Sciences Po Option Mathématiques

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1 Scieces Po Optio Mathématiques Epreue 3 Vrai-Fau Questio FAUX La suite ( u ) état géométrique de raiso différete de, o a classiquemet, pour tout etier aturel : où q est la raiso de la suite ( u ) Ici, o a u = et u u q S = u u u = = u q q 4 q = Il it doc : 5 S = = = Comme ] ; [ 5, o a : 4 4 lim = lim = 5 5 La propositio est doc fausse et doc : lim S = 5 Remarque : o pouait égalemet remarquer que l o a, u état strictemet égatif et la raiso q état strictemet positie :, u < Il e découle alors :, S < Il e résulte que la suite ( ) S e peut coerger que ers ue limite égatie, doc différete de 5 PaaMaths [-8] Juillet 3

2 Scieces-Po Epreue 3 Optio Mathématiques Questio VRAI Pour tout etier aturel, o a : ( ) ( ) = u 3= u 3 3= u 6= u 3 = O e coclut immédiatemet que la suite ( ) est ue suite géométrique de raiso La propositio est doc raie Questio 3 VRAI La défiitio (par récurrece) de la suite ( u ) ous permet immédiatemet d affirmer qu il s agit d ue suite arithmétique de raiso r = O e déduit immédiatemet : lim u =, d où lim ( u ) = u Comme lim e =, il iet fialemet : lim = lim e = La suite ( ) est doc coergete de limite ulle La propositio est doc raie Questio 4 VRAI O peut modéliser la situatio de la faço suiate L iterrogatio d ue persoe correspod à ue épreue de Beroulli de paramètre p =, correspodat à la probabilité que la persoe accepte de répodre (c est l issue «succès») E admettat que les 5 persoes iterrogées acceptet ou o de répodre de faço idépedate, o peut cosidérer ces 5 iterrogatios comme la répétitio de 5 épreues de Beroulli idépedates de même paramètre p =, comme décrit ci-dessus Das ces coditios, la ariable aléatoire X comptabilisat le ombre de persoes, parmi les 5, acceptat de répodre suit la loi biomiale de paramètres = 5 et p =, O s itéresse ici à la probabilité : p( X 6) La calculatrice fourissat des probabilités du type p( m X ), o choisit m = 6 et, pour, importe quelle aleur etière supérieure ou égale à 5 O obtiet : p( X 6),95 La propositio est doc raie 5 5 k 5 k X 6 =,,8 k = 6 k 5 5 k p( X 6) = p( X< 6) = p( X 5) =,,8 k = k Rappelos que l o a : p ( ) 5 k PaaMaths [-8] Juillet 3

3 Scieces-Po Epreue 3 Optio Mathématiques Questio 5 FAUX O peut fourir diers cotre-eemples Cosidéros la suite ( u ) défiie par : ( ) La suite ( u ) est pas majorée E effet, la suite ( ) ers car pour tout etier aturel, o a : ( ), u = u des termes de rags pairs ted u = = Aisi, pour tout réel A positif, o pourra doc toujours trouer u terme u N supérieur à A Pour autat, la suite ( ) u admet pas de limite puisque la suite ( ) rags impairs ted ers (pour tout etier aturel, o a : u = ( ) ( ) = ) La propositio est doc fausse u des termes de Questio 6 VRAI L équatio est défiie pour > et > soit > O a alors : ( ) ( ) l l = l > > l ( ) = l ( ) = > > = ( )( ) = = La propositio est doc raie Questio 7 FAUX Pour étudier le parallélisme éetuel de deu droites, il suffit de comparer leurs coefficiets directeurs La foctio f état dériable sur comme produit de deu foctios dériables sur (ue foctio polyôme et l ierse de la foctio epoetielle), le coefficiet directeur de la tagete à la courbe représetatie de la foctio f au poit d abscisse est doé f ' par ( ) PaaMaths [3-8] Juillet 3

