Vestiges mathématiques d'une terminale scientifique L'intégralité des

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1 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 Qulqus mots d'itroductio Durat ctt aé difficil t très péibl, j'ai rcé mo pu d compétcs das u scod t u trmial S L prést documt rprd l'itégralité d tous ls dvoirs survillés accompagés d lurs corrigés qui ot été doés das ctt drièr class Nous avrtissos otr aimabl lctur qu'il trprd la lctur d c rcuil à ss proprs risqus t périls Ls propos tus t ls rcics proposés das l prést documt sot pédagogiqumt très icorrcts t 'gagt qu lur autur Ls dvoirs doés puvt paraîtr trop logs vu l tmps doé Il doit êtr précisé qu l barêm a souvt compté plus ds poits ormau Plus il y a d qustios, plus ls élèvs puvt motrr lurs compétcs Durat ctt aé d trmial, j'ai doé trois formats d dvoir : ds dvoirs dits prss d'u duré d'u hur, ds dvoirs survillés d du hurs t du bac blacs d quatr hurs L format court d'u hur m'a paru idéal pour imposr à ctt désspérat TS u rythm d travail qu'll rchigait à adoptr Tout au log d l'aé, mo ittio a été d préparr ls élèvs au rcics qu'ils pourrait avoir l jour fatidiqu Car malgré c qu baucoup dist, c qui motiv ls élèvs d trmial st lur bac fi d'aé Baucoup ds rcics doés sot ds adaptatios plus ou mois fidèls d'rcics doés au bac D'autrs sot ds créatios A chacu d' fair l'usag qui lui plaira Jérôm ONILLON Au sommair : Dvoir Eprss No Dvoir Eprss No6 Dvoir Survillé No Dvoir Eprss No6 Dvoir Eprss No9 Dvoir Survillé No Dvoir Eprss No58 L prmir bac blac Dvoir Eprss No6 Dvoir Survillé No Dvoir Eprss No79 Dvoir Eprss No79 L duièm bac blac5 Dvoir Survillé No 6 Dvoir Survillé No 6 Not : l prést documt put pas êtr fouri qu'à titr gratuit L'autur roc à aucu d ss droits L prést documt st clusivmt mis lig par l sit La tavr d l'irladais ( So cotu 'a aucu valur officill t 'gag qu so autur Il st fouri tl qul, sas aucu garati L prést documt a été mis lig pour la prmièr fois l dimach 8 jui 6 Das la collctio Iquiétats cofssios, la Tavr d l'irladais vous prést Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu L'itégralité ds dvoirs d maths d'u saiso Tous ls rcics d c rcuil sot soit ds adaptatios d'rcics du bac S, soit ds créatios purs coçus t imagiés par Jérôm ONILLON, profssur d maths d plus plus désagrégé La tavr d l'irladais Editio du mrcrdi jui 6 L pir 'st jamais sûr Et pourtat l voilà!

2 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 Dvoir Eprss No L cott U dvoir prss st u format court, u évaluatio d'u hur dot l but st d tstr ls élèvs sur ds poits précis du cours ou crtais compétcs dircts C'st u format itrmédiair tr ls gros DS d du hurs t ls itrros d vigt miuts U d lurs objctifs était d dor u rythm d travail à u class qui ' avait plus Mais ça, faut pas l dir! C DE- fut fait sas calculatric t portait sur tout c qu l'o put attdr début d'aé d TS : dérivatio, limits t asymptots, cotiuité Il ut liu à la mi-sptmbr 5 Il costitua l prmir cotact ds élèvs avc ls QCM qu l'o rtrouv régulièrmt das ls sujts d bac Différc avc ls mis, ils sot baucoup mois difficils L'éocé Prmièr parti : ds qustios à la dériv (7,5 poits) Das l prést rcic, chaqu bo répos rapport,5 poits t chaqu mauvais lèv,75 U qustio sas répos rapport i 'lèv aucu poit Si l total ds poits obtus à ct rcic st égatif, il st ramé à Pour chaqu qustio, o tourra la répos choisi Aucu justificatio 'st dmadé d) Parmi ls foctios suivats, laqull st la dérivé d la foctio f () =? ) Parmi ls foctios suivats, laqull st la dérivé d f () =? 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) Scod parti : ds qustios à la limit (,5 poits) Das l prést rcic, chaqu bo répos rapport,5 poits t chaqu mauvais lèv,75 U qustio sas répos rapport i 'lèv aucu poit Si l total ds poits obtus à ct rcic st égatif, il st ramé à Pour chaqu qustio, o tourra la répos choisi Aucu justificatio 'st dmadé a) Qull st la limit d la foctio f () = lorsqu td vrs? a) Parmi ls foctios suivats, laqull st la dérivé d f () =? b) Qull st la limit d la foctio 7 f () = lorsqu td vrs par la gauch? b) Parmi ls itrvalls suivats, lqul st l'smbl d dérivabilité d la foctio f () =? ] ;[ ] ;] ] ; [ [ ; [ c) Parmi ls foctios suivats, laqull st la dérivé d la foctio f () =? 6 c) Qull st la limit d la foctio f () = lorsqu td vrs?

