USTHB Faculté de Physique Année ère année ST Corrigé de la série cinématique Sections 16 à 30

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1 USTHB Faculé de Physique Année ère année ST Corrigé de la série cinémaique Secions 16 à 30 Hachemane Mahmoud Monsieur A. Dib e Mademoiselle R. Yekken son remerciés pour leurs remarques e correcions. Exercice 1 Le diagramme des espaces x() uilisé dans cee soluion es légèremen différen de celui de l énoncé car l exercice es qualiaif, la méhode compe plus que les résulas numériques. 1. Descripion du mouvemen : Le mobile démarre de l origine des espaces dans le sens négaif (v < 0). Puis, il s arrêe à x == 0m enre 10 e 30s. Il reprend son mouvemen mais dans le sens posiif enre 30 e 60 secondes en passan par l origine des espaces à = 40s. Il s arrêe à 100m à 60s.. Méhode de la angene : On race la angene en ( = 40s,x = 0m) pour déerminer la viesse en ce poin. On choisi deux poins sur cee angene e on rouve v(40s) = cm ( cm) 0m/cm = 10m/s cm 3cm 10s/cm Méhode de la viesse moyenne : on choisi l inervalle enre 1 = 37s e = 43s. Le milieu de ce inervalle es m = 40s. On choisi deux poins sur la courbe x() e on uilise v( m ) = v m ( 1, ), on rouve v(40) = 0.6cm ( 0.cm) 0m/cm = 9.17m/s 4.3cm 3.7cm 10s/cm C es normal que les résulas soien différens à cause des erreurs : La angene es difficile à racer. La lecure des valeurs se fai avec des erreurs. L inervalle [ 1, ] peu ne pas êre assez pei. Remarque : Dans cee soluion, la angene e l inervalle son bien choisis car ils son confondus avec une parie droie de la courbe x() correspondan à un MRU. Les erreurs de lecure son suremen la seule cause de la différence enre les deux valeurs de v(40). La méhode de la angene es plus précise car les poins uilisés dans le calcul son éloignés ce qui rédui les erreurs. S il n y avai pas une parie droie à = 40s, la méhode de la viesse moyenne aurai éé la plus précise car la angene serai rès difficile à racer. On a donc le ableau suivan à racer qualiaivemen en supposan que la viesse a un maximum en = 40s. (s) 0 [10; 30] v(m/s) où Phases du mouvemen : (s) [0, 10] [10, 30] [30, 40] [40; 60] x(m) [0; 0] 0 [ 0; 0] [0; 100] Mouvemen Reardé, sens - arrê Accéléré, sens + Reardé, sens + jusificaion v ց, v < 0 v = 0 v ր, v > 0 v ց, v > 0 4. d = d(0;10)+d(10;30)+d(30;60) = ( 0) = 00m.. Sur le diagramme des espaces, on voi que v m (0s;40s) = 0 = 0m/s. 40 v(m/s) x(m) 10 0 (s) (s)

2 Exercice 1. v A () = v B () à = h.. La disance parcourue par la voiure B es la surface du recangle A(0,0.006,v B ) (Fig.1). La disance parcourue par A es la surface du riangle A(0,0.006,v A ) (Fig.). La voiure B e donc en avance d une disance correspondan à la surface du recangle au-dessus de la diagonale D = A(0,0.006,v B ) A(0,0.006,v A ) = 0,10km (Fig.3). Fig.1 Fig. Fig.3 3. Enre = h e = 0,01h = 10 h, la voiure A prend une avance d une disance correspondan au rapèze enre ces deux insans e les viesses des deux voiures (Fig.3), soi d = (4+1) = 0.00km. La voiure B es oujours en avance de D d = 0.070km 4. La voiure A doi raraper les 0.070km après = 10 h. On doi avoir 0.070km = ( 10 h) 0km/h ce qui donne = 0.013h. On peu calculer à parir de l origine des emps e écrire x A () = x B (), donc [+( h)] 60km/h = 40km/h, ce qui donne le même résula = 0.013h. Exercice 3 v(m/s) (s) Donnée x(0s) = 0m 1. Accéléraion a = dv/d. Le graphique de v() es composé de droies. L accéléraion es consane pour chaque droie e correspond à la pene. Par exemple, enre = 0s e = 10s, on a a = v(1) v(0) 1 0 = m/s. On dédui le ableau suivan : (s) [0,1] [1,] [,4] [4;] [;10] a(m/s ) (cm) [0,1] [1,] [,4] [4;] [;10] a(cm)

