Eléments de géométrie plane

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1 Eléments de géométrie plane Voir le diaporama I. Qu est-ce que le savoir géométrique? a) Définition Le savoir géométrique se caractérise par une distinction entre l espace physique (celui qui nous entoure) et l espace géométrique (constitué par une modélisation de l espace physique) Ce dernier nous permet de comprendre, de prévoir certains phénomènes par exemple, l assimilation d objets réels à des objets géométriques : les drapeaux sont représentés par des points. Les savoirs géométriques (théoriques) naissent aussi bien des problèmes issus de la réalité (ex : Thalès et les pyramides) que de ceux issus de la théorie. Les problèmes de géométrie s'appuient sur un espace qui n'est plus l'espace physique, mais un espace conceptualisé où les objets sont représentés par des figures. Suivant la nature du problème de géométrie proposé, on peut faire référence à trois problématiques : une problématique pratique, une problématique géométrique et une problématique de modélisation. L espace géométrique se caractérise par sa dimension : 1 : géométrie de la droite 2 : géométrie du plan 3 : géométrie de l espace Les problèmes géométriques s appuient sur un espace qui n est plus l espace physique mais un espace conceptualisé où les objets sont représentés par des figures. La validation ne se fait pas par le dessin mais par l absence de contradiction dans le raisonnement. b) Le savoir géométrique s appuie sur des représentations graphiques Les représentations graphiques sont les figures de la géométrie plane (droites, segments,...) ainsi que la représentation de la géométrie dans l espace. Cela entraîne une sélection parmi les informations possédées sur l objet, de nature visuelle (ce que je vois, ex : un carré pour le cube) ou de nature intellectuelle (ce que je sais, ex : la perspective cavalière). En représentant un objet, on veut tracer soit pour aider à un raisonnement (la précision du tracé n est pas demandé), soit pour effectuer des mesures. Dans le cas de la représentation pour raisonner, ne pas confondre la figure qui est l objet idéal représenté par des dessins, et le dessin qui est un tracé physique de la trace du crayon. Les mesures sur le dessin ne permettent pas de conclure ce qui entraîne un raisonnement sur la figure. c) Le savoir géométrique est constitué de plusieurs systèmes signifiants. Un même objet peut représenter des objets différents. Suivant le contexte, dans une figure complexe on peut trouver des carrés ou cela peut représenter un cube en perspective cavalière. Il s appuie sur un langage spécifique dont la plupart des mots sont empruntés au langage naturel, sans forcément en garder le même sens. Ex : hauteur, arc,... d) Le savoir géométrique à l école. Maternelle, il s agit d une approche de la géométrie à travers le dessin, la reconnaissance des formes, le repérage dans l espace. Aux cycles 1 et 2, la distinction entre les activités de structuration de l espace physique et les connaissances géométriques est nette. 1

2 Au cycle 3, on trouve 4 grands types d activité : reproduire, construire, représenter, décrire. II. Compétences demandées aux élèves. G Brousseau a défini trois tailles de l espace : - le micro-espace : espace des petits objets que l on peut manipuler. Le sujet est à l extérieur de l espace. - le méso-espace : c est l espace des objets fixes de 0,5 à 50 fois la taille de l enfant. Les objets sont vus globalement. Le sujet fait partie de cet espace. ex : classe, cour,... - le macro-espace : L espace urbain. Le sujet ne peut en avoir que des visions locales, la vision globale ne peut être qu une construction intellectuelle. Le sujet est à l intérieur de l espace. a) Reproduire, construire, représenter. Reproduire : copie d un objet à réaliser : dessin, figure cartonnée, objet familier ex : carré, rectangle ; objets plus complexes, avec des outils qui peuvent être différents : calques, carton, papiers,... La validation se fait par superposition, le degré de conformité est à préciser. Construire : l objet n est pas présent. On dispose d une description de l objet. Représenter : L objet est présent ou éloigné, à l échelle ou à une autre échelle. On utilise des procédés conventionnels ex : les faces cachées du cube sont en pointillés. La représentation peut avoir deux buts soit de faciliter l identification, soit de le reproduire. a) 1. Faciliter l identification. Pour cela, il faut reconnaître les figures de base. l analyse de chaque partie nécessite un effort non naturel. la reconnaissance dépend des connaissances stockées dans la mémoire à long terme : on appelle cela des prototypes d où les erreurs et les difficultés quand les figures ne sont pas disposées comme d habitude pour le triangle ou quand les dimensions sont fort différentes. a) 2. Pour reproduire. Le tracé des figures nécessite : une compétence manipulatoire, une visualisation de cette figure avant le tracé le facilite. des aptitudes à mobiliser des images mentales des connaissances mathématiques. Les variables didactiques seront : le papier : blanc, à carreaux,... les instruments utilisés : compas ou équerre la complexité de la figure la proximité de la figure. b) Décrire Suivant le but visé, on va décrire pour : faciliter son identification (on citera les caractéristiques, les noms,...) représenter ou reproduire (on devra en faire une analyse, déterminer les liens, respecter la chronologie des tracés, un vocabulaire adéquat,... ; c est le programme de construction) III. Principales difficultés et analyse : a) Difficultés liées aux connaissances spatiales Cela dépend de la structuration de l espace de l enfant. Piaget : 2

