6 Table des matières

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1 Table des matières 1 Eléments de calcul tensoriel Définitions générales Tenseurs d ordre Produit tensoriel Contraction d un tenseur selon un couple d indices Tenseurs d ordre Matrice d un tenseur d ordre Endomorphisme associé à un tenseur d ordre Contractions d un tenseur d ordre 2 et d un vecteur Contractions de deux tenseurs d ordre Double contraction de deux tenseurs d ordre Dérivée d une fonction par rapport à un tenseur Contractions d un tenseur d ordre 4 et d un tenseur d ordre Calcul différentiel sur les tenseurs Gradient d un champ de tenseurs Divergence d un champ de tenseurs Théorème de la divergence Formulaire de calcul différentiel sur les tenseurs Coordonnées cartésiennes orthonormées Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques Exercices Caractère intrinsèque de la contraction d un tenseur sur un couple d indices Etude algébrique de la double contraction Le produit tensoriel L algèbre des tenseurs isotropes d ordre Identités tensorielles remarquables Etude du tenseur d inertie Théorème de Gauss (électrostatique, gravitationnel) Calcul différentiel sur les tenseurs

2 6 Table des matières Tenseur de Green du matériau isotrope Rotationnel d un champ de vecteurs Etude de la transformation géométrique d un milieu continu Transformation géométrique Tenseurs de déformation Transport des vecteurs matériels Déformation de Green-Lagrange Composantes du tenseur de déformation de Green-Lagrange Transformation infinitésimale et tenseur de déformation linéarisé Choix de la configuration de référence Condition de compatibilité géométrique Forme générale des solutions en déplacement Description du mouvement par les vitesses Vitesse lagrangienne et vitesse eulérienne Taux de déformation volumique Tenseur taux de déformation Dérivées particulaires d un champ Dérivées particulaires d une intégrale de volume Exercices Etude d une rotation infinitésimale Direction invariante dans une transformation homogène Expression d une translation en coordonnées cylindriques Etude d une transformation géométrique Dérivée temporelle de l énergie cinétique Extensions simples géométriquement compatibles Compatibilité géométrique d un champ de déformation constant par blocs Compatibilité géométrique en déformations planes Compatibilité géométrique d un champ anisotrope Conditions aux limites uniformes de Hashin : formulation en déformation Déformations planes polynomiales Compatibilité géométrique : A propos des solutions multivaluées Champ de déplacement discontinu C 1 par morceaux : approche par la théorie des distributions Description eulérienne des mouvements de corps rigides Taux de déformation lagrangien et eulérien Formulations eulérienne et lagrangienne de la liaison d incompressibilité Transport convectif d un élément d aire

3 Table des matières 7 3 Contraintes dans un milieu continu tridimensionnel Modélisation des efforts extérieurs Lemme du tétraèdre Tenseur des contraintes de Cauchy Définition et interprétation physique Equation de la dynamique - Equation d équilibre Symétrie du tenseur des contraintes Cercles de Mohr Discontinuités du champ de contraintes Dualisation de l équation de la dynamique Théorème des puissances virtuelles Théorème des travaux virtuels Puissance et travail des efforts extérieurs dans le mouvement réel en condition quasistatique Exercices Cercles de Mohr Représentation lagrangienne des contraintes : tenseur de Piola-Kirchhoff Représentation semi-lagrangienne des contraintes : tenseur de Boussinesq Champ de contrainte constant par blocs Conditions aux limites uniformes de Hashin ; formulation en contraintes Discontinuité de contrainte Régularité des contraintes : approche par la théorie des distributions Théorème des travaux virtuels pour un champ de déplacement discontinu C 1 par morceaux Forces à distance dépendant du sous-système Introduction au calcul à la rupture Problématique du calcul à la rupture Approche directe dans le cas tridimensionnel Formulation de conditions nécessaires de stabilité Matériau de von Mises Généralisation à d autres matériaux Généralisation à des champs de déplacements discontinus C 1 par morceaux Exercices Critère de Tresca Mise en rotation d un arbre cylindrique rigide encastré Stabilité d un talus vertical

4 8 Table des matières Fonction d appui du matériau de von Mises Fonction d appui du matériau de Tresca Stabilité d un talus vertical Stabilité d un talus vertical Fonction d appui du critère de Green Effondrement d un corps sphérique sous poids propre Poutre en flexion Comportement élastique du solide tridimensionnel Comportement élastique en condition isotherme Comportement thermoélastique Inversion de la loi de comportement Comportement thermoélastique linéaire Développement limité quadratique de l énergie libre Inversion de la loi de comportement dans le cas linéaire Comportement thermoélastique linéaire isotrope Isotropie dans l état initial naturel Etat initial précontraint Exercices Prise en compte d effets inertiels dans la formulation de la loi de comportement élastique Calcul tensoriel et élasticité linéaire isotrope Tenseurs d élasticité isotropes Matériau élastique incompressible Quelques résultats de convexité Elasticité isotherme et élasticité adiabatique Élasticité et linéarité Loi de comportement élastique en transformation finie Problèmes d élasticité tridimensionnelle Définition du chargement Définition de la solution d un problème d élasticité Méthodes de résolution directes Méthode de résolution par les contraintes Méthode de résolution par les déplacements Expérience de traction simple Détermination de la solution Interprétation de E et ν Exercices Cavité circulaire dans un milieu infini sous cisaillement Elastodynamique : vitesses de propagation dans un milieu élastique infini

