Puissances 42, 58 0, 01

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1 Introduction Puissances La multiplication peut être considérée comme une façon plus simple d écrire l addition répétée de plusieurs termes identiques : 5 3 peut être compris comme De même, il existe une façon plus simple d écrire la multiplication répétée de plusieurs facteurs identiques : l élévation à la puissance : 5 3 = = 25. Le principal intérêt des puissances est de simplifier l écriture mais surtout, de faciliter les calculs sur les «grands» nomres. 2 Rappel sur la multiplication et la division par 0 ; ; 0, ; 0,0... diviser un nomre décimal par 0, 0,0 0,00... revient à multiplier ce nomre par c est-à-dire déplacer sa virgule de rangs vers la droite Si nécessaire, on rajoute un ou plusieurs zéros à droite du nomre. Exemples : 75, = 7535,6 ; 0, = 0,056 3 ; 3, = , 000 = = = , , 58 0, 0 = 42, , 0 00 = 42, = multiplier un nomre décimal par 0, 0,0 0,00... revient à diviser ce nomre par c est-à-dire déplacer sa virgule de rangs vers la gauche Si nécessaire, on rajoute un ou plusieurs zéros à gauche de la partie décimale. 5, 3 Exemples : 00 = 0,5 3 ; 0 032, = 0,003 2 ; 3 254, ,3 0,0 = Résumé 00, 3 00 = 0,0 3 ; 2 922, 45 0,000 = = 3, , = 0, ; diviser par , 0,0 0,00... revient à multiplier par... 0,00 0,0 0, Rappel sur la règle des signes Plus Moins Plus Plus Moins Moins Moins Plus Le produit de deux facteurs de même signe est positif ; Le produit de deux facteurs de signes contraires est négatif. Plus généralement : Un produit positif contient un nomre pair de facteurs négatifs ; Un produit négatif contient un nomre impair de facteurs négatifs 4 Définition Pour tout nomre a et tout nomre entier n, on pose : a n = a a a avec, par définition, a 0 = (pour a 0) Pierre Delouya Collège Janson 26 septemre 203

2 qui se lit a puissance n ou a exposant n. Exemples : 3 4 = = 8 ; 4 = 4 ; 5 0 = ( 2) 3 = ( 2) ( 2) ( 2) = 8 ; ( ) 2 = ( ) ( ) = 5 Inverse d une puissance Pour tout nomre (a 0) et tout entier n, on pose a n = a n Exemples : 2 3 = 2 = > 0 car 2 > ( 6) 2 = ( 6) 2 (définition de l inverse d une puissance) = nomre pair (n = 2) de facteurs négatifs = ( 4) 3 = (définition de l inverse d une puissance) = ( 4) 3 64 = 64 5 = 5 = 5 nomre impair (n = 3) de facteurs négatifs. 6 Signe d une puissance Puisqu une puissance est un produit de facteurs identiques (donc ayant tous le même signe), il suffit de considérer le nomre de facteurs négatifs en utilisant la règle des signes. Exemples : ( 3) 4 > 0 car il y a un nomre pair (n = 4) de facteurs négatifs ; ( 2) 5 < 0 car il y a un nomre impair (n = 5) de facteurs négatifs. 7 Cas particulier : a = 0 0 n = ; autrement dit, 0 n s écrit avec un suivi de n zéros. Exemples : 0 3 = 000 ; 0 7 = ; 0 = 0 ; 0 0 =. 0 n = ; autrement dit, la partie décimale de 0 n comporte exactement n chiffres : un et n zéros. Exemples : 0 3 = 0, 00; 0 5 = 0, 000 0; 0 = 0, ; 0 0 =. 8 Priorités opératoires Une puissance est un produit particulier (multiplication répétée de plusieurs facteurs identiques). Exemple : Dans une expression sans parenthèses, on effectue d aord les puissances, puis les multiplications et les divisions puis, les additions et les soustractions. Effectuer le calcul : A = = = = 44 9 Propriétés Pour tous nomres non nuls a et et tous entiers relatifs n et p, on a :. a n a p = a n + p Exemples : = = 3 9 ; ( 5) 4 ( 5) 3 = ( 5) = ( 5) 7 ; = ( 2) = = 7 3 ; ( 3) 8 ( 3) 2 = ( 3) 8 + ( 2) = ( 3) 8 2 = ( 3) 6 = 3 6 Pierre Delouya Collège Janson 2 26 septemre 203

