MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES

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1 MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES GENERALITES A. LAMURE

2 INTRODUCTION : DEFINITIONS QU EST-CE-QUE LA MSP? MSP = ensemble actions pour évaluer, régler et maintenir processus de production en état de fabriquer produits conformes aux spécifications et avec caractéristiques stables dans le temps. MSP = suite analyses qui comprennent : réflexion sur processus, caractéristiques significatives de ce processus, du produit, des tolérances nécessaires ; validation outil de production et de son aptitude à fournir ce que l on attend de lui et enfin mise en place de cartes de contrôle. MSP = méthode préventive qui vise à amener processus au niveau de qualité requis et à l y maintenir grâce à système de surveillance qui permet de réagir rapidement et efficacement à toute dérive. Méthode basées + particulièrement sur statistiques. REMARQUE : "Statistical Processus Control (SPC)" Maîtrise Statistique des Procédés ("Contrôle Statistique du Procédé") DEMARCHE MSP REFERENCE : pendant une ou plusieurs période stable, détermination, pour caractéristique produit ou paramètre fonctionnement, référence statistique (minimum 100 valeurs) caractéristique du processus (moyenne et dispersion) : référence englobe variations "naturelles" processus fabrication + contrôle. ECHANTILLONNAGE : pilotage du processus avec échantillon constitué de quelques prélèvements analysés : moyenne et dispersion résultats obtenus = moyenne et dispersion processus à instant considéré. COMPARAISON DE L ECHANTILLON AVEC LA REFERENCE : si échantillon ne diffère pas statistiquement de référence pas d action sur processus, sinon recentrage du processus.

3 INTRODUCTION : PROCESSUS DE PRODUCTION PROCESSUS = ensemble moyens et activités liées qui transforment éléments entrants en éléments sortants" (norme ISO 840). PROCESSUS DE FABRICATION peut comporter plusieurs étapes depuis matières premières j produit fini allant chez client externe : chaque étape = processus avec interfaces fournisseur-client. PROCESSUS DE CONTROLE : produit doit être conforme à des spécifications, exprimées par tolérances. Vérification du produit s inscrit dans processus de contrôle constitué de plusieurs processus individuels de mesure (pour chaque spécification et chaque étape de fabrication). Processus individuel de mesure ne concerne pas uniquement appareil de mesure mais aussi préparation élément de fabrication à tester. PROCESSUS DE PRODUCTION = ensemble processus de fabrication + processus de contrôle. Remarque : notion de processus de fabrication non limitée à transformation de matières ou d objets. Processus de formation = processus de fabrication (acquisition des connaissances) + processus de contrôle (évaluations, tests). 3

4 INTRODUCTION : CARTES DE CONTROLE Pour représenter résultat tests statistiques, SHEWHART a inventé un graphique dénommé "Control Chart" ("Carte de contrôle" ou "Carte de maîtrise"). Classement des cartes de contrôle en grands groupes : SCHEMA D UNE CARTE SHEWART : pour maintenir centrée une caractéristique d un processus, graphique proposé par SHEWHART comporte : ligne centrale = cible (là où on aimerait que se trouve le processus) limites de contrôle inférieure et supérieure Lci et Lcs (ou Lmi et Lms limites de maîtrise inférieure et supérieure) dont position est fonction effectif n des échantillons et des risques de décision. CARTE DE CONTROLE PAR MESURES : caractérisant processus mesurable par centrage échantillon et sa dispersion. On trouve cartes x w (moyenne), s (écart-type) et w ou R (étendue) groupées normalement par : cartes ( x w, w) ou cartes ( x w, s). CARTE DE CONTROLE PAR ATTRIBUTS : information portée sur carte fonction du nombre individus de échantillon qui possèdent un ou de plusieurs caractères dont on ne peut que constater présence ou absence. On distingue cartes p (pourcentage ou proportion de non-conformes), cartes np (nombre d unités non-conformes), cartes c (nombre de non-conformités), cartes u (nombre moyen de non-conformités par unité),cartes D (démérites = comptage pondéré du pourcentage de non-conformités). Remarques : caractère mesurable peut être soumis à contrôle par attributs en le considérant comme conforme si sa valeur intervalle de tolérance et nonconforme dans le cas contraire. Dans tous les types de cartes, décision action ou pas prise au vu du dernier échantillon prélevé. Analyse périodique (fonction volumes fabriqués et maîtrise atteinte) des cartes remplies pendant période considérée. 4

5 INTRODUCTION : NOTION DE RISQUE DECISIONNEL PRISE DE RISQUE : estimation statistique qu un événement se produise ou non ne peut s évaluer que par rapport à situation antérieure connue établissement référence correctement et rigoureusement établie sur processus considéré pour pronostiquer son comportement futur. Dans décisions prises suite à contrôle statistique ("agir" ou "ne pas agir") proposition choisie = la + favorable. Comme obtention échantillon hors des limites de contrôle peu probable (ex. 0,1%) quand processus centré action lorsque échantillon limites : on aura 99,9% de chance d avoir eu raison d agir. CONTROLES : soit à 100% de toutes unités produites, soit sur quelques prélèvements dont moyenne constitue échantillon. estimation qualité de l ensemble des unités produites. Coûts de contrôle nombre n de mesures tandis que sûreté de jugement n contrôle à 100% très onéreux et peu pratiqué (nécessaire que pour raisons impératives sécurité, renommée) car ne met pas 100% à l abri de réclamations (événement ponctuel peut fausser un contrôle). Contrôle quelques unités : nombre d unités contrôlées risque RISQUES α ET β : : soit un opérateur qui vérifie diamètre axes d = 3 mm avec pied à coulisse idéalement réglé. Limites de tolérances fixées à Ti =,9 mm et Ts = 3,1 mm. Si une cendre de cigarette tombe malencontreusement entre mors du pied à coulisse sans qu il s en aperçoive, il se peut que : axe pris ait un diamètre bon mais proche de Ts et que surépaisseur cendre valeur lue > Ts pièce placé dans rebuts. pièce ait un diamètre réel < Ti et que surpépaisseur de la cendre pièce considérée bonne expédiée au client. Risque α (1 ère espèce, risque fournisseur, fausse alarme) = risque de trouver mauvaise quelque chose qui est bonne ou d agir sur un processus alors qu il ne le faudrait pas. Risque β ( ème espèce, risque client) = risque de trouver bonne quelque chose qui est mauvaise ou de ne pas agir alors qu il le faudrait. Dans toute décision que nous prenons, existence de ces risques d erreur. Pour assurer tolérances aux clients, cartes de maîtrise calculées de façon qu elles permettent de décider avec minimum de risques (α et β) si action corrective nécessaire ou pas sur processus. 5

