Catégorie P3 13 e, 14 e et 15 e championnats

Transcription

1 Catégori P3 13, 14 t 15 championnats Considération pour la résolution ds problèms 9 à 11 Pour qu'un problèm soit complètmnt résolu, vous dvz donnr l nombr d ss solutions t donnr la solution s'il n'n a qu'un, ou dux solutions s'il n a plus d'un. Pour tous ls problèms suscptibls d'avoir plusiurs solutions, l'mplacmnt a été prévu pour écrir dux solutions (mais il s put qu'il n'y n ait qu'un!). Quart d final 13 A98 3 LE DÉ VOYAGEUR Ls 12 cass d'un damir d 4 cass sur 3 sont désignés par ls lttrs d A à L. On pos un dé "normal" sur la cas A. On doit nsuit fair basculr l dé autour d'un d ss arêts pour l'amnr sur un cas voisin d cll qu'il occupait, t on put répétr ctt opération n changant ou non l'arêt autour d laqull l dé pivot. On vut amnr l dé d la cas A à la cas L n cinq mouvmnts. On choisit la position d départ du dé (ll put êtr différnt d cll rprésnté sur l dssin) t on additionn ls nombrs d points portés par ls cass n contact avc l damir, d la prmièr cas (la cas A) à la sixièm cas (la cas L). Qul st l plus grand total qu l'on puiss obtnir? On rappll qu sur un dé "normal", dux cass opposés portnt ds nombrs dont la somm vaut LA CLASSE DE MATHILDE Dans la class d Mathild, il y a dux groups : ls fans ds "Moutard Girls" t cux ds "3 C'st 4". Tout l mond appartint à l'un ds dux groups t prsonn n'appartint aux dux à la fois. Chacun ds dux groups compt un nombr impair d mmbrs (ntr 10 t 20), t l'un ds dux surpass l'autr d quatr unités. Par aillurs, dans la class d Mathild, il y a dux fois plus d fills qu d garçons. Combin y a-t-il d fills, Mathild compris, dans ctt class? 5 LES BILLES DE MATHIAS Mathias a dans son sac 30 bills d trois coulurs. Il sait qu s'il rtir d son sac 25 bills choisis au hasard, il y aura parmi lls au moins 3 bills blanchs, au moins 5 blus t au moins 7 vrts. Combin l sac d Mathias contint-il d bills blus? 6 - PETIT DEJEUNER C matin, pour l ptit déjunr, il y avait dux cruchs idntiqus, l'un rmpli d café t l'autr rmpli d lait. Chaqu mmbr d la famill s'st srvi t a bu 125 millilitrs d café au lait, après avoir fait l mélang slon ls proportions qui lui convinnnt. Mathias s'st srvi l prmir. Il a bu l quart d la cruch d lait t l sixièm d la cruch d café. Après qu l drnir mmbr d la famill s soit srvi, il rstait moins d 125 ml dans l dux cruchs réunis. Combin d prsonns, Mathias compris, compt ctt famill?