3 2. an a p = an p Exemples : = = 2 3 = 2 = = ( 5) = = 0 3 ( 3) 4 ( 3) 9 = ( 3) 4 9 = ( 3) 3 = ( 3) = (a n ) p = a np Du fait de la commutativité de la multiplication, il est possile de permuter les deux exposants, avec ou sans leur signe. Exemples : (4 2 ) 5 = = = (4 5 ) 2 = 4 0 ( ( 5) 3 ) 6 = ( 5) ( 3) ( 6) = ( 5) ( 6) ( 3) = ( 5) 8 = 5 8 car il y a un nomre pair (8) de facteurs négatifs. (6 2 ) 4 = 6 ( 2) 4 = 6 4 ( 2) = a n n = (a) n Exemples : = (3 5) 2 = 5 2 = 225 ( 3) = ( 3 2) 4 = ( 6) 4 = 6 4 = 296 (règle des signes) ( 3) = ( 3 5) 3 = ( 5) 3 = = 0, ) n 5. a n ( a = n ( 2 3 ( ) Exemples : = 5) ; = 35 = ( ) ( ) a n n Cas particulier : = Il suffit d inverser la fraction a a ( ) 4 3 ( ) 7 3 ( ) 2 5 ( 3 5 Exemples : = ; = ) et de prendre l opposé de la puissance. 0 Notation scientifique Écritures possiles d un nomre Exemple : N = 0,025 6 : 0 : 0 : 0 : 0 : 0 : 0 : 0 = 25,6 0 3 = 2, = 0,256 0 =0, =0, = 0, =0, = 0, = Passage d une écriture à l autre : = 0, Pour passer de à 0,256 0, on divise 256 par 0 3 et on multiplie 0 4 par 0 3 : = ( ) = 0, Pierre Delouya Collège Janson 3 26 septemre 203

4 0 5 25,6 0 3 = 0, : 0 5 Pour passer de 0, à 25,6 0 3, on multiplie 0, par 0 5 et on divise 0 2 par 0 5 : 0, = 0, = 25, Déterminer le nomre a tel que = a.0 2. : = a Conclusion : = ( ) = 0, Déterminer le nomre n tel que = 0, n : = 0, n 0 5 Conclusion : = = 0, Parmi l infinité d écritures possiles d un nomre, on a privilégié celle où a est compris entre et 0. Définition Tout nomre N peut s écrire sous la forme a.0 p où a < 0 et p entier relatif. On l appelle l écriture scientifique de N. Exemples : = 2, ; 0, = 5,7.0 6 Ordre de grandeur On appelle ordre de grandeur d un nomre N, la puissance de 0 la plus proche du nomre N : immédiatement inférieure si 0 a < 5 immédiatement supérieure si 5 a < 0 Pierre Delouya Collège Janson 4 26 septemre 203

