Produit scalaire. Chap. 11 : cours complet. 1. Produit scalaire réel.

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1 Produ scalare Chap : cours comple Produ scalare réel Défo : produ scalare sur u -espace vecorel, espace préhlbere réel Théorème : eemples classques Théorème : égalé de Cauchy-Schwarz Défo : forme bléare symérque o dégéérée Théorème 3 : équvalece o dégéérée défe Théorème 4 : cas d égalé das l égalé de Cauchy-Schwarz pour u produ scalare Défo e héorème 5 : orme e dsace assocée à u produ scalare, égalé de Mows Théorème 6 : égalés des «de polarsao» Orhogoalé Défo : veceurs orhogoau, veceurs uares (ou ormés), famlle orhogoale, orhoormale Théorème : lberé d ue famlle orhogoale ou orhoormale Théorème : de Pyhagore Théorème 3 : procédé d orhogoalsao e d orhoormalsao de Gram-Schmd Défo e héorème 4 : orhogoal d ue pare d u espace vecorel Défo 3 : sous-espaces vecorels orhogoau, supplémeares orhogoau Théorème 4 : cas de sous-espaces vecorels de dmeso fe Théorème 5 e défo 4 : somme drece orhogoale de sous-espaces vecorels 3 Proecos orhogoales Défo 3 : proeceur orhogoal Théorème 3 : supplémeare orhogoal d u sous-espace vecorel de dmeso fe Théorème 3 : epresso de la proeco orhogoale sur u sous-espace vecorel de dmeso fe Défo 3 e héorème 33 : dsace d u veceur à u sous-espace vecorel de dmeso fe Théorème 34 : égalé de Bessel 4 Espaces eucldes Défo 4 : Théorème 4 : Théorème 4 : Théorème 43 : Théorème 44 : Théorème 45 : Théorème 46 : Théorème 47 : Théorème 48 : espace vecorel euclde esece de bases orhoormales das les espaces eucldes de la base complèe orhogoale ou orhoormale caracérsao marcelle des bases orhogoales ou orhoormales epresso marcelle du produ scalare dmeso de l orhogoal d u sous-espace vecorel das u espace euclde caracérsao e dmeso fe des supplémeares orhogoau représeao d ue forme léare à l ade du produ scalare veceur ormal à u hyperpla d u espace euclde 5 Auomorphsmes orhogoau e marces orhogoales Défo 5 e héorème 5 : edomorphsme orhogoal das u espace vecorel euclde Théorème 5 : becvé des edomorphsmes orhogoau e dmeso fe, auomorphsmes Défo 5 : marce orhogoale Théorème 53 : caracérsao des marces orhogoales par leurs veceurs lges ou coloes Théorème 54 : caracérsaos des auomorphsmes orhogoau Théorème 55 : auomorphsme orhogoal e sous-espaces sables Théorème 56 e défo 53 : les groupes (O(E),o), (O(), ), (SO(E),o) e (SO(), ) Défo 54 : soméres d u espace vecorel euclde, soméres posves e égaves Théorème 57 : marce de passage ere bases orhoormales 6 Espaces eucldes de dmeso ou 3 Défo 6 : oreao d u espace vecorel, oreao due par u sous-espace vecorel Chapre : Produ scalare cours comple - -

2 Théorème 6 e défo 6 : produ me Théorème 6 e défo 63 : produ vecorel de deu veceurs e dmeso 3 Théorème 63 : propréés du produ vecorel Théorème 64 : epresso du produ vecorel das ue base orhoormale drece Théorème 65 : epresso géomérque du produ vecorel Théorème 66 : élémes de O() : marces orhogoales Théorème 67 : auomorphsmes orhogoau d u espace vecorel euclde de dmeso Théorème 68 : produ de roaos, commuavé de SO() e SO(E), pour E de dmeso Théorème 69 : auomorphsmes orhogoau d u espace vecorel euclde de dmeso 3 Théorème 60 : élémes de O(3) : marces orhogoales Réduco des edomorphsmes symérques, des marces symérques réelles Défo 7 : Théorème 7 : Théorème 7 : Théorème 7 : Théorème 73 : Théorème 74 : edomorphsme symérque caracérsao marcelle des edomorphsmes symérques valeurs propres d ue marce symérque réelle, d u edomorphsme symérque orhogoalé des espaces propres d u edomorphsme symérque (héorème specral) dagoalsablé des edomorphsmes symérques dagoalsablé des marces symérques réelles Chapre : Produ scalare cours comple - -

3 Produ scalare Chap : cours comple Produ scalare réel Défo : produ scalare sur u -espace vecorel, espace préhlbere réel So E u -espace vecorel O d que ϕ es u produ scalare sur E s e seuleme s ϕ es ue forme bléare symérque posve, o dégéérée, so ecore : ϕ es ue applcao de E E das, ϕ es bléare : (,y) E E, (,y ) E E, (λ,µ) ², ϕ(λ + µy, ) = λϕ(, ) + µϕ(y, ), e : ϕ(,λ + µy ) = λϕ(, ) + µϕ(,y ), ϕ es symérque : (,y) E E, ϕ(,y) = ϕ(y,, ϕ es posve : E, ϕ(, 0, ϕ es défe : E, (ϕ(, = 0) ( = 0) O d alors que (E,ϕ) es u espace préhlbere réel Théorème : eemples classques das le cas réel Les applcaos suvaes défsse des produs scalares sur les espaces vecorels dqués : (,y) ( ), = (,, ), y = (y,, y ), (,y) a y, das (f,g) (C 0 ([a,b],), (f,g) a b f ( ) g( ) d, das C 0 ([a,b], ), où [a,b] es u segme clus das a (A,B) M (), (A,B) a r( AB) L applcao proposée (oos-la ( )) es correceme défe de ( ) das Il es clar qu elle es symérque pusque : (,y) ( ), ( y) = y = y = ( y) Elle es de plus léare par rappor à sa premère varable pusque :, (y,y ), (λ,λ ), ( λy +λ y ) = λ( y) + λ ( y ), sas dffculé Ef, elle es o dégéérée, pusque s pour :, o a : y, ( y) = 0, e parculer pour : = y =, e cela doe : Chapre : Produ scalare cours comple = = 0, e ous les éa posfs, o coclu à :, = 0, so : = 0 De même, l applcao (oée ecore ( )) es correceme défe de E das, (pusque, e oa E l espace vecorel C 0 ([a,b],)), pour ou : (f,g) E, fg es coue es à valeurs réelles sur [0,] De plus, elle es symérque de faço mmédae Pus elle es léare par rappor à sa deuème varable (du fa de la léaré de l égrale sur [a,b]) Ef, s pour : f E, o a : (f g) = 0, e parculer pour : g = f, ce qu doe : f ( ) d = 0 Mas comme la foco f es coue e posve sur [a,b], o e dédu be que : f = 0, pus : f = 0 Ef, l applcao Théorème : égalé de Cauchy-Schwarz So E u -espace vecorel mu d u produ scalare ( ) Alors : (,y) E², ( y) ( ( y y) So ψ la foco défe de das par :, ψ ( ) = ( + y + y) Pusque le produ scalare es ue forme posve, ψ es égaleme à valeurs das + Par alleurs :, ψ ( ) = ( + ( y) + ( y y), e ulsa la bléaré e la symére de ( ) Dsguos alors deu cas : ( y y) = 0 = = b a