6 INTRODUCTION : SECTEURS D APPLICATIONS MSP préconise mise en place, en cours de fabrication, de cartes de maîtrise qui assureront en permanence tolérances et permettent de supprimer contrôles a posteriori. Deux cas peuvent se présenter : si client déjà formé à MSP : envoi de photocopies de la (les) carte(s) de maîtrise sur période de fabrication correspondant au lot expédié ou lots livrés sans chiffre mais contrôles périodiques par client ("audit") du système Qualité de son fournisseur. si client non formé à MSP : envoi de bulletins d analyse, moyenne des résultats obtenus avec cartes de maîtrise sur période de fabrication correspondant à commande. Utilisation MSP sur tout processus utilisant ou fournissant produits au sens très large du terme (résultats contrôle analytique, de sécurité ou d environnement produits). Fabrication produits industriels passe par contrôles : qualité des matières premières (jugement qualitatif proportion unités non conformes dit aux attributs [norme AFNOR NF X06-0] ou de qualité à partir de mesures [norme AFNOR NF X06-03]). Contrôle de réception matières premières devrait disparaître (ISO 9000, contrôles fournisseur et non client). reproductibilité chaînes de mesure puisque processus de production = Σ processus de fabrication + mesure, variabilité du produit = Σ variabilités fabrication + mesure. Variance de fabrication inconnue (jugement au travers de mesures) mais variance chaîne de mesure mesurable (étude statistique de reproductibilité sur un seul prélèvement) connaissance du domaine (fabrication ou contrôle) à améliorer en priorité. vérification d étalonnage appareils de mesure : qualité d un produit liée au couple (fabrication, contrôle). Si caractéristique X d un produit ou paramètre Y de fonctionnement = majeurs/critiques étalonnage processus de mesures de X ou Y aussi majeurs/critiques ( ne jamais mettre en place cartes de contrôle sur caractéristiques de produits ou paramètres de fonctionnement sans avoir préalablement établi cartes de maîtrise sur vérification d étalonnage chaînes de mesure correspondantes). maîtrise des caractéristiques des produits et des paramètres de fonctionnement : établir d abord carte sur produit final d un processus dont aptitude n est ni trop faible, ni excellente (ne pas commencer par essayer de résoudre problème jusque là insoluble ou cas déjà traité avec satisfaction). 6

7 INTRODUCTION : EXEMPLE DE MAUVAIS PILOTAGE Suivi dans atelier de la quantité d acide résiduaire d un mélange dans réacteur. Chaque analyse individuelle servait à décider si quantité d acide introduite pour opérations suivantes devait être modifiée ou pas. Responsable atelier voulant mettre en place carte de maîtrise sur cette quantité d acide, calcula limites, en fonction risques de mauvaises décisions et tolérances, avec effectif d échantillon n = 3. Pour s assurer de la validité de la carte, résultats individuels ayant servi aux opérateurs pour piloter processus sur cette période, ont été groupés sous forme d échantillons (moyennes de 3 mesures) et reportés sur carte calculée. première action effectuée par opérateurs sur une valeur individuelle inutile, seconde action tout à fait justifiée. troisième action inutile. De + action entreprise démesurée poste suivant, correction dans autre sens encore disproportionnée processus hors limite par valeur inférieure. comme procédé joue au yo-yo, opérateur poste suivant réagit faiblement processus non recentré et postes suivants opérateur obligé de redonner nouveau coup de barre. Pendant,5 jours, homme n agissant qu à partir d informations ponctuelles, a fait dérailler sa machine,...en étant persuadé de bien faire! Seule dernière action était justifiée. Exemple montre que, non seulement on agit souvent trop précipitamment, avec résultats ponctuels, mais aussi souvent de façon inconsidérée ; seules cartes permettent d adapter intensité des corrections à apporter pour corriger dérives juste ce qu il faut. 7

8 PROCESSUS : DIAGRAMME DE PARETO MAITRISE PROCESSUS minimum de connaissances sur : paramètres majeurs qui conditionnent qualité du produit, sécurité des hommes et du matériel, caractéristiques majeures du produit, savoir sur quoi agir et de combien si paramètres ou caractéristiques sortent limites de tolérance. Commencer par répertorier tout ce qui est mesuré, ce qui est surveillé qualitativement et opérer classement par ordre d importance (critique > majeur > moyen > mineur). Mettre en place en priorité cartes de maîtrise sur variables les + critiques non maîtrisées : les + onéreuses ou les + dangereuses. DIAGRAMME DE PARETO = formalisation du processus pour définir points les + préjudiciables à qualité. Pour cela représenter et classer non conformités sur un histogramme, en fréquence ou en coûts décroissants. EXEMPLE : fabrication de résine polyester, recensement des non conformités Classement et représentation des résultats sur diagramme montre qu il faut porter ses efforts d abord sur E puis sur D, etc. Nombre des non Nombre d observation Pourcentages conformités Contamination (inclusions) Taux d humidité Taux de manganèse Coloration Viscosité Taux de cendre Familles A B C D E F ,9 1,4,1 6,9 50,3 1,4 8

9 PROCESSUS : DIAGRAMME D ISHIKAWA CAUSES DES NON CONFORMITES : diagramme d ISHIKAWA (ou en "arêtes de poisson") = représentation des causes directes et indirectes possibles d une non conformité. Pour établir diagramme efficace, travail de groupe avec personnes compétentes, concernées (fabricants, contrôleurs, technicocommerciaux, responsables du transport,...). Groupe de travail doit non seulement définir mais aussi classer principales causes potentielles de non conformités. Distinction parfois entre causes "aléatoires" (nombreuses et faibles effets sur processus) et causes "assignables" (moins nombreuses mais effets importants). Classement préférable en causes "connues et maîtrisables" (= facteurs principaux PEX) et "inconnues ou non maîtrisables" ( = facteurs bruit). Lorsque causes non maîtrisables font dériver processus agir sur un facteur connu pour le redresser. EXEMPLE : voiture roulant une piste, parfaitement rectiligne mais présentant des dévers statistiquement répartis à gauche et à droite (= causes aléatoires non maîtrisables). Sur ensemble de la piste autant de dévers des côtés, mais séries de plusieurs dévers successifs à droite et à gauche. Avec une voiture parcourant cette piste, on ne devrait jamais régler le volant puisque piste rectiligne. Pourtant dans zones où existe davantage de dévers à gauche véhicule va être entraîné à gauche et volant devra être tiré à droite : direction du véhicule = paramètre de fonctionnement qui corrige dérives dues aux causes aléatoires. 9