5 Tale des matières Introduction 5 2 Rappel sur la multiplication et la division par 0 ; ; 0, ; 0, Rappel sur la règle des signes 6 4 Définition 6 5 Inverse d une puissance 7 6 Signe d une puissance 7 7 Cas particulier : a = Priorités opératoires 8 9 Propriétés 8 0 Notation scientifique 0 Introduction La multiplication peut être considérée comme une façon plus simple d écrire l addition répétée de plusieurs termes identiques : 5 3 peut être compris comme ; mais du fait de la commutativité de la multiplication, 5 3 = 3 5 peut être aussi interprété comme De même, il existe une façon plus simple d écrire la multiplication répétée de plusieurs facteurs identiques : l élévation à la puissance : 5 3 = = 25 ; par contre, cette opération n est pas commutative, car 3 5 = = 243. Le principal intérêt des puissances est de simplifier l écriture mais surtout, de faciliter les calculs sur les «grands»nomres La «taille» de l Univers est un nomre qui s écrit avec 25 chiffres : la masse d un électron est environ égale à 0, kg La masse de la Terre est environ égale à kg L énergie associée à un électron dont la vitesse est de km/s est : 2 0, (60 000)2. On voit que ces nomres ne sont «faciles», ni à écrire, ni à manipuler. 2 Rappel sur la multiplication et la division par 0 ; ; 0, ; 0,0... diviser un nomre décimal par 0, 0,0 0,00... revient à multiplier ce nomre par c est-à-dire déplacer sa virgule de rangs vers la droite Si nécessaire, on rajoute un ou plusieurs zéros à droite du nomre. Exemples : 75, = 7535,6 ; 0, = 0,056 3 ; 3, = , 000 = = = , , , 00 42, 58 0, 0 0, = 0, = 0, =, 25 0, , = 42, , 0 00 = 42, = = 0, = 547,6 multiplier un nomre décimal par 0, 0,0 0,00... revient à diviser ce nomre par c est-à-dire déplacer sa virgule de rangs vers la gauche Si nécessaire, on rajoute un ou plusieurs zéros à gauche de la partie décimale. Pierre Delouya Collège Janson 5 26 septemre 203

6 5, 3 Exemples : 00 = 0,5 3 ; 0 032, = 0,003 2 ; 3 254, 6 = 3, , , 45 00,3 0,0 = = 0,0 3 ; 2 922, 45 0,000 = = 0, ; ,4 0,0 = 4 056, , 48 = 40,564 ; ,48 0,000 0 = = 0, Le taleau ci-dessous donne un exemple du déplacement de la virgule avec les deux opérations. 4 DÉFINITION Vers la gauche, ce qui revient à diviser Vers la droite ce qui revient à multiplier 538,95 : 0 = 53,895 rang pour 0 538,95 0 = 5 389,5 538,95 0, = 53, ,95 : 0, = 5 389,5 538,95 : 00 = 5, rangs pour ,95 00 = ,95 0,0 = 5, ,95 : 0,0 = ,95 : 000 = 0, rangs pour , = ,95 0, 00 = 0, ,950 : 0,00 = Résumé diviser par , 0,0 0,00... revient à multiplier par... 0,00 0,0 0, Rappel sur la règle des signes Plus Moins Plus Plus Moins Moins Moins Plus Le produit de deux facteurs de même signe est positif ; Le produit de deux facteurs de signes contraires est négatif. Plus généralement : En utilisant cette règle, il est possile de déterminer le signe d un produit comportant un nomre quelconque de facteurs. Puisqu un produit de facteurs positifs est positif, on ne s intéresse donc qu au nomre de facteurs négatifs : Un produit positif contient un nomre pair de facteurs négatifs ; Un produit négatif contient un nomre impair de facteurs négatifs 4 Définition qui se lit a puissance n ou a exposant n. Pour tout nomre a et tout nomre entier n, on pose : a n = a a a avec, par définition, a 0 = (pour a 0) Exemples : 3 4 = = 8 ; 4 = 4 ; 5 0 = ( 2) 3 = ( 2) ( 2) ( 2) = 8 ; ( ) 2 = ( ) ( ) = Pierre Delouya Collège Janson 6 26 septemre 203

