TMF - TD5 - Thermodynamique industrielle. Correction A.N. : donne : A.N. : 2.3 parois caorifugées : σ ech = 0. Donc :

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1 Correction Ex 1 Mélangeur de douche 1.1 pas de pièce mobile w i = 0, système calorifugé q = 0. Premier principe D 3 h 3 D 2 h 2 D 1 h 1 = 0 Or, D 3 = D 1 + D 2, donc D 2 (h 3 h 2 ) = D 1 (h 1 h 3 ) Or h = c P T, donc D 1 D 2 = h 3 h 2 h 1 h 3 D 1 D 2 = T 3 T 2 T 1 T 3 1, Deuxième principe industriel (système calorifugé pas d échange d entropie) D 3 s 3 D 2 s 2 D 1 s 1 = σ c Connaissant D 3 le rapport D 1 /D 2, on obtient On en déduit alors que D 1 = 0,117 kg s 1 D 2 = 8, kg s 1 σ c = 9, kj K 1 s 1 La production annuelle d entropie dans ce mélangeur utilisé chaque jour pendant 10 minutes par chacun des quatre membres de cte famille se calcule de la façon suivante S c = σ c t = σ c ,5 kj K 1 Ex 2 Echangeur air-eau 2.1 pas de parties mobile P i = 0, P th = 0 car parois externes calorifugées. Il reste donc D eau (h s h e ) + D air (h 0 h 1 ) = 0 D eau (h s h e ) = D air (h 1 h 0 ) = 0 D eau c e (T s T e ) = D air c P (T 1 T 0 ) donne T s = T e + D airc P (T 1 T 0 ) D eau c e c P = C P m C P m = C P n c P = nc P m m = C P m M T s 15,6 C = 5R 2M 2.2 Abaisser la température de l air de 200 C revient à augmenter la température de l eau de seulement 3,6 C. Du fait de sa grande capacité thermique massique, l eau est un excellent fluide caloporteur, fréquemment utilisé en thermodynamique industrielle. 2.3 parois caorifugées σ ech = 0. Donc D eau (s s s e ) + D air (s 0 s 1 ) = σ c Calcul de la variation d entropie S d un fluide en écoulement isobare On obtient donc σ c = D eau c e ln dh = T ds + vdp = T ds dt ds = c P T S = c P ln Å Ts T e Å ã Ts T e ã + D air c P ln σ c 1,51 J K 1 s 1 Ex 3 Ecoulement supersonique Å ã T0 T Premier principe industriel D m Åh B h A ) + 1 ã 2 (v2 B va) 2 = 0 c P (T B T A ) (v2 B v 2 A) = /2018 1/5

2 3.2 Relation de Mayer C P C V = nr Définition de l exposant adiabatique puis C P C V C V = = nr 1 C P = nr 1 soit, en divisant par la masse du système considéré R c P = M( 1) La relation de la question précédente peut être exprimée sous forme différentielle c P dt = 1 2 dv2 R M( 1) dt = 1 2 dv2 (1) P V = cte P 1 T = cte ln(p 1 T ) = cte (1 ) ln P + ln T = cte (1 ) dp P + dt T = 0 ρ = P M RT Å ã M ln ρ = ln P ln T + ln R dρ ρ = dp P dt T 3.5 Débit massique = flux du champ ρv D m = ρvs (2) Conservation du débit massique D m = 0. On en déduit dρ ρ + dv v + ds S = 0 (3) 3.6 En remplaçant drhoρ dans (3) par son expression (2) en utilisant (1), on obtient l expression demandée. 3.7 Si l écoulement est subsonique, c est un rétrécissement de la tuyère (ds < 0) qui provoque une accélération du fluide (dv > 0). Ce résultat est le même que pour un écoulement incompressible. Si l écoulement est supersonique, c est un élargissement de la tuyère qui provoque une accélération du fluide. Ce résultat, contreintuitif à cause de l habitude des écoulements incompressibles, est ici dû au fait que le gaz se détend. Pour accélérer le fluide tout au long de l axe x, le profil de la tuyère doit d abord être convergent pour accélérer le fluide jusqu à la vitesse du son M = 1, puis doit devenir divergent pour que le fluide continue d accélérer. Le point le plus étroit de la tuyère est appelé «col sonique». Ex 4 Compresseurs étagés 4.1 Les phases d aspiration de refoulement sont des transformations monobares monothermes. Sur ces phases, la loi des gaz parfaits P v = RT M montre que le volume massique v ne varie pas. D une façon générale, l état thermodynamique d une masse donnée de fluide ne change pas durant des phases d aspiration de refoulement. On représente ces phases par un point fixe dans le diagramme de Clapeyron. Au contraire, dans le diagramme de Watt, V = mv varie car m varie (masse de fluide aspirée ou refoulée). Ces phases sont représentées par des segments horizontaux (P = cte). 4.2.a L échangeur étant dépourvu de parties mobiles, le travail indiqué à travers c élément est nul. Le travail de de transvasement est uniquement fournit dans les étages de compression. Pour chaque étage, le premier principe s écrit, en négligeant les variations d énergie cinétique potentielle δh = w i + q (4) Or, les transformations étant suffisamment rapides, il est possible de les considérer adiabatiques (q = 0) w i = δh (5) Par ailleurs, sachant que le gaz est un gaz parfait, il satisfait à la deuxième loi de Joule, qui stipule que h ne dépend que de T qui implique donc δh = c P T (6) 2017/2018 2/5