3 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 Drièr parti : u ptit problèm (9 poits) La foctio h st défii sur par : Das l prést rcic, chaqu bo répos rapport,5 poits t chaqu mauvais lèv,75 U qustio sas répos rapport i 'lèv aucu poit Si l total Si alors h() = f () ds poits obtus à ct rcic st égatif, il st ramé à Pour chaqu qustio, o tourra la répos ou ls réposs choisis A l'cptio d h() = la qustio f, aucu justificatio 'st dmadé d) Qull la limit d la foctio h lorsqu td vrs? La foctio f st défii t dérivabl sur l'smbl ] ;[ ] ; [ O appll (C) la courb rpréstat ctt foctio f L tablau d variatio d la foctio f st l suivat : f a) Combi l'équatio f () = admt-ll d solutios das ] ;[ ] ; [? Aucu U Du Trois b) Parmi ls égalités suivats, la ou lsqulls sot assurémt fausss? f '( 7) = f '( ) = f ' = ) Qull la limit d la foctio h lorsqu td vrs? f) La foctio h st-ll cotiu? O justifira sa répos U bo répos o justifié sra cosidéré comm ull No Oui c) Parmi ls équatios d droits suivats, u sul st cll d'u asymptot à la courb (C) Laqull st-c? = y = y = y = L corrigé Prmièr parti : ds qustios à la dériv a) La foctio f () = st u somm d foctios dérivabls sur ' ' ' ' f '() = = = =

4 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 b) Pour qu la raci d'u foctio u soit dérivabl, il faut t il suffit qu u soit dérivabl t égalmt qu'll soit strictmt positiv Coclusio : la limit d la foctio f st Doc l'a ds abscisss (qui a pour équatio y = ) st u asymptot horizotal à la courb d f au voisiag d La foctio u() = état dérivabl sur, sul sa positivité pos qustio u() st positif > > > ] ; [ c) La foctio f () = st l produit ds foctios u() = t v() = dérivabls sur ] ; [ Lurs dérivés rspctivs sot u '() = t v'() = Doc : f '() = u 'v v'u = = = = d) Comm la foctio u() = st dérivabl t strictmt positiv sur l'itrvall ],5; [ alors il va d mêm pour sa raci f () = u() D plus : u ' f '() = = = u ) Ls foctios u() = t v() = sot dérivabls sur \{,5 } Lurs dérivés rspctivs sot u '() = t v '() = u Comm l déomiatur v s'aul pas sur ct smbl alors lur quotit f = y v st aussi dérivabl Par suit : u 'v v'u ( ) ( ) f '() = = = = v Scod parti : ds qustios à la limit a) L quotit f () = st u form idétrmié du typ sous l'écritur qui ous st proposé Pour lvr ctt idétrmiatio, ous allos factorisr ls umératur t déomiatur du quotit f par lurs trms ls plus forts Pour tout rél o ul, ous pouvos écrir : f () = = = = b) Lorsqu td vrs par la gauch : L umératur 7 td vrs 7 = L déomiatur td vrs car il st égatif à gauch d E fft, l tablau d sig d ( )( ) Doc l quotit f() td vrs = st : = Coséquc : la droit vrtical d'équatio = st u asymptot à la courb d f 6 c) A prmièr vu, la foctio ratioll f () = st u form idétrmié du typ Pour lvr ctt icrtitud, factorisos ls umératur t déomiatur d f par lurs trms ls plus forts Pour tout rél o ul, ous avos : f () = = = = Coclusio : la limit d la foctio f st Doc la droit d'équatio y = st u asymptot horizotal à la courb d f au voisiag d

5 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 5 sur 67 Drièr parti : u ptit problèm La droit obliqu d'équatio y = put êtr u asymptot à la courb (C) a) La foctio f st dérivabl doc cotiu sur l'smbl ] ;[ ] ; [ qu'au voisiag d l'u ds du ifiis Si ll l'st au voisiag d, cla sigifi qu la limit d f st C qui Sur ] ; [, ll croît strictmt d à Doc l'équatio f () = a u uiqu solutio das ct itrvall D mêm, sur l'itrvall [ ;[, f décroît strictmt d à Par coséqut, l'équatio f () = a u duièm solutio das ct itrvall Sur l'itrvall ] [, f décroît strictmt d à Mais ctt drièr limit 'st jamais attit car la décroissac st strict! L'équatio f () = 'a doc aucu solutio das ct itrvall Coclusio : l'équatio f () = a actmt du solutios das ] ;[ ] ; [ b) L sig d la dérivé do ls variatios d la foctio Et réciproqumt! ;, la foctio f état croissat, sa dérivé f ' st positiv ou Sur l'itrvall ] [ ull Il st assurémt fau d dir qu f '( 7) puiss êtr égal à Comm la foctio f admt u maimum = alors la tagt à sa courb c poit st horizotal Doc l cofficit dirctur d cll-ci qui st aussi l ombr f ' f ' = st assurémt fau dérivé ( ) écssairmt ul Doc affirmr qu Efi, la foctio f état décroissat sur l'itrvall ] ;[ ou ull Doc f '( ) put êtr égal à, sa dérivé st égativ 'st pas possibl car d'après so tablau d variatio : lim f () = Si ll l'st au voisiag d, cla sigifi qu la limit d f st Là cor, ça coll pas avc so tablau d variatio car lim f () = Rst la droit obliqu d'équatio y = qui put êtr u asymptot à la courb (C) au voisiag d C'st d'll dot parl l'éocé d la qustio d) Lorsqu td vrs, f() td vrs Doc so ivrs f () td vrs Doc h() td vrs = Coséquc : la droit horizotal d'équatio y = st u asymptot à la courb rpréstativ d h au voisiag d ) Lorsqu s' va vrs, f() td vrs mais état positif Doc so ivrs f () td vrs = Doc h() td vrs ( ) = c) Eamios ls cas ds quatr cadidats asymptotiqus! Si la droit vrtical d'équatio = était u asymptot à (C), cla sigifirait y = 6 y = qu'u limit d f à gauch ou à droit y = d srait u ifii C qui 'st pas l cas! Si la droit horizotal d'équatio y = était u asymptot - = - à (C), cla pourrait êtr qu'au voisiag d'u ds du ifiis Cla sigifirait qu' ct ifii, la limit d la foctio f srait Or ls limits d f au ifiis sot t f) Savoir si l foctio h st cotiu, c'st chrchr si ls limits à gauch t à droit d d la foctio h sot égals à h() Itérssos-ous d'abord à la limit à gauch d : Quad td vrs par la gauch, f() td vrs Doc so ivrs f () td vrs = Doc h() td vrs qui st différt d h() Coclusio : la limit à gauch d d la foctio h état différt d la valur d h(), la foctio h 'st pas cotiu Pour l plaisir, o put s'itérssr à la limit d h à droit d Nous avos : lim h() = lim = = = = h() f () Coclusio : la foctio h 'st pas o plus cotiu à droit d