7 5 Inverse d une puissance Pour tout nomre a 0 et tout entier n, on pose a n = a n 7 CAS PARTICULIER : A = 0 Exemples : 2 3 = 2 = > 0 car 2 > ( 6) 2 = ( 6) 2 (définition de l inverse d une puissance) = 6 2 car il y a un nomre pair (n = 2) de facteurs négatifs = 36 ( 4) 3 = (définition de l inverse d une puissance) = ( 4) 3 64 = 64 négatifs. car il y a un nomre impair (n = 3) de facteurs 5 = 5 = 5 6 Signe d une puissance Puisqu une puissance est un produit de facteurs identiques (donc ayant tous le même signe), il suffit de considérer le nomre de facteurs négatifs en utilisant la règle des signes : si a > 0, a n > 0 car c est le produit de strictement positifs. si a < 0, il suffit de regarder la parité de n : si n est pair, a n > 0 et si n est impair, a n < 0. Autrement dit, a n < 0 si, et seulement si, a < 0 et n est impair. Dans tous les autres cas, a n > 0 Remarques n pair n impair a > 0 a n > 0 a n > 0 a < 0 a n > 0 a n < 0 n = 6 n = 5 a = = 729 > = 243 > 0 a = 5 ( 5) 6 => 0 ( 5) 5 = 325 < 0 n = 6 n = 5 a = = 3 = > = 3 = > 0 a = 5 ( 5) 6 = ( 5) = > 0 ( 5) 5 = ( 5) = < 0 La définition de l inverse d une puissance a n = a n peut aussi s écrire an a n =. Ce produit est positif ( > 0), donc, d après la règle des signes ces deux nomres ont le même signe. a n et a n sont inverses l un de l autre. Donc, deux inverses ont le même signe. et sont les seuls nomres à être égaux à leur inverse car : = et ( ) ( ) =. si n =, a = a = a. 7 Cas particulier : a = 0 La définition de 0 n est 0 n = ; autrement dit, 0 n s écrit avec un suivi de n zéros. Exemples : 0 3 = 000 ; 0 7 = ; 0 = 0 ; 0 0 =. Pierre Delouya Collège Janson 7 26 septemre 203

8 9 PROPRIÉTÉS La définition de 0 n est 0 n = ; nfacteurs autrement dit, 0 n s écrit avec un précédé de n zéros pour la partie décimale et un zéro pour la partie entière. Ou encore, la partie décimale de 0 n comporte exactement n chiffres : un et n zéros. Exemples : 0 3 = 0, 00; 0 5 = 0, 000 0; 0 = 0, ; 0 0 =. 8 Priorités opératoires Une puissance est un produit particulier (multiplication répétée de plusieurs facteurs identiques). Exemple : Dans une expression sans parenthèses, on effectue d aord les puissances, puis les multiplications et les divisions puis, les additions et les soustractions. Effectuer le calcul : A = = = = 44 Pour tout nomre a non nul et tout entier positif n, on peut maintenant poser : a n = a a a a a et a n = a a a a = (a ) n et a 0 = (pour a 0) nfacteurs nfacteurs ce qui revient donc à étendre la définition de a n à tout entier relatif n. Exemple : a 3 = (a ) 3 = a a a = a a a = a 3 9 Propriétés Pour tous nomres non nuls a et et tous entiers relatifs n et p, on a :. a n a p = a n + p a n est le produit de a ; a p est le produit de p facteurs a, donc a n a p est le produit de n + p facteurs a ; il suffit de faire la somme algérique des deux exposants. Exemples : = = 3 9 ; ( 5) 4 ( 5) 3 = ( 5) = ( 5) 7 ; = ( 2) = = 7 3 ; ( 3) 8 ( 3) 2 = ( 3) 8 + ( 2) = ( 3) 8 2 = ( 3) 0 = ( 3) = Il est possile de généraliser cette relation à un produit de plus de deux puissances ; Par exemple, pour 4 puissances : a n a p a q a r = a n + p + q + r = = ; = = 0 88 La somme algérique des exposants pouvant être effectuée dans l ordre que l on veut. 2. an a = p an p On peut encore écrire cette relation en utilisant la définition de l inverse d une puissance : a n a = a n a. p = a n p. On retrouve la propriété. p Exemples : = = 2 3 = 2 = ( 3) 4 = ( 3) 4 9 = ( 3) 3 = 3 8 ( 3) 9 ( 3) = Pierre Delouya Collège Janson 8 26 septemre 203