3 Ainsi, pour chaque compresseur, le travail indiqué est donné par w i = c P T (7) Dans le cas d un compresseur monoétagé w t 1 = c P T 0 Çβ tot 1 Le traail de transvasement total vaut donc w t = c p (T 2 + T 1 2T 0 ) (8) w t 412 kj kg b Le gaz parfait subit des compressions isentropiques obéit donc à la loi de Laplace P 1 T = cte. On obtient 1 T 1 = T 0 β1 1 T 2 = T 0 β2 1 w t = c P T 0 Çβ β intérêt double minimiser l énergie à fournir limiter la température du gaz en fin de compression. Ex 5 Turboréacteur - Principe de la postcombustion Ex 6 Climatisation 6.1 Schéma S F S C Le maximum de w t est obtenu lorsque sa dérivée par rapport à P 1 est nulle c P T 0 Ç 1 P 0 β 1/ w t P 1 = Après calcul, on obtient 4.2.c 4.3 P 1 = P 0 P 2 β 2 β 1 = P 2/P 1 P 1 /P 0 = P 2P 0 P 2 1 β 1/ 2 = 1 Ç 1 P2 T 1 = T 2 = T 0 P0 P 2 T 1 = T K P 2 P1 2 = 0 ce qui est bien inférieur à la température maximale tolérée par le compresseur. 4.4 w max t = 2c P T 0 w max t Ñ Ç é 1 P2 1 P0 P kj kg 1 Q F > 0 Σ(fluide R134a) W > 0 compresseur Q C < Le condenseur a pour objectif de liquéfier la vapeur. Ce changement d état s accompagne d une libération de chaleur (Q < 0). Il faut donc que le condenseur soit au contact de la source chaude. 6.3 L évaporateur a pour fonction d évaporer le liquide. Ce changement d état s accompagne d un prélèvement de chaleur au milieu extérieur (Q > 0). Il faut donc que l évaporateur soit au contact de la source froide. 6.4 On peut construire un diagramme représentant le fonctionnement. Pour que l évaporation puisse se faire, il faut que la pression du liquide soit inférieure à la pression de vapeur saturante. Il faut donc diminuer la pression du liquide avant son entrée dans l évaporateur. 2017/2018 3/5

