement)

26 Formule de la reconstitution du stock Aménagement Pilote Intégré de Dimako Effectif ρ 1 = DME at k<dme k DME N k (0) Diamètre N k (0) Pas de temps 4 N 4 + DMA 0a DME DMA (1 m) T a : vitesse de croissance en diamètre T : durée de rotation m : taux de mortalité N k (0) : effectif dans la classe de diamètre k au temps initial Z Formule «légale» Non valable au-delà de la première rotation (pas de recrutement)

27 La formule de l API Dimako correspond à un modèle de Leslie Découpage en classes de diamètre de même largeur a 1 an La formule peut être réécrite : ρ 1 = I L T Y N(0) I N(0) avec : I : vecteur d appartenance à une classe supérieure au DME Y : matrice diagonale, de diagonale 1 I L : matrice de Leslie 0 0 L = 1 m m 0

28 Plus généralement : modèle d Usher On remplace simplement la matrice de Leslie par une matrice de Usher : avec U = ρ 1 = I U T Y N(0) I N(0) q 1 + f f... f p 1 q p K 1 q K Modèle de Usher : outil très classique utilisé en foresterie Englobe le modèle de Leslie comme cas particulier

29 Au-delà de la première rotation... Le modèle de Usher a l avantage de prendre en compte le recrutement Z vision à plus long terme que la 1 ère rotation Pour la k e rotation : ρ k = Taux asymptotique : I (U T Y) k N(0) I (U T Y) k 1 N(0) avec ρ = lim k ρ k = max{η : det(a η1) = 0} A = U T Y

30 Réécriture de la matrice de Usher U = PS + R P = S = avec : 1 p 1 0 p 1 1 p p K 1 1 m m K R = f... f p i p i = 1 m i

31 Définition des taux vitaux Taux vitaux : θ = (p 1,..., p K 1, m 1,..., m K, f) On identifie ρ k à une fonction d argument θ : ρ k : (R + ) 2K R + θ ρ k (θ)

32 Quelle variabilité prend-on en compte? Variabilité démographique Variabilité environnementale (temps ou espace) Variabilité d échantillonnage : Les taux vitaux θ sont estimés à partir d observations L estimateur ˆθ de θ est un vecteur aléatoire dont la loi dépend de la loi des observations Par immersion, ˆρ k = ρ k (ˆθ) est un estimateur de ρ k Z Intervalle de confiance de ˆρk

33 Résultats asymptotiques : maximum de vraisemblance Si ˆθ est l estimateur du maximum de vraisemblance de θ alors ρ k (ˆθ) est l estimateur du maximum de vraisemblance de ρ k δ-méthode : n (ˆρk ρ k (θ) ) L N (0, σ 2 ) avec σ 2 = (D θ ρ k ) I(θ) 1 (D θ ρ k ) D θ ρ k : différentielle en θ de ρ k I(θ) : matrice d information de Fisher de ˆθ

34 Résultats asymptotiques : maximum de vraisemblance 1 er exemple (Chagneau, 2006) Taux de reconstitution du stock à l issue de la première rotation ρ 1 Observations discrètes : X = ( C(t), C(t + 1) ) ou (0, 1) ou ( C(t), ) avec C(t) = classe de diamètre au temps t Loi des observations : Pr[X = (i, i)] = (1 f )p i d i Pr[X = (i, i + 1)] = (1 f )q i+1 d i Pr[X = (i, )] = (1 f )(1 p i q i+1 )d i Pr[X = (0, 1)] = f avec f = f/(1 + f)

35 Taille d échantillon n Contexte Taux Estimateur Autres Résultats asymptotiques : maximum de vraisemblance 1 er exemple (suite) Estimateur du maximum de vraisemblance de θ estimateur par proportion Matrice d information de Fisher de ˆθ : calculée par Zetlaoui (2006) Différentielle de ρ 1 par rapport à θ : calculée par Chagneau (2006) Vitesse de convergence vers la variance asymptotique : Vouacapoua americana Eperua falcata Oxandra asbeckii n Var(ρ^1)

36 Résultats asymptotiques : maximum de vraisemblance 2 e exemple (Zetlaoui et al., 2006) Valeur propre dominante λ d une matrice de Usher Z taux asymptotique de reconstitution du stock ρ Observations discrètes Loi des observations, estimateur de θ, matrice d information de Fisher : comme précédemment Calcul de la différentielle de λ (ou ρ ) par rapport à θ Vitesse de convergence vers la variance asymptotique n Var(ˆλ) Taille d échantillon

37 Résultats asymptotiques : autres estimateurs Plus généralement, si l estimateur de θ se met sous la forme ˆθ = G( ˆF n ) G : fonctionnelle ˆF n : fonction de répartition empirique des observations Estimateur du taux de reconstitution : ˆρ k = (ρ k G)( ˆF n ) et si G a des propriétés adéquates de différentiabilité alors n (ˆρk (ρ k G)(F ) ) L N (0, σ 2 ) avec σ 2 = ( ) { } D G(F ) ρ k IC G,F (x) IC ) G,F (x) df (x) (DG(F )ρ k IC G,F (x) : fonction d influence de G en x pour la distribution F