4 Das ce cas, ψ es ue foco affe de qu rese posve : elle es doc cosae e : ( y) = 0 O a be alors : 0 = ( y) ( ( y y) = 0 ( y y) 0, e doc : ( y y) > 0 Das ce cas ψ es ue foco polyomale du secod degré Comme elle rese posve, elle adme au plus ue race réelle (double) e so dscrma es égaf ou ul, so : = ( y) ( ( y y) 0, ce qu doe à ouveau : ( y) ( ( y y) Défo : forme bléare symérque o dégéérée So ϕ ue forme bléare symérque sur u -espace vecorel E O d que la forme ϕ es o dégéérée s e seuleme s : E, ( y E, ϕ(,y) = 0) ( = 0) Théorème 3 : équvalece o dégéérée défe So E u -espace vecorel, e so ϕ ue forme bléare symérque sur E Alors ϕ es o dégéérée s e seuleme s ϕ es défe O peu doc remplacer «o dégéérée» par «défe» das la défo d u produ scalare O peu commecer par remarquer que das la preuve de l égalé de Cauchy-Schwarz, o ulse à aucu mome le fa que le produ scalare es ue forme défe Pus o ravalle par double mplcao [ ] S ϕ es o dégéérée, so : E, el que : ϕ(, = 0 O cosae alors, d après l égalé de Cauchy-Schwarz, que : y E, ϕ(,y) = 0 Or ϕ éa o dégéérée, o e dédu que : = 0, e ϕ es défe [ ] S ϕ es maea supposée défe e s es el que : y E, ϕ(,y) = 0, alors e parculer pour : y =, e o e dédu que : ϕ(, = 0 Or ϕ éa supposée défe, o coclu be que : = 0 Théorème 4 : cas d égalé das l égalé de Cauchy-Schwarz pour u produ scalare So (E, ( )) u espace préhlbere réel Alors : (,y) E, ( y) ( ( y y), s e seuleme s (,y) es lée S l o repred la démosrao de l égalé de Cauchy-Schwarz, o cosae que, s cee égalé deve ue égalé, alors : das le cas où : ( y y) = 0, alors y es ul pusque ϕ comme produ scalare es ue forme défe, doc : 0 + y = 0 das le cas où : ( y y) 0, cela sgfe que le dscrma de la foco qu ava serv d ermédare es ul, e doc que le rôme oé ψ adme ue race double Aureme d, das les deu cas : λ, ( + y + y) = 0, e doc le veceur ( + λy) es ul, ce qu s écr ecore : + λy = 0 Das ous les cas, o cosae be que (,y) es lée Défo 3 e héorème 5 : orme e dsace assocée à u produ scalare, égalé de Mows So (E, ( )) u espace préhlbere réel Alors l applcao défe par : E, a = (,, es ue orme sur E, appelée orme assocée au produ scalare ( ) De même, l applcao d défe sur E par : (,y) E, d(, y) = y, es appelée dsace Chapre : Produ scalare cours comple - 4 -

5 assocée à la orme (ou au produ scalare ( )) Ef, l égalé ragulare vérfée par es appelée égalé de Mows Il y a doc quare pos à vérfer pour ou veceur de E, la quaé N( ese pusque ϕ(, es u réel posf, e : N( + s pour : E, o a : N( = 0, alors : ϕ(, = 0, e ϕ comme produ scalare es ue forme défe, doc : = 0 pour : E, e : λ (ou ), N(λ = ϕ ( λ, λ = λ ϕ(, = λ ϕ(, = λ N( ef, pour : (,y) E, o a das le cas réel : N(+y) = ϕ(+y,+y) = ϕ(, + ϕ(,y) + ϕ(y,y) N( + N(N(y) + N(y) = (N( + N(y)), d où l égalé ragulare pour N, e das le cas complee : N(+y) = ϕ(, + Re(ϕ(,y)) + ϕ(y,y) N( + ϕ(,y) + N(y) N( + N(N(y) + N(y), e o erme comme das le cas réel avec l égalé ragulare Théorème 6 : égalés des «de polarsao» So (E, ( )) u espace préhlbere réel e la orme assocée à ( ) O a les égalés suvaes : (,y) E, + y = + y + ( y), ( y) = ( + y ² ² y ²) = ( + y ² y ²) 4 Il suff d écrre : (,y) E, + y = ( + y + y) = + y + ( y), e : d où les égalés proposées Orhogoalé y = ( y y) = + y ( y), Défo : veceurs orhogoau, veceurs uares (ou ormés), famlle orhogoale, orhoormale So (E, ( )) u espace préhlbere réel e la orme assocée à ( ) Deu veceurs e y de E so ds orhogoau pour ( ) s e seuleme s : ( y) = 0 De même, u veceur de E es d uares (ou ormé) s e seuleme s : = So ( ) I, ue famlle de veceurs de E O d que la famlle es orhogoale pour ( ) s e seuleme s : (,) I, ( ) (( ) = 0) O d que la famlle es orhoormale pour ( ) s e seuleme s elle es orhogoale e s de plus, ous les veceurs de la famlle so ormés Théorème : lberé d ue famlle orhogoale ou orhoormale So (E, ( )) u espace préhlbere réel e la orme assocée à ( ) So ( ) I, ue famlle de veceurs de E S la famlle es orhogoale pour ( ) e e compore pas le veceur ul, elle es lbre S la famlle es orhoormale pour ( ), elle es lbre Comme les combasos léares qu o peu evsager e compore ouours qu au plus u ombre f de coeffces o uls, o peu oer la famlle ( ), pour u eer doé Alors, s pour : (λ ) K, o a : λ + + λ = 0, alors :, ( λ + + λ ) = 0, e par léaré par rappor à la deuème varable, o obe :, λ = 0, (pusqu la famlle es orhogoale) Doc s ous les so o uls, o coclu be au fa que :, λ = 0, e la famlle es lbre S maea o cosdère ue famlle orhoormale, elle es orhogoale e e coe pas le veceur Chapre : Produ scalare cours comple - 5 -

6 ul, doc elle es lbre Théorème : de Pyhagore So (E,( )) u espace préhlbere réel e la orme assocée à ( ) So ( ), ue famlle fe orhogoale de veceurs de E Alors : + = O peu par eemple procéder par récurrece sur Pour : =, s (, ) es ue famlle orhogoale de E, le héorème 7 doe be le résula voulu S maea o suppose le résula vra pour ou famlle orhogoale de veceurs de E (avec : ), alors éa doé ue famlle orhogoale (,, + ) de veceurs de E, la famlle ( + +, + ) es ue famlle de deu veceurs de E, orhogoale car: ( ) = ( + ) + + ( + ) = = = Doc : E la récurrece es ermée Théorème 3 : procédé d orhogoalsao e d orhoormalsao de Gram-Schmd So (E, ( )) u espace préhlbere réel e la orme assocée à ( ) So ( ), ue famlle lbre de veceurs de E O peu cosrure ue famlle (e,, e ) de veceurs de E elle que : p, e p 0, p, e p Vec(,, p ),, (e e ) = 0 O a das ce cas : p, Vec(,, p ) = Vec(e,, e p ) Par alleurs, l ese ue uque famlle (ε,, ε ) de veceurs de E, elle que : p, ε p Vec(,, p ),, (ε ε ) = 0, p, ε =, p p, (ε p p ) > 0 O a ecore das ce cas : p, Vec(,, p ) = Vec(ε,, ε p ) orhogoalsao de la famlle : o procède à la cosruco par récurrece e mora e même emps que la famlle obeue vérfe be : p, Vec(e,, e p ) = Vec(,, p ) O do alors predre e coléare à, e l es possble de rouver e el que : e 0, e : e Vec( ) Il suff pour cela de chosr par eemple : e = O a alors e plus (e quelque so e fa le cho de e ) : Vec(e ) = Vec( ) Supposos maea que pour : p, o a cosru ue famlle (e,, e p ) elle qu dqué e supposos alors de plus que : Vec(e,, e p ) = Vec(,, p ) O cherche alors e p+ el que : e p+ Vec(,, p+ ), doc sous la forme : e p+ = λ + + λ p+ p+ Mas pusqu o a de plus supposé que : Vec(e,, e p ) = Vec(,, p ), o peu alors écrre e p+ sous la forme : e p+ = λ e + + λ p e p + λ p+ p+ O veu de plus que la famlle (e,, e p+ ) so orhogoale, ce qu s écr : p, (e e p+ ) = 0 = λ (e e p ) + λ p+ (e p+ ), ( e p+ ) e comme les e so o uls, pour : p, l es équvale d écrre : p, λ = λ p+ e p ( e p+ ) Aureme d, le veceur e p+ es écessareme de la forme : e p+ = λ p+ p+ e = e Or le veceur das le croche es o ul (pusque la famlle ( p+, e,, e p ) es lbre) doc l es possble de rouver u veceur e p+ répoda au codos mposées (e prea : λ p+ 0) Ef, o a : Vec(e,, e p+ ) Vec(e,, e p, p+ ) = Vec(,, p+ ), vu l écrure de e p+ Chapre : Produ scalare cours comple - 6 -