10 PROCESSUS : CORRELATIONS OBJECTIF ETUDE = déterminer si variables X et Y liées, c.a.d. si en modifiant variable X ("cause supposée") "effet" sur Y. Cas uniquement corrélations linéaires à variables. Pour corrélations non linéaires, il faut trouver transformées qui ramènent à des corrélations linéaires (log(x), x n,...). Pour construire diagramme de corrélation, disposer au moins de 0 couples de valeurs (X, Y). Tracer axes et graduer axes de telle sorte que segment représentant étendue valeurs de X longueur représentant étendue valeurs de Y. INTERPRETATION VISUELLE DU DIAGRAMME : lorsque nuage de points forme bande assez étroite et que valeurs de Y ( ) globalement quand celles de X : corrélation positive (négative) ; lorsque nuage de points ne forme pas une bande très étroite, possibilité d avoir corrélation mais analyse + approfondie nécessaire. Il n y a probablement pas corrélation sauf si données collectées couvrent domaine de variation insuffisant ou rassemblent résultats obtenus dans conditions et mélangées sans discernement (ex. matières premières, modification consignes de fonctionnement durant période considérée,...). 10

11 PROCESSUS : TEST DE CORRELATIONS Tracer sur diagramme de corrélation axes passant par x et y (moyenne valeurs X et Y) 4 quadrants numérotés I, II, III et IV. Compter n i = nombre points dans chacun des quadrants, sans prendre en compte points qui se trouvent sur axes x et y. Effectuer somme n = nombre points dans les quadrants opposés les - peuplés (n = n 1 + n 3 = 4) et N = nombre total points dans 4 quadrants (N = 8). Regarder dans table de corrélation probabilité de trouver seulement n points sur N dans ces quadrants (ex. table avec risque de se tromper α = 5% : n 0 = 8) : n 0 = limite pour dire avec risque α = 5% de se tromper qu il y a une corrélation REMARQUE : test de corrélation appelé "test des signes" car regroupement points de quadrants opposés pour lesquels π i = [(x i - x )][(y i - y ] > 0 ou < 0. N n 0 N n 0 N n 0 N n 0 N n 0 N n 0 N n 0 N n 0 N n Table de corrélation pour un risque d erreur α = 5%

12 PROCESSUS : COEFFICIENT DE CORRELATION A VARIABLES COEFFICIENT DE CORRELATION VRAI ENTRE VARIABLES X et Y, pour nombre de mesures = nombre ρ inconnu tel que -1 < ρ < +1. Valeur estimée ( )( ) par r sur nombre restreint de mesures : xi x yi y r =. ( x x) y y [ ][ ( ) ] TABLE DE CORRELATION DE ρ : première colonne nombre ν degrés de liberté : (pour variables, ν = N -, pour k variables ν = N - k). Autres colonnes probabilité de trouver valeur valeur de r donnée. ν P = 10% P = 5% P = % P = 1% ,9877 0,9000 0,8054 0,793 0,6694 0,9969 0,9500 0,8783 0,8114 0,7545 0,9995 0,9800 0,9343 0,88 0,839 0,9999 0,9900 0,9587 0,917 0, ,615 0,58 0,5494 0,514 0,4973 0,476 0,4575 0,4409 0,459 0,414 0,4000 0,3887 0,3783 0,3687 0,3598 0,333 0,960 0,746 0,0573 0,48 0,306 0,108 0,1954 0,189 0,176 0,1638 0,7067 0,6664 0,6319 0,601 0,5760 0,559 0,534 0,5139 0,4973 0,481 0,4683 0,4555 0,4438 0,439 0,47 0,3809 0,3494 0,346 0,3044 0,875 0,73 0,500 0,319 0,17 0,050 0,1946 i 0,7887 0,7498 0,7155 0,6851 0,6581 0,6339 0,610 0,593 0,574 0,5577 0,545 0,585 0,5155 0,5034 0,491 0,4451 0,4093 0,3810 0,3578 0,3384 0,318 0,948 0,737 0,565 0,4 0,301 i 0,8343 0,7977 0,7646 0,7348 0,7079 0,6835 0,6614 0,6411 0,66 0,6055 0,5897 0,5751 0,5614 0,5487 0,5368 0,4869 0,4487 0,418 0,393 0,371 0,3541 0,348 0,3017 0,830 0,673 0,540 k P / Pour N > 100, r = th avec k = nombre d écarts-types pour la probabilité P/ (Loi N 3 Normale Réduite) et th = fonction tangente hyperbolique. Table de corrélation à variables 1

13 PROCESSUS : REGRESSIONS Lorsque tests précédents montrent corrélation entre X et Y volonté de déterminer relation linéaire qui lie effet de X sur Y de façon à pouvoir agir sur Y par intermédiaire de X. Régression linéaire de la forme : y = a x + b avec a = r s Y /s X et b = y - a x où r = coefficient de corrélation, s X et s Y = écarts-types respectifs sur X et Y, x et y = moyennes respectives de X et Y. APPLICATION 1 : POLYMERISEUR NYLON Etude de l influence V de la vis d extraction (X) sur la porosité des pastilles de polymères obtenus (Y). On a relevé les données suivantes n échantillon X =vitesse Y = porosité n échantillon X =vitesse Y = porosité Construire le diagramme de corrélation. En déduire si la porosité est corrélée à V? Dans le cas positif, donner la relation linéaire qui lie la porosité à la vitesse V de la vis d extraction pour la polymérisation du nylon. Remarque avec Excel, si valeurs X placées dans colonnes B-B1 et Y dans colonnes C-C1 : Etendue w x = MAX (B : B1) MIN (B : B1), Moyenne x = MOYENNE (B : B1), Ecart-type s x = ECARTYPE (B : B1), Coefficient corrélation r = COEFFICIENT.CORRELATION (B : B1 ; C : C1) 13