38 Échantillon de petite taille Méthode bootstrap 1 Tirer B échantillons bootstrap indépendants s n (1),..., s n (B), chacun consistant en n observations tirées de façon aléatoire avec remise dans le jeu de données 2 Calculer la réplique bootstrap correspondant à chaque échantillon bootstrap ˆρ (b) = ρ k (ˆθ(s n (b) ) ) (b = 1,..., B) 3 Estimer la variance de ˆρ k par la variance empirique des B répliques

39 Modèles matriciels pour la gestion forestière 1 Contexte 2 Le taux de reconstitution du stock 3 Estimateurs des taux vitaux 4 Autres questions et perspectives

40 Taille d échantillon requise Estimateur par proportion Pour Vouacapoua americana à Paracou (13.3 tiges ha 1 ) Taille d échantillon requise pour estimer ρ 1 avec une précision donnée à un seuil de confiance α Précision α 10 % 20 % 30 % Superficie correspondante (ha) Précision α 10 % 20 % 30 %

41 Une autre famille d estimateurs L estimateur par proportion est l estimateur du maximum de vraisemblance lorsqu on n a qu une information discrète (l arbre «passe» ou «passe pas») En réalité, pour la croissance, on a une information continue : les diamètres des arbres Z Nouveau modèle pour les observations Estimateur par proportion non biaisé de variance «élevée» Z Nouvelle classe d estimateurs des taux p i : estimateur de Rogers-Bennett & Bennett biaisé de variance «faible»

42 Principe des estimateurs RBR Density (a) Density (b) Density (c) D D D D u i D u i+1 D u i+1 u i+1 + D Diameter u i D u i+1 D u i+1 u i+1 + D Diameter u i D u i+1 D u i+1 u i+1 + D Diameter p i = 1 G i (u i+1 D i ) estimateur par incrément estimateur par régression etc.

43 Comparaison des estimateurs Dicorynia guianensis à Paracou Quadratic error of R^ θ^2x increment θ^0x proportion θ^3x SRF θ^1x regression taux de mortalité constants taux de mortalité variable distribution uniforme distribution exponentielle Sample size n*

44 Taille d échantillon requise : M Baïki (RCA) Estimateur par incrément Précision Précision Précision α 10 % 20 % 30 % 10 % 20 % 30 % 10 % 20 % 30 % (a) limba (e) ayous (i) kosipo (b) sapelli (f) padouk rouge (j) tali (c) tiama (g) acajou (k) dibétou (d) aningre (h) longhi

45 Exemple du sapelli (Entandrophragma cylindricum) Dispositif de M Baïki en RCA Number of trees 80 cm dbh (ha 1 ) Karsenty et al. (2006) Picard et al. (2006) Modèle calé sur les années? Calage sur Year

46 Taux asymptotique de reconstitution du stock du sapelli basé sur un échantillon de 225 observations Number of trees 80 cm dbh (ha 1 ) Karsenty et al. (2006) Picard et al. (2006) ρ = 0.95 ρ = 1.25 Year

47 Taux asymptotique de reconstitution du stock du sapelli basé sur un échantillon de 225 observations Number of trees 80 cm dbh (ha 1 ) Karsenty et al. (2006) Picard et al. (2006) ρ = 0.95 ρ = 1.25 Intervalle de confiance à 95 %? 76.9 < ρ < Year

48 Modèles matriciels pour la gestion forestière 1 Contexte 2 Le taux de reconstitution du stock 3 Estimateurs des taux vitaux 4 Autres questions et perspectives

49 Prédiction de la dynamique de l ensemble de la forêt Problème de la diversité spécifique Dispositif de M Baïki en RCA : 40 ha, > 207 taxons Abondance Rang 88 % des taxons ont moins de 200 tiges Ils représentent 41 % des tiges

50 Définition de groupes d espèces Approche bayésienne basée sur les modèles matriciels S : nombre d espèces K : nombre de groupes d espèces C s : groupe auquel appartient l espèce s (1 C s K) θ k : taux vitaux pour le groupe k n s : nombre d observations pour l espèce s X is : i e observation de l espèce s π(k, C, Θ X) S n s L(X is C s = k, θ k, K) π(c, Θ K) π(k) s=1 i=1 C = (C 1,..., C S ) Θ = (θ 1,..., θ K ) X = (X 11,..., X n11,..., X 1S,..., X ns S)

51 Application à Paracou Classification non supervisée : K = 5 Group DBH Mortality Fecundity DBH Turnover rates rates max Groupes de Favrichon (1994) : Group DBH Mortality Fecundity DBH Turnover rates rates max

52 Perspectives Prise en compte de la variabilité environnementale spatiale : θ varie-t-il en fonction du milieu? temporelle : effets non stationnaires (sur-mortalité après exploitation, effets densité-dépendant) Estimation des taux vitaux à partir d une série temporelle de mesures (cf. Denis, 2007, dans le cas de l estimateur du maximum de vraisemblance) Choix des bornes des classes de diamètre

53 Merci de votre attention