2 7 LE TERRAIN DU PÈRE SIFFLEUR L Pèr Sifflur possèd un trrain carré rprésnté ci-contr, dont l côté msur un nombr ntir d'hctomètrs. Il décid d partagr son trrain n quatr parclls rctangulairs. Ls trois prmièrs parclls ont ds airs rspctivs d 18 hm 2, 27 hm 2 t 72 hm 2. Qull st l'air d la quatrièm parcll? 8 LA CHAÎNE TRICOLORE Francis a trouvé trois fragmnts d chaîn. Ls chaînons sont d trois coulurs : blus (notés 1), blancs (notés 2) t rougs (notés 3). Francis aimrait bin constitur un chaîn uniqu dans laqull ls chaînons sraint blu, blanc, roug, blu, blanc, roug, t ainsi d suit jusqu'au drnir chaînon roug. Pour cla, il doit obligatoirmnt ouvrir t rfrmr qulqus chaînons! Sachant qu'il mt 30 sconds pour ouvrir un chaînon t 30 sconds pour l rfrmr, qull st la duré minimal nécssair pour constitur un chaîn tricolor d 12 chaînons? 9 LE POUSSE-POUSSE DE FRANCINE Francin s'st fabriqué un ptit pouss-pouss dans lqul ll a inscrit son nom (dssin n 1). Un ami malicius s'st amusé à mélangr l'ordr ds lttrs n ls faisant glissr un pu au hasard, mais sans ls sortir d la boît (dssin n 2). Francin dmand n combin d coups au minimum il st possibl d rétablir son nom. Attntion, un "coup" put êtr l déplacmnt d'un ou d dux lttrs dans un mêm dirction, avc l pouc! Ainsi, si on "dscnd" ls lttrs E t C, cla n compt qu pour un coup. Dmi-final 13 H UNE NAPPE BIEN PLIÉE Un grand napp carré, 100 % coton, st plié, après rpassag : un prmièr fois n dux rctangls suprposés, puis un 2 fois pour rtrouvr un carré plus ptit, t ncor, d la mêm façon, un 3 t un 4 fois. C pliag trminé, la napp st réduit à un carré d 24 cm d côté. Qul st l périmètr d ctt napp, ntièrmnt déplié, xprimé n cntimètrs? 4 - LE DISTRIBUTEUR Mathild vut s'achtr un confisri à 1 franc au distributur d l'écol. Clui-ci accpt ls piècs n usag ntr 5 cntims t un franc (5 c, 10 c, 20 c, 50 c, 1 F), mais il n rnd pas la monnai. Mathild n'a aucun pièc d'un valur infériur à 5 cntims, t aucun pièc ou billt d'un valur supériur à 1 franc. Ell possèd cpndant plus d'un franc dans son port-monnai, t pourtant, ll n put achtr sa confisri, car ll st dans l'impossibilité d payr xactmnt 1 franc. Combin Mathild possèd-t-ll, au maximum?

3 5 - ENTRE CHATS ET CHIEN Mathias doit dvinr l nom d'un animal (n cinq lttrs). Il a proposé à Mathild ls noms d'animaux ci-dssous, t, à chaqu fois, ll lui a répondu n donnant, dans ct ordr, l nombr d lttrs justs t bin placés, t l nombr d lttrs justs mais mal placés. C H A T S 0 2 L I O N S 1 0 T I G R E 2 0 P A O N S 0 0 B O E U F 1 1 C H I E N 0 4 Ainsi, pour C H A T S, il n'y a aucun lttr just t bin placé, t il y a dux lttrs justs mais mal placés. Qul st l nom d l'animal à dvinr? 6 - UNE HISTOIRE À TOURNER EN ROND Alic a nvoyé un mssag codé à Bob. Malhurusmnt, clui-ci a laissé traînr l mssag t la grill d décodag. Charls, qui passait par là, a su trouvr la signification du mssag. Qull phras Alic a-t-ll nvoyé? Grill d décodag Mssag codé 7 - LA FAMILLE SEPTIME Monsiur t Madam Sptim ont spt nfants nés, curiusmnt, tous ls spt un 7 juillt. Chaqu anné, pour lur annivrsair, Madam Sptim offr à chacun un gâtau comportant autant d bougis qu'il a d'annés. Jan Sptim, l plus jun, s souvint qu'il y a cinq ans, il y avait, au total, dux fois moins d bougis qu ctt anné. Combin d bougis sront allumés ctt anné? 8 - LE POIDS DES ANS L villag d Cnt-l-Viux compt xactmnt 100 habitants. L plus âgé st né n 1900 t tous ls habitants sont nés un anné différnt, mais tous l 1r janvir. En 1999, la somm ds quatr chiffrs d l'anné d naissanc d Juls st égal à son âg. Qul st l'âg d Juls? 9 - DIALOGUE DE SOUS Tic t Tac ont fait d gros progrès n arithmétiqu t ils s'affrontnt maintnant n cs trms : Tic : " L montant d ms économis st très supériur au tin! C'st un nombr à trois chiffrs, c'st un multipl d 9 t il s trmin par un 8. " Tac : " Clui ds minns st aussi un nombr à trois chiffrs. Mais c'st sulmnt un multipl d 3 t il s trmin par un 2! ". Combin d francs Tic possèd-t-il d plus qu Tac, au maximum?