4 Scieces-Po Epreue 3 Optio Mathématiques Pour tout réel, o a : Il iet alors : f ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) f ' e e ( ) e ( ) ( ) e ( ) = = ( ) = ' e = = = e Comme f ' ( ) 3, o e déduit que la tagete à la courbe représetatie de la foctio f au poit d abscisse est pas parallèle à la droite d équatio y = 3 La propositio est doc fausse Questio 8 FAUX Das cette questio, o peut écrire l équatio cosidérée sous la forme f ( ) = aec 3 f ( ) = 4 4 La foctio f est ue foctio polyôme et est, de fait, défiie et dériable sur Pour tout réel, o a : f '( ) = Le discrimiat associé au triôme aut : Δ = = = 6 O détermie alors facilemet les deu aleurs aulat f '( ) O obtiet : et Aisi, la foctio f ' : S aule e et e 3 Est strictemet positie sur les iteralles ] ; [ et Est strictemet égatie sur l iteralle ; 3 ; 3 O e déduit les ariatios de la foctio f La foctio f est : Strictemet croissate sur les iteralles ] ; ] et ; 3 Strictemet décroissate sur l iteralle ; 3 O a efi : 3 ( ) ( ) ( ) ( ) f = 4 4 = = f = 4 4 = = = PaaMaths [4-8] Juillet 3

5 Scieces-Po Epreue 3 Optio Mathématiques Si o souhaite appliquer le théorème des aleurs itermédiaires coformémet au oueau programme, o doit raisoer sur u iteralle de logueur fiie O a facilemet : O a alors : 3 ( ) ( ) ( ) ( ) f 3 = = 7 36 = Sur l iteralle ] ; 3], la foctio f est strictemet croissate O a doc : ] ; 3 ], f ( ) f ( 3) = O e déduit : ] ; 3 ], f ( ) < La foctio f e s aule pas sur l iteralle ] ; 3] Sur l iteralle [ 3; ], la foctio f est strictemet croissate Elle y est cotiue e tat que foctio polyôme D après le théorème des aleurs itermédiaires (plus précisémet ici, théorème de la bijectio), la foctio f pred ue fois et ue seule toutes les aleurs de l iteralle f ( 3 ) ; f ( ) = [ ;] Comme [ ;], la foctio f s aulera doc ue seule fois sur l iteralle [ 3; ] Sur l iteralle ; 3, la foctio f est strictemet décroissate O a doc : ;, ( ) f f 3 = 3 7 O e déduit ;, f ( ) > 3 La foctio f e s aule pas sur l iteralle ; 3 Sur l iteralle ; 3, la foctio f est strictemet croissate O a doc : ;, ( ) f f 3 = 3 7 O e déduit : ;, f ( ) > 3 La foctio f e s aule pas sur l iteralle ; 3 Il découle de l étude précédete que la foctio f s aule ue seule fois sur 3 E d autres termes, l équatio 4 4 = admet ue uique solutio réelle La propositio est doc fausse PaaMaths [5-8] Juillet 3

6 Scieces-Po Epreue 3 Optio Mathématiques A titre de complémet, ous fourissos ci-dessous ue représetatio graphique de la foctio f Questio 9 VRAI Si l o est habitué à l écriture de programme sur calculatrice, o peut rapidemet écrire le programme correspodat à l algorithme fouri et obteir rapidemet la répose A défaut, o peut rapidemet costruire le tableau suiat e faisat «tourer l algorithme à la mai» Passage das la boucle «Tat que» 3 Valeurs de et c aat traitemet et et 5 3 et 4 Valeurs de et c après traitemet et 5 3 et 4 4 et 3 c? OUI OUI NON La derière aleur de est égale à 4 La propositio est doc raie PaaMaths [6-8] Juillet 3

