Chapitre 2 LES EMPRUNTS INDIVIS

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1 Chptre LES EMPRUNTS INDIVIS.1 Actulsto de flux Actvté.1.1 : O dspose de chffres cocert l évoluto du chffre d ffres de l socété FLORIS depus E 1985, le Chffre d ffres étt de 1 Mllo de Frcs, e 1990 l étt de 1, M F et e l 000 l s élevt à 1,6 M F. 1- O suppose que les tux d flto prs e compte etre 1985 et 1990 étet de 4,5% et de,3% etre 1991 et 000. Peut-o ffrmer que FLORIS se sot be développée sur les 15 derères ées vt 000? - O suppose que le tux d flto moye etre 1980 et 000 sot de 3,4%. E 1985, 1990 et 000 l ptroe de FLORIS vt effectué tros dotos pour s flle uprès d u otre, à chque échéce l doto étt de 5% du chffre d ffres. Quelle est l vleur totle de l doto e 1980, dte de ssce de s flle? Corrgé de l ctvté : 1- O représete le dgrmme des flux vec le pot de vue de l socété FLORIS. 1 MF 1, MF 1,6 MF Avec l flto, les prx se déprécet. Il covet d ctulser les vleurs e 1990 pour comprer les chffres d ffres des ées 1990 et O obtet l vleur cquse du chffre d ffres de 1985 e 1990 : V cquse (CA 1985) (1 0,045) F - L vleur ctuelle e 1990 du chffre d ffres de 1990 est : VA(CA 1990) = F - L vleur ctuelle e 1990 du chffre d ffres de 000 est : VA(CA 000) (1 0,03) 10 O costte que FLORIS légèremet régressé e terme gesto etre 1985 et 1990 et progressé etre 1990 et 000 pour ttedre u veu de résultt légèremet supéreur à celu de Les motts des dos : E 1985 : 5% 1 M F = F ; e 1990 : 5% 1, M F = F ; e 1990 : 5% 1,6 M F = F L vleur ctuelle e 1980 de l esemble des flux est : VA 16 41F (1 0,034) (1 0,034) (1 0,034) F

2 . Clcul de tux d térêts cturel et oml Actvté..1 : M. Durd emprute ue somme de à so m bquer. Le mode de remboursemet se ft e tros échéces et se égoce de l fço suvte : - l premère leu u bout de 6 mos : l secode u bout de 1 : l trosème u bout de 1 et deux mos : Clculer le tux d térêts cturel uel de cet emprut. Corrgé de l ctvté : O le dgrmme des flux suvt : = = pot de vue de M. Durd Actvté.. : M. Durd emprute ue somme de à so m bquer. Le mode de remboursemet se ft e tros échéces, o compose mesuellemet les térêts et l se égoce de l fço suvte : - l premère leu u bout de 3 mos : l secode u bout de 10 mos : l trosème u bout de 1 : 700. Clculer le tux d térêts cturel uel de cet emprut. Clculer le tux d térêts oml uel de cet emprut Dgrmme des flux 3 =7 000 = = pot de vue de M. Durd 1 =5 000 = =700 O : = (1+ 1/1 ) 1 1 1,68% ; o clcule le tux d térêts oml uel, l est égl à : 1 1/1 1%. 1 (1 ) 0,5 1 3 (1 ) O résout vec l ordteur : / ,5 (1 ) 1 (1 ) 1/1 et o obtet : 9,13% O : 1 (1 1/1 ) 3 (1 1/1 ) 10 3 (1 1/1 ) 1 O résout vec l ordteur : (1 1/1 ) (1 1/1 ) (1 1/1 ) 1 et o obtet : 1/1 1%. O l relto (pge 53) : 1/1 (1 ) 1/1 1 et le tux d térêts cturel uel est : 15