6 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 6 sur 67 Dvoir Eprss No L cott C scod dvoir prss ut liu u smai après l prmir Il abordait la cotiuité, la dérivatio aisi qu la détrmiatio d primitivs Là cor, il s'appuyait pricipalmt sur du rcics d QCM L but était d'habitur ls élèvs à c gr d'rcic ouvau pour u t qu'ils risquait d rcotrr l jour d l'épruv Répodr à u QCM rquirt d savoir évalur ss crtituds Il faut évitr d prdr bêtmt ds poits sûrmt acquis U ouvll fois, ls calculatrics était itrdits L'éocé Prmièr parti : qustios prss d cours (6 poits) Das l prést rcic, chaqu bo répos rapport poit t chaqu mauvais lèv,5 U qustio sas répos rapport i 'lèv aucu poit Si l total ds poits obtus à ct rcic st égatif, il st ramé à Pour chaqu qustio, o tourra la répos choisi Aucu justificatio 'st dmadé La foctio f () = a pour dérivé f ' = f st u foctio défii sur l'itrvall [ ;5] tll qu : f ( ) = t f ( 5) = 7 Si la foctio f st strictmt croissat sur [ ;5] alors l'équatio f () = admt actmt u solutio das ct itrvall Vrai Fau Vrai Fau Scod parti : l'offsiv ds primitivs (,5 poits) Das l prést rcic, chaqu bo répos rapport,5 poits t chaqu mauvais lèv,75 U qustio sas répos rapport i 'lèv aucu poit Si l total ds poits obtus à ct rcic st égatif, il st ramé à Pour chaqu qustio, o tourra la répos choisi Aucu justificatio 'st dmadé a) Parmi ls foctios suivats, laqull st u primitiv d f = sur? F() = F = F = F() = U foctio cotiu sur u itrvall y st écssairmt dérivabl Si la droit d'équatio y = st u asymptot à la courb d'u foctio f au voisiag d alors lim f () La foctio f st défii t cotiu sur Si lim f () = alors la courb (C) rpréstat la foctio f admt u asymptot horizotal au voisiag d La foctio Vrai Fau = Vrai Fau Vrai Fau f () = st dérivabl sur Vrai Fau b) La foctio f = 9 st dérivabl sur O appll F la primitiv d f sur tll qu F = Parmi ls foctios suivats, laqull st la dérivé d la foctio F? g() = 8 g() 8 = g = 9 g() = c) Parmi ls foctios suivats, laqull st u primitiv d f = cos() si() sur? F() = cos() si() F() = cos() si() F() = cos() si() F() = cos() si()

