Logarithmes, exponentielles, puissances

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1 Logarithms, ponntills, puissancs 1 A l origin, ls logarithms ont été conçus pour rmplacr ls multiplications par ds additions, d façon à facilitr ls calculs. On doit à J. Npr, dans ls annés 1600, la réalisation d un prmièr tabl d logarithms, d où l nom d logarithm népérin qui lui st aujourd hui associé. Jusqu à un époqu récnt -ls annés 1960-, ls règls à calcul étaint basés sur ds graduations logarithmiqus, avant d êtr définitivmnt supplantés par ls calcultts. La fonction logarithm, ln ou log(), intrvint dans d nombru domains. Ell caractéris notammnt touts sorts d phénomèns évolutifs à croissanc lnt. On utilis aussi un logarithm pour définir un nivau sonor, ou ncor pour l échll d Richtr à propos ds séisms. La fonction logarithm combl aussi un vid : on sait qu la dérivé d n (avc n ntir rlatif) st n n-1, mais on n obtint jamais ainsi -1 = 1/ (pour n = 0, la dérivé st 0), ou ncor un primitiv d a st a+1 /(a+1) sauf si a = 1). Maintnant c st la fonction ln qui aura comm dérivé 1/, ou ncor un primitiv d 1/ st ln. 1. La fonction logarithm népérin 1.1. Définition du logarithm népérin par un intégral (ou un air) Plaçons-nous sur l intrvall R*+. La fonction y = 1/ st continu sur ct intrvall. Ell admt ds primitivs sur R*+, t la primitiv qui s annul pour = 1 st logarithm népérin (noté ln) ctt intégral, soit : 1 ln = dt 1 t 1 dt. Par définition, on appll 1 t Si l on vut, ln st rprésnté par un air algébriqu (ici égal à l air géométriqu) : On a déjà plusiurs propriétés du logarithm qui découlnt d sa définition : la fonction ln st défini sur R*+ = ]0, [ Ell st dérivabl sur R*+, t sa dérivé st (ln ) = 1/. Comm la dérivé st positiv, la fonction ln st croissant sur R*+. ln 1= 0. Comm la fonction ln st croissant, on n déduit l sign d ln : ln > 0 pour > 1, t ln < 0 sur ]0, 1[.

2 Propriété fondamntal L logarithm transform un produit n somm, t un puissanc n multiplication, soit, avc a t b > 0 t n ntir : ln (a b) = ln a + ln b 1 ln (a n ) = n ln a 2 Notammnt, ln (1/a) = ln a. On a aussi ln (a / b) = ln a ln b Limits * lim ln = * * lim ln = 4 0+ ln(1 + h) lim 1 h h 0 = Courb rprésntativ Ls résultats précédnts donnnt l tablau d variations d la fonction ln, t la courb n découl. La courb présnt du branchs infinis. D un part, lorsqu tnd vrs 0, ln tnd vrs. La courb admt l a ds y comm asymptot. D autr part, lorsqu tnd vrs +, y tnd vrs +. En formant l rapport ln /, on vrra qu il tnd vrs 0. La courb admt un branch paraboliqu d dirction O. 1 Pour l démontrr, prnons la fonction y = ln a sur R*+. Sa dérivé st a / a = 1/. D mêm qu ln, c st un primitiv d 1/ sur R*+. D où ln a = ln + K. En faisant = 1, on n déduit K = a. D où ln a = ln + ln a. 2 Pour n ntir, ctt propriété st un conséqunc d la précédnt. 3 Prnons sous la form 2 n, d où ln 2 n = n ln 2. Lorsqu n tnd vrs +, cla rvint à fair tndr vrs +, t n ln 2 tnd vrs +. 4 Posons X = 1/. Lorsqu tnd vrs 0+, X tnd vrs +, ln = ln (1/X) = ln X qui tnd vrs lorsqu X tnd vrs +. 5 Plaçons-nous au voisinag d 1. L tau d accroissmnt st ln /( 1). En prnant comm infinimnt ptit h = 1, il vaut aussi ln (1+h) / h. En passant à la limit, l tau d accroissmnt dvint la dérivé d ln n 1, soit 1/ pour = 1, c st-à-dir 1.