9 = 0 2 ( 5) = = 0 3 Il est possile d utiliser l inverse de chacune des puissances : = = 05 2 = (a n ) p = a np 9 PROPRIÉTÉS (a n ) p est le produit de p facteurs a n : (a n ) p = a n a n a n a n a n et p facteurs a n est le produit de a ; donc, (a n ) p est le produit de np facteurs a ; de même, (a p ) n est le produit de a p et a p est le produit de p facteurs a donc, (a p ) n est le produit de p a, donc ces deux expressions sont égales. Autrement dit, du fait de la commutativité de la multiplication, il est possile de permuter les deux exposants, avec ou sans leur signe. (a n ) p = a n p = a p n = (a p ) n Exemples : (4 2 ) 5 = = = (4 5 ) 2 = 4 0 ( ( 5) 3 ) 6 = ( 5) ( 3) ( 6) = ( 5) ( 6) ( 3) = ( 5) 8 = 5 8 car il y a un nomre pair (8) de facteurs négatifs. Il est possile d utiliser l inverse de chacune des puissances : ( ) 6 ( 5) 3 = ( 6 = ( ) ( 5) 3) 6 = ( 5) 3 (( 5) 3 ) 6 (6 2 ) 4 = 6 ( 2) 4 = 6 4 ( 2) = 6 8 = Il est possile de généraliser cette relation à plus de deux élévations à la puissance ; pour 3 élévations : ((a n ) p ) q = a n p q = a npq, en effet si on pose A = (a n ) p, ((a n ) p ) q = A q = (a np ) q = a npq ((2 3 ) 6 ) 4 = 2 4 ( 6) 3 = 2 72 = ((2 6 ) 3 ) 4 = ((2 6 ) 4 ) 3 = C est-à-dire que l exposant du résultat est un produit de nomres relatifs égal à 72. Inversement, il est possile, en utilisant séparément ou en association les deux propriétés précédentes, de décomposer n importe quelle puissance, ce qui peut permettre d en calculer une valeur approchée. Exemple : 2 08 = constitue une décomposition possile en utilisant la ère propriété = ((2 3 ) 4 ) 9 = , constitue une décomposition possile en utilisant la 3 ème propriété 2 08 = = (propriété ) = (2 0 ) constitue une autre décomposition possile qui va permettre de trouver une valeur approchée de 2 08, en utilisant une valeur approchée utile à connaître et pratique à mettre en oeuvre, qui est la suivante : 2 0 = , donc, Ce qui donne : 2 08 = (2 0 ) (0 3 ) On otient alors : = = 2, Une valeur approchée de 2 08 est donc 2, Une valeur approchée au centième de la valeur exacte de 2 08 est 3, ce qui donne environ 20% d erreur, mais 0 s de calcul! L erreur commise sur l approximation est égale à 2,4%, ce qui est «négligeale» ; seul l ordre de grandeur (la puissance de 0) est important. Néanmoins, à chaque «utilisation» de cette approximation, l erreur augmente comme le montre le taleau ci-dessous : 4. a n n = (a) n En effet, a n n = (a a a) n valeur exacte (2 0 ) n valeur approchée (0 3 ) n = (a) (a) (a) erreur commise 2,4 % 2 % 38 % 69 % 9% 99% ( ) (produit de a et de ) = (a) n (produit de a car, la multiplication est commutative). Pierre Delouya Collège Janson 9 26 septemre 203

