Annexe 1. Estimation d un quantile non-paramétrique par la méthode de Hazen

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1 Aexe. Estmato d u quatle o-paramétrque par la méthode de Haze La probablté cumulée emprque d ue doée au se d u échatllo est pas u cocept parfatemet déf : pluseurs estmatos sot possbles ; l e est de même pour le quatle ou le percetle o-paramétrque d u échatllo. La méthode classquemet employée pour calculer la probablté cumulée emprque d u pot au se d u échatllo cosste à classer les valeurs de l échatllo das l ordre crossat et à assocer à chacu la probablté / où est le ombre total de doées et le rag de chacue (das l échatllo classé). Cepedat, cette maère de procéder e codut pas à ue estmato symétrque des probabltés car la plus forte des doées admet la probablté alors que la plus fable admet la probablté / et o 0. La méthode de Haze permet de paller cet covéet. Elle est partculèremet utlsée pour les représetatos graphques de dstrbuto cumulée. Das cette approche, s est le rag de chaque doée das l échatllo classé de maère crossate et le ombre total de doées, la probablté cumulée emprque de chaque pot est défe par la formule suvate : p " a = + " 2 a avec gééralemet a = 0. 5 Cette méthode peut égalemet être utlsée pour estmer les quatles o-paramétrques d u échatllo. S x, avec à, sot les doées classées (das l ordre crossat) de l échatllo et p sot les probabltés cumulées précédemmet défes par la méthode de Haze, alors le quatle Q déf par P { x " Q } = (P=«probablté que») sera calculé de la maère suvate : $ Q # Q " Q ) ) ) = x = x = x + s ) & p ' ( x+ ' x )( ( p+ ') ( p ' p ) s ) % p + s p & ) < p + Il est clar que le quatle Q, quelle que sot la probablté reteue, est boré par la plus fable et la plus forte des valeurs de l échatllo. De ce fat, s est féreur à la probablté cumulée de la plus fable des valeurs ou au cotrare supéreur à celle de la plus forte des valeurs, alors l estmato du quatle Q est peu pertete. Ce problème se recotre lorsque le ombre de doées est fable, quelle que sot la méthode d estmato o-paramétrque chose ; seul l utlsato d ue approche paramétrque permet d y paller. Par alleurs, ous oteros qu l s agt là d ue estmato correspodat au meux (suvat le ombre de doées) à u veau de coface de 50 % (vor aexe 2 pour plus de précso). AFSSE Aalyse statstque des veaux de rsque et seuls de qualté mcrobologque - Eaux de bagade - Drectve 76/60/CEE Octobre p 09

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3 Aexe 2. ombre mmal de doées écessare à l estmato d u percetle 95 % avec u veau de coface de 95 %, par ue approche o-paramétrque Sot C u paramètre doé, la cocetrato e Eschercha col [EC] des eaux d u ste de bagade au cours d ue aée ; sa dstrbuto statstque est supposée coue, mas o dspose de valeurs de ce paramètre. O s téresse au quatle Q du paramètre C ; celu-c est déf par { C " Q } = P avec = 0.95 par exemple (P = «probablté que»). O cherche alors ue estmato Qˆ " de Q correspodat à u veau de coface par exemple de = Autremet dt, o cherche Qˆ tel que P { Qˆ # Q }. Le paramètre correspod au pourcetage du " " " # quatle (ou percetle) de l o souhate calculer et correspod au veau de coface lé à l estmato de ce quatle. Preos pour estmateur de Q la plus forte valeur du paramètre C observée sur l échatllo de talle ( Qˆ " = max C ) et calculos le ombre mmal de doées à à partr duquel o a be u veau de coface de = Chaque valeur de l échatllo peut être cosdérée comme le résultat d u trage aléatore dépedat au se de la dstrbuto statstque du paramètre C, même s cette dstrbuto est coue. O dspose doc de varables aléatores C C,..., C dépedates et de même lo. Pour chaque trage (valeur), o a par défto P { " Q } = Du fat de l dépedace des trages, o a : P{ max C " Q } = P{ C " Q et C2 " Q et... et C " Q } = à or : P { max C $ Q } = # P{ max C " Q } d où : C à à, 2 sot : P P { max C # Q } = " à { Q ˆ " $ Q } = " = # Pour a = et = 0. 95, le ombre mmal de doées écessare est supéreur ou égale log( " $ ) à = 58.40, sot 59 doées. log # ( ) Pour a = et = 0. 95, le ombre mmal de doées écessare est de 29. O peut gééralser cette démarche avec la lo bomale pour des estmatos fodées sur la plus grade valeur, la 2, la k plus grade valeur, etc. O démotre alors AFSSE Aalyse statstque des veaux de rsque et seuls de qualté mcrobologque - Eaux de bagade - Drectve 76/60/CEE Octobre p