5 Table des matières Un problème d élasticité linéaire incompressible Contraintes gravitationnelles à l échelle d un astre : méthode directe par les contraintes Contraintes gravitationnelles à l échelle d un astre : méthode directe par les déplacements Milieu continu élastique infini soumis à une force ponctuelle Variation spatiale de la fonction de Green Déformation d origine électrostatique Contraintes au voisinage de la pointe d une fissure Traction uniaxiale en transformation finie Contraintes thermiques Potentiels de Neuber-Papkovich Approches variationnelles en élasticité linéaire Principe de minimum de l énergie potentielle Intêret pratique du principe de minimum de l énergie potentielle Principe de minimum de l énergie complémentaire Conjonction des deux principes Le cas général Évolution isotherme à partir de l état initial naturel Exercices Calcul variationnel de l énergie potentielle d un milieu fissuré Approche variationnelle de la compressibilité d un solide comportant une cavité Translation d un arbre cylindrique dans un milieu élastique La méthode des éléments finis dans un contexte unidimensionnel Un problème d astrophysique : La limite de Roche Un théorème de l énergie mécanique Aplatissement de la Terre - le géoïde de référence Bornes de Voigt et Reuss Problèmes d élasticité en déformations planes Notion de fonction d Airy Représentation de la fonction d Airy par des potentiels complexes Expression des contraintes Expression des déplacements Singularités de contraintes en fond de fissure Annexe : Rappels sur les fonctions de la variable complexe Exercices Calcul de la fonction f(z) de (8.24) pour une pression uniforme A propos de la question de l unicité du potentiel φ(z) Cavité circulaire sous pression

6 10 Table des matières Cavité circulaire avec traction uniaxiale à l infini Etude d un cisaillement : approche par fonction d Airy et approche variationnelle en contraintes Propagation d une fissure dans une plaque Propagation d une fissure dans une pièce en extension Introduction à la mécanique des fluides Généralités Modèle de fluide parfait Modèle de fluide visqueux newtonien Le nombre de Reynolds de l écoulement Ecoulement irrotationnel de fluide incompressible Théorème de Bernoulli Potentiel et fonction de courant Potentiel complexe de l écoulement Exemples d écoulements potentiels Puits et source Tourbillon ponctuel Ecoulement entre deux plans Ecoulement sans circulation autour d un cylindre Ecoulement avec circulation autour d un cylindre Formule de Blasius pour le calcul de la résultante des efforts sur un obstacle Le cas général Application à l écoulement autour d un cylindre circulaire Utilisation des transformations conformes Définition La transformation de Joukovski Ecoulement autour d un cylindre de section quelconque Point singulier d un écoulement - Hypothèse de Kutta-Joukovski Annexe : expression de l accélération Introduction à la théorie de la couche limite Motivation Equations de la couche limite : forme adimensionnelle Equations de la couche limite en variables dimensionnées Solution autosemblable de Blasius Exercices Fluide parfait barotrope Trajectoires et lignes de courant Etude d une source jaillissant dans un bassin Ecoulement dans un coin à angle droit

7 Table des matières Ecoulement potentiel défini par une distribution continue de tourbillons ponctuels Longueur caractéristique de la pertubation d un écoulement par un obstacle Moment des forces appliquées par un écoulement potentiel sur un obstacle Moment des forces appliquées par un écoulement potentiel sur un obstacle Etude d un profil de Joukovski Transformations conformes d un cercle Vitesse au bord de fuite d un profil de Joukovski Milieux curvilignes Transformation géométrique Transformation géométrique d un arc Description du mouvement d un arc par les vitesses Transformation géométrique d une structure Efforts extérieurs et intérieurs Efforts extérieurs et intérieurs dans un arc Dualisation des équations de la statique ; théorème des puissances virtuelles Efforts extérieurs et intérieurs dans une structure Hypothèse des petits déplacements et applications Structure plane chargée dans son plan Structures élastiques Cadre de l étude Formulation du comportement élastique Calcul des structures élastiques Annexes Rotation infinitésimale Courbure d un arc plan Exercices Statique des poutres Compatibilité des déformations d un système de barres articulées Etude d un système hyperstatique Illustration du théorème de Castigliano Poutre élastique périodique Elasticité des poutres Poutre inclinée soumise à une compression Application du calcul à la rupture à une poutre en flexion Eléments finis en flexion Une tentative de modélisation simplifiée du «longbow»