3 3 Courb du logarithm 1.5. Croissancs comparés Lorsqu l on chrch un limit dans l cadr d un multiplication ntr un puissanc d t un puissanc d ln, t qu l on tomb sur un form indétrminé, la puissanc d l mport sur la puissanc du logarithm. Notammnt, prnons ln lorsqu tnd vrs +. On obtint un form indétrminé /. Dans c cas, c st qui l mport (ou ncor ln st négligabl dvant au voisinag d + ) : vrs 0. Pour démontrr qu ln tnd vrs 0 pour tndant vrs +, on procèd ainsi : On commnc par démontrr qu ln < sur R*+. Il suffit pour cla d étudir la fonction auiliair g() = ln, dont la dérivé st 1 1/ = ( 1)/. La dérivé st négativ ou null sur ]0, 1] t positiv ou null sur [1, + [. La fonction g admt un minimum n = 1 t son minimum vaut g(1) = 1. On n déduit qu g() > 0, d où ln <. L inégalité précédnt prmt d écrir : pour > 0, ln <, soit 1 ln <, ou ln 2 2 <. Alors ln ln 2 = <. Plus précisémnt on a l ncadrmnt, dès qu st supériur à 1 : ln 2 0 < <. Et quand tnd vrs +, ln st pris n sandwich ntr 0 t un quantité qui tnd vrs 0, t donc tnd vrs 0. Ls autrs cas d limits s déduisnt d clui-ci, n procédant à ds changmnts d variabls. Par mpl, prnons ln lorsqu tnd vrs 0+. Posons X = 1/. Quand tnd vrs 0+, X tnd 1 1 ln X vrs +, t ln = ln =, t l on appliqu l résultat précédnt. Finalmnt ln tnd vrs X X X 0. Rmarquons qu la propriété d croissanc comparé s appliqu bin : lorsqu tnd vrs 0+, ln st d la form indétrminé 0.. Dans c cas, c st qui l mport t l on a bin : lim ln = Passons maintnant au cas général : (ln ) a avc a t b positifs. Lorsqu tnd vrs +, on a un b form indétrminé /. Pour montrr qu c st b qui l mport, on fait : (ln ) b a a ln = b / a, t l on pos X= b/a, avc X qui tnd aussi vrs + ln tnd

4 4 / a a a b ln X a ln X = =. Sachant qu lnx / X tnd vrs 0, il n st d mêm d X b X (ln )a. b Rmarqu : L fait qu l logarithm soit négligabl fac à un puissanc d à l infini indiqu qu la fonction logarithm a un croissanc très lnt. On put l constatr n comparant ls du fonctions qui font l objt d l rcicc suivant : Ercic : Position rlativ ds courbs d équation y = ln t 1/ 4 y = =. 1) Tracr sur ordinatur cs du courbs sur ]0, 5]. Constatr qu la courb du ln travrs cll d y = 1/4. Qu va-t-il s passr pour d plus grands valurs d? L vérifir n traçant ls du courbs sur ]0, 6000]. Conclur sur la position rlativ ds du courbs. Avc c tracé ds du courbs, on a l imprssion qu la courb du ln mont plus vit qu cll d y = 1/4, puisqu ll la dépass pour d l ordr d 4,2. Mais on sait qu sa croissanc finit par dvnir baucoup plus lnt qu cll d y = 1/4. Il st donc sûr qu la courb d y = 1/4 va à nouvau travrsr cll d ln. On l constat sur l dssin suivant, pour approimativmnt égal à Finalmnt la courb d ln commnc par êtr au-dssous, puis ll pass au-dssus, t nfin rpass définitivmnt n dssous. 2) Vérifir cla théoriqumnt. Prnons la fonction auiliair g() = 1/4 ln sur R*+. Sa dérivé st : 1/ g '( ) = =. Ell s annul pour 1/4 = 4, c st-à-dir = 4 4 = / 4 4 4