7 p ( e p+ ) E comme de même, o a : p+ = e + e p+, = e λ p+ o a auss : Vec(,, p+ ) Vec(e,, e p+ ), d où l égalé, e cec quelque so le cho de e p+ La récurrece es doc ermée e l esece d ue famlle orhogoalsée éable orhoormalsao de la famlle S o veu orhoormalser la famlle, alors la famlle (ε,, ε ) es ue de celles cosrues précédemme Moros qu à chaque éape de la cosruco, l y a qu u veceur qu répod au codos Pour ε, o do ormer e e vérfer esue que : (ε ) > 0 Cela doe doc : ε = ±, pus : ε =, pour que le produ scalare so posf S maea, pour : p, o suppose ous les veceurs ε, pour : p, cosrus de faço uque, alors les veceurs ε so coléares au veceurs e précédes e ε p+ s écr : p ( e p+ ) ε p+ = λ p+ p+ e = λ p+ y p+ = e La fa que ε p+ do êre ormé lasse deu possblés pour λ p+ (pusque le veceur y p+ es o ul, comme o l a vu précédemme), à savor : λ p+ = ± S o fe alors λ p+ à l ue de ces valeurs, alors : = (ε p+ ε p+ ) = λ p+ (ε p+ y p+ ) = λ p+ (ε p+ p+ ), pusque ε p+ es orhogoal par cosruco au veceurs (ε,, ε p ) Doc (ε p+ p+ ) es o ul, e l suff ef de chosr : λ p+ = +, pour garar que le produ scalare (ε p+ p+ ) es srceme posf Faleme, le veceur ε p+ as obeu es le seul possble e l cove (au rag p+) Par récurrece, o ve be de démorer l esece e l ucé de la famlle orhoormale aocée Défo e héorème 4 : orhogoal d ue pare d u espace vecorel So (E, ( )) u espace préhlbere réel So A ue pare de E O appelle orhogoal de A, oé A, l esemble des veceurs de E orhogoau à ous les veceurs de A, so : A = { E, y A, ( y) = 0} Pour oue pare A de E, A es u sous-espace vecorel de E E parculer : E = {0}, e : {0} = E Il es clar que A es clus das E De plus : y A, (0 y) = 0, e : 0 A Ef : (, ) (A ), (λ,λ ), y A, (λ + λ y) = λ( y) + λ ( y) = 0, (e raoua ue barre de cougaso sur les scalares das le cas complee, ce qu e chage pas le résula), e : (λ+λ ) A Faleme, A es be u sous-espace vecorel de E De plus s : E, alors e parculer es orhogoal lu-même e : ( = = 0, d où : = 0 De même, ou veceur es orhogoal à 0 Défo 3 : sous-espaces vecorels orhogoau, supplémeares orhogoau So (E, ( )) u espace préhlbere réel Soe F e G des sous-espaces vecorels de E O d que F e G so orhogoau s e seuleme s : (,y) F G, ( y) = 0 O oe alors parfos : F G O d que F e G so supplémeares orhogoau das E s e seuleme s F e G so Chapre : Produ scalare cours comple y p+ supplémeares das E e orhogoau, e o oe alors : y p+ E = F G

8 Théorème 5 : cas de sous-espaces vecorels de dmeso fe So (E, ( )) u espace préhlbere réel Soe F e G des sous-espaces vecorels de E de dmeso fe, de bases respecves B F e B G F e G so orhogoau s e seuleme s ou veceur de B F es orhogoal à ou veceur de B G O peu procéder par double mplcao [ ] s ou veceur de F es orhogoal à ou veceur de G, c es e parculer vra pour les veceurs de B F e de B G [ ] pusque : F = Vec(B F ), e : G = Vec(B G ), la bléaré du produ scalare more qu alors, ou veceur de F es orhogoal à ou veceur de G s c es vra pour les veceurs de B F e de B G Théorème 6 e défo 4 : somme drece orhogoale de sous-espaces vecorels So (E, ( )) u espace préhlbere réel Soe F,, F des sous-espaces vecorels de E S les sous-espaces vecorels so orhogoau deu à deu, alors la somme [F + + F ] es drece O d alors que les sous-espaces vecorels so e somme drece orhogoale, e o la oe ecore : F F F, ou : F = So u veceur par eemple de l erseco : (F + + F - ) F Alors o peu l écrre : = =, chaque apparea à l espace F correspoda O cosae que : ( = ( ) = ( ) + + ( - ) = 0, e ce résula es deque e erverssa les rôles de espaces Faleme, la somme es be drece 3 Proecos orhogoales Défo 3 : proeceur orhogoal So (E, ( )) u espace préhlbere réel Soe F e G des sous-espaces vecorels supplémeares de E e p le proeceur de E sur F das la dreco G O d que p es u proeceur orhogoal de E s : G = F Théorème 3 : supplémeare orhogoal d u sous-espace vecorel de dmeso fe So (E, ( )) u espace préhlbere réel de dmeso fe ou o So F u sous-espace vecorel de E de dmeso fe m Alors F es u supplémeare de F das E, appelé supplémeare orhogoal de F das E O va morer que ou veceur de E peu se décomposer de faço uque comme somme d u veceur de F e de F Pour cela, so (e,, e m ) ue base orhoormale B F de F e so u veceur de E S peu s écrre : = F +, avec : F F, e : F, alors : (,, p ) K p, F = e + + m e m, e es orhogoal à ou veceur de F E parculer : p, (e = (e F ) + (e ) =, pusque la base B F es orhoormale Doc F e peu valor que : F = m = ( e e, e : = F Récproqueme, cee uque décomposo possble cove car o a be : F F, pusque B F egedre F, = F +, par cosruco, m, (e ) = (e (e F ) = (e (e = 0, à ouveau parce que la base B F de F es orhoormale e e ulsa la léaré du produ scalare par rappor à sa premère varable Le rosème po perme de coclure plus gééraleme que : y F, (y ) = 0 Chapre : Produ scalare cours comple - 8 -