3 Remrque : O retet les formules de trsformto des dfférets types de tux ; le tux d térêts cturel uel clculé à prtr de l équto d équlbre des flux et le tux d térêts oml uel. O : 1/1 (1 ) 1/1 1 ; 1 1/1 1 (1 ) 1/1 1 et Défto.3 : U emprut dvs est u emprut cotrcté uprès d u seul prêteur. L empruteur est plus commuémet ppelé débteur et le prêteur, qu est e géérl ue bque, est ppelé crécer. Le remboursemet du prêt s ccompge d u coût d emprut dépedt d u tux d térêts fxe ou vrble. As, les sommes versées pr le débteur à chque échéce compreet ue prt lée u remboursemet propre du prêt, qu o ppelle mortssemet et ue prt lée u coût de l emprut, ppelée térêts. Les motges fcers que proposet e géérl les bques sot exmés pr l empruteur ; celuc chost e focto de ses cotrtes et de s covece le scéro qu lu plît le plus. U cs prtculer mportt étudé ds l sute porte sur l emprut vec des versemets effectués à tervlles de temps costts. S l tervlle est mesuel le mott de chque versemet est ppelé mesulté ; s l est uel o dt uté. Pour le dgrmme des flux que l o représete, o cosdérer celu ssocé u pot de vue du débteur. Exercce corrgé : U cptl de = est remboursé e 4 s sous forme d utés de f de pérode vec u tux d térêts de =10,66%. O demde de clculer le mott des utés. Corrgé de l exercce : Dgrmme des flux A : pot de vue de l empruteur F 1 F F 3 F 4 0,1066 = (1+ 0,1066) -4 O : F 1 F F 3 F 4. L équto d équlbre des flux est : 1+ (1 + ) (1 + ) 3 (1 + ) 4 1 (1+ ) p que l o écrt : d où : 16 = euros p1 1 (1+ ) p 4 p1 que l o écrt ecore : C 0 1 (1 ) 4

4 A RETENIR 1 (1 + )- ; = C 0 1 (1+ ) - ; C (1+ ) 1 C 0 (1 ) : cptl empruté ou vleur de l emprut ou vleur ctuelle : tux d térêt (uel ou mesuel etc...) : ombre de pérodes : mott de chque pemet effectué e f de pérode ( fe) C : vleur cquse de C u bout de pérodes. L vleur d u emprut ugmete lorsque le tux bsse. L vleur d u emprut dmue lorsque le tux croît. Exercce corrgé : Pour cheter ue mso, Moseur Durd emprute à so bquer, u tux de =8% pour ue pérode de 10 s. Quel est le mott des utés? Corrgé de l exercce : Dgrmme des flux pot de vue de M. Durd Exercce corrgé : Pour cheter ue mso, Moseur Durd emprute à so bquer, u tux de =5,47%. Il verse chque ée ue somme de Combe y -t-l d utés costtes versées e f de pérode? Corrgé de l exercce : Dgrmme des flux A : = O : = ; =10 ; =8% ; =? O : = 1 (1+ ) - et doc : 0,08 = (1+ 0,08) ,4 euros O : = ; = ; =5,47% ; =? 1 (1 + )- O : et doc : 1 (1+ ) - C 0 et (1+ ) 1 C 1 pot de vue de 0 M. Durd d où : log 1 log(1 ) ,0547 -log s log(1 + 0,0547) 17

5 Exercce 1 : Vous fcez l cht d ue utomoble à pr u prêt sur 3 s à u tux d térêts oml de 8,5% pr, composé mesuellemet, vec u pport persoel de 000. Quels serot vos versemets mesuels? Nous supposeros c que les versemets commecerot u mos près l cht - c est-àdre à l f de l premère pérode. O représeter le dgrmme des flux. Quel tux d térêt devez-vous obter pour rédure de 15 vos versemets mesuels? Exercce : E projett l cht proch d u pprtemet, près ue lyse ttetve de vos fces persoelles, vous vez décdé que vous pouvez vous permettre des versemets mesuels d u mott mxml de 650. Votre pport persoel peut s élever à et le tux d térêt cturel uel est de 9,5 %. S vous preez u emprut sur 15 s, quel est le prx d cht mxml que vous pussez evsger pour l cht de l pprtemet? (o trsformer le tux cturel e u tux oml uel et o représeter le dgrmme des flux.).4 Vleur ctuelle ette - vleur future ette Actvté.4.1 : U vestsseur ft u pemet tl de = et tted des gs étlés sur les qutre proches ées tels qu exprmés ds le schém c-dessous : F 1 = 900 F = 1 00 F 3 = Clculer le tux de redemet tere de l vestssemet. Clculer l vleur ctuelle ette et l vleur future ette, e suppost u tux d térêts uel de =7,6% (e composto uelle). = Corrgé de l ctvté : Sot TRI le tux de redemet tere de l vestssemet. E écrvt l équto d équlbre des flux o : F 1 1 TRI F F 3 F 4 (1 TRI) (1 TRI) 3 (1 TRI) 4 Avec ue clcultrce fcère, o obtet : TRI 1,37%. S =7,6%, l VAN est défe à l orge de l fço suvte : F1 F F3 F4 VAN C (1 ) (1 ) (1 ) et o obtet : VAN 596,03 euros. De même pour l VFN, o écrt : VFN F1 F F3 F4 C et o obtet : (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) VFN 3 479,84 euros (o vérfe uss que : VFN F 4 = Pot de vue de l vestsseur 4 VAN (1+ ) ) 18