7 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 7 sur 67 d) Parmi ls foctios suivats, laqull st u primitiv sur d la foctio La foctio F st égativ f =? ; sur l'itrvall ] [ La foctio F st positiv sur l'itrvall ] ; [ = ( ) F() = ( ) F() 8 La foctio F st décroissat sur La foctio F st croissat sur = ( ) F() = ( ) F() f ) Parmi ls foctios suivats, laqull st u primitiv d l'itrvall ;? F = F = F = f) Parmi ls foctios suivats, laqull st u primitiv d f F() = F() = F() = g) La foctio F st u primitiv d la foctio f sur L tablau d variatio d la foctio f st l suivat : f = sur = F = sur? F() = Parmi ls affirmatios suivats, laqull st assurémt vrai? Drièr parti : cotiuité primitiv (,5 poits) F st u foctio cotiu sur Ell st défii par morcau sur ct smbl par : Sur l'itrvall ] ;], o a : F() = 5 Sur l'itrvall ] ; [, F st u primitiv d la foctio f () = 6 Détrmir l'prssio d la foctio F sur l'itrvall ] ; [ Idicatio : pour qu'u foctio soit cotiu sur, il faut qu'll l soit particulir U grad atttio sra porté à la rédactio d la répos L corrigé Prmièr parti : qustios prss d cours a) U foctio dérivabl sur u itrvall y st cotiu Mais la réciproqu st fauss La foctio valur absolu st cotiu mais ll 'y st pas dérivabl La foctio raci carré f () ; mais ll st sulmt dérivabl sur ] ; [ E fft : = st défii t cotiu sur [ [ f () f lim = lim = lim = lim = = Doc la foctio raci 'st pas dérivabl alors qu'll y st cotiu b) Dir qu la droit d'équatio y = st u asymptot à la courb rpréstat f au voisiag d sigifi qu'au voisiag d, la foctio f put s'écrir : f () = U truc qui td vrs Asymptot Souvt oté ε( ) La foctio f t la foctio affi g() = ot la mêm limit Doc lim f () = lim =

8 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 8 sur 67 c) U asymptot horizotal au voisiag d'u ifii st la coséquc graphiqu d'u limit fii Comm la limit d la foctio f st ifii, la courb d cll-ci put pas admttr d'asymptot horizotal Scod parti : l'offsiv ds primitivs a) Touts ls primitivs d la foctio f = sur sot d la form : d t ) Pour qu la raci d la foctio suffit qu: la foctio u() = soit dérivabl sur, il faut t il u() = soit ll-mêm dérivabl sur C qui st l cas Sa dérivé st u ' = la foctio u() = soit strictmt positiv C qui st cor l cas car c'st la somm d'u carré multiplié par t du ombr positif Doc la foctio f () = = u() st dérivabl sur Calculos sa dérivé : u ' f '() = = = u f) Mêm si la foctio f st strictmt croissat sur l'itrvall [ ;5] passat d à 7, ri 'idiqu qu'll pr pour valur Il 'st pas dit si ll st cotiu ou pas La sul chos qu l'o puiss affirmr st qu l'équatio f () = a au plus u solutio das l'itrvall [ ;5] C'st-à-dir aucu ou u sul 6 (C) - 6 (C) (C) - F = Costat = Costat Parmi ls quatr propositios, sul la foctio F = st u primitiv d f b) Si F st u primitiv d la foctio f = 9 sur alors f st la dérivé d F sur Parmi ls quatr propositios, la dérivé d F st la foctio g = 9 c) U primitiv d cosius sur st sius U primitiv d sius st cosius Par coséqut, u primitiv d la foctio f = cos() si() sur st : d) La dérivé d la foctio F() = si() ( cos() ) = si() cos() = cos() si() u ' = Pour tout rél, ous avos : u() = qui st dérivabl sur, st f = = = u 'u Doc touts ls primitivs F d f sur sot d la form : F() = u Costat = ( ) Costat 8 Parmi ls quatr propositios, sul la foctio F() = ( ) st u 8 primitiv d f = sur Si la foctio f st cotiu sur l'itrvall ;5 alors l'équatio f () = admt [ ] u uiqu solutio das ct itrvall Mais si ll 'st pas cotiu, l'équatio f () = put pas avoir d solutio ) Sous la form qui ous st proposé, il st difficil d détrmir u primitiv d la foctio f Or st la form dévloppé d l'idtité rmarquabl Par coséqut, posat u =, ous pouvos écrir : f u ' = = = = u ( ) ( )

9 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 9 sur 67 Doc touts ls primitivs F d f sur l'itrvall ; sot d la form : F() = Costat Costat Costat u = = F = st u primitiv d f Parmi ls quatr propositios, sul la foctio f) La dérivé d la foctio u = qui st dérivabl t strictmt positiv sur ] ; [, st u ' = 8 Pour tout rél, ous pouvos écrir : 8 u ' f = = = 8 8 u Doc touts ls primitivs F d f sur sot d la form : F() = u Costat = Costat 8 Parmi ls quatr propositios, sul la foctio F() = st u primitiv d f sur g) La foctio F état u primitiv d la foctio f sur, ctt drièr st la dérivé d ctt prmièr Or l sig d la dérivé f do l ss d variatio d la foctio F D'après so tablau d variatio, la foctio f st égativ sur Ell dépass jamais Doc sa primitiv F st décroissat sur La limit d F à droit d doit êtr égal à F( ) Comm appartit à l'itrvall ] ;], so imag par F st doé par : F() = 5 = 5 = Doc la limit d F à droit d doit êtr égal à Or quad td vrs, td vrs = = Pour qu F() td vrs, il faut t il suffit qu la costat soit égal à E fft ous avos alors : lim F() = lim = = = F Coclusio : sur l'itrvall ] ; [, F() = Drièr parti : cotiuité primitiv Ds primitivs ds foctios ; t sot rspctivmt ; t Doc la primitiv F d la foctio f () = 6 sur l'itrvall ] ; [ st d la form : F() = 6 Costat = Costat Rst à détrmir la valur d ctt costat La foctio F st cotiu sur Il l'st doc particulir