9 Théorème 3 : epresso de la proeco orhogoale sur u sous-espace vecorel de dmeso fe So (E, ( )) u espace préhlbere réel ou complee de dmeso fe ou o So F u sous-espace vecorel de E de dmeso fe m So (e,, e m ) ue base orhoormale de F e p F la proeco orhogoale de E sur F Alors pour ou veceur de E, o a : p F ( = ( e e = m = O ve de morer qu u veceur de E pouva se décomposer suva la somme drece : E = F F, m e : =( e e +, pusque la base chose das F es orhoormale Das ce cas, la proeco orhogoale p F ( de sur F s écr : p F m ( = ( e e Défo 3 e héorème 33 : dsace d u veceur à u sous-espace vecorel de dmeso fe So (E, ( )) u espace préhlbere réel ou complee de dmeso fe ou o e la orme assocée So F u sous-espace vecorel de E de dmeso fe p Pour u veceur de E, o appelle dsace de à F, oée d(,f), la quaé : d(, F) f z = = z F Cee valeur es aee e u uque veceur de F qu es p F (, la proeco orhogoale de sur F O a doc : d(,f) = p ( Tou d abord, pour u veceur de E, l esemble { F z, z F} es o vde (l suff de predre : z = 0) e l es cosué de réels posfs, doc l es moré e l adme ue bore féreure De plus, e oa F la proeco orhogoale p F ( de sur F, o a : z F, z = + z F F Or : ( F ) F, e : ( F z) F, doc ces deu veceurs so orhogoau e le héorème de Pyhagore peu s applquer pour doer : z F, Il es alors clar que : z F, z = + z z F, e : z F, (z F ) ( z > F Doc la valeur F es le plus pe éléme de l esemble { z féreure, e cee derère es aee qu e : z = F = p F ( F F ), z F}, doc auss sa bore Théorème 34 : égalé de Bessel So (E, ( )) u espace préhlbere réel de dmeso fe ou o e la orme assocée So F u sous-espace vecorel de E de dmeso fe m So (e,, e m ) ue base orhoormale de F Pour ou veceur de E, o a : So u veceur de E, e : m = = ( e m =( e e +, sa décomposo suva la somme : E = F F, pusque la base proposée das E es orhoormale Alors les deu veceurs de cee décomposo éa orhogoau, le héorème de Pyhagore s applque à ouveau e la base de F éa orhoormale, l epresso de la orme au carré es alors caoque e : = m = m = ( e e + ( e e = ( e m = Chapre : Produ scalare cours comple - 9 -

10 4 Espaces eucldes Défo 4 : espace vecorel euclde O appelle espace euclde u espace vecorel réel de dmeso fe, mu d u produ scalare Théorème 4 : esece de bases orhoormales das les espaces eucldes So (E, ( )) u espace vecorel euclde Il ese das E des bases orhoormales pour ( ) Il suff de cosdérer ue base de E (doc ue famlle lbre) e de lu applquer le procédé d orhoormalsao de Schmd pour ober ue ouvelle famlle lbre de veceurs de E (pusque orhogoale sas le veceur ul) doc ue base orhoormale de E Théorème 4 : de la base complèe orhogoale ou orhoormale So (E, ( )) u espace vecorel euclde So (,, p ) ue famlle orhogoale de veceurs de E, e compora pas le veceur ul Alors l es possble de compléer la famlle (,, p ) e ue base orhogoale de E De même, s (e,, e p ) es ue famlle orhoormale de veceurs de E, l es possble de compléer cee famlle e ue base orhoormale de E O ulse cee fos le héorème de la base complèe applqué à la famlle (,, p ) e ue base de E La famlle compléée peu alors êre orhogoalsée suva le procédé de Schmd qu doe pour les p premers veceurs, les veceurs,, p eu-mêmes Das le cas d ue famlle (e,, e p ) de dépar, orhoormale, o applque l orhoormalsao pour ober ue base de E orhoormale, do les premers veceurs so ecore (e,, e p ) Théorème 43 : caracérsao marcelle des bases orhogoales ou orhoormales So (E, ( )) u espace vecorel euclde de dmeso So : B = (e ), ue base de E O oe M la marce du produ scalare das la base (e ) défe par :,, m, = (e e ) La marce M es alors symérque O a de plus les équvaleces suvaes, que E so u espace vecorel euclde ou herme : (B es orhogoale) (M es dagoale), (B es orhoormale) (M = I ) Plus gééraleme, s M es la marce d ue forme bléare symérque d u espace euclde E, alors M es symérque Pusque : (,), = ( e e ) = ( e e = m, la marce M es be symérque m, ), De plus, les deu résulas suvas so presque mmédas pusque : (B es orhogoale) (, (e e ) = 0 = m, ) (M es dagoale) (B es orhoormale) (,, (e e ) = δ, ) (M = I ) Théorème 44 : epresso marcelle du produ scalare So (E, ( )) u espace vecorel euclde de dmeso, e so : B = (e ), ue base de E Soe e y des veceurs de E, e X e Y les marces coloes de leurs coordoées das B Alors : ( y) = X M Y S B es orhoormale, o a de plus : ( y) = X Y = y (forme caoque d u produ scalare réel das ue base orhoormale), = = ( e e, = = = ( e = = Chapre : Produ scalare cours comple - 0 -

11 Pour le premer po, l suff de développer : O oe pour commecer : Y = MY, e o a :, y' = m y Pus XMY es ue marce à ue lge e ue coloe e so seul coeffce vau alors : = y' = m y = =, D aure par, e ulsa la bléaré du produ scalare, o obe égaleme : = = = ( y) = ( e y) = y ( e e ) = y m, = = e les deu epressos so égales s o cofod la marce avec so uque coeffce S la base es orhoormale alors :,, m, = δ,, la marce M vau I, e o a be : ( y) = X Y = y = So : = e + + e, la décomposo de suva la base orhoormale B O peu alors calculer : Ef : = =, =, ( e ( e e ) =, d où l epresso de = = ( = = ( e, vu les epressos rouvées précédemme = Théorème 45 : dmeso de l orhogoal d u sous-espace vecorel das u espace euclde So (E, ( )) u espace vecorel euclde de dmeso So F u sous-espace vecorel de E Alors : dm(f ) = dm(f) De plus : (F ) = F Pusque F es de dmeso fe, F es u supplémeare de F das E e : dm(f ) + dm(f) = De plus : F, y F, ( y) = 0, doc : (F ), so : F (F ) E comme : dm((f ) ) = dm(f ) = ( dm(f)) = dm(f), o e dédu que : F = (F ) Théorème 46 : caracérsao e dmeso fe des supplémeares orhogoau So (E, ( )) u espace préhlbere réel Soe F e G des sous-espaces vecorels de E F e G so supplémeares orhogoau das E s e seuleme s o obe ue base orhogoale de E e réussa ue base orhogoale de F e ue base orhogoale de G Travallos par double mplcao : [ ] S F e G so supplémeares orhogoau das E, alors e réussa des bases orhogoales de F e de G, o obe ou d abord ue base de E, e ous les veceurs de la base de F éa orhogoau à ous ceu de la base de G, la base de E obeue es be orhogoale [ ] S la réuo de deu bases orhogoales de F e de G doe ue base orhogoale de E, alors les veceurs de la base de F e ceu de G so orhogoau ere eu e F e G so orhogoau d après le héorème 4 De plus, l es clar que F e G so supplémeares das E Théorème 47 : représeao d ue forme léare à l ade du produ scalare So (E, ( )) u espace vecorel euclde de dmeso So ϕ* ue forme léare sur E Alors l ese u uque veceur : a E, el que : E, ϕ *( ) = ( a Chapre : Produ scalare cours comple - -