7 Scieces-Po Epreue 3 Optio Mathématiques Questio VRAI O doit predre garde de bie idiidualiser les deu dés : ous otos D le premier et D le secod Ue issue de l epériece aléatoire cosistat à lacer les deu dés et lire les aleurs portées par les faces supérieures sera otée ( d, d ) où d et d sot deu etiers aturels compris etre et 6 Puisqu il y a 6 aleurs possibles pour chacu des deu etiers d et d, l uiers cotiet u total de 6 6= 36 issues équiprobables = Elle peut égalemet predre toutes les aleurs etières comprises etre et 6 La ariable aléatoire X est alors défiie par X ma ( d, d ) L ééemet «X =» est réalisé par la seule issue (, ) O a doc : p ( X= ) = 36 L ééemet «X 3 O a doc : p ( X = ) = = 36 L ééemet «X 3 ( 3, ) 5 O a doc : p ( X = 3) = 36 L ééemet «X 4 =» est réalisé par les 3 issues (, ), (, ) et ( ), =» est réalisé par les 5 issues (, 3 ), (, 3 ), ( 3, 3 ), ( ) 3, et =» est réalisé par les 7 issues (, 4 ), (, 4 ), ( 3, 4 ), ( ) ( 4, 3 ), ( 4, ) et ( 4, ) O a doc : p ( X = 4) = 7 L ééemet «X , 4, =» est réalisé par les 9 issues (, 5 ), (, 5 ), ( 3, 5 ), ( ) ( 5, 5 ), ( 5, 4 ), ( 5, 3 ), ( 5, ) et ( 5, ) 9 O a doc : p ( X = 5) = = L ééemet «X 6 Il iet alors : , 5, =» est réalisé par les issues (, 6 ), (, 6 ), ( 3, 6 ), ( ) ( 5, 6 ), ( 6, 6 ), ( 6, 5 ), ( 6, 4 ), ( 6, 3 ), ( 6, ) et ( 6, ) O a doc : p ( X = 6) = 36 4, 6, E( X) = = = La propositio est doc raie PaaMaths [7-8] Juillet 3

8 Scieces-Po Epreue 3 Optio Mathématiques Remarque : o pouait meer le calcul ci-dessus de faço plus formelle La démarche ci-dessous peut facilemet être gééralisée à des dés à N faces O cherche p( X k ) = où k est u etier aturel compris etre et 6 L ééemet «X = k» est réalisé par l issue (, ) k k et par les issues de la forme ( k, p ) ou ( p, k ) où p est u etier supérieur ou égal à et strictemet iférieur à k Si k =, la seule issue qui réalise l ééemet «X =» est, comme o l a u ci-dessus, l issue (, ) Si k >, il y a k issues de la forme ( k, p ) et égalemet k issues de la forme ( p, k ) Au total, il y a doc ( k ) = k issues qui réaliset l ééemet «X = k» O costate que cette epressio reste alable das le cas où k = E défiitie, o a : p( X k) k = = 36 k = = N Remarque : pour des dés comportat N faces, il iet p( X k) Il iet alors : N N N k E( X) = k p( X = k) = k = k ( k ) k= k= N N k= N N N N = ( k k) = ( k k) = k k N k= N k= N k= k= N( N )( N ) N( N ) N( N ) = = N 3 N 6 N 6 = ( N )( 4N ) 6N { ( ) } Das ce calcul, ous aos utilisé les sommes classiques : ( )( ) N N N N k = k = 6 k = ( ) N N N k = et Pour N 6 =, il iet : E( X) obteu précédemmet ( )( ) = = = O retroue le résultat PaaMaths [8-8] Juillet 3

9 Scieces-Po Epreue 3 Optio Mathématiques Problème Partie A ) Notos d abord que pour tout réel strictemet positif, o a : e e f ( ) = l l l l e l l l l = = = La foctio est dériable sur e tat que somme de deu foctios dériables sur cet iteralle et sa dériée est défiie par : La foctio l est dériable sur comme composée de deu foctios dériables sur cet iteralle (pour tout réel strictemet positif, o a : > ) et sa ( )( ) dériée est défiie par : = = = Fialemet, la foctio f est dériable sur et, pour, le sige de ( ) Comme o traaille sur f ' est idetique à celui de so umérateur Comme = = et > >, il iet : Si ] ;[ alors <, soit f '( ) < Si = alors f '( ) = Si f ' > O e déduit : > alors ( ) La foctio f est strictemet décroissate sur l iteralle ] ; ] et strictemet croissate sur l iteralle [ ; [ O ote aisi que la foctio f admet u miimum sur miimum est : f = l l = l l = () pour = La aleur de ce PaaMaths [9-8] Juillet 3