5 5 Comm la fonction y = 1/4 st croissant, la dérivé st négativ pour < 256, t positiv pour > 256. D où l tablau d variation : L minimum m, pour = 256, st négatif. Sur ]0, 256], la fonction st continu t décroissant. Ell réalis un bijction d ]0, 256] sur [+, m]. L nombr 0, qui st dans l nsmbl d arrivé, admt un antécédnt uniqu 1 d l ordr d 4,2. Il n st d mêm sur l intrvall [256, + [, dont l imag st [m, + [, avc 2 d l ordr d 5500 tl qu g( 2 ) = 0. On n conclut qu la courb du ln commnc par êtr au-dssous d cll d y = 1/4, puis au-dssus, n nfin au-dssous La fonction logarithm, comm bijction d R*+ dans R Puisqu la fonction ln st dérivabl sur R*+, ll st aussi continu. Etant strictmnt croissant t continu sur R*+, ll réalis un bijction d R*+ = ]0, + [ sur ]ln(0), ln(+ )[ = ], + [ = R. Ainsi, tout nombr rél (d l nsmbl d arrivé) admt un antécédnt uniqu dans R*+. Notammnt 1 a pour antécédnt un nombr applé, d l ordr d 2,718, tl qu ln = 1. 6 Etant un bijction, la fonction ln admt un bijction réciproqu, applé ponntill, t noté pour l momnt p(). On l écrira aussi. 2. La fonction ponntill Par définition, la fonction ponntill st l invrs du logarithm, soit : y = p() avc R équivaut à = ln y avc y R*+ D où ln(p()) =, c qu on écrira aussi : ln = t aussi p(ln ) =, ou ln =. La courb d l ponntill Ls propriétés d l ponntill découlnt d clls du logarithm. 6 Comm ln = 1, on dit qu ln st l logarithm n bas. On définit plus largmnt un logarithm n bas a par log a = ln / ln a, t l on a aussi log a a = 1. Notammnt n bas 2, si l on a y = 2 n, alors log 2 y = n log 2 2 = n.

6 6 La fonction ponntill st défini, continu t dérivabl sur R, avc ctt particularité : la dérivé d l ponntill st égal à l ponntill : p()) = p() 7 Ell st croissant, t réalis un bijction d R sur R*+. L ponntill st partout positiv. On a notammnt p(0) = 1 t p(1) =, c qui conduit à choisir la notation au liu d p() : 0 = 1 t 1 =. Ls règls ds puissancs s appliqunt à l ponntill : a+b = a b ( a ) b = ab. Limits : lim + lim = 0 = + La courb admt un branch paraboliqu d dirction vrtical n +, t un asymptot horizontal qui st l a ds n -. On a aussi : 1 lim = 1 (c st la limit du tau d accroissmnt n 0). 0 En cas d indétrminationn ntr un puissanc d t un puissanc d ponntill n multiplication, c st toujours l ponntill qui l mport. 3. Eponntills généralisés a Il s agit d la fonction a, où a st un constant. Par définition, puisqu a = l a = ln a D où la règl : quand on a à étudir un fonction du typ a on doit aussitôt la rmplacr par ln a. Ctt fonction n a d sns qu si a > 0. Lorsqu a st supériur à 1, ln a > 0 t la courb d y = a st croissant, comm pour. Mais si a st strictmnt compris ntr 0 t 1, ln a st négatif, t la courb st décroissant, comm pour. La dérivé (a ) s obtint n dérivant ln a, d où (a ) = ln a lna. ln a, En roug ls courbs d y = 4, 3, 2, 2 n vrt clls d (1/4), (1/3), (1/2), (1/ / 2) 7 Pour y = p() ou = ln y, on a dy 1 1 = = = y = p( ) d d / dy 1/ y

7 7 4. Fonctions puissancs Il s agit d a. On connaît déjà ctt puissanc lorsqu a st un ntir rlatif, ou un nombr rationnl (un fraction d ntirs). Grâc à l ponntill t au logarithm, ctt fonction puissanc va maintnant avoir un sns pour a rél qulconqu, puisqu par définition : a = a ln Quand on a à étudir un fonction du typ a on aura intérêt à la rmplacr aussitôt par a ln. Lorsqu a st un nombr rél qulconqu, ctt fonction n ist qu pour > 0. Sa dérivé sur R*+ st a aln a ln a a a a ( )' = ( )' = = = a. On rtrouv la formul classiqu d dérivation d un puissanc. Slon ls valurs d a, la courb rprésntativ présnt l un ds forms suivants. Cas ou l posant a st positif : * Lorsqu a st supériur à 1, on parabol d a vrtical pour y = 2, t dans l cas général. rtrouv un dmiun form analogu * Lorsqu a st ntr 0 t 1, on rtrouv la dmi-parabol 1 d a horizontal pour y = = 2 Cas où l posant a st négatif, on rtrouv notammnt un branch d hyprbol pour a = 1 (y = 1/) 5. Ercics 5.1. Etud d On considèr la fonction tll qu f() =. 1) Donnr son nsmbl d définition, t étudir ctt fonction. Tracr la courb rprésntativ.