3 les connaissances spatiales se forment de manière progressive ; la construction des connaissances spatio-géométriques se fait par l intériorisation des actions du sujet. (aptitude à penser les actions sans les exécuter => actions effectives) Deux types d obstacles à cette structuration de l espace existent : le nombre insuffisant d expériences que peut vivre l élève le fait que l élève vive essentiellement dans u monde de représentation (TV, vidéo,...) b) Difficultés liées aux représentations des objets géométriques Ce sont les difficultés liées à la distinction de l objet géométrique et de sa représentation ; difficultés à prendre conscience que le tracé est un ensemble de points ex : le cercle. difficultés à distinguer la représentation d une droite et d un segment. difficultés à reconnaître deux droites perpendiculaires. C est un obstacle épistémologue, c est à dire imputable à la connaissance elle-même : conception d une droite, d un segment, d un ensemble infini de points. C est un double obstacle de nature didactique ; c est à dire imputable au type d enseignement et aux activités proposées ; travail seulement dans le micro espace. pratique essentiellement ostensive (l enseignant présente directement les connaissances en s appuyant uniquement sur l observation dirigée d une réalité ou d une représentation. manque d actions (conception béhavioriste) c) Difficultés liées aux tâches de reproduction, représentation et construction dans le repérage des figures de base d une figure complexe figures prototypiques non stockées hors des caractéristiques des figures prototypiques ex : triangle figures de base trop prégnantes qui cachent les autres difficulté à isoler ces figures de base. dans le repérage de sur-figures non repérage des figures qui ne sont pas totalement tracées dans l établissement d une chronologie des tracés dans l exécution des tracés géométriques manipulation des instruments difficulté d anticipation des images mentales non connaissances des propriétés conception incomplète d in instrument, ex : compas et report de longueur. d) Difficultés liées aux descriptions des figures vocabulaire non maîtrisé ou inconnu non connaissances des propriétés difficulté de décentration (se mettre à la place de l autre) codage des figures compléter par des traits, des lettres, des signes sens donné à l activité proposée communication avec qui? montrer ce qu il sait. 3

4 IV. Démarches pédagogiques Les démarches pédagogiques, induites par les programmes et les différents textes officiels, sont ici explicitées. Elles tiennent compte des travaux en didactique qui, même s'ils sont moins avancés en géométrie que dans le domaine numérique, permettent d'élaborer des situations d'apprentissage. Comme dans le domaine numérique, la résolution de problèmes est le moyen de la construction et de l'appropriation des connaissances. Les choix effectués s'appuient sur différents travaux en didactique qui préconise la pratique d'une géométrie expérimentale : Dans une problématique pratique, on travaille sur des objets physiques et la validation se fait par manipulation matérielle ; dans une problématique géométrique, on ne travaille plus sur des objets physiques et la validation se fait par un raisonnement qui s'appuie sur des connaissances géométriques reconnues; dans une problématique de modélisation, le problème posé dans l'espace physique est mathématisé et, le problème géométrique une fois résolu, la solution est validée par une confrontation à la réalité.» Alignement - Segment - Droite Au cycle 2, on vérifie un alignement à la règle avant de tracer un trait droit et le mot «segment» reste synonyme de «trait droit». Le terme de droite apparaît au cycle 3. Exemple: l'élève est amené à «tracer une droite» pour mettre en évidence un alignement de points. À ce stade, le mot «droite» reste synonyme de «ligne droite». La droite (comme le point) n'est pas un objet géométrique que l'on peut définir aux élèves ; c'est le contexte de la situation qui fait qu'un trait tracé représente un segment ou une droite. Les documents d'accompagnement des programmes proposent des situations concernant l'alignement. Ces situations illustrent le passage de l'espace physique (vécu dans le méso-espace) à l'espace représenté (dans le micro-espace). Angle droit - Perpendicularité La notion d'angle droit précède celle de perpendicularité : au cycle 2, seule l'expression «angle droit» est utilisée ; le terme «perpendiculaire» apparaît au cycle 3, où les expressions «droites perpendiculaires» et «droites se coupant à angle droit» sont considérées comme étant synonymes. L'élève rencontre d'abord des figures dont des côtés forment des angles droits. Par exemple, il utilise un cube comme gabarit d'angle droit pour reproduire un carré. C'est pour décrire la construction d'un carré qu'apparaît la nécessité de parler de côtés perpendiculaires, c'est-à-dire se coupant à angle droit. Remarque Les méthodes qui utilisent le compas pour construire une droite perpendiculaire à une droite donnée ne doivent pas être enseignées à l'école primaire. Parallélisme «L'étude des droites parallèles relève du cycle 3, mais les élèves du cycle 2 sont amenés à les reconnaître de façon perceptive et à les nommer.» Au cycle 3, les élèves apprennent à utiliser la règle et l'équerre pour vérifier que deux droites sont parallèles ou pour tracer deux droites parallèles. Les élèves doivent savoir tracer deux droites parallèles mais pas une droite parallèle à une droite donnée passant par un point donné, la coordination des deux instruments (règle et équerre) étant dans ce cas trop difficile pour la majorité des élèves. Égalité de longueurs - Milieu La notion de longueur apparaît dans deux parties des programmes : celle qui concerne l'espace et la géométrie et celle qui concerne les grandeurs. Cette notion sera étudiée plus en détail, mais une progression est ici possible, qui s'appuie sur des techniques pour vérifier si des segments ont la même longueur ou non : au cycle 2, on utilise un gabarit ou un instrument de mesure ; au cycle 3, on utilise un instrument de mesure ou le compas. La notion de milieu n'apparaît qu'au cycle 3 et, pour le chercher, on utilise le pliage ou la règle graduée. Remarques La construction du milieu d'un segment au compas, que vous devez connaître, n'est pas au programme de l'école. 4

5 Les propriétés des diagonales des quadrilatères particuliers, que vous devez connaître pour le concours, ne sont pas non plus au programme de l'école. V. Conclusion «Quelles situations mettre en place pour aider les élèves à dépasser ces difficultés et à se construire des images mentales des figures de base?» situation-problème activités qui ne soient pas que du domaine du méso espace. 5