10 Scieces-Po Epreue 3 Optio Mathématiques Détermiatio de la limite de f e (à droite) lim f O cherche doc ici : ( ) > O a : > lim = > somme produit e lim lim lim ( ) lim = f = = = > > > Détermiatio de la limite de f e lim f O cherche doc ici : ( ) O a : lim = somme produit e lim = lim lim f ( ) lim = = = Fialemet : ( ) = et lim f ( ) > lim f = ) Le résultat lim ( ) f > = ous permet immédiatemet de coclure que l ae des ordoées est asymptote erticale à la courbe ( C ) Par ailleurs, o a, pour tout réel strictemet positif : e e e e f ( ) l l l l l = l = = = e Or : lim somme lim = = compositio lim l = l () = lim l = l = Aisi, les courbes ( C ) et ( Γ ) respectiemet représetaties des foctios f et e l sot asymptotes e PaaMaths [-8] Juillet 3

11 Scieces-Po Epreue 3 Optio Mathématiques L ae des ordoées du repère et la courbe ( Γ ) d équatio sot asymptotes à la courbe ( C ) e y = l ' = = Pour tout réel strictemet positif, o a doc 3) a) O a obteu, à la questio ) : f ( ) < et doc f ( ) ( ), f ' < ' = < b) Posos : ( ) ( ) g g = f défiie sur La foctio g est dériable sur iteralle et o a, pour tout réel strictemet positif : comme différece de deu foctios dériables sur cet ( ) ( ) g' = f ' Or, à la questio précédete, o a établi : f ( ), g' ( ) < La foctio g est doc strictemet décroissate sur Or, d après la questio ), o a : g( ) = f ( ) = O déduit immédiatemet des deu poits précédets : ; alors ( ) f > Si ] [ Si > alors ( ) Fialemet : g >, soit ( ) g <, soit f ( ), ' <, c'est-à-dire < Sur l iteralle ] ; [, la courbe ( C ) est située au-dessus de la droite ( d ) Sur l iteralle ] ; [, la courbe ( C ) est située e-dessous de la droite ( ) La courbe ( C ) coupe la droite ( d ) au poit A; ( ) 4) Nous fourissos ci-après ue représetatio graphique de la droite ( d ) (e oir) d équatio y =, de la courbe ( Γ ) (e rouge) représetatie de la foctio et de la courbe ( C ) (e bleu) représetatie de la foctio f d e l PaaMaths [-8] Juillet 3

12 Scieces-Po Epreue 3 Optio Mathématiques Partie B ) D après la partie précédete, o a, pour tout réel strictemet positif, f ( ) Démotros le résultat demadé par récurrece O cosidère pour cela, pour tout etier aturel, la propriété P suiate : P : Iitialisatio D après l éocé, o a u La propriété P est doc raie Hérédité Soit u etier aturel quelcoque fié O suppose que P est raie C'est-à-dire : Comme la foctio f est strictemet croissate sur l iteralle [ ; [, o a : f ( ) f ( u ) u, c'est-à-dire : u u PaaMaths [-8] Juillet 3

13 Scieces-Po Epreue 3 Optio Mathématiques Aisi, la propriété P est raie Coclusio Pour tout etier aturel, la propriété P est raie La suite ( u ) est miorée par ) Pour tout etier aturel, o a : u u = f ( u) u = g( u) Par ailleurs, d après la questio précédete, o a :, [ ; [ u D après la questio 3) b) de la Partie A, la foctio g pred des aleurs égaties sur l iteralle [ ; [ O déduit de ce qui précède :, u u = g( u) Aisi : La suite ( u ) est décroissate 3) La suite ( u ) état décroissate et miorée, elle est doc coergete La suite ( u ) est coergete Partie C ) Das le cas où u =, o démotre par ue récurrece immédiate que l o a :, u = Lorsque u =, la suite ( ) u est costate ) A la calculatrice, o obtiet : u,8 43 u u 3, 96, 4 3) a) Cosidéros la foctio h défiie sur l iteralle ] ; [ par h: t t l( t) PaaMaths [3-8] Juillet 3