14 STATISTIQUES : HISTOGRAMME STATISTIQUE = résumé chiffré nombre important de données ( perte informations) obtenu par. regroupement données individuelles en classes : 6 à 15 valeurs résument 40 à plusieurs milliers de données moyenne + dispersion données individuelles autour valeur centrale : valeurs calculées selon loi de distribution choisie qui résument ensemble des données. GRAPHIQUES = représentation valeurs sous forme histogramme, "camembert", courbe de distribution en fréquences, etc. Pour construire correctement histogramme, à partir de N données individuelles, 4 règles : Nombre de classes K tel que 6 < K < 15. Estimation par K = N ou règle de STURGES : K = 1 + 3,3 log 10 (N). Largeur L classes calculée à partir étendue (w ou R) des données et nombre K de classes : L = w /K. Arrondir L selon précision voulue diminution ou augmentation parfois de K de 1. Limites basse (haute) 1 ère (dernière) classe telles que + petite (grande) des données se trouve dans classe et non en limite de classe. Si une valeur se trouve à une interclasse, la mettre par convention dans classe immédiatement à droite (règle dite "priorité à droite"). REMARQUES : Forme ± symétrique histogramme indique normalité distribution des données mais test de normalité nécessaire. Si intervalle des classes de l histogramme valeur infinitésimale dx (nombre de classes ), polygone de distribution en fréquences des valeurs courbe de distribution. Recherche loi de distribution la + proche de la distribution expérimentale puis utilisation modèle mathématique pour représenter processus. 14

15 STATISTIQUES : DISTRIBUTION NORMALE DISTRIBUTION LOI NORMALE caractérisée, pour référence N 100 par moyenne µ = Σx/N et écart-type des valeurs σ = ( x µ ) / N. Pour échantillon taille n : m = Σx i /n et s = ( xi m) /( n 1) Commencer par tracer données sur diagramme chronologique et éliminer points "singuliers" de cause connue. Si aucune tendance discernable : Calculer moyenne et écart-type sur ensemble des points (N 100) avec formules pour référence afin d obtenir dispersion ensemble des données. Dissocier série des N données en r sous-groupes de taille n voisine des échantillons afin d obtenir dispersion "intrinsèque" ou "instantanée". Si tracé met en évidence plusieurs populations, calculer écart-type de chacune des populations ou des r sous-groupes puis écart-type moyen à partir des variances. Pour tracer histogramme, recentrer valeurs individuelles sur moyenne cible. Si tendance chronologique (cas fréquent pour indicateurs) diviser artificiellement données en sous-groupes de quelques valeurs (minimum = ) et calculer écart-type intrinsèque moyen comme précédemment. aucune tendance n = populations tendance chronologique Lorsque N données divisées en sous-groupes, écart-type moyen calculé soit directement à partir de ceux des sous groupes (méthode la plus précise), soit à partir étendue moyenne w de ces sous-groupes. Avec 1 ère méthode, s = si / r si taille n des r sous-groupes ne varie pas de ± 10% et = [ n 1 ] s / ( n 1) s autrement. i i i Avec nde méthode, taille n des sous-groupes rigoureusement identiques et s = w /d où d donnée en fonction taille n des sous groupes. n d 1,18 1,693,059,36,534,704,847,970 3,078 3,173 3,58 15

16 STATISTIQUES : PROPRIETES DE LA LOI NORMALE DISTRIBUTION NORMALE représentée par une courbe symétrique centrée sur µ et probabilité P(x) de trouver valeur donnée x déterminée par fonction 1 ( x µ ) P ( x) exp. Probabilité de trouver des valeurs entre deux limites = σ π x 1 et x vaut : P( x 1 σ x x x = ) x 1 1 exp σ π ( x µ ) σ dx ( surface S) COORDONNEES CENTREES REDUITES = nombre d écarts-types k = (x-µ)/σ, probabilité de trouver valeurs situées au-delà de k écarts-types de la moyenne s exprime par la LOI NORMALE REDUITE (LNR) : P (x tel que (x-µ)/σ k) = k 1 k exp π Par définition, distribution LNR a pour moyenne µ = 0 et écart-type σ = 1. VALEURS CARACTERISTIQUES DE LA LOI NORMALE REDUITE Entre % de valeurs A l extérieur de % de valeurs ± 1 écart-type 68,3 % ± 1 écart-type 31,7 % ± écarts-types 95,4% ± écarts-types 4,6% ± 3 écarts-types 99,73% ± 3 écarts-types 0,7% Tableur EXCEL : PROBABILITE P = LOI.NORMALE.STANDARD (k) Inversement si P = 5% k = LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(0,05) dx 16

17 STATISTIQUES : INTERVALLE DE CONFIANCE D UNE MOYENNE Pour juger état statistique d un processus prélèvements (échantillons) dont on détermine moyenne x et écart-type s x. THEOREME LIMITE CENTRALE : si, dans une population normale (moyenne µ et écart-type σ), on prélève des échantillons de taille n, distribution de ces échantillons suivra une loi normale (moyenne µ et écart-type s x = σ/ n ). Pour échantillon, x i peut se trouver ± éloignée de la véritable moyenne µ. Intervalle de confiance de la moyenne, avec probabilité P donnée, = estimation [µ inf - µ sup ] autour de x i. Véritable moyenne µ a P% de chance de se trouver dans intervalle : µ inf = x i - k.s/ n µ x i + k.s/ n = µ sup où k = nombre écarts-types loi LNR correspondant à probabilité P = (100-P)/ de trouver cette moyenne et s= estimation de σ connu. COMPARAISON DE MOYENNES : acuité du jugement = fonction du nombre n de mesures individuelles et calcul de la dispersion des données établie de façon sûre (variance "connue") ou sur séries (variance "inconnue"). VARIANCE "CONNUE" : soit n 1 et n = nombre de mesures pour chacune des moyennes x 1 et x, leur différence D = x 1 - x est significativement 0, avec probabilité α choisie (risque α) de se tromper si D + k σ d avec σ d = σ / n1 + σ / n et k = nombre d écarts-types de la loi LNR correspondant à probabilité α de déclarer différence significative alors qu elle ne l est pas. VARIANCE "INCONNUE" (test d Aspin-Welch) : utilisation de la loi de Student au lieu de loi normale. Test de l hypothèse D t s d avec s d = s 1 / n1 + s / n et t = variable correspondant à probabilité α de déclarer différence significative alors qu elle ne l est pas, pour nombre de degrés de liberté ν calculé et arrondi à valeur entière la plus proche par : 1 1 s 1 = ν n 1 n1s 1 + n s n 1 1 d s d 17