10 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 Scod parti : u potill parmi ls ratiolls La foctio j st défii par : Dvoir Survillé No j() = O appll (C) la courb d la foctio j L'objt d ct rcic st l'étud d la foctio j sur so smbl d défiitio Pour cla, ous utilisros la foctio f défii pour tout rél par : L cott C prmir dvoir d du hurs où la calculatric était autorisé, ut liu au début du mois d'octobr 5 Il abordait tous ls poits classiqus d la dérivatio t ds limits Nous rvios à u format classiqu avc u ptit rcic t u autr qui tait assz d'u problèm comm il y avait avat la réform ds sujts d bac itroduit Il traitait aussi d la foctio potill au travrs d'u foctio psudo-ratioll L'éocé Prmièr parti : au racis du problèm La foctio H st défii sur l'itrvall [ ; [ par : H() = f () = Das tout l'rcic, u grad atttio sra porté à la qualité d la rédactio aisi qu'au justificatios apportés a) Détrmir ls limits d la foctio f t ; Etudir ls variatios d la foctio f sur ] [ Démotrr qu l'équatio f () = admt das l'itrvall ] ; [ u uiqu solutio qu l'o otra α A l'aid d la calculatric, détrmir u valur approché au ctièm près d α E déduir l sig d f() foctio d a) Détrmir la limit d H() lorsqu td vrs b) Détrmir l'smbl d défiitio D j d la foctio j b) Démotrr qu la différc st égativ sur l'itrvall ] ; [ c) Etudir l sig d la foctio j sur so smbl d défiitio D j c) Pourquoi la foctio H st-ll sulmt dérivabl sur l'itrvall ] ; [? E utilisat la qustio b, étudir ls variatios d la foctio H sur l'itrvall ] ; [ d) O décid d prologr la foctio H sur tout tir Sur l'itrvall ] ;[, la foctio H st u primitiv d la foctio h défii par : h() = ( ) Détrmir l'prssio d la foctio H sur l'itrvall ] ;[ pour qu la foctio H soit cotiu sur d) Détrmir trois réls a, b t c tls qu pour tout D j, o ait : c j() = a b Not : o pourra chrchr à décomposr j sas tir compt d l'potill, comm s'il s'agissait d'u foctio ratioll ) Détrmir ls limits d la foctio j à gauch, puis à droit d Qull coséquc cla a-t-il pour la courb (C)? f) Détrmir la limit d j() lorsqu td vrs g) Démotrr qu la courb (C) admt au voisiag d u asymptot obliqu dot o dora l'équatio réduit E déduir la limit d j Etudir la positio rlativ d la courb (C) par rapport à so asymptot

11 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 h) Détrmir l'smbl d dérivabilité d la foctio j < E dérivat la foctio j, démotrr qu pour tout rél D j o a : < < < La foctio raci st Comm st positif, croissat sur [ ; [ il st sa propr ( )( ) Ell y cosrv l'ordr valur abolsu j'() = st égativ E utilisat l résultat d la qustio a, drssr l tablau d variatio d la foctio j i) Das l rpèr s trouvat au vrso, tracr u squiss d la courb (C) aisi qu ls divrs asymptots rcotrés au cours d l'rcic L corrigé Prmièr parti : au racis du problèm a) Lorsqu td vrs, t sa raci Sous l'écritur qui ous st proposé, la foctio form idétrmié du typ tdt aussi vrs H() = st u Pour lvr cll-ci, ous allos modifir H() multipliat la différc par sa quatité cojugué Pour tout rél [ ; [, ous avos : ( ) H() = = ( ) = = Voyos si ctt drièr écritur ous prmt d coclur : lim H() = = = Doc l'a ds abscisss st u asymptot à la courb d H au voisiag d b) Pour tout rél, il st clair qu t Sur l'itrvall ] ; [, < sot du quatités positivs Doc lls ot ds racis t clls-ci sot ragés das l mêm ordr qu'lls Pour tout rél ] ; [ : Coclusio : sur l'itrvall ] ; [, la différc O put aussi multiplir Pour tout ] ; [, il vit alors : Ls trms par sa quatité cojugué = = = Doc la différc t état strictmt positifs, lur somm st d facto égativ l'st aussi c) La foctio st dérivabl sur La dérivabilité d H dépd d cll d Comm la foctio u() = st dérivabl sur t st strictmt positiv sur l'itrvall ] ; [ alors sa raci u() = st dérivabl sur ct itrvall Pour savoir si ctt foctio st dérivabl, étudios la limit du quotit : u h u h h h h = = = = h h h h h h h u dérivabl à droit d? Comm h>, h = h = h Or quad h td vrs, h t par coséqut tdt vrs h ( ) u h u Coclusio : comm lim = alors la foctio u 'st pas h h dérivabl à droit d t doc Il va d mêm pour la foctio H Pour détrmir ls variatios d la foctio H sur ] ; [, calculos sa dérivé : ' ' H '() = = = =