6 Actvté.4. : Vous vez prs u prêt de sur 10 s, vec u tux d térêt oml uel de 9,8%. Vous prévoyez d être proprétre de l mso ds qutre s pus de l revedre, e rembourst le prêt de fço tcpée. Quel ser le mott de ce remboursemet tcpé à l f des qutre s? Corrgé de l ctvté : 1ère étpe : clcul des mesultés 0,098 Dgrmme des flux 0,817% ; F 1 F F 10 pot de vue de l empruteur 1 ème étpe : clcul du remboursemet tcpé u bout de qutre s Dgrmme des flux F 1 F F 119 F 10 pot de vue de l empruteur F 1 F F 47 F 48 VFN 1/1 O : = ; =48 ; =13,8% ; F 1 = F = = F 48 = 1 048,37 ; l vleur recherchée est VFN ppelée uss vleur future ette. L équto d équlbre des flux est : - 1+ O : = ; =10 ; =9,8% ; 1 =? O : = 0,0115 = (1+ 0,0115) (1+ 1/1 1 (1+ 1/1 ) - et doc : 1048,37 euros... (1+ VFN (1+ ) 48 ) ) 48 1/1 1/1 1/1 1/1 O obtet (vec ue clcultrce ou meux, vec u ordteur) : VFN56 898,66 : o terprète (ds cet exercce) l vleur future ette comme le mott du remboursemet tcpé u bout de qutre s. A RETENIR L vleur ctuelle (VA) d u esemble de flux fcers est l somme lgébrque des vleurs ctuelles de chque flux rpportées à ue dte chose (pr défut le chox de l dte est l orge des dtes du scéro fcer). L vleur future (VF) d u esemble de flux fcers est l somme lgébrque des vleurs cquses de chque flux rpportées à l derère dte du scéro fcer. O : VF VA (1+ ) où est le ombre de pérodes séprt les deux dtes de référeces. L vleur ctuelle ette (VAN) est u cs prtculer de VA. - Ds le cdre d u projet d vestssemet, vec le pot de vue de l vestsseur, c est l vleur ctuelle des flux. - Ds le cdre d u emprut, vec le pot de vue de l empruteur, c est l vleur ctuelle des flux. (De même : VFN VAN (1+ ) ) 0 19

7 Exercce : Ds le cdre d u emprut mmobler, votre bque souhte fcer etèremet votre cht e vous prêtt l somme totle de à u tux d térêt oml de 6,39%. Cepedt, vous evsgez de rembourser qu e u plus 8 s, pr des mesultés e dépsst ps 600. Quel est le mott mmum de l pport persoel pour rélser cette opérto?.5 Amortssemet de prêt Actvté : Tbleu d mortssemet d u emprut mmobler sur 15 s. = ; tux d térêts oml : =1,5%. Vérfez que les mesultés sot de =1 3,5 et complétez le tbleu c-dessous : Mos Mesulté Itérêts Amortssemets Cptl restt dû , , ,67 190,86 1 3, , , ,5 194, , , , , , ,5 01, , , , ,5 O cosdère u emprut d u cptl à u tux remboursble e s sous forme d utés e f de pérodes. L empruteur verse lors de l p-ème échéce d térêts ue uté p comportt, d ue prt l térêt du cptl restt à rembourser K p1, d utre prt, u mortssemet M p, celu-c pouvt être ul à certes échéces. O les reltos suvtes : p K p1 M p M p K p1 K p K p K p-1 M p et K 0 = ; K = 0 M 1 M... M Cs prtculer : Remboursemet pr utés costtes - vleur de l uté costte : 1 (1 ) - prt d mortssemet coteue ds l p-ème uté : M p - prt d térêt coteue ds l p-ème uté : I p M p - cptl restt à mortr près l p-ème uté : K p C0 - totl rthmétque des térêts pyés : S (1 ) p1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 0 p