12 So : B = (e,, e ), ue base orhoormale de E Alors : (a,, a ), E, Le veceur : a = = = = e, ϕ *( = a = a e, es alors be el que : E, ϕ *( ) = ( a, pusque B es orhoormale Pus s a répod égaleme au problème, alors : E, ϕ *( ) = ( a = ( a', d où : ( a a' = 0 O a doc : (a a ) E, e : a a = 0, d où : a = a Théorème 48 : veceur ormal à u hyperpla d u espace euclde So (E, ( )) u espace vecorel euclde de dmeso So H u hyperpla de E, e : B = (e,, e ), ue base orhoormale de E Ue équao de H das B four alors u veceur orhogoal à H, d auss veceur ormal à H S : B = (e,, e ), es ue base orhoormale de E, e s : a + a 0, es ue équao de H das B, alors : H = er(ϕ*), où ϕ* es la forme léare défe par : E, Le veceur : = = a = e, ϕ *( = a = = + = a e, es alors orhogoal à H pusque : H, ϕ *( ) = 0 = ( a 5 Auomorphsmes orhogoau e marces orhogoales Défo 5 e héorème 5 : edomorphsme orhogoal das u espace vecorel euclde So (E, ( )) u espace vecorel euclde e la orme assocée So : u L(E) O d que u es u edomorphsme orhogoal de E s e seuleme s u coserve la orme ou le produ scalare de E, c'es-à-dre : (,y) E, ( u ( u( y)) = ( y), ou : E, u ( = Ces deu défos so be équvalees S u coserve le produ scalare, alors : E, u ( = ( u( u( ) = ( =, e u coserve be la orme S par alleurs, u coserve la orme, alors l epresso du produ scalare à l ade de ormes (par le bas des deés des «de polarsao» (héorème 6)) e la léaré de u more que u coserve le produ scalare Théorème 5 : becvé des edomorphsmes orhogoau e dmeso fe So (E, ( )) u espace vecorel euclde e la orme assocée So : u L(E), u edomorphsme orhogoal de E Alors u es becf, e doc ou edomorphsme orhogoal d u espace vecorel euclde es u auomorphsme : o parle doc d auomorphsme orhogoal De plus, u e peu admere comme valeur propre que ± Pusque l o ravalle das u espace euclde, l es de dmeso fe e l suff de démorer que l edomorphsme u es ecf Or : E, ( er(u)) (u( = 0) ( = 0 ) ( = 0) Supposos maea que λ es valeur propre (doc réelle) de u, e so u veceur propre assocé Alors : u( = λ, e : u ( = λ = λ, mas auss : u ( =, e comme es o ul : λ = Chapre : Produ scalare cours comple - -

13 Défo 5 : marce orhogoale So : O d que : A M (), es ue marce orhogoale s e seuleme s : AA = I, ou : A A = I Théorème 53 : caracérsao des marces orhogoales par leurs veceurs lges ou coloes So : Ue marce : A M (), es orhogoale s e seuleme s ses coloes, cosdérées comme des veceurs de (ou ses lges) forme ue base orhoormale de, pour le produ scalare caoque de De plus, s : A M (), es orhogoale, alors : de(a) = ± So : A M () O peu ou d abord remarquer que : ( AA = I ) (A - = A) (A A = I ) (A orhogoale) Pus, s o oe B la marce : B = AA, ses coeffces so :,, b, = (C C ), où le produ scalare es c le produ scalare caoque de, e où o a oé C,, C les coloes de A, cosdérées comme des veceurs de Doc A es orhogoale s e seuleme s : B = I, doc s e seuleme s la famlle (formée de veceurs) (c,, c ) es orhoormale das, doc e forme ue base orhoormale De même, e oa L,, L les lges de A, e : B = A A, o démore l aure équvalece Ef, s A es orhogoale, alors : de(i ) = = de( AA) = de( A)de(A) = (de(a)) Théorème 54 : caracérsaos des auomorphsmes orhogoau So (E, ( )) u espace vecorel euclde e la orme assocée So : u L(E) u es u auomorphsme orhogoal s e seuleme s sa marce das ue base orhoormale de E es ue marce orhogoale u es u auomorphsme orhogoal s e seuleme s l mage d ue base orhoormale de E par u es ue aure base orhoormale E parculer, s u es u auomorphsme orhogoal, alors : de(u) = ± So A la marce de u das ue base B orhoormale de E S A es orhogoale, alors : E, ( u( u( ) = ( A X )( A X ), e oa X la marce des coordoées de X das la base B e pusque cee même base es orhoormale Doc : ( u( u( ) = X A A X = X I X = X X = (, e u es be u auomorphsme orhogoal S maea o suppose u orhogoal, alors : (,y) E, o a : ( u ( u( y)) = ( y) E oa X e Y les marces coloes des coordoées de X e de Y das B, o obe : (X,Y) M (), X A AY = X Y Noos alors : B = AA, e so X la marce coloe formée de 0 sauf celu de la lge qu vau Alors :,l, X A A X l = X B X l = b, l, e : X X l = δ, l O e dédu que : B = I, e doc : AA = I, aureme d A es orhgoale So maea : B = (e, e ), ue base orhoormale de E S u es orhogoal alors par coservao du produ scalare, la famlle (u(e ),, u(e )) es clareme ue famlle orhoormale (doc ue base) de E E s récproqueme, o suppose que (u(e ),, u(e )) es orhoormale, alors : E, = e, u( = = = u( e ) u( e ) ( u( e ) u( e )) δ,, = = = = = = = e doc : u = ( = = Pusque u coserve la orme, c es doc be u auomorphsme orhogoal E parculer, s u es orhogoal e s A es sa marce représeave das ue base orhoormale de Chapre : Produ scalare cours comple - 3 -

14 l espace, alors : de(u) = de(a) = ± Théorème 55 : auomorphsme orhogoal e sous-espaces vecorels sables So (E, ( )) u espace vecorel euclde Soe u u auomorphsme orhogoal de E e F u sous-espace vecorel de E, sable par u Alors F es égaleme sable par u Pusque F es sable par u, o a : u(f) F, e u éa becf, doc coserva la dmeso : u(f) = F Pour : F, o peu écrre : y F, y F, y = u(y ), e : ( u ( y) = ( u( u( y')) = ( y) = 0 Doc : u( F, e F es doc égaleme sable par u Théorème 56 e défo 53 : les groupes (O(E),o), (O(), ), (SO(E),o) e (SO(), ) So (E, ( )) u espace vecorel euclde de dmeso e la orme assocée Alors l esemble des edomorphsmes orhogoau de E, oé O(E), forme u groupe pour la lo o, appelé groupe orhogoal de E e sous-groupe de (Gl(E),o) De même, l esemble O() des marces orhogoales de M (), forme u groupe pour la lo, appelé groupe orhogoal d ordre, e sous-groupe de (Gl(), ) Par alleurs, les élémes de O(E) do le déerma vau forme u sous-groupe de O(E) appelé Groupe spécal orhogoal de E, de même les marces de O() do le déerma vau forme u sous-groupe de O() appelé groupe spécal orhogoal d ordre Ef, s o fe ue base orhoormale B de E, l applcao de L(E) das M (), qu à u edomorphsme u assoce sa marce das la base B, du u somorphsme de groupes de (O(E),o) das (O(), ) O(E) : O a pour commecer : O(E) Gl(E) De plus l es clar que d E coserve la orme doc c es u auomorphsme orhogoal, e : O(E) Pus, s u e v coserve la orme das E, alors : E, uov ( = u( v( ) = v( = Doc : (u,v) O(E), uov O(E) Ef, pour ou u das O(E), u es becf e : E, u ( = u( u ( ) = O() : De la même faço, oue marce orhogoale éa versble, o a : O() Gl() De plus : I I = I, doc : I O(), e : O() Pus : (A,B) O(), (AB)(AB) = B AAB = BI B = I, e : (AB) O() Ef : A O(), A - = A, e : (A - )A - = ( (A)) A = A A = I, e : A - O() SO(E) : O a : d E O(E), pusque : de(d E ) =, e : SO(E) Pus : (u,v) SO(E), alors : de( uo v) = de( u)de( v) =, e : uov SO(E) Chapre : Produ scalare cours comple - 4 -, so : u - O(E) Ef, s : u SO(E), de( u ) = (de( u)) =, e : u - SO(E) SO(E) es be u sous-groupe de O(E) O more de la même faço que SO() forme u sous-groupe de O() L applcao proposée es be ue applcao de O(E) das O(), d après le héorème 54 C es u morphsme de groupes mulplcafs, car : (u,v) O(E), ma(uov,b) = ma(u,b)ma(v,b) Ef, c es be ue applcao ecve pusque l applcao de L(E) das M () l es, e elle es surecve pusque pour ue marce orhogoale doée A, l edomorphsme u de E el que : A = ma(u,b), es orhogoal, ouours d après le héorème 54 Théorème 57 : marce de passage ere bases orhoormales So (E, ( )) u espace vecorel euclde e la orme assocée So B ue base orhoormale de E e B ue aure base de E S o oe P la marce de passage de B à B, alors B es orhoormale s e seuleme s P es orhogoale