14 Scieces-Po Epreue 3 Optio Mathématiques La foctio t l ( t) l iteralle ] ; [ est la composée de la foctio affie t t dériable sur e tat que foctio polyôme et preat ses aleurs das la foctio logarithme épérie dériable sur O e déduit que la foctio t l ( t) est dériable sur l iteralle ] ; [ La foctio h est aisi dériable sur l iteralle ] ; [ comme différece de deu t l t ) dériables sur cet iteralle foctios (la foctio idetité et la foctio ( ) Pour tout réel t de l iteralle ] ; [, o a alors : t h' () t = = t t Comme t ] ; [ t > t > Le sige de h' ( ) umérateur, c'est-à-dire t Aisi : ; h' t < Si t ] [ alors ( ) h ' ( ) = Si t alors ( ) h' t > t est doc celui du et de O e déduit que la foctio h est strictemet décroissate sur l iteralle ] ;] et strictemet croissate sur l iteralle [ ; [ Elle admet doc u miimum pour t = Or, h ( ) = l ( ) = l = O a alors : ] ; [, h( t) h( ), soit ] ; [, t l( t) Le résultat est aisi établi ] ; [, l( ) t t b) A la questio ) de la partie A, o a u que l o aait, pour tout réel strictemet positif : f ( ) = l l Pour tout réel h, o a h > D où : f ( h) = l l h = l h l h h Le résultat est établi ( ) h h h h h = l l = l = l h ( h) ( h) ( ) h ( ) ( ) ( ) h ( ) ( ) h h h = l = l = l h h h h PaaMaths [4-8] Juillet 3

15 Scieces-Po Epreue 3 Optio Mathématiques h h, f ( h) = l ( h) h c) Pour tout réel h, o a ( h) h et doc ( h ) > O peut aisi utiliser l iégalité de la questio a) ci-dessus et o obtiet : Comme h, o a D où : f ( h) f h h = l ( h) h et doc ( ) ( h) ( h) h h h h h h = l ( h) ( h) Par ailleurs, h h h l l f ( h) ( h) ( h) ( h) h Fialemet, o a bie : f ( h) h h, f ( h) 4) Notos d abord que, la suite ( u ) état miorée par (cf questio ) de la partie B), o a :, O a alors, pour tout etier aturel : ( ) ( ) = u = f u = f Comme, o peut utiliser le résultat de la questio précédete et o obtiet : O a bie : f ( ), PaaMaths [5-8] Juillet 3

16 Scieces-Po Epreue 3 Optio Mathématiques 5) D après la questio précédete, o a déjà :, et doc, Il coiet doc d établir :, Nous allos établir ce résultat par récurrece Pour tout etier aturel o ul, o cosidère la propriété P : P : Iitialisatio Pour =, o a : Aisi, o a bie Hérédité = = = = = La propriété P est raie Soit u etier aturel o ul quelcoque fié O suppose que la propriété P est raie, c'est-à-dire : O s itéresse à D après la questio précédete, o a : D après l hypothèse de récurrece, o a : état positifs, o e déduit, e éleat au carré : Il iet alors : Les membres de cette iégalité ( ) = = 4 = 4 ( ) ( ) 4 = L iégalité ( ) ous permet d affirmer que la propriété P est raie PaaMaths [6-8] Juillet 3

17 Scieces-Po Epreue 3 Optio Mathématiques Coclusio Pour tout etier aturel o ul,, 3 6) u = O a : u p p D après le résultat de la questio précédete, o a : p Alors : si o aura p p p 3 Comme u =, o a : u = f ( u) = l l l l l l l 3 = = = D où : = u = l = l O a alors : p p p p l l l l l l l l l l 5 l ( l l5) l l l l5 l l p p p p l l 5 l 3 l l l l l 5 l l 5 ( p l ) l p 3 3 l l l l l l l PaaMaths [7-8] Juillet 3

18 Scieces-Po Epreue 3 Optio Mathématiques l l 5 l 3 l l l O a :,95 Aisi, o a l p u p A partir du rag p =, o peut affirmer que l o a u p La relatio obteue à la questio 4) ous permet de dire que la coergece (ers ) de la u ) est très rapide : il s agit suite ( ) (qui équiaut à la coergece ers de la suite ( ) d ue coergece (au mois) quadratique (cet adjectif correspodat à l eposat du terme majorat) La questio 6 permet d illustrer la rapidité de cette coergece PaaMaths [8-8] Juillet 3