4 par exemple qu à partr de 93 doées, la plus grade valeur est ue estmato du percetle 95 % correspodat à u veau de coface de 95 %. p 2 - AFSSE Aalyse statstque - veaux de rsque et seuls de qualté mcrobologque - Eaux de bagade - Drectve 76/60/CEE Octobre 2004

5 Aexe 3. Ajustemet d ue lo de probablté théorque sur des doées cesurées Cosdéros u paramètre X (cocetrato mcrobologque das ue eau de bagade par exemple) dot la mesure est cesurée das les fables valeurs : autremet dt, e dessous d ue certae valeur, qu correspod à la lmte de quatfcato de la méthode de mesure, l est mpossble d accéder à la valeur du paramètre X et le résultat de la mesure est borée par cette lmte de quatfcato. Commet alors accéder à la dstrbuto statstque du paramètre X sachat que certaes mesures de ce paramètre sot cesurées? Af de répodre à cette questo, ous ous placeros das le cas partculer où le paramètre cosdéré est supposé suvre ue dstrbuto ormale et ous chercheros doc à estmer la moyee et l écart type du paramètre X dépedammet de la cesure, par ajustemet de la lo ormale sur les valeurs o cesurées. Toute autre hypothèse de dstrbuto théorque peut aturellemet être fate. Supposos doc que le paramètre X admette pour moyee µ et pour écart type ; o cherche à détermer leur valeur. Soet x ( = à ), les résultats de mesure du paramètre X classés das l ordre crossat, mesures dot les c premères valeurs dot cesurées. O assoce à chaque valeur x sa probablté cumulée emprque p (vor aexe ), pus le percetle correspodat pour qorm, µ,. Les valeurs la lo ormale de moyee µ et d écart type, que l o otera ( ) de µ et de état pas coues, ce percetle se présete pour l stat sous la forme d ue focto dépedat de µ et de. Ajuster la lo ormale sur les valeurs des mesures o cesurées, par la méthode des modres carrés, cosste à détermer les valeurs de µ et de qu mmset la somme suvate : 2 [ x " qorm( p, µ,# )] c+ S o cherche les valeurs de µ et de qu mmset la somme complète, 2 [ x " qorm( p,,# )] µ, o retrouvera la moyee et l écart type calculé sur l esemble des mesures cesurées et o cesurées (ce est évdemmet pas ce que l o cherche). Das la pratque, pour la mmsato, ous proposos l utlsato de l algorthme du smplex [elder et Mead 965 : A smplex method for fucto mmzato. Comput. J. 7: ], ou celu de Gauss-ewto [Bates, D.M. ad Watts, D.G. 988: olear Regresso Aalyss ad Its Applcatos, Wley]. Aalysos les capactés de cette approche à retrouver à partr d u échatllo cesuré les valeurs de la moyee et de l écart type de l échatllo o cesuré tal. Pour cela, ous avos gééré 000 échatllos de 50 valeurs aléatores correspodat à la lo ormale de moyee 0 et d écart type ; pus, ous avos cesuré ces échatllos à la valeur du percetle 75 % de chacu. Autremet dt, 75 % des valeurs de chaque échatllo sot cesurées, et la cesure correspod à la valeur du percetle 75 % de l échatllo o cesuré. p AFSSE Aalyse statstque des veaux de rsque et seuls de qualté mcrobologque - Eaux de bagade - Drectve 76/60/CEE Octobre p 3