15 So doc B ue bas orhoormale de E e B ue aure base de E e oa P la marce de passage de l ue à l aure Les coeffces de P so (e coloe) les coordoées des veceurs de B eprmés das la base B Or das ce cas : (, ) {,, }, C C = (C C ), pour le produ scalare caoque (des coloes C e C de P) das, C C = p, p, ' = (e e ), où les e so les veceurs de B, e où le produ scalare es cee fos = celu das E : e effe, la base B éa orhoormale, la forme que pred le produ scalare es ecore caoque Il es alors clar que : ( PP = I ) ( (, ) {,, }, C C = δ, = (e,e )) (B orhoormale) 6 Espaces eucldes de dmeso ou 3 Das ce paragraphe, E désge u espace euclde de dmeso ou 3 Défo 6 : oreao d u espace vecorel, oreao due par u sous-espace vecorel Ue oreao de E correspod au cho d ue base de E décréée comme drece Toue base de E es alors so drece, so drece, suva que le déerma de la marce de passage de cee ouvelle base à la base de référece es posf ou égaf S F es u sous-espace vecorel de E (u pla ou ue droe), oreer F perme alors de défr ue oreao due das ou sous-espace supplémeare de F das E de la faço suvae : s B F es ue base drece de F, ue base d u supplémeare G de F sera drece s la cocaéao de B F e de B G es ue base drece de E Eemple : So 3 mu de so produ scalare caoque e de so oreao caoque (la base caoque es drece) So : = Vec(e ), avec : e = (,,)), e mu de l oreao doée par ce veceur Alors : Π = Vec(e,e 3 ), où : (e,e 3 ) = ((,,0), (,0,)), es u supplémeare de das 3 (pusque la réuo des deu bases de Π e de forme ue base de 3 ), e (e,e 3 ) es ue base drece de Π das l oreao due par car la marce de passage P de la base caoque à (e,e,e 3 ) vérfe : de( P ) = 0 = = Remarques : S o pred au dépar ue base orhoormale comme base drece e qu o eame les aures bases orhoormales de E, alors le déerma de la marce de passage vau ouours ± Oreer ue droe (das le pla ou l espace) correspod doc à la doée d u veceur de orme Oreer u pla das 3 reve alors à chosr ue base orhoormale du pla comme base drece, mas de faço équvalee à chosr u veceur de orme e ormal au pla E effe l oreao de 3 du, par le cho de ce veceur ormal au pla, ue oreao das le pla Théorème 6 e défo 6 : produ me So E es u espace euclde de dmeso ou 3 oreé Soe B e B deu bases orhoormales dreces de E Alors : s E es de dmeso : (u,v) E, de B (u,v) = de B (u,v), s E es de dmeso 3 : (u,v,w) E 3, de B (u,v,w) = de B (u,v,w) Cee valeur varae es oée : [u,v] = de B (u,v), ou : [u,v,w] = de B (u,v,w), suva le cas, e es appelé produ me de u e de v ou de u, v e w, suva le cas Pour u veceur de E de marce de coordoées X e X das B e B, o a : X = PX, où P es la marce de passage de B à B S o oe A e A les marces des coordoées de (u,v) (ou de (u,v,w)) das les bases B e B, o a alors, e ulsa u produ par blocs : A = PA Chapre : Produ scalare cours comple

16 Doc : de B (u,v) = de(a) = de(p)de(a ) = +de(a ) = de B (u,v), de même s E es de dmeso 3 Théorème 6 e défo 63 : produ vecorel de deu veceurs e dmeso 3 So E es u espace euclde de dmeso 3 oreé Soe u e v deu veceurs de E Il ese u uque veceur w de E, oé u v e appelé produ vecorel de u e de v el que : E, [ u, v, ] = ( w L applcao de E das défe par : a [ u, v, ], es ue forme léare sur E, doc le héorème 46 gara qu l ese u uque veceur w das E el que : E, [ u, v, ] = ( w Théorème 63 : propréés du produ vecorel So E es u espace euclde de dmeso 3 oreé Le produ vecorel a les propréés suvaes : l es bléare : (u,u,v,v ) E 4, (λ,λ ), u ( λ v + λ' v' ) = λ u v + λ' u v', e : ( λ u + λ' u' ) v = λ u v + λ' u' v, l es aleré : (u,v) E, v u = u v, (u,v) E, u v es orhogoal à u e à v (u,v) E, ( u v = 0 ) ((u,v) es lée) (u e v coléares) (u,v) E, ((u,v) lbre) (u e v o coléares) ((u,v, u v ) es ue base drece de E Soe u, v, e v das E, λ e λ das Alors : E, ( u ( λ v + λ' v') = [ u, λ v + λ' v', ] = λ[ u, v, ] + λ'[ u, v', ] = λ( u v + λ'( u v', d où : ( u ( λ v + λ' v') = ( λ u v + λ' u v', e par ucé : u ( λ v + λ' v' ) = λ u v + λ' u v' O more de même la relao smlare par rappor à la premère varable Soe u e v das E Alors : E, ( v u = [ v, u, ] = [ u, v, ] = ( u v = ( u v, e par ucé : v u = u v Pus : ( u v u) = [ u, v, u] = 0, de même pour v, ce qu more que u v es orhogoal à u e à v De plus : - s (u,v) es lée, alors : E, ( u v = [ u, v, ] = 0, e comme 0 vérfe auss : ( 0 ) = 0, par ucé o a : u v = 0, - s (u,v) es lbre alors : w E, el que (u,v,w) es ue base de E, e : ( u v w) = [ u, v, w] 0, e doc le veceur u v es o ul Das ce derer cas, o a alors : [ u, v, u v] = ( u v u v) = u v > 0, e la base (u,v, u v ) es ue base drece de E Théorème 64 : epresso du produ vecorel das ue base orhoormale drece So E es u espace euclde de dmeso 3 oreé mu d ue base orhoormale drece B Soe u e v deu veceurs de E de coordoées respecves (,y,z) e (,y,z ) das B Alors u v a pour coordoées das B ( y z' y' z, z ' z', y' y ' ) S o oe (a,b,c) les coordoées de u v das : B = (,,), alors : ' a = ( u v ) = [ u, v, ] = y y' 0 = y z' z y' z z' 0 O obe les deu aures coordoées de la même faço avec e Théorème 65 : epresso géomérque du produ vecorel So E es u espace euclde de dmeso 3 Chapre : Produ scalare cours comple - 6 -