4 Quart d final 14 A99 3 LA TARTE CARRÉE C'st aujourd'hui l'annivrsair d Mathias. Sur la tabl, il y a un suprb tart carré. Il faut la partagr n trois parts d mêm poids, n donnant dux coups d coutau rctiligns passant l'un par l point A t l'autr par l point B. Faits l partag. L coup d coutau passant par A rssort du gâtau n un point C t clui passant par B n un point D. On indiqura sur qul bord (W,X, Y ou Z) sont situés ls points C t D t lur coordonné (non nécssairmnt ntièr). 4 LA VIEILLE CALCULATRICE Ma viill calculatric n put plus fair qu dux opérations : ajoutr 12 au nombr affiché, ou bin lui soustrair 7. Aujourd'hui, ll affich En combin d'opérations, au minimum, pourrai-j fair apparaîtr l nombr 2000 sur l'écran? 5 HISTOIRE DE BILLES Mathild a dux bills d plus qu Mathias. L nombr d bills d Mathias st l doubl du nombr d bills d Matthiu. Matthiu a spt bills d moins qu Mathild. Combin ont-ils d bills à ux trois? 6 LE CARRELEUR AMÉRICAIN Tom, carrlur originair ds Amériqus, fabriqu lui-mêm ls «carraux» qu'il utilis. Aujourd'hui, il a fabriqué cinq «carraux» idntiqus pour «carrlr» la form ci-contr. Ls bords ds carraux, qui n puvnt êtr rtournés, suivnt ls ligns du «quadrillag». Rtrouvz la position ds cinq carraux. 7 - CHOIX SUR L'ÉCHIQUIER Complétz l cadr ci-dssus à l'aid d'un nombr écrit n touts lttrs, d tll sort qu la phras qu'il contint soit vrai. 8 LA FURIBARDE L "lapgourou" st un animal qui court n lign droit d la manièr suivant : il mt 2 sconds pour fair un saut d 4 m, il s rpos un scond t il rcommnc à sautr. La "furibard" st un animal qui saut moins loin; ll mt un scond pour fair un bond d 3 m, mais ll n s'arrêt pas ntr ls bonds. La furibard st à 32 m du lapgourou qu'll décid d poursuivr. Ell n put capturr l lapgourou qu lorsqu'il st arrêté. Dans combin d sconds, au maximum, pourra-t-ll l fair? 9 CHAÎNE DE DOMINOS Philipp possèd un ju complt d 28 dominos (du 0-0 au 6-6). Sa sour Sophi lui a subtilisé ls 7 dominos comportant un 6 (d 0-6 à 6-6). Qu'à cla n tinn! Philipp décid d formr un chaîn frmé avc ls dominos rstants, n rspctant la règl du ju d dominos. On rappll qu dux dominos n puvnt êtr mis n contact qu par un côté portant l mêm nombr d points (voir

5 l'xmpl donné avc 10 dominos). Qull sra l nombr maximum d dominos utilisés par Philipp pour formr un chaîn frmé? Dmi-final 14 H00 3 LA POSTE ET VOUS Michl n'a pas voulu m donnr l cod postal d sa vill. Il m'a sulmnt répondu: * comm tout cod postal français, il comport cinq chiffrs; * la somm du prmir chiffr t du duxièm st 17; * la somm du duxièm chiffr t du troisièm st 15, d mêm qu la somm du troisièm t du quatrièm; * la somm ds dux drnirs st 9 * nfin, la somm du drnir t du prmir st 8. Qul st l cod postal d la vill d Michl? 4 DES POMMES, DES POIRES... Michèl t Patrick rçoivnt aujourd'hui spt prsonns à dînr. Pour l dssrt, ils nvisagnt d'allr cu illir ds pomms t ds poirs au vrgr. Mais l chmin st long t ils savnt qu'à ux dux, ils n puvnt portr plus d 7 kg d fruits. D plus, ils vulnt qu chacun d lurs invités ait l choix. Un pomm pès 300 g. tandis qu'un poir n pès qu 200 g. Qul st l nombr maximum d fruits qu'ils puvnt ramnr? 5 BON ANNIVERSAIRE Pour ls douz ans d Mathild, ss parnts ont commandé au pâtissir ds biscuits très particulirs... n form d triangls, t d périmètr 12 cm. D plus, ls côtés ds triangls msurnt tous ds nombrs ntirs d cntimètrs. Combin d forms différnts l pâtissir vat-il pouvoir réalisr (on put ls rtournr)? 6 LE NUMÉROTAGE DES PAGES Pour numérotr touts ls pags d'un gros cahir, à partir d la pag n 1, Audry a utilisé dux fois plus d chiffrs qu l nombr d pags d c cahir. Combin c cahir comport-t-il d pags? 7 LES GARDE-MANGER DE MIRÔ L trrir d Mirô, la taup, comprnd quatr piècs rliés par six galris. L'un d cs piècs st la chambr à couchr d Mirô, t ls trois autrs lui srvnt d gard-mangr: Mirô y ntrpos ss résrvs d vrs d trr. La mémoir d Mirô étant aussi bonn qu sa vu, pour s'y rtrouvr, cll-ci a placé dans chaqu galri un ptit écritau sur lqul ll a inscrit la différnc ntr ls nombrs d vrs d trr (l plus grand moins l plus ptit) ds dux piècs situés aux xtrémités d ctt galri. Voici c qu'indiqunt ls six écritaux aujourd'hui: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Quls sont ls nombrs d vrs d trr contnus dans ls trois gard-mangr d Mirô, du moins rmpli au miux rmpli? Not: la chambr à couchr n contint, bin sûr, aucun vr d trr.