3 a(m/s ) (s). On calcule les posiions par la méhode des aires : x(1) x(0) = A(0,1,v) x(1) = A(0,1,v) = 1m car x(0) = 0m. De même, x() x(0) = A(0,,v) = m x() = A(0,,v) = m. x(4) = x(3) = x() = m car le mobile es au repos. Mainenan, on uilise x(6) x(4) = A(4,6,v) où A(4,6,v) = m es l aire du riangle hachuré. Comme x(4) = m, alors x(6) = 0m. En calculan de cee façon à ous les insans, on aura le ableau suivan : (s) x(m) On race sachan que, quand la viesse es une droie, la posiion es une porion d une parabole don la angene es horizonale aux insans où v = dx = 0 (dans ce exercice, v = 0 pour = 0s, d [s,4s] e = 10s). 7 x(m) (s) v = Méhode des inégrales : Le graphique de v a pour foncion, 3

4 v() = si si 1 0 si 4 4 si si 7 10 On calcule les inégrales par l une des deux méhodes suivanes (on prendra comme exemple 4s 7s) : Méhode 1 : x() x(4) = vd = ( 4)d = La méhode des aires nous donne x(4) = m, donc x() = Méhode : x() x(1) = vd = ( 4)d+ 4 0d+ ( 4)d = La méhode des aires nous donne x(1) = 1m, donc x() = On rouve : si si 1 x() = si si si d = d(0,)+d(4,10) = = 11m. 4. Descripion du mouvemen où l abréviaion MRUA (+) signifie "mouvemen reciligne uniformémen accéléré dans le sens posiif". (s) [0,1] [1,] [,4] [4;] [;10] Mouvemen MRUA (-) MRUR (-) Repos MRUA (+) MRUR (+) Jusificaion a = C,av > 0,v < 0 a = C,av < 0,v < 0 v = 0 a = C,av > 0,v > 0 a = C,av < 0,v > 0. Le diagramme des viesses donne : x(10) x(8) = A(8,10,v) 7 x(8) = x(8) = m e v(8) = 3m/s. Le diagramme des accéléraions donne : a(8) = 1m/s Représenaion : O a x(8) Exercice 4 1. Par la méhode des aires, on dédui : v( ) v( 1 ) = A( 1,,a) (s) v(m/s) 1 0 v(m/s) 1 x 10 (s) Par la méhode analyique : Enre = 0s e = 10s, v() v(0) = ad = 1d =. Comme v(0) = 1m/s, on a 0 0 v() = +1 Enre = 10s e = 0s, v() v(10) = ad = 0d = 0. Comme v(10) = m/s, on a v() =

5 Enre = 0s e = 30s, v() v(0) = ad = ( 0.1+)d = Comme v(0) = m/s, on a v() = Depuis le diagramme des viesses e avec la méhode des aires, on rouve (échelle choisie cm m) x() = (10+1) = 6.m cm e x(1) = (1+) 10 + = 1m 10cm. Les viesses e accéléraions son obenues à parir de leurs diagrammes direcemen : a() = 1m/s 1cm e a(1) = 0m/s. v() = 10m/s 4cm e v(1) = m/s cm. r(1) a(1) = 0 (1) O r() a() () Exercice 1. La viesse es consane sur chaque droie du diagramme des espaces. Il suffi de calculer la pene v = x() x(1) 1 e on obien : [ 1, ](s) [0,1] [1,] [,4] [4,] [,7] [7,8] v(m/s) v(m/s) 1 (s) Phases du mouvemen : [ 1, ](s) [0,1] [1,] [,4] [4,] [,7] [7,8] Naure MRU,+ Repos MRU,- Repos MRU,+ Repos Jusificaion v = C,v > 0 v = 0 v = C,v < 0 v = 0 v = C,v > 0 v = 3. d(0,7) = x(1) x(0) + x() x(1) + x(4) x() + x() x(4) + x(7) x() = = 8m 4. Il fau représener les veceurs, viesse e accéléraion, aux bonnes posiions : (s) 3 6 x(m) 0 1 v(m/s) 1 a(m/s) 0 0 échelles (s) 3 6 cm 1m x(cm) 0 1cm m/s v(cm) 4 a(cm) 0 0 (6) (3) x(6) Exercice 6 1. Diagramme des accéléraions : [ 1, ](s) [0,3] [3,] [,9] a = v() v(1) 1 (m/s) x(3)