18 STATISTIQUES : INTERVALLE DE CONFIANCE D UN ECART-TYPE INTERVALLE DE CONFIANCE DE L ECART-TYPE : comme celui de la moyenne il dépend de la taille n de l échantillon considéré. Contrairement à celui de la moyenne, ce paramètre ne suit pas une LNR mais une LOI dite DE χ. Pour une valeur d écart-type donnée s x d échantillon, véritable écart-type σ peut se trouver ± éloigné de s x : on appelle intervalle de confiance de l écart-type, pour une probabilité P donnée, l estimation (σ inf - σ sup ) autour de s x σ inf = s x ( n 1) χ ( 100 P) / σ s x ( n 1) χ ( 100+ P) / = σ sup Remarque : loi du χ dissymétrique conduit a une faible précision sur écarttype pour des tailles d échantillons faibles. C est pourquoi, il faut déterminer la dispersion sur minimum 100 valeurs. COMPARAISON DE DEUX VARIANCES : soit échantillons sur lesquels on a déterminé les écarts-types s 1 sur n 1 mesures et s sur n mesures. Pour déterminer si les deux écarts-types sont significativement différents, on calcule le rapport F = s 1 / s en portant toujours au numérateur la variance la plus élevée. On cherche ensuite sur la table de "F" (FISHER-SNEDECOR), pour ν 1 = n 1-1 et ν = n -1 degrés de liberté, la valeur F 0 au-delà de laquelle on ne peut trouver que P% (risque α) de valeurs si les écarts-types sont égaux et conclure à tort qu ils sont différents. Ecarts-types non significativement si F calculé F 0 et si F calculé F 0 avec un risque α = 5% de se tromper 18

19 STATISTIQUES : TEST DE NORMALITE TEST DE LA DROITE DE HENRY (norme AFNOR X06-050) : test de normalité pour juger ajustement d une partie de la distribution des valeurs expérimentales à une courbe de Gauss. Sur un papier à échelle Gausso-arithmétique (ordonnées - abscisses) porter, en ordonnées, les fréquences cumulées aux centres de classes, sauf le premier et le dernier point (trop grande imprécision). Plus valeurs expérimentales se rapprochent d une loi normale, plus les points sont alignés. Pour conclure que la distribution est ou n est pas normale, établir un "couloir" de confiance tel qu on n a que 5% de risque de trouver des points extérieurs en portant les intervalles de confiance de la moyenne et de la dispersion. A m min = m - k,5% s/ N = m - 1,96 s/ N pour 50% des valeurs B m max = m + k,5% s/ N = m + 1,96 s/ N pour 50% des valeurs,5% C m min + s min = m min + s ( N 1) / χ pour 84% des valeurs D m max + s max = m max + s ( N 1) / χ pour 84% des valeurs 97,5% 97,5% E m min - s max = m min - s ( N 1) / χ pour 16% des valeurs,5% F m max - s min = m min - s ( N 1) / χ pour 16% des valeurs TRACES TYPIQUES DU GRAPHIQUE DE HENRY Loi normale 19

20 MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES ANALYSES A. LAMURE

21 APTITUDE : APTITUDE STANDARD OBJECTIF = vérifier que variabilité naturelle et centrage du processus de production compatibles avec tolérances de la caractéristique sélectionnée. Sur une période stable de référence, prélever, de façon aléatoire, N = 100 valeurs non consécutives. Eviter : prélèvement sur une trop longue période : risque de modifications de consigne de marche, de matériel, assimilables à des variations aléatoires du processus surestimation de la dispersion, prélèvement sur une période trop courte : risque que certains facteurs aléatoires n aient pas eu le temps de jouer sous estimation de la variabilité. Moyenne m trouvée sur la (ou les) période(s) de référence peut être remplacée par une valeur "cible" m 0 fixée en général par rapport aux tolérances [T i ; T s ] centrée ou non. INDICATEURS D APTITUDE STANDARD : C p = sinon C pk = T Min. s m 3. s. m0 Ti ; 3. s T s T 6. s i lorsque cible centrée 0 (norme NF X06-033). Indicateurs standard fondés sur dispersion standard de 6 écarts-types (99,73% des valeurs). Trois cas : Suivant valeurs de C p ou C pk, aptitude des processus classée comme : C p 0,67 0,67 C p 1,00 1,00 C p 1,33 1,33 C p 1,67 1,67 C p,00 très mauvaise très moyenne moyenne bonne à mauvaise à moyenne à bonne très bonne,00 C p excellente 1

22 APTITUDE : APTITUDES D UN MOYEN DE PRODUCTION ET DE CONTROLE APTITUDE SPECIFIQUE : pour préciser la notion de "risque à l utilisation du produit" utilisation d indicateurs d Aptitude plus spécifiques ( coefficients d Aptitude spécifique) notés A p ou A pk se rapportant à une dispersion de k écarts-types ( k = nombre d écarts-types défini par loi LNR en fonction du pourcentage de valeurs qui doivent se trouver entre les tolérances) : Ts Ti Ts m0. m0 Ti A p = et A pk = Min. ; k. s APTITUDES = indicateurs d état a posteriori. Dans écart-type s de la période de référence, tous les facteurs (matières premières, moyens de fabrication, moyens de contrôle) ont contribué à la dispersion de la production. Afin de faire la part de chacun d eux, distinction entre : APTITUDE OPTIMALE (OU INTRINSEQUE) D UN MOYEN DE PRODUCTION : Prélever, dans conditions optimales de stabilité de fonctionnement, une cinquantaine de pièces sur une courte durée dont dispersion s i = "dispersion intrinsèque du moyen de production" C am = IT/ 6s i (rapport intervalle de tolérance sur dispersion intrinsèque du moyen de production sur une courte période) ou C mk = min.[(t s - m)/ 3s i ; (m - T i )/ 3s i ] (rapport distance entre moyenne et tolérance la plus proche sur demi - dispersion intrinsèque du moyen de production sur une courte période). Remarque : aptitude optimale (ou intrinsèque) aptitude de fabrication (influence de la variance de la chaîne de mesure). APTITUDE D UN MOYEN DE CONTROLE. : "justesse" du système de contrôle (dispersion entre moyenne d une série de résultats et une valeur de référence). Essais de "répétabilité" à partir d un seul prélèvement de fabrication, par le même opérateur, dans un même lieu, sur un seul appareil, avec le même mode opératoire) non réalisés en MSP. Essais de "Reproductibilité" (dispersion s R des résultats obtenus à partir d un même prélèvement de fabrication, par même méthode mais avec des opérateurs différents, des appareils différents et des temps éventuellement variables) pour déterminer les variations de l ensemble de la chaîne qui auront des répercussions sur pilotage de fabrication. C mc = IT/6s R (rapport intervalle de tolérance du moyen de production sur dispersion de reproductibilité du moyen de contrôle sur une courte période). k. s k. s