6 8 LES BARRES CHOCOLATÉES Ms quatr cousins arrivnt dimanch matin pour l ptit déjunr à la maison, pour douz jours d vacancs. Ils sont aussi gourmands qu nous! Hurusmnt, ma mèr, prévoyant, a achté 168 barrs chocolatés afin qu chacun puiss, pndant ls douz jours, n rcvoir un à chaqu ptit déjunr t à chaqu goûtr. Hélas, au soir du nuvièm jour, nos cousins doivnt intrrompr lur séjour t rntrr chz ux. Nous continuons, malgré lur absnc, à dégustr ls barrs chocolatés à la mêm fréqunc. Qul jour d la smain croqurons-nous la drnièr barr? 9 12 x 5 = 6 x 10 Final 14 H DES TAS DE BONBONS Mathias possèd ntr 39 t 49 bonbons. Il ls dispos n tas d 9 bonbons t constat alors qu'il lui rst autant d bonbons qu'il a réalisé d tas. Combin la boît contnait-ll d bonbons, xactmnt? 4 - LA MARELLE DE MARIELLE Marill a dssiné un marll fait d ptits carrés divisés n triangls. Ell vut colorir crtains triangls d façon qu : * dans chaqu ptit carré, il y ait un triangl coloré t un triangl blanc ; * parmi ls quatr triangls portant la mêm lttr, il y ait dux triangls colorés t dux triangls blancs. Ell a commncé à colorir crtains triangls (n gris sur l dssin). Aidz Marill à trminr son coloriag n rspctant ls consigns. On donnra la coulur (blanc ou gris) ds 3 cass numérotés n vrt. 5 - LE DÉ DE BILL Bill, qui n'st pas bêt, possèd un dé un pu particulir, dont dux positions différnts sont rprésntés ci-contr. Ls nombrs sont disposés d tll sort qu la différnc ntr ls nombrs portés sur dux facs opposés st toujours la mêm. Qul st l nombr écrit sur la fac opposé à cll portant l nombr 21?