6 a(m/s ) (s) 1. Phases du mouvemen. Comme l accéléraion es consane, on a un MRU, un MRUV ou un repos. [ 1, ](s) [0,3] [3,] [,7] [7,9] Mouvemen MRUA (+) MRU (+) MRUR (+) MRUA (-) Jusificaion a = C,av > 0, v > 0 a = 0, v > 0 a = C,av < 0, v > 0 a = C,av > 0, v < 0 3. La disance es la somme des surfaces (posiives) d(0,9) = A(0,7,v) + A(7,9,v) = (7+)8 + 8 = 44m. 4. La différence des posiions es l aire algébrique : x(6) x(0) = A(0,6,v) = 34m = x(6) car x(0) = 0m. x(9) x(0) = A(0,7,v)+A(7,9,v) = (7+)8 8 = 8m = x(9) car x(0) = 0m e A(7,9,v) < 0 (en dessous de l axe des emps).. Représenaion des veceurs viesse e accéléraion (s) 6 9 échelles (s) 6 9 x(m) cm m x(cm) v(m/s) 4 8 1cm m/s v(cm) 4 a(m/s) 4 4 1cm m/s a(cm) a(6) x(6) (6) (9) a(9) x(9) Exercice 7 Données par rappor à O : Voiure x 1 (0) = 3m, v 1 (0) = 0m/s, a 1 = 3m/s. Moard : x (0) = 4 3 = 7m, v = 4km/h = 4 m/s = 1m/s Voiure : viesse v 1 () v 1 (0) = a 0 1d = 3d v 0 1() = 3 équaion horaire : x 1 () x 1 (0) = v 0 1()d = 3d = 3 0 x 1 () = 3 3 Moard : viesse v () = v (0) = 1m/s équaion horaire : x () x (0) = v 0 ()d = 1d = 1 x 0 () = 1 7. Les insans de dépassemen corresponden aux insans de renconre x 1 () = x (). Donc 3 3 = 1 7 = = s e = 8s. Les posiions à ces insans son x 1 () = x () = 3m e x 1 (8) = x (8) = 93m 3. Si v = 36km/h = 10m/s, on doi avoir 3 3 = = 0. Le discriminan = ( 10) = 44 es négaif. Il n y a pas de soluion réelle e le moard ne peu pas raraper la voiure. 4.a. La voiure éan en avance, on a x 1 () > x (). La disance qui la sépare du moard es D = x 1 () x () = > 0. Elle devien minimale (ou maximale) quand dd = 0,3 10 = 0 d donc = 3.33s b. Cee disance es D = 3 (3.33) = 4.33m. Exercice 8 Méhode graphique : Enre = 0s e = 10s, les composanes v x e v y son consanes. Le veceur viesse es par conséquen consan e le mouvemen es reciligne e uniforme. La rajecoire es une droie enre 6

7 les poins (x,y) aux insans = 0s e = 10s. Par conre, enre = 10s e = 0s, la composane v y décroi uniformémen e v x es consane. On sai que la rajecoire es une porion de parabole (par analogie avec le mouvemen d un projecile). On calcule les différens poins (x,y) graphiquemen : Comme x(0) = 0m, alors x() x(0) = v 0 xd = A(0,,v x ) x() = A(0,,v x ). Comme y(0) = 0m, alors y() y(0) = v 0 yd = A(0,,v y ) y() = A(0,,v y ). On peu donc remplir le ableau suivan : (s) x(m) y(m) Remarque : le maximum de la parabole correspond au poin (x,y) = (0m,1m) car v y = 0 e v = v x (la angene à la rajecoire es horizonale). Méhode analyique : pour 10s v x () = 1 e v y () = 1 x = e y = y = x (droie) pour 10s v x () = 1 e v y () = ( 0.1+) x() = Aenion : comme v y change de foncion à = 10s, il fau calculer y() y( 0 ), avec > 10s e 0 > 10s. Il es plus simple de calculer y() y(10) { = ( 0.1)d = avec y(10) = 10m x = donc on a y = 0.0 La rajecoire es obenue en remplaçan par x dans y car x =. On obien une parabole y = 0.0x +x 1 y(m) 0.1 v : 1cm 1m/s a x (m/s ) a : 1cm 0.1m/s a (s) y x x(m) 0.1 a y (m/s ) 0.1 (s) Les composanes de l accéléraion son a x = dvx e a d y = dvy. Il suffi de calculer la pene de chaque d droie du diagramme des viesses. On rouve (échelle 1cm 0.1m/s ) : [ 1, ](s) [0,10] [10,0] [ 1, ](cm) [0,4] [4,] a x (m/s ) 0 0 a x (cm) 0 0 a y (m/s ) 0 1 a y (cm) On vérifie aisémen qu à = s, on a (x,y) = (10m,10m), (v x,v y ) = (1m/s,1m/s) e (a x,a y ) = (0m/s,0m/s ). Par conre, à = 0s, on a(x,y) = (0m,1m),(v x,v y ) = (1m/s,0m/s) e(a x,a y ) = (0m/s,0.1m/s ) Exercice 10 Parie I x A () = Rcos(ω+ϕ) v A () = dx A d = Rωsin(ω+ϕ). ( 1. A = 0s, on a : x A (0) = R = Rcos(ϕ) = R e v π A ω ) = π = Rωsin ( ω ( π ω) +ϕ ) = π. Comme, sin ( ω ( π ω) +ϕ ) = sin ( π +ϕ) = cos(ϕ), on obien le sysème d équaions suivan : 7