12 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 Scod parti : u potill parmi ls ratiolls D'après la qustio b, l umératur st égatif sur ] ; [ L déomiatur qui st u raci o ull st positif Par suit, l tablau d variatio d la foctio H st : H '() H c) Pour tout rél, ous avos : u ' = = u ( ) ( ) Doc u primitiv d la foctio sur st u() = où u '() = Par coséqut sur l'itrvall ] ;[, la foctio H st d la form : = u H() = Costat Or la foctio H st cotiu sur Ell l'st doc particulir où H() = Aisi la limit à gauch d d la foctio H() = Costat doit êtr égal à Comm lim = =, alors la costat soit égal à pour qu H soit cotiu Coclusio : sur l'itrvall ] ;[, ous avos : H() = a) La foctio f () = st défii sur comm ls foctios potills t Détrmios ss limits au ifiis = ( ) = lim lim f () = = Pour étudir ls variatios d la foctio f, étudios l sig d sa dérivé Ls foctios potill t idtité état dérivabls sur, il va d mêm pour lur somm f Calculos sa dérivé Pour tout rél, ous avos : ' ' f () f '() = = L'potill st toujours positiv Par coséqut, il va d mêm pour sa somm avc qu'st f '() Comm la dérivé f '() st positiv sur alors la foctio f st strictmt croissat sur ] ; [ Pour établir ls variatios d la foctio f sur, o put aussi dir qu'll st la somm ds foctios potill t idtité qui sot strictmt croissats sur Il va alors d mêm pour f Comm : la foctio f st dérivabl sur l'itrvall ] ; [ f st strictmt croissat sur ] ; [ passat d à alors l'équatio f () = admt u uiqu solutio α das alors ll y st cotiu A l'aid du tablau d valurs d la calculatric, o détrmi qu α st compris tr,57 t, 56 Comm la foctio f st strictmt croissat sur t qu'll s'aul sulmt α alors so tablau d sig st : α f() b) Ls trois foctios, t sot défiis t dérivabls sur La sul chos qui puiss fair qu j() 'ist pas st l fait qu c soit u quotit

13 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 L quotit j() 'ist pas So déomiatur = = Coclusio : l'smbl d défiitio d la foctio j st \{ } = ] ;[ ] ; [ c) U potill st toujours positiv U carré st toujours positif ou ul Doc lur somm st toujours positiv Par coséqut, l tablau d sig d j st : j() d) Décomposos la psudo foctio ratioll j \, ous pouvos écrir : Pour tout rél { } ( ) ( ) j() = = = = Coclusio : Pour tout rél, ous avos j() = = Form iitial Form décomposé ) Pour détrmir ls limits d la foctio j à gauch t à droit d, utilisos so écritur iitial Positif Positif lim = = lim = = j() j() Car d'après l tablau d sig d j() drssé à la qustio précédt, l déomiatur st égatif à gauch d t il st positif à droit D plus, lorsqu td vrs, td vrs = qui st u ombr positif Coséquc : la droit d'équatio = st u asymptot vrtical à la courb (C) ( ) ( ) lim = = = Form idétrmié Pour lvr l'idétrmiatio psat sur j, factorisos ss umératur t déomiatur par lurs trms ls plus forts à savoir t Pour tout rél >, ous pouvos écrir : Or lorsqu td vrs, ls quotits j() = = t c drir td vrs = Par coséqut, ous pouvos écrir : lim = = = j() tdt vrs Doc l'ivrs d La limit d j put aussi êtr obtu à partir d sa form décomposé L problèm vit alors du quotit qui st u form idétrmié du typ O lèv cll-ci factorisat umératur t déomiatur par lurs trms domiats Pour tout rél >, o a : = ( ) = O déduit alors : lim = = j() f) Détrmios la limit d j utilisat so écritur iitial j() = D prim abord :

14 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 g) Pour résoudr ctt qustio, ous allos utilisr la form décomposé d la foctio j qui 'st pas ratioll à caus d la présc d l'potill h) La foctio j() = st u quotit d la form u v où : Quad td vrs, l umératur td vrs = La foctio u() = st défii t dérivabl sur comm ls foctios Doc la fractio td vrs = potill t carré Sa dérivé st u '() = Fort d ctt découvrt, ous pouvos affirmr qu la droit d'équatio y = st La foctio v() = st dérivabl sur t sa dérivé v'() = u asymptot à la courb (C) au voisiag d Comm d plus v s'aul pas sur \{ } alors la foctio j st dérivabl sur ct E fft, car pour tout ] ;[ ] ; [, ous avos : smbl Pour tout ] ;[ ] ; [, ous pouvos écrir : (C) = j() y = [ ] = u 'v v'u ( ) ( ) ( ) j'() = = Doc lim f () y = lim = v ( ) (C) = = Comm la droit d'équatio y = st u asymptot à la courb (C) au ( ) ( ) voisiag d alors la foctio j s comport comm la foctio affi g() = au voisiag d Ells ot la mêm limit Par suit : lim j() = lim = ( ) ( ) ( )( ) = = Pour étudir la positio rlativ d la courb (C) par rapport à so asymptot, ( ) ( ) détrmios l sig d la différc d'ordoés (C) = j() y = L sig du factur f () = a été détrmié à la qustio a Nous pouvos drssr l tablau d sig d la dérivé j'() qui ous dora ls L umératur st la somm d la positiv potill t d : il st doc positif variatios d la foctio j Par coséqut, l tablau d sig d la différc d'ordoés (C) = st : α (C) Positio rlativ La courb (C) st au-dssous d La courb (C) st au-dssus d - ( ) j'() j j( α )