7 6 - LE COMPTE EST BON ----> > Dans la grill ci-dssus, on ntr par la cas numéroté 1 t on sort par la cas numéroté 9. On n put s déplacr qu'horizontalmnt ou vrticalmnt, t il st intrdit d passr dux fois par la mêm cas. En passant par ls cass , la somm obtnu st égal à 25. Mais tous ls chmins n conduisnt pas forcémnt à un tot al d 25. Donnz, d la plus ptit à la plus grand, ls nuf autrs somms réalisabls. 7 - LE PARTAGE DU PAYS PLAN Mathild dssin dans l Pays Plan cinq routs droits d façon qu trois ds cinq routs s croisnt n un mêm ndroit t qu trois ds cinq routs soint parallèls. En combin d régions cs cinq routs partagnt-lls l Pays Plan? 8 - TOUS LES CHEMINS MÈNENT À ROME On pass d'un cas à la suivant : * n multipliant par 2 si on s déplac vrs la droit ; * n ajoutant 1 si on s déplac vrs l bas. On n put allr ni vrs l haut, ni vrs la gauch. On part d Paris avc 1 t on parcourt tous ls chmins possibls d Paris à Rom. Qull st la somm d tous ls nombrs obtnus à Rom? 9 - CERCLE SUR L'ECHIQUIER Mathias a dssiné un échiquir sur un fuill d papir. Il prnd nsuit son compas t trac un crcl qui pass à l'intériur d plusiurs cass d l'échiquir (l dssin montr un xmpl où l crcl travrs 11 cass d l'échiquir). Si Mathias choisit bin l cntr t l rayon d son crcl, combin d cass put-il travrsr, au maximum? Quart d final 15 A RANGEMENT PÉNIBLE Combin put-on rangr, au maximum, d piècs n form d croix dans un boît rctangulair 11 x8? Not: ls piècs, rangés à plat, puvnt s touchr, mais pas s suprposr. 4 - PAROIS PIVOTANTES Pour un xposition d jux mathématiqus, Thomas a disposé 15 pannaux n spiral (disposition 1). Nina préfèrrait la disposition 2. Chaqu pannau put pivotr autour d ss xtrémités (voir figur ci-contr). Qul nombr d parois faut-il fair pivotr, au minimum, pour passr d un disposition à l autr?

8 5 - AÏE MES AÏEUX La fmm d D. Sandnt a accouché d trois garçons n l an 1800 (un bau triplé! ). Dpuis, chaqu individu Sandnt d sx masculin a u lui-mêm 3 garçons, sauf un ptit-fils d D. Sandnt t un arrièr-ptit-fils d D. Sandnt qui n ont pas u d nfant. J suis moi-mêm l drnir né (d sx masculin) d la 7 génération suivant D. Sandnt. Au fait, combin d dscndants d D. Sandnt (d sx masculin) ont porté son nom, d la 1r à la 7 génération? 6 - LES SEPT DISQUES Ls 7 disqus Q, I, M, A, T, H, S ont chacun un valur différnt compris ntr 1 t 7. Dans crtains intrsctions d dux disqus, on a indiqué la somm ds valurs d cs dux disqus. Qull st la somm ds valurs ds cinq disqus M, A, T, H, S? 7 - LE CHAMP DU PÈRE MÉABLE Pirr Méabl possèd un champ carré d 100 m d côté. Amatur d flurs, il a partagé son champ n quatr bands d mêm largur, il a tracé un diagonal, puis il a planté un parti du champ n rosirs (n ros sur l dssin) t l rst n tulips. Qull fraction du trrain rprésnt la parti planté n rosirs? 8 - LES CINQ NOMBRES Cinq nombrs étaint écrits sur ls cinq disqus du dssin ci-contr. Ils ont été ffacés, mais hurusmnt, sur chaqu sgmnt, on avait pris soin d notr la somm ds dux nombrs placés dans ls dux disqus situés aux xtrémités d c sgmnt. Rtrouvz ls cinq nombrs. 9 - BILLES EN TÊTE Jacqus a six sacs d bills dvant lui. Ls nombrs d bills contnus dans ls sacs sont ds ntirs consécutifs pas nécssairmnt distincts, par xmpl comm 12, 12, 13, 14, 14, 15. Jacqus prnd trois sacs pour lui t donn ls trois autrs à son frèr. Il possèd alors 58 bills n tout t son frèr n a 61. Donnz par ordr croissant ls nombrs d bills contnus dans ls sacs. QF 13 A98 DF 13 H99 RÉPONSES QF 14 A99 DF 14 H00 Final 14 H00 QF 15 A bonbons 11 Q3 25 points. 384 cm C n Z4 t D n X2 ou C n Y4 t D n W2. Q4 20 fills. 1,35 F 8 31 fruits 4 Q5 10 bills blus BICHE 27 3 forms Q6 4 prsonns, Mathias inclus. Qu j'aim à fair apprndr c nombr util pags 21, 23, 27, 29, 30, 34, 36, 40, 45 18

9 Q7 108 hm 2 1 solution: 70 bougis Q8 4 minuts 1 solution: 23 ans 2 solutions : 2 solutions : 1 solution : SIX t SEPT (1 ; 4; 6) t (2; 5; 6) 20 Lundi sol : Q9 10 coups 816 F 18 1 sol : cass Voir à la fin du tablau Q9 Quart d final 15 A00 4 sol : ; ; ;