8 { cos(ϕ) = 1 { ϕ = 0 rd Rωcos(ϕ) = π ω = π π T = = π rd/s = s e f = 1 = ω T 0.s 1. R La période T correspond à la durée pendan laquelle le mobile revien à la même posiion dans le même sens du mouvemen (même viesse). C es l inervalle de emps séparan deux maxima du diagramme des espaces, des viesses ou des accéléraions. La fréquence es le nombre de fois qu il revien à cee même posiion (dans le même sens du mouvemen) en une seconde. C es le nombre de périodes par seconde.. a A = dv A d = Rω cos(ω+ϕ) a A () = ωx A () 3. Rappelons que la période es T = s. a A v A 1 x A Parie II 1. x M () = Rcos(ω) e y M () = Rsin(ω) Pour la naure du mouvemen, remarquons qu on rerouve la rajecoire circulaire en uilisan : x M ()+y M () = R cos (ω)+r sin (ω) = R Calculons la viesse en remplaçan ω par θ v x = R θsin(θ) e v y = R θcos(θ) = v x +v y = R θ Donc, ce mouvemen circulaire es uniforme ou accéléré ou reardé si la viesse angulaire θ es consane, augmene ou diminue respecivemen. Dans ce exercice on suppose qu elle es consane θ = ω = θ = ω.. Le mouvemen de A apparaî comme la projecion du mouvemen de M sur l axe (x Ox). a y r 3π/4 x 3. Pour = 0.7s = 3s, on a θ = ω = 3π. Sachan que cos( ) 3π =, a x = ω x e a y = ω y, on rouve Grandeur R x y v x v y a x a y Valeur 0.m m m 4 4 π m/s 8 π m/s π 8 16 m/s π 16 m/s Echelle 6.cm 4.4cm 4.4cm 0.71cm 0.71cm 0.6cm 0.6cm Exercice 11 Données x() = Acos(ω) e y() = Asin(ω) où A = 10cm e ω = 10rd/s. a. Les composanes de la viesse son : v x () = Aωsin(ω) e v y () = Aωcos(ω) Le module de la viesse es consan = vx +v y = Aω. Elle es perpendiculaire à la posiion r = xv x +yv y = 0. b. Les composanes de l accéléraion son : a x () = Aω cos(ω) e a y () = Aω sin(ω) 8