6 Ot alors été calculé : la moyee et l écart type (par les formules classques) de chaque échatllo avat cesure ; la moyee et l écart type (par ajustemet sur l esemble des doées) de chaque échatllo avat cesure ; la moyee et l écart type (par ajustemet sur doées o cesurées) de chaque échatllo après cesure ; les écarts etre moyees (resp. écarts types) ssues des formules classques et celles ssues des ajustemets. La même démarche a été etreprse pour 000 échatllos de 500 valeurs aléatores et parallèlemet pour ue cesure placée au percetle 50 % de l échatllo. Quatre smulatos ot doc été réalsées e tout. La comparaso des méthodes (formules classques vs ajustemet sur les quatles) sur échatllos o cesurés codut aux résultats suvats : la méthode par ajustemet apparaît comme très peu basée ; autremet dt, l estmato de la moyee et de l écart type par la méthode d ajustemet est e moyee équvalete à celle ssue des formules classques. Les écarts etre résultats ssus des formules classques et résultats ssus de l ajustemet sot féreurs à 0-8 sur la moyee et à 0-2 sur l écart type. Autremet dt, sur u échatllo o cesuré, la méthode d ajustemet codut aux mêmes résultats que les formules classques de la moyee et de l écart type. La comparaso des valeurs (moyees et écart types) ssues des échatllos o cesurés (formules classques) avec celles ssues des échatllos cesurés (ajustemet) codut aux résultats suvats : les valeurs ssues de l ajustemet sur échatllos cesurés sot très peu basées égalemet. Autremet dt, moyees et écarts types ssus des échatllos cesurés par ajustemets sot équvalets e moyee à ceux ssus des formules classques sur échatllos o cesurées. éamos, les écarts etre valeurs ssues de l ajustemet et valeurs o cesurées peuvet être mportats (pusque l o cherche d ue certae maère à retrouver u échatllo avec ue coassace partelle de cet échatllo). Ces écarts se traduset doc das la pratque par ue certtude sur l estmato de la moyee et de l écart type par la méthode d ajustemet (sur doées cesurées). Cette certtude tradute par u écart type est présetée das le tableau c-dessous ; elle apparaît équvalete pour l estmato de la moyee et celle de l écart type. Écart type des écarts etre moyees des échatllos o cesurés (formule classque) et des échatllos cesurés (ajustemet). Valeurs équvaletes pour les écarts etre écarts types. Cesure correspodat au percetle 50 % de chaque échatllo Cesure correspodat au percetle 75 % de chaque échatllo 000 échatllos de 50 varables aléatores de lo ormale de moy. 0 et d ec. type 000 échatllos de 500 varables aléatores O costate doc logquemet que plus la talle de l échatllo augmete, plus l certtude est fable, et, parallèlemet, que plus la proporto de doées cesurées dmue, plus l certtude est fable. Malheureusemet, l estmato de la moyee et de l écart type par la méthode d ajustemet d u échatllo de 50 valeurs ou mos, cesurées à u percetle 75 % ou plus apparaît peu satsfasate, du fat de la grade certtude attachée au résultat. p 4 - AFSSE Aalyse statstque - veaux de rsque et seuls de qualté mcrobologque - Eaux de bagade - Drectve 76/60/CEE Octobre 2004

7 Remarque Ue approche fodée sur le maxmum de vrasemblace permettrat égalemet l estmato des paramètres d u échatllo cesuré ; éamos, elle est apparue mos pertete que celle que ous proposos sur les doées des stes de bagade. AFSSE Aalyse statstque des veaux de rsque et seuls de qualté mcrobologque - Eaux de bagade - Drectve 76/60/CEE Octobre p 5