8 8 Pour traitr ctt fonction d, l sul moyn st d écrir = ln. Ctt prssion ist si t sulmnt si > 0, à caus du logarithm. D où l nsmbl d définition D = R*+. Comm mélang d fonctions classiqus, la fonction st continu t dérivabl sur D. La dérivé st : '( ) ln f = (ln + ) = f ( )(ln + 1). Comm f() st toujours positif, à caus d l ponntill, la dérivé st du sign d ln + 1. Ell s annul pour ln = 1, soit = 1 = 1/ 0,37. Comm ln st un fonction croissant, ln + 1 l st aussi, ll pass donc du sign moins au sign plus quand augmnt. On n déduit l tablau d variations, la fonction admt un minimum n 1/, t clui-ci vaut (1/) 1/ =( 1 ) 1/ = 1/ 0,69. Lorsqu tnd vrs 0+, ln prnd la form indétrminé 0., mais dans c cas c st qui l mport, t ln tnd vrs 0, d où y = ln tnd vrs 1. Lorsqu tnd vrs +, ln, d la form +.+, tnd vrs +, t l ponntill aussi. Pour y étudir ctt branch infini, formons = = = ( ) ln, on constat qu ( 1) ln tnd vrs +, donc y/ tnd vrs l infini, c qui indiqu qu la courb admt un branch paraboliqu d dirction Oy. 2) Montrr qu on put la prolongr par continuité n 0. En applant f la fonction prolongé, stll dérivabl n 0? Prnons comm fonction prolongé f tll qu f () = f() sur R*+, t f (0) = 1. Ctt fonction st maintnant défini sur R+. Comm f admt un limit 1 lorsqu tnd vrs 0 t qu on a aussi f (0) = 1, ctt fonction st continu n 0. Pour étudir la dérivabilité n 0, formons l tau d accroissmnt au voisinag d 0, n utilisant l ln ln fait qu ln tnd vrs 0 : X = ln. On sait qu tnd vrs 1 lorsqu X tnd ln X ln vrs 0, d où aussi. Comm ln tnd vrs, l tau d accroissmnt tnd vrs. La ln fonction n st pas dérivabl n 0, mais la courb admt un tangnt vrtical n c point Etud d un fonction pair Etudir la fonction f tll qu + 1 f ( ) = La division st impossibl si = 1, soit = 0. D où l nsmbl d définition R*.

9 9 Formons + 1 (1 + ) f ( ) = = = f ( ). Mêm si cla n s voyait pas, la fonction st (1 ) pair. La courb st symétriqu par rapport à l a ds y, t on put réduir l intrvall d étud à R*+. Limit n 0 : f() st d la form indétrminé 0 / 0, mais on a f ( ) = ( + 1) t l on sait qu tnd vrs 1 lorsqu tnd vrs 0, f() tnd donc vrs 2 (on pourrait d aillurs prolongr f par continuité n 0). + 1 Limit n + : Comm 1 =, f() tnd vrs +. Pour étudir la branch infini, formons f() / qui tnd vrs 1. Enfin : f ( ) = ( 1) =, dans c cas d indétrmination /, l ponntill l mport, t f() tnd vrs 0. La courb admt un asymptot obliqu qui st la prmièr bissctric du rpèr, d équation y =. 2 Dérivé : 2 f '( ) =. Pour connaîtr son sign, qui st clui du numératur, prnons la 2 ( ) 2 fonction auiliair g( ) = 2 1, dont la dérivé st g () = 2 ( 1). La courb d l ponntill st situé au-dssus d sa tangnt n O d équation y = + 1, d où la dérivé g () st toujours positiv, t g st croissant sur R+ à partir d g(0) = 0. A son tour g st positiv sur R*+, t f () aussi, d où f st croissant sur R*+.