9 L accéléraion a un module consan a = a x +a y = Aω e une direcion parallèle (mais de sens opposé) à r : a x = ω x e a y = ω y = a = ω r. c. a. = 0 L accéléraion es perpendiculaire à la viesse, par conséquen, seule la direcion de cee dernière change mais pas le module. d. A = π s, on a ω = π, cos(ω) = 0 e sin(ω) = 1. Donc 0 Grandeur A x y v x v y a x a y Valeur 0.1m 0m 0.1m 1m/s 0m/s 0m/s 10m/s Echelle 3cm 0cm 3cm 1cm 0cm 0cm 1cm y r a Exercice 1 1. Composanes du veceur viesse : r = ( 1) i+ j = d r = i+ j a = d = j d d D une aure manière : x = ( 1) v x = dx = 1 a d x = dvx = 0e y = / v d y = dy = a d y = dvy = 1 d. a n = v. D après les propriéés du produi vecoriel, a = a sinθ = a ρ v où a v es la composane (de a) qui es perpendiculaire à, c es-à-dire a n. x a v = an a θ a v = a Donc a n = a = v ρ ρ = 3 a = vx +vy = ( ) 1+ e a = i+ j j = k a = 1 ρ = ( 1+ ) 3/. 3. On sai que a = a u = ( a u ) u e on peu choisir u =. Donc a = ( a ) = i+ j +1i+ +1j. 4. a n = a a = +1 i j. On a a n = v ρ = 1+ 1 = (1+ ) 3/ )( +1 ( a n a = +1 Exercice 14 = a (1+ ) 1/ n ) +( 1 +1 )( ) = 0 +1 ( ) ( ) = 1 +1 Données R = 110 π m, s(0) = s 0 = 0m e v(0) = v 0 = 4.m/s 1. Toues les formules du mouvemen reciligne son applicables à (s,v,a ). On peu donc écrire : 10 v(10) v(0) = 0 a d = A(0,10,a ) = = 1.m/s v(10) = A(0,10,a )+v 0 = 6m/s 0 v(0) v(0) = 0 a d = A(0,0,a ) = = 0m/s v(0) = v 0 = 4.m/s On peu calculer mainenan les composanes de l accéléraion : a (10) = 0m/s e a n (10) = v (10) R = 36π 110 = 1.03m/s. On a a = a n (10) 4.1cm a (0) = 0.3m/s e a n (0) = v (0) R 1+ = = (4.) π 110 = 0.8m/s. On a a (0) = 1.cm e a n (0).3cm. Les posiions du mobile aux insans 1 e son données dans l énoncé e le rayon doi êre représené par R 4cm. Remarquons aussi que v 0 e posiive e dans le sens du mouvemen (M 0 M 1 M ). Par conséquen, le sens posiif a impliciemen éé choisi dans le sens du mouvemen (le sens posiif es indispensable à la représenaion de u, e a ). 9

10 y M 1 (+) a a a M 1 a n M 0 x. La paricule rebrousse chemin quand v = 0m/s. Or v() v(0) = 0 a d = 0. D après le diagramme, a = On obien alors v() = 0 ( )d+4. = L équaion = 0 a pour soluions [ = 10s] e [ = 30s]. La deuxième soluion es accepable car elle es posiive. De la même façon, s() s(0) = 0 v()d. Donc s() = ( ) d = Donc s(30) = 13m. Exercice 1 Données : r() = r 0 exp( /a) e θ() = /a. 1. v a r = dr d = r 0 a exp( /a) e v θ = r dθ d = r 0 a exp( /a). Donc = r 0 a exp( /a)[ u r + u θ ] u r. Soi ϕ = (, u θ ) alors g(ϕ) = vr v θ = 1 ϕ = π 4. Le dessin ci-conre es un exemple dans le cas où θ = π θ u 4 ( u r vers le hau). θ a 3. Uilisons les formules suivanes (praiques quand v r e v θ son ϕ α connues) : u u n a r = dvr d dθ d v θ e a θ = dv θ d + dθ d v r a r = r 0 exp( /a) r a a 0 exp( /a) = 0m/s e a a θ = n r 0 exp( /a) a = a a θ u θ 4. Soi α = ( a, u n ) alors g(α) = a a n r Choisissons u = = 1 [ u r + u θ ] a = a u = a θ e a n = a a = a θ Donc g(α) = 1 α = π 4. On a d abord dessiné a = a θ, u e a qui son faciles. Ensuie, on a dédui a n (e u n ) car a es la résulane de a e a n.. Comme a n = v R R = v a n = r 0 e 1 a Exercice 16 Données : r() = / e θ() = π /4 1. r(1) = 0.m cm e θ(1) = π/4 rd. r = dr d u r = 1 u r e θ = r dθ d u θ = π 4 u θ à = 1s, on aura v r = 0.m/s cm e v θ = π 4 = 0.79m/s 3.14cm. 3.a. = vr +v θ = π b. a = d d = 1 8 π π A = 1s, on a a = 1.33m/s. 10