4 vap. HP compr. vap. BP condenseur évaporateur 3 condenseur 2 liq. HP détend. liq. BP détendeur 4 compresseur On peut considérer que la transformation se fait de manière adiabatique (parois calorifugées) réversible (on suppose le fonctionnement idéal en négligeant les frottements). La transformation idéale dans un compresseur est donc isentropique. La température obéit à la loi de Laplace soit P 1 T = cte Å ã 1 1 P2 T 2 = T 1 P 1 La pression en sortie étant plus importante qu en entrée, la température est augmentée lors du passage à travers le compresseur. 6.5 pas de parties mobile w i = 0 ; détendeur adiabatique q = 0 ; variations d énergies cinétique potentielle négligées e c 0, e p 0. On en déduit donc, par application du premier principe industriel h = 0 La transformation idéale à travers le détendeur est isenthalpique. 6.6 L air cède de l énergie au contact de l évaporateur. C est donc le lieu où la vapeur d eau peut donc se condenser. 6.7 à gauche L ; à droite V (forte énergie interne forte enthalpie) ; sous la courbe L+V Pour un gaz parfait, la variation d enthalpie massique est donnée par la deuxième loi de Joule h = c P T Une isotherme correspond donc à une droite verticale dans le domaine vapeur, lorsque le gaz peut être assimilé à un gaz parfait, c est-à-dire pour les faibles pressions (en bas à droite du diagramme). 6.8 Le cycle est parcouru dans le sens antihoraire 6.9 cf. question précédente évaporateur 6.10 D après le diagramme, la transformation du fluide dans le compresseur est isentropique. Des parois adiabatiques une transformation lente sans frottements peuvent justifier les caractères adiabatique réversible h = w i w comp = h 2 h 1 35 kj kg 1 w comp > 0 car le fluide reçoit effectivement du travail h = q évap q évap = h 1 h 4 = 135 kj kg 1 e = q évap w comp 4 Cte valeur correspond aux efficacités usuelles des dispositifs de climatisation Les températures extrêmales du cycle sont déterminées à partir du graphique. On trouve T F = T min 0 C T C = T max 63 C. L application des deux premiers principes aux fluide au cours d un cycle perm d exprimer l efficacité de Carnot On a bien e < e Carnot. T F e Carnot = T C T F e Carnot 4, Si la transformation dans le compresseur n est plus idéalisée, alors s 2 s 1 = s c > 0 Le point 2 est déplacé vers la droite. 2017/2018 4/5

5 6.16 P comp = D m w comp 5 kw P mot 30 kw La surconsommation est donc P comp P mot 17 % 6.17 Si T est trop faible en sortie de l évaporateur, c est que le fluide n a pas prélevé assez de chaleur à l habitacle. Il faut donc diminuer le débit pour que l échange ait le temps de se faire. Par ailleurs, l évaporation prélèvera plus de chaleur si la basse pression est plus faible (la chaleur latente est alors plus importante). Il faut donc diminuer la basse pression T consigne = T sonde = P sonde = la bille monte = la section de passage = D m P fluide = de la chaleur prélevée (cf. qu. préc.) = T habitacle 6.19 Lorsque l on abaisse la température, la pression du fluide au niveau de l évaporateur est plus faible. En faisant apparaître les points 1 4 correspondant à ce nouveau fonctionnement, on constate que ce qui perm donne w comp > w comp q evap < q evap e < e L efficacité est alors diminuée s d = s 4 s 3 s 3 = s l (50 C) 1,245 kj K 1 K 1 Déterminons s 4 à partir de la fraction massique en liquide lue sur le graphique (x 4 = 0, 37) Conclusion s 4 = x 4 s v (0 C) + (1 x 4 )s l (0 C) s 4 22 kj kg 1 K 1 s 4 s 3 22 J kg 1 K L utilisation du théorème des moments perm de placer le point figuratif de l état du fluide en sortie du détendeur (à 34 % de la ligne séparant la courbe d ébullition de la courbe de rosée) identité thermodynamique deuxième loi de Joule (arc d exponentielle) dh = T ds dh = c P dt T = T 0 e s s 0 c P 6.23 évaporateur (4 1) droite horizontale (changement d état isobare) puis arc d exponentielle compresseur (1 2) droite verticale (compression isentropique) condenseur (2 3) arc d exponentielle puis droite verticale (changement d état isobare) jusqu à la courbe d ébullition détendeur (3 4) détente isenthalpique 6.24 Considérons la transformation de 4 à 1, ds > 0 donc T ds > 0 or q evap = T ds > 0 le sens de parcours est bien anti-horaire. Aire du cycle = Q fournie = W reçu > 0 Le cycle est bien récepteur P reçue/fluide = D m q evap = D m (h 1 h 4 ) 20 kw Donc P reçue/air = P fournie/air = P th reçue/fluide Par ailleurs P reçue/air 20 kw P reçue/air = D m (air) h air = D m (air)c P (air T (air) 6.26 D m (air) = D m(h 4 h 1 ) c P (air) T (air) D m (air) 1,3 kg/s P mot 30 kw surconsommation = % 2017/2018 5/5