8 Exercce corrgé : Dresser le tbleu d mortssemet d u emprut de cotrcté pour qutre s u tux de 8% et remboursble pr utés costtes O clcule d bord les utés : euros ; =8% ; =4 ; 0,08 doc : ,6 euros 1 (1 ) (1+ 0,08) Tbleu d mortssemet : Mos Auté Itérêts Amortssemets Cptl restt dû , ,6 400, ,6 3 34, , , , , ,6 1 9, , , ,6 670, ,69 0,00 O clcule pr exemple : et (1 ) 9 057,6 (1 0,08) M (1 ) (1 ) (1 0,08) (1 0,08) K C (1 ) 1 (1 0,08) ,45 euros 1615,14 euros..6 Noto sur les retes Ce prgrphe e retre ps ds le cdre des empruts dvs comme préseté ds les prgrphes précédets. L pproche mthémtque des retes ressemblt tellemet à celle cocert les empruts dvs, ous cluos ce prgrphe ds ce chptre. Défto.6.1 : Ue rete est ue sute de règlemets effectués à tervlles de temps égux. Chque versemet est ppelé terme de l rete. Remrque : ds u scéro emprut - remboursemet, o clut u flux supplémetre, celu du mott du prêt. O dstgue pluseurs types de retes : Rete certe : le ombre de ses termes est fxé à l vce. Rete létore : le ombre de ses termes est ps prévu à l vce (rete vgère). Rete temporre : le ombre de ses terme est f. Rete perpétuelle : le ombre de ses termes est f. 1

9 Rete mmédte ou rete à terme échu : les versemets se fot e f de pérode. Rete dfférée : l dte du premer versemet dépsse ue pérode. Rete tcpée : l dte du premer versemet est féreure d ue pérode. Rete à échor : l dte du premer versemet coïcde vec l dte d orge. A RETENIR : : le ombre de termes ; : le tux d térêt de l rete. Vleur ctuelle d ue rete (mmédte) : c est l somme des vleurs ctuelles de chque terme. V p (1 ) p (1 ) Vleur cquse d ue rete (mmédte) : c est l somme des vleurs cquses pr chque terme à l dte de versemet du derer terme. V 1 (1 ) 1 p (1 ) p Relto vleur ctuelle - vleur cquse d ue rete : V V 0 (1 ) Exercce corrgé : Le ttulre d ue rete à = 5 termes uels de = , l premère échéce est du 1 er vrl 006, égoce l rete le 1 er vrl 005. Quelle est l vleur de l rete u 1 er vrl 005, pour u tux d térêt de 8%? O : 1 (1 ) V 1 (1 0,08) , ,76 euro Exercce : Ue compge d ssurce ve propose le cotrt suvt : elle reçot du clet, à l f de chque trmestre, ue somme de cotre ue somme de V 40 ds dx s. O suppose que le tux uel de l rete est de 13,039%. Clculer V 40? (o représeter d bord le dgrmme des flux.)

10 .6. Cs prtculer : rete perpétuelle A RETENIR : Pour ue rete perpétuelle à termes costts, s vleur ctuelle est : V 0 L vleur d ue rete ugmete qud le tux de l rget bsse. L vleur d ue rete dmue qud le tux de l rget s élève. Exercce : Ue compge de retrte propose à u clet de 35 s le cotrt suvt : le versemet d ue somme de pr pedt 5 s cotre ue rete perpétuelle mesuelle de 3 91,87 qu démrre à so 60 ème versre. Quel est le mott du tux d térêt de l rete? (répose : =6%) 3