11 ou bien a = a = a = a rv r+a θ v θ = (π/4) = 1.33m/s (0.) +(π/4) v r +v θ R = v a n e a n = a a = a r +a θ a, on rouve a n = R = v r+vθ a n = (0.) +(π/4).31 = 0.38m. ( 1.3) +(.36) (1.33) =.31m/s θ y r r u θ u r π/4 x Exercice Enre = 0s e = s, la rajecoire es un segmen de droie enre r = 3m e r = m, car θ = π 4 es consan. Enre = s e = 6s, la rajecoire es un arc de cercle enre θ = π 4 e θ = π, car r = m es consan.. Viesse : v r = dr d e v θ = r dθ d. Accéléraion : a r = d r r ( ) dθ d d e aθ = d θ + dr dθ dr dθ d d d. Sachan que d e d son les penes des courbes r() e θ(), on rouve : dr (s) r(m) θ(rd) d (m/s) dθ d (rd/s) v ( r(m/s) v θ (m/s) a r m/s ) ( a θ m/s ) π π 0 π π π 0 (16) En représenaion (échelle pour r : 1cm 1m) (s) r(cm) θ(rd) v r (cm) v θ (cm) a r (cm) a θ (cm) π π Phases du mouvemen : [ 1, ] [0,] [4,6] Mouvemen MRU,sens + MCU, sens + Jusificaion rajecoire=droie, = 1,v = v r > 0 rajecoire=cercle, = π 16,v = v θ > 0 (4) a(4) (1) r(4) r(1) 3π π 8 4 Exercice 19 ( ) Données : Par rappor à O, i, j, k : x = 4+1, y = 4 e z = 3 ( ) Par rappor à O, i, j, k : x = ++, y = 4 + e z =

12 1. On calcule les viesses dans chaque ( repère en dérivan les coordonnées (x,y,z) e (x,y,z ) : La viesse M/O par rappor à O, i, j, ) k : v x = 4, v y = 8 e v z = 6. ( La viesse M/O par rappor à O, i, j, ) k : v x = +1, v y = 8 e v z = 6. On dédui que v x = v x, v y = v y e v z = v z.. Les accéléraions son obenues en dérivan (v x,v y,v z ) e ( v x,v y,v z). On obien : ( ) L accéléraion a M/O par rappor à O, i, j, k : a x =, a y = 8 e a z = 6. ( ) L accéléraion a M/O4 par rappor à O, i, j, k : a x =, a y = 8 e a z = 6. On dédui que a x = a x, a y = a y e a z = a z. 3. Pour définir le mouvemen d enraînemen de (R) par rappor à (R ), il fau calculer O/O = O /O ainsi que a O/O = a O /O Or M/O = M/O + O /O O/O = M/O M/O = i e a M/O = a M/O + a O /O a O/O = a M/O a M/O = 0. Le repère (R) es en mouvemen reciligne e uniforme dans le sens posiif avec une viesse v O/O = m/s. Exercice 0 Données : x(0) = 4m e y(0) = 1m. 1. Les composanes de l accéléraion son consanes (penes) a x = 1m/s e a y = 0m/s. Les composanes du veceur posiion s obiennen par la méhode des aires : x() x(0) = 0 v xd = A(0,,v x ) = 1.m x() = 16.m y() y(0) = 0 v yd = A(0,,v y ) = 6m y() = 7m x(10) x(0) = 0 v xd = A(0,10,v x ) = 0m x(10) = 4m y(10) y(0) = 0 v yd = A(0,10,v y ) = 16m y(10) = 17m On a : ( (s) x(m) y(m) v x (m/s) v y (m/s) a x m/s ) ( a y m/s ) A/O = A/B + B/O avec B/O = B = i+4 j, A/O = A e A/B = v x i+v y j On dédui que A/B = A B v x = v x e v y = v y 4. Le graphe de v x s obien en décalan celui de v x de vers le bas. Le graphe de v y s obien en décalan celui de v y de 4 vers le bas. 4 4 v x v y v y 4 v x 4 Exercice 1 Données N/E = P/S = 1m/s, E/S = c = 0.m/s, c < N/E e L = 10m. 1. Calculons les viesses par rappor au sol du piéon e du nageur, pendan l aller e le reour, en uilisan N/S = N/E + E/S = N/E + c Piéon P/S Nageur c N/E ( N/S aller P/S i reour aller c i P/S i c + ) P/S i P/S i reour c i ( P/S i c ) P/S i 1