17 Soe u e v deu veceurs o coléares de E e Π le pla egedré par u e v S o oree Π à l ade d u veceur uare ormal à Π (doc drgea e orea : = Π ), alors : u v = u v s( θ ), où θ es l agle oreé (u,v) u Noos : =, e el que (,) so ue base orhoormale du pla elle que (,,) so drece u Alors : u = u, e : θ ]0,π[, v = v (cos( θ ) + s( θ ) ) v E effe, avec : v = v ( + y ), alors : + y = =, e :! θ [0,π], = cos(θ ), y = s(θ ) v Das ce cas, θ es be l agle oreé (u,v) e : u v = u ( v (cos( θ ) + s( θ ) )) = u v s( θ ) Remarque : Pour ros veceurs u, v e w de E, espace euclde de dmeso 3 oreé o a : u v représee la surface du parallélogramme déf par les veceurs u e v, [ u, v, w] représee le volume du paralléléppède cosru sur les veceurs u, v e w Théorème 66 : élémes de O() : marces orhogoales So : A O(), ue marce orhogoale de alle θ ) s( θ ) s : de(a) = +, l ese u réel θ el que : A = s( θ ) cos( θ ) θ ) s( θ ) s : de(a) =, l ese u réel θ el que : A = s( θ ) cos( θ ) a c Noos : A = O() b d Alors das ous les cas : a + b = c + d =, e : ac + bd = 0, pusque les veceurs coloes de A cosue ue base orhoormale de mu de so produ scalare caoque Doc l ese θ e θ réels els que : a = cos(θ), b = s(θ), c = s(θ ), d = cos(θ ) De plus, o a auss : cos(θ)s(θ ) + s(θ)cos(θ ) = 0 = s(θ + θ ), so : θ + θ = π, avec : θ ) ( ) s( θ ) O peu doc écrre : A = s( θ ) ( ) cos( θ ) Ef : θ ) s( θ ) s : de(a) = +, alors : (-) = +, e : A =, s( θ ) cos( θ ) θ ) s( θ ) s : de(a) =, alors : (-) =, e : A = s( θ ) cos( θ ) Remarque : S o defe E au pla complee, e représea des veceurs par leur affe, alors la roao vecorelle d agle θ es représeée par l applcao : z a ze θ Théorème 67 : auomorphsmes orhogoau d u espace vecorel euclde de dmeso So (E, ( )) u espace vecorel euclde de dmeso, oreé So u u auomorphsme orhogoal de E e A la marce de u das ue base : B = (,), orhoormale drece de E θ ) s( θ ) s : de(u) = +, alors l ese u réel θ el que : A = s( θ ) cos( θ ) Chapre : Produ scalare cours comple - 7 -

18 S u es pas l deé de E, u es la roao de E d agle θ, θ éa doé par : cos(θ) = r(u) θ ) s( θ ) s : de(u) =, alors l ese u réel θ el que : A = s( θ ) cos( θ ) θ θ u es alors la symére orhogoale par rappor à la droe D d équao : s ycos = 0, e l agle de D avec la droe drgée par es égal à θ S u es u auomorphsme orhogoal de E alors sa marce représeave A das ue base orhoormale de E es alors orhogoale e o se rouve das l u des deu cas précédes De plus, s : θ ) s( θ ) de(u) = +, alors : de(a) = +, e : θ, A = s( θ ) cos( θ ) Dsguos alors deu cas S : θ = 0 (π), alors u es l deé de E so u es ue roao de E d agle θ, e o obe par : r(a) = cos(θ) = r(u) S par alleurs : θ ) s( θ ) de(u) =, alors : de(a) =, e : θ, A = s( θ ) cos( θ ) Pusqu alors A es symérque réelle, elle es dagoalsable e ses valeurs propres (réelles) λ e λ vérfe, e ulsa race e déerma : λ + λ = 0, e : λ λ = Doc λ e λ vale e 0 La marce de u das ue base de veceurs propres es alors, e : u = d E 0 u es doc be ue symére vecorelle Comme ef, les espaces propres de u so orhogoau, c es ue symére orhogoale La droe par rappor à laquelle s opère cee symére es l esemble des veceurs varas de u θ θ θ (cos( θ ) ) + s( θ ) y = 0 s s cos y = 0 doés par : AX = 0, so :, ou : s( θ ) (cos( θ ) + ) y = 0 θ θ θ + cos = s cos y 0 Comme ef, so le sus, so le cosus ms e faceur es o ul, o e dédu be que la droe varae es la droe D do l équao das la base B es be celle aocée θ θ θ Le veceur cos,s es alors dreceur de D e l agle de ce veceur avec es be Théorème 68 : produ de roaos, commuavé de SO() e SO(E), pour E de dmeso Le groupe SO() es commuaf S E es u espace vecorel euclde de dmeso, le groupe SO(E) es commuaf E parculer, deu marces orhogoales de déerma + commue, ou comme deu roaos das u pla euclde S A e A so deu marces de roao d agle θ e θ, alors : θ ) s( θ ) θ ') s( θ ') θ + θ ') s( θ + θ ') A A' = = = A' A s( θ ) cos( θ ) s( θ ') cos( θ ') s( θ + θ ') cos( θ + θ ') S r e r so deu roaos de E, de marces respecves A e A das ue base orhoormale drece de E, alors ror es la roao d agle (θ+θ ) Théorème 69 : edomorphsmes orhogoau d u espace vecorel euclde de dmeso 3 So (E, ( )) u espace vecorel euclde de dmeso 3, oreé Chapre : Produ scalare cours comple - 8 -

19 So u u auomorphsme orhogoal de E s : de(u) = +, e s u es pas l deé de E, alors u adme ue droe de veceurs varas So alors Π le pla orhogoal à - S : r(u) =, alors u es la symére orhogoale par rappor à (ou roao d agle π auour de ) - S : r(u), alors pour u veceur o ul de Π (ou orhogoal à ), le veceur : = u(, es u veceur o ul de S das ce cas, o oree avec e Π avec l oreao due par celle de, u es alors la roao d ae e d agle +θ, où θ es doé par la relao : cos(θ) + = r(u) s : de(u) =, e s u es pas d E, alors l esemble des veceurs chagés e leur opposé par u es ue droe de E Noos ecore Π le pla orhogoal à - S : r(u) = +, u es la symére orhogoale par rappor à Π - S : r(u) +, alors pour u veceur o ul de Π (ou orhogoal à ), le veceur : = u(, es ecore u veceur o ul de S das ce cas, o oree avec,e Π avec l oreao due par celle de, alors u es la composée de la roao d ae e d agle +θ, où θ es doé par la relao : cos(θ) = r(u), e de la symére orhogoale de E par rappor à Π Tou d abord, le polyôme caracérsque P u de u es de degré 3 à coeffces réels, doc l adme ue race réelle au mos Dsguos alors deu cas : P u adme ros races réelles e ça e peu êre que ou, P u adme ue race réelle e deu races complees couguées : λ = ±, λ, e λ Le produ des races de P u vau par alleurs de(u) Deu cas alors se présee : de(u) = + Les races de P u so doc (+, +, +) ou (+,, ), s les ros races so réelles, e (, λ, λ ), avec : λ =, s l y a des races o réelles O cosae doc que es ouours valeur propre de u S u es pas l deé, es alors race smple de P u e l espace propre assocé es de dmeso doc c es ue droe de E Noos alors Π le pla orhogoal à Alors P es sable par u, car : (,y) Π, (u( y) = (u( u(y)) = ( y) = 0, doc : u( = Π Or l edomorphsme u du par u das Π es ecore ue somére de Π (pusqu l coserve lu auss la orme, des veceurs de Π cee fos) Das ue base orhoormale : B = (e, e, e 3 ), de E adapée alors à la décomposo : E = Π, o a : ma( u', B' ) 0 ma(u,b) =, où B es ue base orhoormale de Π 0 O cosae alors que : de(u) = de(u ), e doc : de(u ) = + Le héorème 7 more alors que : θ ) s( θ ) 0 θ ) s( θ ) θ, ma(u,b ) =, e : ma(u,b) = s( θ ) cos( θ ) 0 s( θ ) cos( θ ) 0 0 S maea : r(u) =, cela sgfe que : cos(θ) + = -, e : π = 0 (π) 0 0 La marce de u das la base précédee es alors : 0 0, e u es be la symére orhogoale 0 0 par rappor à la droe S e revache : r(u), alors u es la roao de Π d agle +θ s Π es oreé avec la base précédee, l agle θ éa doé par : r(u) = r(ma(u,b)) = cos(θ) + Plus gééraleme, s es u veceur o ul de Π, alors u( es o coléare à pusque so u admera des valeurs propres réelles ce qu es pas la cas Doc la famlle (, u(, u() es ue famlle lbre de E, doc ue base de E, drece Chapre : Produ scalare cours comple - 9 -