23 APTITUDE : ETUDE COMPARATIVE DES VARIANCES INDICATEURS D APTITUDE présentent plusieurs inconvénients : aptitudes d un niveau de qualité ne peuvent servir au pilotage des processus, aptitude intrinsèque jugée qu au travers de mesures valeurs ne donnent pas aptitude propre du processus de fabrication, aptitudes non additives : aptitude globale du processus de production aptitudes processus fabrication + processus contrôle (inverse racine carrée), aptitudes ne permettent pas de définir objectifs relatifs de variabilité du processus de contrôle vis-à-vis du processus de fabrication. VARIANCES DE FABRICATION ET DE CONTROLE : variance V P du processus de production, pour caractéristique donnée d un produit = somme variances des éléments qui le compose : matières premières, opération de fabrication (hommes et machines) et ensemble des opérations qui amènent aux résultats de mesure (chaîne de mesure). Si V p = variance globale de production (V p = s processus de production) et V C = variance processus de contrôle (V C = s R reproductibilité) variance matières premières V mp V p + V C et V mp + V F = estimation de la variance de l ensemble (matières premières + fabrication). La part de la variance de contrôle ne doit pas dépasser 0% de la variance totale. La variance n est pas un indicateur passif : c est un outil d amélioration de la Qualité. Exemple : réduction en priorité de la dispersion du processus de : fabrication. Contrôle 3

24 APTITUDE : FABRICATION DE FIL METALLIQUE APPLICATION : FABRICATION FILS METALLIQUES Dans une usine de fabrication de fil métallique pour pneumatique, on contrôle la charge à la rupture des fils avec un dynamomètre. Les fils de diamètres 0,175 mm ont une charge à la rupture moyenne de 80 N et les tolérances sont de ± 3,6 N. On sait centrer cette charge à la rupture en jouant sur le diamètre du fil initial avant tréfilage. Durant une période de référence, on a trouvé écart-type global s P = 1,08 N sur la production. En déduire l Aptitude de la production A p Sur la même période, à partir d une seule bobine de fil, le laboratoire de contrôle a estimé la reproductibilité de la mesure dynamométrique s R = 0,75 N. En déduire l aptitude du moyen de contrôle C mc En déduire les pourcentages respectifs des variances de fabrication et de contrôle V F % et V C % On s aperçoit que la part de la variance de contrôle est trop importante pour pouvoir piloter le processus de tréfilage avec une seule mesure par bobine. Le seul moyen de diminuer cette part de variance et, par là même, augmenter l aptitude de l ensemble (fabrication + contrôle) est de faire n mesures sur chaque bobines. Calculer avec n = 8 les nouvelles variances de contrôle V C et de production ainsi que les nouveaux pourcentages respectifs des variances Quelle est, dans ce cas, l aptitude globale du processus C p? 4

25 CARTES DE CONTROLE : DEPLACEMENT LIMITE DE LA MOYENNE ZERO DEFAUT n existe statistiquement que pour intervalle compris entre ± "zéro défaut" très faible probabilité statistique p, définie en fonction du risque que client trouve résultats hors tolérances. Tout processus dérive avec le temps sous effet de causes indéterminées qu on s efforce de supprimer pas à pas ou aléatoires qui peuvent se conjuguer momentanément pour donner des effets dans le même sens. Si caractéristique d un processus dérive d une quantité vers la tolérance supérieure T s, il ne faut pas que sa moyenne m dépasse une certaine valeur limite m rs (= "moyenne refusable supérieure") qui assure encore probabilité p choisie (équivalente au "zéro défaut"). Dans le cas de tolérances T i inférieure et T s supérieure limites inférieure m ri et supérieure m rs. Exemple si équivalence du "zéro défaut" est p = 0,135% m ri et m rs se trouveront à 3 écarts-types en retrait des tolérances T i et T s POSITIONS DE m ri ET m rs définies par loi LNR, dès que p fixé : m rs = T s - ks et m ri = T i + ks avec k = nombre écarts-types correspondent à p%. Pour simplifier formules, dérive maximale de la moyenne exprimée en nombre d écarts-types δ = Min.[(m rs - m 0 )/s ; (m 0 - m ri )/s]. Plus δ grand, plus processus apte à respecter tolérances et moins contrôle coûte cher et δ optimum quand T i et T s symétriques par rapport à m 0. Lorsque processus est centré, probabilité que client trouve des valeurs hors tolérances est minime : ce n est que lorsque moyenne atteint m ri ou m rs qu elle est de p%. Comme cartes de maîtrise calculées de façon à détecter toute dérive δ D, probabilité moyenne réelle qu un client trouve une valeur hors tolérances est toujours inférieure à p. 5

26 CARTES DE CONTROLE : PERIODES OPERATIONNELLES Pour la détermination de l effectif n des échantillons, il faut tenir compte des deux risques α et β de se tromper. CARTES SHEWHART : risques évalués en probabilités car informations données par échantillons successifs traitées de façon indépendante les unes des autres (α et β constants d un échantillon à l autre). CARTES CUSUM ET EWMA : informations présentes combinées avec celles du passé risques α et β évoluent chronologiquement et concepts de risque traduits en termes de "Périodes Opérationnelles". PERIODE OPERATIONNELLE P = nombre N d échantillons successifs jusqu'à en trouver un qui conduise à penser que le processus a dérivé. si processus n a pas dérivé en réalité, période notée P 0 correspond au concept de "fausse alarme", si le processus a dérivé effectivement, période notée P 1 correspond au concept "(100 - β)" chance de détecter rapidement cette dérive. Remarque : on désire P 1 la plus petite possible (détection rapide des véritables dérives 1 < P 1 < 4) et P 0 la plus grande possible (le moins possible de fausses alarmes 100 < P 0 < 1 000) conséquences sur effectif n des échantillons, c.a.d sur coût de contrôle. Dérive Fausse alarme 6