15 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 5 sur 67 i) Ci-dssous, sot tracés la courb (C) t ss du asymptots (C) (C) = : y =

16 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 6 sur 67 Scod parti : problèm d primitiv potil(l) Dvoir Eprss No L cott C troisièm dvoir prss d'u hur ut liu à la mi-octobr 5 Il portait sstillmt sur la foctio potill ss limits t ss propriétés, t dérapait u ptit pu sur ls limits d la foctio l U fois cor, la calculatric était itrdit car il smblrait qu crtais l'utilisrait pour stockr touts lurs formuls Il paraîtmais ça faut pas l dir! L'éocé Prmièr parti : u foctio affi t potill La foctio f st défii sur par : f () = ( ) L'objt d ct rcic st l'étud d la foctio f a) Détrmir la limit d la foctio f lorsqu td vrs b) Complétr l'égalité suivat : pour tout rél, = E utilisat la rlatio précédt, détrmir la limit d la foctio f Not : u grad atttio sra porté au justificatios fouris c) Pourquoi la foctio f st-ll dérivabl sur? Démotrr qu pour tout rél, o a : f '() = 6 E déduir ls variatios d la foctio f Calculr la ou ls valurs particulièrs d f apparaissat das so tablau d variatio La foctio g st défii sur par : g() = 6 Après avoir simplifié l'écritur d la foctio g, détrmir la primitiv G défii sur d la foctio g tll qu G ( ) = Troisièm parti : l'potill, sul cotr touts La foctio h st défii sur l'itrvall [ ; [ par : h() = l() Détrmir la limit d la foctio h Drièr parti : apparcs ivrss O sait qu la foctio u() = st défii t positiv sur La foctio j st défii par : j() = Détrmir la primitiv J défii sur d la foctio j tll qu L corrigé Prmièr parti : affi t potill J = a) Lorsqu td vrs, td vrs Doc so potill Par coséqut : lim ( ) = ( ) ( ) = f () b) Pour tout rél, ous pouvos écrir : = = aussi

17 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 7 sur 67 Lorsqu td vrs, td aussi vrs Doc so potill td vrs Comm s' va alors vrs, f () st u form idétrmié du typ Modifios l'écritur d la foctio f pour lvr cll-ci Pour tout rél, ous pouvos écrir : f () = = = Distribuos! Voyos si ous pouvos ous proocr : Quad td vrs, ls potills t tdt vrs L produit td aussi vrs d'après u résultat du cours Par coséqut : lim = = = f () 6 6 f '() f c) Comm ls foctios u() = t v() = sot dérivabls sur alors il va d mêm pour lur produit f Lurs dérivés rspctivs sot : u '() Pour tout rél, ous pouvos écrir : f '() = u 'v v'u L'potill v'() = = = ' = = 6 Factur commu = 6 = 6 st toujours positiv car c'st u potill L sig du factur affi 6 ous st cou Il s'aul 6 Par coséqut, ls tablau d sig d la dérivé f ' t d variatio d f sot : Pour qu l tablau soit complt, calculos l'imag d 6 par la foctio f f p 6 = 6 6 = p p p = = = Scod parti : primitiv story Avat tout chos, rapplos ls propriétés opératoirs d l'potill : a b a b L produit ds potills st l'potill d la somm : = L quotit ds potills st l'potill d la différc : L'ivrs d l'potill st l'potill d l'opposé : a = La raci d l'potill st l'potill d la moitié : = a La puissac d l'potill st l'potill du produit : ( ) = a b a a a a b = a

18 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 8 sur 67 Appliquos cs propriétés à la foctio g Pour tout rél, ous pouvos écrir : Lvos ls icrtituds psat sur h factorisat ss umératur t déomiatur par lurs trms à priori ls plus forts : t Pour tout, ous pouvos écrir : g() = = = 6 6 h() = = l() l() = = = Or : Or lorsqu td vrs, td vrs Doc so ivrs td vrs U primitiv d sur st l() u Pour tout rél, ous avos : = ( ) = u ' Quat au quotit, il td vrs Par suit, il vit : où la foctio u = st dérivabl sur t a pour dérivé u '() = lim h() = ( ) = ( ) = Doc u primitiv d u sur st = Ls umératur t déomiatur d h() puvt aussi êtr factorisés par u Pour tout rél, ous avos : = ( ) = u ' où la foctio u = st dérivabl sur t a pour dérivé u '() = ( ) lim h() = lim = lim = = = l() l() Doc u primitiv d u sur st = h() Par coséqut, la primitiv G d la foctio g sur st d la form : G() = Costat = Costat Drièr parti : primitiv d'ivrs Pour tout rél, ous pouvos écrir : Rst à détrmir la costat Nous savos qu G ( ) = Eploitos ctt doé u ' j() = = = 5 Costat = Costat = Costat = u 6 où u() = st u foctio positiv t dérivabl sur d dérivé u '() = G() / 6 Doc la primitiv J d la foctio j st d la form : 5 Coclusio : pour tout rél, G() = 6 J() = l ( u) Costat = l ( ) Costat Détrmios la costat Comm J ( ) = alors ous pouvos écrir : Troisièm parti : l'potill, sul cotr touts l ( ) Costat = l Costat = Costat = Quad td vrs, ls foctios l(), t tdt touts trois vrs = J L umératur st u form idétrmié du typ alors qu l ( ) déomiatur l() td vrs Coclusio : pour tout rél, J() = l ( )