13 Remarque c P/S = ( P/S c ) < 0 car c < P/S = N/E Le emps mis par chacun es la somme des emps de l aller e du reour Temps mis par le piéon pour un aller-reour : T P = L P/S Temps mis par le nageur pour un aller-reour : T N = L + L = L P/S c + P/S P/S c P/S c On voi que T P T N = P/S c < 1 car P/S P/S > c, P/S > 0 e c > 0. Donc T P < T N, c es-à-dire que le piéon arrive en premier. Applicaion numérique :T P = 300s e T N = 600s.. On a N/P = N/S + S/P = N/S P/S mais les expressions de N/S e P/S dépenden des phases aller ou reour du piéon e du nageur. Il fau calculer les emps correspondans : L Aller du piéon = T P P/S = 10s. L Aller du nageur = 100s. c + P/S On aura le ableau suivan : [ 1, ](s) [0,100] [100,10] [10,300] ( N/S c + ) ( P/S i c ) ( P/S i c ) P/S i P/S P/S i P/S i P/S i ( c i = 0. i c ) P/S i = 1. i c i = 0. i N/P v N/P (m/s) (s) A = 0s, le nageur e le piéon démarren de la même abscisse x P/S = x N/S = 0, donc x N/P (0) = x N/S x P/S = 0. Les insans de renconre corresponden à x N/P () = 0 que l on peu déduire du graphe de v N/P. Le premier insan de renconre 1 correspond au cas où le piéon es dans la phase aller e le nageur dans la phase reour (100s < 1 < 10s). Il vérifie x N/P ( 1 ) = A ( ) 0, 1,v N/P +xn/p (0) = ( 1 100) 1.+0 = 0 1 = s Le deuxième insan de renconre correspond au momen ou le piéon rarape le nageur quand il son ous les deux dans la phase reour ( > 10s). Il vérifie x N/P ( ) = A ( ) 0,,v N/P +xn/p (0) = (10 100) 1.+( 10) 0. = 0 = 00s. Exercice Données : A = 0s, on a(x R = 0m,y R = 0m),(x S = 100m,y S = 0m), y (x T = 0m,y T = 30m), (x B = 40m,y B = 0m) Le couran enraîne le ballon donc C = eau = B = 0.4 i en (m/s). L indice B sera uilisé à la place de C e de eau dans les viesses, on écrira par exemple R/B = S/B = T/B = 1m/s. 1. Dans un repère lié au ballon, les rois nageurs on un mouvemen reciligne e uniforme avec des viesses égales R/B = S/B = T/B, mais des posiions iniiales différenes r R/B (0) = r R (0) r B (0), r S/B (0) = r S (0) r B (0) e r T/B (0) = r T (0) r B (0). Le plus proche arrivera le premier. D R/B = x R x B = 60m, D S/B = x S x B = 60m e D T/B = (x T x B ) +(y T y B ) = 0m. O 30 x Le nageur T arrivera en premier. Les emps correspondans son : T R = D R/B / R/B = 60s, TS = D S/B / S/B = 60s e T T = D T/B / T/B = 0s.. La formule T/O = T/O + O /O où T/O = T e T/0 = T/B, car O /O = B/O = B, monre bien que le mouvemen es reciligne e uniforme dans les deux repères (xoy) e (x O y), car ous les veceurs viesses son consans. La rajecoire du nageur T es un segmen de droie enre la posiion iniiale de T e sa posiion finale quand il arrive au ballon à = 0s. A = 0s, on a (x T = 0m,y T = 30m). 13

14 A = 0s, on a (x T,y T ) = (x B,y B ) = (v B +x B (0),y B ) = (60m,0m). La disance es D = [x T (0) x T (0)] +[y T (0) y T (0)] = 67.08m 3. Le veceur viesse T/B a la même pene que la rajecoire du nageur T dans le repère lié au ballon g(α) = v yt/b 40 = 3 4. On race un veceur de pene 3 4 e de longueur cm car T/B = 1m/s. Le veceur B = 0.4 i a une longueur de cm. Le veceur T = T/B + B es la résulane des deux. v xt/b = y T/B(0) y T/B (0) x T/B (0) x T/B (0) = 30 T/B T droie de pene 3/4 B La longueur mesurée de T es 6.7cm, donc T = 1.34m/s. D une aure façon, on a T = D T = s. vers le hau de 3 vers la droie de 4 0 = 14