27 CARTES DE CONTROLE : PERIODES OPERATIONNELLES MOYENNES PERIODE OPERATIONNELLE d une séquence d échantillons, jusqu'à obtenir un échantillon qui sort des limites de contrôle = nombre entier. Mais si processus placé à une position déterminée (exemple à m rs ) et que plusieurs séquences successives sont lancées, nombre d échantillons au bout duquel on est alerté d une dérive n est pas le même à chaque séquence : on a une distribution aléatoire des fréquences de Périodes Opérationnelles. PERIODE OPERATIONNELLE MOYENNE : pour carte SHEWHART distribution des Périodes Opérationnelles toujours décroissante et a une longue traînée tandis que celle des cartes CUSUM et EWMA est beaucoup plus resserrée, dissymétrique, avec un maximum (continûment que si moyenne < 1,5). Moyenne de cette distribution = "Période Opérationnelle Moyenne" notée POM 0 si c est une fausse alarme (conventionnellement P 0 = 100/α) et POM 1 si c est une véritable alarme (P 1 = 100/(100-β)). PERIODE OPERATIONNELLE MAXIMALE : normes font apparaître, pour les véritables alarmes, la notion de POMAX, = valeur de Période Opérationnelle Maximale n ayant que 5% de risque d être dépassée : les POMAX peuvent être : calculées pour cartes SHEWHART : POMAX = ENT /Ln[P 1 /(P 1-1] ) estimés pour les autres cartes : POMAX CUSUM = ENT. P 1 1,1-0,75 et POMAX EWMA = ENT. P 1 1,1-0,5 ). 7

28 CARTES DE CONTROLE : CARTES DE LA MOYENNE SHEWHART RISQUE α : cartes SHEWWART + adaptées aux processus discontinus. Le processus étant centré, si distribution suit loi LN (moyenne m 0 et écarttype s), distribution échantillons suit loi normale (moyenne m 0 et écarttype s/ n ). Si limites de maîtrise à ± 3 écarts-types de cible (L m = m 0 ± 3s/ n ), probabilité α = x 0,135% = 0,7% de trouver valeurs hors des tolérances : risque α "bilatéral" (égale probabilité de chaque côté). Remarque : limites de maîtrise sont soit fixées à ± k 1 s/ n de la valeur cible, k 1 = nombre écarts-types correspondant à probabilité α/ (0,1% α/ 1% 3,09 k 1,33) soit exprimées en Périodes Opérationnelles P 0 = 100/α, (1 fausse alarme tous les 500 à 50 échantillons en moyenne). RISQUE β : pour calculer taille n des échantillons, il suffit, après avoir calculé déplacement maximal δ de la moyenne, de tenir compte du risque β de ne pas déceler ce déréglage. Si moyenne du processus se déplace de δ écarts-types ( = δ.s) et atteint moyenne "refusable", très forte probabilité de trouver une valeur d échantillon (= moyenne de n valeurs individuelles) > limite de maîtrise L ms mais probabilité de trouver une valeur < L ms (= risque β) et décider, à tort, de ne pas régler. Risque β "unilatéral" (n existe que d un seul côté de la distribution lorsque processus est centré sur m rs ou sur m ri ). Pour un risque β donné, nombre écarts-types entre L ms et m rs = k (loi LNR). En général : 5% β 0% 1,645 k 0,84 DEPLACEMENT δ DE LA MOYENNE : δ = (L ms -m 0 )/s + (m rs - L ms )/s δ = (k 1 s/ n )/s + (k s/ n )/s = (k 1 + k )/ n Equation d efficacité carte SHEWHART : δ n = k 1 + k où k 1 et k = nombres écarts-types liés aux risques α/et β. 8

29 CARTES DE CONTROLE : EFFICACITE DES CARTES SHEWHART EFFECTIF N DES ECHANTILLONS : équation d efficacité δ n = k 1 + k pour un déplacement de la moyenne δ fixé et des risques α et β choisis, effectif n des échantillons ne peut être quelconque si on veut assurer les tolérances. Courbes d efficacité traditionnelles (risque α = 0,7%) permettent, après avoir choisi β, de déterminer cet effectif n. Ces courbes montrent qu une carte SHEWHART n est efficace et économique que pour de grandes dérives (δ > 1,33 soit C p >145). Limites de maîtrise d une carte de SHEWHART assurant tolérances sont L m = m 0 ± k 1 s/ n avec n calculé par équation d efficacité ABAQUE permet de trouver rapidement meilleur compromis entre n (coût de contrôle) et P 0 (fausse alarme) et donne les limites de maîtrise correspondantes. Calculer δ et choisir P 1 (nombre moyen d échantillons successifs pour détecter dérive δ) puis lire sur abaque couples (n, P 0 ) correspondants et le paramètre k 1 des limites de maîtrise. 9

30 CARTES DE CONTROLE : ABAQUE DES CARTES SHEWHART 30

31 CARTES DE CONTROLE : CARTES DE LA DISPERSION SHEWHART Construction carte maîtrise de la moyenne s appuie sur valeur écart-type s de référence surveillance de sa relative constance. Généralement, utilisation CARTE DES ETENDUES "w x " pour n < 10-1 et des ECARTS- TYPES "s x " au-dessus. Pour ces cartes approximation loi en χ en loi normale et limites se déduisent de tables normalisées. Si dispersion doit être maîtrisée, recalculer limites à partir loi en χ. Intervalle de confiance écart-type σ 0 compris entre : σ inf = s x ( n 1) χ σ 0 s x ( n 1) χ = σ sup ( 100 P) / ( 100+ P) / Inversement, σ 0 ayant été estimé par s, écarts-types s x des échantillons ont une probabilité p de se trouver entre limites L ci et L cs telle que : χ χ ( P) / ( 100 P) / σ σ Lci = 0 n 1 et Lcs = 0 n 1 avec risque α/ de fausse alarme identique pour chaque limite et égal à (100 - P)/ Cartes Cible limite inférieure limite supérieure s x c 4 s B 5 s B 6 s w x d s D 1 s D s n c 4 B 5 B 6 d D 1 D 0,7979 0,606 1,18 0 3, ,886 0,76 1, , ,913 0,088, , , ,964,36 0 4, ,9515 0,09 1,874, , ,9594 0,113 1,806,704 0,05 5,03 8 0,9650 0,179 1,751,847 0,387 5, ,9693 0,3 1,707,970 0,546 5, ,977 0,76 1,669 3,078 0,687 5, ,8754 0,313 1,637 3,173 0,811 5, ,8776 0,346 1,610 3,58 0,9 5, ,9794 0,374 1, ,9810 0,399 1, ,983 0,41 1, ,9869 0,504 1, ,9896 0,559 1,41 31