10 Exemples : = (3 5) 2 = 5 2 = 225 ( 3) = ( 3 2) 4 = ( 6) 4 = 6 4 = 296 (règle des signes) ( 3) = ( 3 5) 3 = ( 5) 3 = = 0, Il est possile de généraliser cette relation à un produit de plus de deux facteurs ; pour cinq facteurs : a n n c n d n e n = (acde) n 4 5 ( 6) ( 2) 5 = (4 ( 6) 5 7 ( 2)) 5 = NOTATION SCIENTIFIQUE ( ) 5. an a n = n a n n = an n = an ( ) n = (a a a) ( ) ( ) ( ) ( a a a a = = } {{ } ( ) ) n (produit de a ). (produit de a et de ) ( 2 3 Exemples : = 5) 23 que l on peut «simplifier» en remarquant que le dénominateur est «presque» égal 53 à une puissance de 0 ; il suffit de le multiplier par 2 3, ce qui donne = (5 2) 3 = = ( ) = = 0, 064 ; = 35 = ( ) a n Cas particulier : = ( ) a n = a n = a n = a ( ) n n = a n n = n a = n a n n ( ) ( ) n a n n Autrement dit, = Il suffit d inverser la fraction a et de prendre l opposé de la puissance. a ( ) 4 3 ( ) 7 3 ( ) 2 5 ( 3 5 Exemples : = ; = ) En cominant ces quatre propriétés, il est possile de calculer et de simplifier une puissance écrite sous la forme d un produit et/ou d un quotient. 0 Notation scientifique Écritures possiles d un nomre Exemple : N = 0, : 0 : 0 : 0 : 0 : 0 : 0 : 0 = 25,6 0 3 = 2, = 0,256 0 =0, =0, = 0, =0, = 0, = Passage d une écriture à l autre : = 0, Pour passer de à 0,256 0, on divise 256 par 0 3 et on multiplie 0 4 par 0 3 : = ( ) = 0, Pierre Delouya Collège Janson 0 26 septemre 203

11 0 5 25,6 0 3 =0, : NOTATION SCIENTIFIQUE Pour passer de 0, à 25,6 0 3, on multiplie 0, par 0 5 et on divise 0 2 par 0 5 : 0, = 0, = 25, Déterminer le nomre a tel que = a 0 2. : = a Par quelle puissance de 0 faut-il multiplier 0 5 pour otenir 0 2? Autrement dit, on cherche le nomre 0 n tel que n = 0 2. En utilisant la ère propriété, on otient 0 n = = = = 0 7. Ce qui revient à résoudre l équation 5 + n = 2, soit n = = 7. En effet = 0 2. Puisqu on a multiplié la puissance de 0 par 0 7, il faut donc diviser par 0 7 ou, ce qui revient au même, le multiplier par 0 7 ce qui donne 0, ou encore 0, Conclusion : = ( ) = 0, Déterminer le nomre n tel que = 0, n : = 0, n 0 5 Par quelle puissance de 0 faut-il multiplier 350 pour otenir 0,003 5? 0, Par le nomre = 0 5. Autrement dit, on écrit 0, 0035 = = Puisqu on a divisé le nomre 350 par 0 5, il faut donc multiplier la puissance de 0 par 0 5, ce qui donne = = 0 3. Conclusion : = = 0, Plus généralement, pour passer d une écriture quelconque à une autre écriture d un nomre, puisqu il y a égalité entre les deux nomres, il suffit de multiplier et de diviser le nomre écrit à gauche par la même puissance de 0, afin d otenir le nomre écrit à droite. Parmi l infinité d écritures possiles d un nomre, on a privilégié celle où a est compris entre et 0. Définition Tout nomre N peut s écrire sous la forme a.0 p où a < 0 et p entier relatif. On l appelle l écriture scientifique de N. Exemples : = 2, ; 0, = 5,7.0 6 Pierre Delouya Collège Janson 26 septemre 203

12 Ordre de grandeur 0 NOTATION SCIENTIFIQUE On appelle ordre de grandeur d un nomre N, la puissance de 0 la plus proche du nomre N : immédiatement inférieure si 0 a < 5 immédiatement supérieure si 5 a < 0 En effet, il est plus «important» de connaître la puissance de 0 la plus proche d un nomre que tout ou partie des chiffres significatifs de sa partie entière et/ou de sa partie décimale. Exemple : La masse M de la Terre est environ de kg. Même s il était possile de déterminer, par le calcul, davantage de décimales à la valeur de M, cela ne signifierait pas pour autant que l on connaîtrait M avec plus de «précision», puisque ces décimales ne représenteraient qu une plus grande précision «mathématique» et n auraient aucune réalité physique. D ailleurs, un «ojet colossal» qui aurait une masse de 0 5 kg (proalement une chaîne de montagnes) ne représenterait qu un milliardième de la masse de la Terre et sa contriution à la masse de la Terre ne porterait, au mieux, que sur la 9 ème décimale! Pierre Delouya Collège Janson 2 26 septemre 203