20 S o oree alors avec : = u(, e Π avec l oreao due par ce cho sur, la famlle (, u() es ue base drece de Π e la roao das le pla Π s effecue das le ses drec Rese à eamer le cas : de(u) = Les races de P u so alors : (,, ), (, +, +), ou : (, λ, λ ) es alors ouours valeur propre de u S u es pas d E, cee valeur propre es smple e l espace propre assocé es de dmeso, so ue droe vecorelle de E Noos ecore Π le pla orhogoal à, e s la symére orhogoale de E par rappor à Π 0 0 Pour ue base B adapée à la décomposo : E = Π, o a alors : ma(s,b) = 0 0, e la 0 0 composée sou es ue somére de E, posve pusque : de(s) = de(u) =, éa de plus varae par cee somére D après ce qu o ve use d éablr, o peu e dédure que : θ ) s( θ ) 0 θ ) s( θ ) 0 θ, ma(sou,b) = s( θ ) cos( θ ) 0, e : ma(u,b) = s( θ ) cos( θ ) Das le cas où : cos(u) =, u es alors d E, mas ce cas es écaré c, so deu cas se présee : r(u) = +, (so : cos(θ) = ) e u es alors la symére orhogoale par rappor à, r(u) +, (so : cos(θ) ) e u es la composée de s e d ue roao d ae Les élémes géomérques de cee roao s obee alors comme précédemme, oamme pour ou ce qu cocere les dfférees oreaos d espaces, avec comme dfférece le fa que so agle es cee fos doé par : r(u) = r(ma(u,b)) = cos(θ) Théorème 60 : élémes de O(3) : marces orhogoales 3 3 So : A O(3), ue marce orhogoale de alle 3 3 θ ) s( θ ) s : de(a) = +, alors : θ, P O(3), A = P s( θ ) cos( θ ) 0 0 θ ) s( θ ) s : de(a) =, alors : θ, P O(3), A = P s( θ ) cos( θ ) P 0 0 P S o appelle u l edomorphsme caoqueme assocé (das 3 mu de so produ scalare caoque), u es u edomorphsme orhogoal de 3, doc l ese comme o l a vu das la démosrao du héorème 73 ue base orhoormale de 3 das laquelle la marce de u es d u des deu ypes proposés (la dfférece se fasa par l eame du déerma de u) Il suff alors d appeler P la marce de passage de la base caoque de 3 à la base B évoquée au-dessus : cee marce es orhogoale, d où le résula aocé 7 Réduco des edomorphsmes symérques, des marces symérques réelles Défo 7 : edomorphsme symérque So (E, ( )) u espace vecorel euclde O d qu u edomorphsme u de E es symérque s e seuleme s : (,y) E, ( u ( y) = ( u( y) ) Théorème 7 : caracérsao marcelle des edomorphsmes symérques So (E, ( )) u espace vecorel euclde So : u L(E) Chapre : Produ scalare cours comple - 0 -

21 L edomorphsme u es symérque s e seuleme s sa marce représeave das oue base orhoormale de E es symérque La démosrao es smlare à celle du héorème 54 Soe : B = (e,, e ), ue base orhoormale de E, e : A = ma(u,b) S A es symérque, alors pour e y das E, de marces coloes de coordoées das B oées X e Y, o a : ( u( y) = ( A X ) Y = X AY = X AY = X ( AY ) = ( u( y) ), e u es symérque S u es symérque alors :,, e u( e )) = ( e a, e ) = a, ( e e ) a, = = ( =, e : ( u ( e ) e ) = ( e u( e )) = a, E pusque : e u( e )) = ( u( e ) e ), o e dédu que : a, = a,, e A es symérque ( Théorème 7 : valeurs propres d ue marce symérque réelle, d u edomorphsme symérque So : So : A M (), ue marce symérque réelle Alors A, cosdérée comme éléme de M (), es elle que oues les races de so polyôme caracérsque so réelles e doc a oues ses valeurs propres réelles De même, so (E, ( )) u espace vecorel euclde, e so : u L(E), symérque Toues les races du polyôme caracérsque de u so réelles So λ ue race de P A éveuelleme complee, e X u veceur propre (das ) assocé à λ Alors : AX = λx O peu écrre : X A X = λ X X = λ, mas auss, pusque A es symérque e réelle e vérfe : A = A, = X A X = X A X = ( A X ) X = ( λ X ) X = λ X X = λ E comme X es u veceur propre, l es o ul, doc : 0, e : λ = λ Doc oue race de P A es réelle De même, s u es u edomorphsme symérque de E, sa marce das mpore quelle base orhoormale de E es symérque réelle, doc les races de P u qu so celles de P A so oues réelles Théorème 73 : orhogoalé des espaces propres d u edomorphsme symérque So (E, ( )) u espace vecorel euclde, e so : u L(E), symérque S λ e µ so des valeurs propres dsces de u, les espaces propres assocés E λ (u) e E µ (u) so orhogoau Toues les valeurs propres de u so réelles Soe λ e µ deu valeurs propres dsces de u, e e y des élémes de E λ (u) e E µ (u) Alors : ( u( y)) = ( µ y) = µ ( y), mas auss : ( u( y)) = ( u( y) = ( λ y) = λ( y) Or : λ µ, doc : ( y) = 0, e les sous-espaces propres E λ (u) e E µ (u) so be orhogoau = = Théorème 74 : dagoalsablé des edomorphsmes symérques So (E, ( )) u espace vecorel euclde, e so : u L(E), symérque Il ese ue base orhoormale de E das laquelle l edomorphsme u es dagoalsable E es de plus la somme drece orhogoale des sous-espaces propres de u O effecue cee démosrao par récurrece sur la dmeso de l espace S u es u edomorphsme symérque d u espace euclde de dmeso, l es évdemme dagoalsable pusque sa marce das oue base de E es de alle, doc dagoale Chapre : Produ scalare cours comple - -

22 Supposos le résula acqus pour ou edomorphsme symérque d u espace vecorel de dmeso :, doée So alors u u edomorphsme symérque d u espace euclde E de dmeso (+) Pusque P u es scdé das, u adme au mos ue valeur propre λ e u veceur propre assocé e Noos alors E le supplémeare orhogoal de Vec(e ) das E E es sable par u : E effe : E, (e u() = (u(e ) = λ(e = 0, pusque es orhogoal à e Doc : u( Vec(e ), e : u( E Noos alors u l edomorphsme du par u das E : l espace E es de dmeso pusque supplémeare das E de Vec(e ) L edomorphsme u de E es symérque car : (,y) E, ( u (y)) = ( u(y)) = (u( y) = (u ( y) Doc l ese ue base orhoormale (e,, e + ) de E formée de veceurs propres de u Mas ces veceurs so auss veceurs propres de u e e réussa cee famlle à e, o obe ue base orhoormale (e,, e + ) de E, formée de veceurs propres de E, ce qu erme la récurrece Théorème 75 : dagoalsablé des marces symérques réelles So : So : A M (), ue marce symérque réelle Alors A es dagoalsable e l es possble de la dagoalser par l ermédare d ue marce orhogoale S u désge l edomorphsme de caoqueme assocé à A, l es symérque pour le produ scalare caoque de, pusque la base caoque es orhoormale pour ce produ scalare e A es symérque réelle Doc u es dagoalsable e ses espaces propres so orhogoau S o cosdère alors ue base de veceurs propres de u formée de la réuo de bases orhoormales des dfféres espaces propres de u, o obe ue base de veceurs propres de u qu es ue base orhoormale La marce de passage P de la base caoque à cee base de veceurs propres es alors orhogoale e s o oe ef D la marce P - AP, elle es dagoale, aureme d o ve de dagoalser A par l ermédare d ue marce orhogoale Chapre : Produ scalare cours comple - -