32 CARTES DE CONTROLE : PRINCIPE DES CARTES EWMA Efficacité cartes SHEWHART médiocre pour petites dérives CARTES EWMA ("Exponentially Weighted Moving Average") : prise en compte valeur échantillon actuel et résultats précédents de façon pondérée. A partir des valeurs moyennes x 1, x,... x i des échantillons successifs, calcul et suivi de : Z i = λ x i + (1 - λ) Z (i-1) avec 0 < λ 1: VALEUR CIBLE : au démarrage d une séquence : Z 0 = m 0 ensuite : Z i = λ x i + (1 - λ) Z (i-1) λ = coefficient de pondération tel que si λ = 1 carte de SHEWHART et plus λ petites dérives mieux décelées mais pas dérives brusques et importantes généralement pour processus continus, 0,5 λ 0,50 et souvent λ = 0,33. APPROXIMATION DE λ EN FONCTION DE LA PERIODE OPERATIONNELLE P 1 λ 1-0,7 tg[(p 1-1)/P 1 ] pour 1 < P 1 5 et (P 1-1)/P 1 = angle en radians LIMITES DE MAITRISE :. L m = m 0 ± L s Z / n avec : s Z = s λ ( ) ( i λ ) s λ ( λ) quand rang i échantillon. Au début d une séquence, limites = segments // qui convergent très vite vers L m et dès 4 ème échantillon, limites de maîtrise droites parallèles. Paramètres des limites L soit lu sur abaque d efficacité vraie, soit approximé par L = k 1 0,3 (δ. n ) -,3 0,019 où k 1 = nombre d écarts-types de loi LNR pour probabilité (100/P 0 ) exprimée en %. Obtention également 1, Lorsque δ n >,5 L k 1. du paramètre L par : L = k 1 - ( ) 5 4 δ n 3

33 CARTES DE CONTROLE : EFFICACITE DES CARTES EWMA EFFECTIF n DES ECHANTILLONS : Efficacité vraie de la forme δ n = F Pf 0, Pf ) avec : ( 1 F(Pf 0, Pf 1 ) = 1/Pf 1 Ln(Pf 0 /Pf 1 ) - (Pf 1-1)/Pf 1 Ln[Pf 1 /(Pf 1-1) (Pf 0-1)/ Pf 0 ] utilisation d algorithmes complexes (logiciels spécifiques) pour obtenir n. Utilisation de l équation d efficacité approchée des cartes EWMA : δ n = [k 1 + k ].e [(f 1 P 1 )/f ] ] pour 1 < P 1 5 et k 1 = nombre d écarts-types loi LNR pour la probabilité [100/P 0 ] %, k = nombre d écarts-types loi LNR pour la probabilité [100(P 1 1)/P 1 ] %, f 1 = 0,68 (P 0 + 0) 0,01 + 0,457 et f = 16,33 (P 0-0) -0,058 1,07 Utilisation d abaque de l efficacité vraie des cartes EWMA, en fonction des Périodes Opérationnelles Moyennes. Abaque permet trouver meilleur compromis entre n (coût de contrôle) et P 0 (fausses alarmes) et donne directement limites de maîtrise correspondantes : calcul d abord de δ et choix de P 1 (nombre moyen d échantillons successifs pour détecter dérive δ). Abaque donne couples (n, P 0 ) correspondants et paramètres L des limites de maîtrise. En fixant ensuite de façon intermédiaire n à une valeur entière, calcul de la valeur estimée de P 0 correspondant à cette valeur intermédiaire. 33

34 CARTES DE CONTROLE : PRINCIPE DES CARTES CUSUM PRINCIPE DES CARTES CUSUM : prise en compte informations passées en faisant cumuls algébriques des écarts entre valeurs des échantillons x 1, x, x i et une moyenne d observation m 0. Suivi de tracés sur carte de maîtrise : celui des S + i dont on ne prend que valeurs 0 (valeurs < 0 ramenées à 0), celui des S - i dont on ne prend que valeurs 0 (valeurs >0 ramenées à 0). VALEUR CIBLE : m 0 = 0 LIMITES DE MAITRISE d une carte CUSUM sont : L m = 0 ± h s/ n où h = coefficient appelé paramètre des limites de maîtrise qui peut être : lu sur l abaque d efficacité vraie approximé par h = k 1 (δ. n /) + 0,3 e [1, k (1,55 δ. n )] 1 Comme écart direct à valeur cible nombre très important de fausses alarmes, calculs démarrés que lorsqu une valeur d échantillon sort du "couloir" [m oi, m os ] minimisation fausses alarmes. Moyennes d observation habituellement placées à mi-chemin entre cible et moyennes refusables. : S i + = S i (x i - m 0 ) 0 S i - = S i (x i - m 0 ) 0 avec m os = (m 0 + m rs )/ et m oi = (m 0 + m ri )/ Lorsqu une valeur de S + ou S - sort des limites de maîtrise action pour recentrer processus, arrêt des calculs et démarrage d une nouvelle séquence sans tenir compte des résultats antérieurs. 34

35 CARTES DE CONTROLE : EFFICACITE DES CARTES CUSUM EFFECTIF N DES ECHANTILLONS Efficacité vraie de la forme δ n = F Pf 0, Pf ) avec : ( 1 F(Pf 0, Pf 1 ) = 1/Pf 1 Ln(Pf 0 /Pf 1 ) - (Pf 1-1)/Pf 1 Ln[Pf 1 /(Pf 1-1) (Pf 0-1)/ Pf 0 ] utilisation d algorithmes complexes (logiciels spécifiques) pour obtenir n. Utilisation d abaque de l efficacité vraie des cartes CUSUM, en fonction des Périodes Opérationnelles Moyennes. Abaque permet trouver meilleur compromis entre n (coût de contrôle) et P 0 (fausses alarmes) et donne directement limites de maîtrise correspondantes: Utilisation de l équation d efficacité approchée des cartes CUSUM : δ n = [k 1 + k ].e [(f 1 P 1 )/f ] ] pour 1 < P 1 5 et k 1 = nombre d écarts-types loi LNR pour la probabilité [100/P 0 ] %, k = nombre d écarts-types loi LNR pour la probabilité [100(P 1 1)/P 1 ] %, f 1 = 1,09 (P 0 + 0) 0, ,003 et f = 11,50 (P 0-40) -0,07 1,50 35

36 CARTES DE CONTROLE : COMPARAISON DES CARTES DE MAITRISE si δ n < 3,5 prendre une carte CUSUM ou EWMA, si δ n > 3,5 prendre la carte SHEWHART car elle a la même efficacité et est plus simple à calculer et à tenir pour les opérateurs. CARTES SHEWHART CUSUM EWMA λ<0,5 EWMA λ>0,75 Caractéristiques oui non lissée presque Limites de contrôle oui oui non au début non au début Efficacité pour détecter : petites dérives δ dérives δ importantes mauvaise bonne bonne moyenne bonne moyenne moyenne bonne Coût contrôle pour δ petit élevé plus faible plus faible moyen 36