Trigonométrie dans le cercle

Transcription

1 DERNIÈRE IMPRESSIN LE 8 août 0 à :5 Trigonométrie dans le cercle Table des matières Angles dans un cercle. Cercle trigonométrique Le radian Angles dans le cercle trigonométrique Lignes trigonométriques 5. Définitions Tableau des angles remarquables Relations entre deux angles Angles opposés Angles suppléméntaires et opposés supplémentaires Angles compléméntaires et opposés complémentaires..... Lignes trigonométriques dans le cercle Représentation des fonction sinus cosinus et tangente 8 PAUL MILAN SECNDE B

2 ANGLES DANS UN CERCLE Angles dans un cercle. Cercle trigonométrique Définition : n appelle cercle trigonométrique dans un repère orthogonal direct (; ı ; j ) le cercle de centre et de rayon. j ı. Le radian Définition : La radian est une unité de mesure d un angle comme le degré. Il est défini comme la longueur de l arc entre points du cercle unité. Le demi cercle unité a un longueur de et donc correspond à un angle de radian. n a alors : 80 = rd j rd ı La mesure en degré de radian vaut donc : rd = Remarque : Le radian est une grande unité qui n est pas intuitive contrairement au degré qui est notre unité première. Avantage : Permet de connaître la longueur d un arc. Unité du système international Il est important de connaître les angles remarquables en radian : Degré Radian PAUL MILAN SECNDE B

3 ANGLES DANS UN CERCLE Exemple : Convertir en radian les angles en degré suivants : Pour convertir un angle en radian on utilise la conversion 80 = rd soit pour x x degré on a : 80 radian. n obtient alors : Degré Radian 5 Exemple : Convertir en degré les angles en radian suivant : Pour convertir un angle en degré on utilise la conversion 80 = rd soit pour y y 80 radian on a : degré. Radian Degré Angles dans le cercle trigonométrique Définition : La mesure d un angle repéré par un point M dans le cercle trigonométrique est la valeur algébrique de la longueur de l arc AM où A(; 0) Le sens trigonométrique ou direct correspond au sens antihoraire. j M β ı n a représenté deux angles et β dont l un est positif et l autre négatif β. n remarquera que l on a indiqué le sens trigonométrique M n peut noter les angles remarquables sur le cercle trigonométrique. Il est important de visualiser l emplacement des angles pour s en faire une idée. PAUL MILAN SECNDE B

4 ANGLES DANS UN CERCLE Propriété : Un même angle peut avoir plusieurs mesures. Si un angle repéré par le point M sur le cercle trigonométrique a comme mesures x et y alors on a la relation suivante : y = xk ou plus simplement y = x [] y égal x modulo Exemple : Soit deux mesures sur le cercle trigonométrique d un même angle : j M Sur la figure ci-contre on a tracé deux mesures d un même angle repéré par un point M. y x ı Par exemple x = En effet : ( ) et y =. = () = Définition : n appelle mesure principale d un angle la mesure x qui se trouve dans l intervelle ] ; ] Exemple : Trouver la mesure principale des angles dont les mesures sont : 7 et PAUL MILAN SECNDE B

5 LIGNES TRIGNMÉTRIQUES 7 est un mesure trop grande il faut donc lui enlever un nombre k de tours () pour obtenir la mesure principale : 7 k = (7 8k) = avec k = est une mesure trop petite il faut donc lui rajouter un nombre k de tours () pour obtenir la mesure princimale : k = ( k) Lignes trigonométriques. Définitions = 5 avec k = Définition 5 : Soit un angle repéré par un point M sur le cercle trigonométrique. n appelle : cos = H projection de M sur l axe des abscisses sin = K projection de M sur l axe des ordonnées K sin cos M H M tan A tan = AM intersection de (M) avec la tangente en A Remarque : Pour tout réel x on a : cos x et sin x. Tableau des angles remarquables Comme déjà vu dans le chapitre sur les configurations voici le tableau à très bien connaître : Angle 0 sin 0 cos 0 tan 0? PAUL MILAN 5 SECNDE B

6 LIGNES TRIGNMÉTRIQUES. Relations entre deux angles.. Angles opposés sin( ) = sin cos( ) = cos tan( ) = tan n peut constater que les fonctions sinus et tangente sont impaires tandis que la fonction cosinus est paire sin -sin cos -.. Angles suppléméntaires et opposés supplémentaires Angles suppléméntaires sin( ) = sin cos( ) = cos tan( ) = tan - sin Angles opposés supplémentaires sin( ) = sin cos( ) = cos tan( ) = tan -cos -sin cos.. Angles compléméntaires et opposés complémentaires Angles complémentaires ( ) sin = cos ( ) cos = sin cos sin - Angles opposés complémentaires ( ) sin = cos ( ) cos = sin -sin cos sin cos PAUL MILAN SECNDE B

7 LIGNES TRIGNMÉTRIQUES. Lignes trigonométriques dans le cercle Voici sur le cercle trigonométriques l ensembles des lignes trigonométriques des angles remarquables dans le cercle trigonométrique Exemple : Calculer le cosinus le sinus et la tanglente des angles suivants : 5 7 Avec ( cos ) = cos = ( sin ) = sin = ( tan ) = tan = PAUL MILAN 7 SECNDE B

8 REPRÉSENTATIN DES FNCTIN SINUS CSINUS ET TANGENTE Avec 5 cos 5 ( = cos ) = cos = sin 5 ( = sin ) = sin = tan 5 ( = tan ) = tan = Avec 7 = [] cos 7 ( = cos ) = cos = sin 7 ( = sin ) = sin = tan 7 ( = tan ) = tan = Représentation des fonction sinus cosinus et tangente Les courbes des fonction sinus et cosinus s appelle des sinusoïdes. Elle sont identiques à une tranlation près. La courbe de la fonction tangente n a pas de nom. n peut remarquer que la fonction tangente n est pas définie en k avec k Z. tan x.5 sin x cos x PAUL MILAN 8 SECNDE B