19 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 9 sur 67 a) Détrmir la limit d la foctio h lorsqu td vrs Dvoir Eprss No b) Détrmir la limit d la foctio h lorsqu td vrs Not : u grad atttio sra porté au justificatios fouris L cott C quatrièm dvoir prss d'u hur ut liu à la fi octobr 5 Il abordait das la profodur la foctio logarithm au travrs d du rcics U fois cor ls calculatrics était itrdits L'éocé Prmièr parti : l, ll s'appll lau carré La foctio f st défii sur l'itrvall ] ; [ par : f () = ( l ) L'objt d ct rcic st l'étud d la foctio f a) Détrmir la limit d la foctio f lorsqu td vrs b) Détrmir la limit d la foctio f lorsqu td vrs Not : u grad atttio sra porté au justificatios fouris c) Pourquoi la foctio f st-ll dérivabl sur ] ; [? Démotrr qu pour tout rél strictmt positif, o a : f '() = l E déduir ls variatios d la foctio f Calculr la ou ls valurs particulièrs d f apparaissat das so tablau d variatio d) Démotrr qu l'équatio f () = admt das l'itrvall ] ; [ u uiqu solutio qu l'o otra α E déduir l tablau d sig d f Scod parti : différd d logarithms La foctio h st défii sur l'itrvall ] ; [ par : h() = l l L'objt d ct rcic st l'étud d la foctio h c) Complétr l'égalité suivat : l ( ) = Eprimr h ( ) foctio d l ( ) d) Pourquoi la foctio h st-ll dérivabl sur ] ; [? Démotrr qu pour tout rél strictmt positif, o a : E déduir ls variatios d la foctio h L corrigé h '() = ( ) Prmièr parti : l, ll s'appll lau carré a) Lorsqu s' va vrs, ls foctios t l tdt touts ls du vrs l td vrs Par coséqut : Doc la différc ( ) lim l = = = f () b) Lorsqu td vrs (par la droit), td vrs alors qu l() td vrs l s' va vrs Il vit alors : Doc la différc lim l = = Form idétrmié f () Sous la form proposé, la foctio f st u form idétrmié du typ Pour lvr ctt icrtitud, ous allos dévloppr l'prssio d f() t chrchr à ous appuyr sur ds limits particulièrs vus das l cours Pour tout rél strictmt positif, ous pouvos écrir : f () = l = l = l ( ) Or lorsqu td vrs, l produit l ( ) td vrs Par coséqut : lim l = = = f ()

20 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 L'avir d la foctio f f = La foctio f put êtr prologé par cotiuité posat Cpdat, il 'st alors pas sûr qu la foctio f soit pour autat dérivabl Pour l savoir, détrmios la limit lorsqu td vrs f f du quotit Pour tout rél strictmt positif, ous pouvos écrir : f f ( ) ( l ) ( l ) = = = l Coclusio : Comm dérivabl t so ombr dérivé c) La foctio u f f lim = = alors la foctio prologé f st f ' st égal à = st dérivabl sur t sa dérivé st u '() = La foctio l st sulmt dérivabl sur ] ; [ t sa dérivé st ( l ) ' = Doc la foctio v() = l d dérivé v '() = st dérivabl sur ] ; [ Par coséqut, l produit u v 'st dérivabl qu sur l'itrvall ] ; [ tout comm la foctio f u v = Calculos sa dérivé Pour tout ] ; [ ' f '() = u ' v v' u Sur l'itrvall ] [, ous avos : = l = l() = l ;, l factur affi st strictmt égatif ( ) Par cotr l s'aul, st égativ avat t st positiv après Nous allos pouvoir détrmir l sig d lur produit f '() qui ous dora ls variatios d la foctio f l ( ) f '( ) f Pour qu l tablau soit complt, calculos l'imag d par la foctio f f = l = = = = d) Comm la foctio f était dérivabl sur l'itrvall ] ; [ alors ll y st cotiu Cocrat ls variatios d f, il y a c qui s pass avat t c qui arriv après ; D'après so tablau d variatio, la foctio f st strictmt supériur à sur ] [ Doc l'équatio f = 'a aucu solutio das ct itrvall Par cotr, la foctio f st cotiu t strictmt décroissat sur l'itrvall [ ; [, passat d à Par coséqut, f st u bijctio d [ ; [ das ] ;] Doc ] ;] a u uiqu atécédt α das [ ; [ par la foctio f Coclusio : l'équatio f = a u uiqu solutio α das l'itrvall ] [ ; La foctio f st strictmt positiv sur l'itrvall ] ; [ Esuit, après, ll décroît strictmt, s'aulat α Ell st doc positiv avat t égativ après α f ( )

21 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 Scod parti : différd d logarithms a) Lorsqu td vrs par la droit, l ( ) td vrs Comm td alors vrs, so logarithm l ( ) h() td vrs lim l l = l = l Aisi : Coséquc : l'a ds ordoés st u asymptot à la courb rpréstat h b) Quad td vrs, l(), t so logarithm épéri l ( ) tdt tous trois vrs Par coséqut : lim l l ( ) = ( ) ( ) = Form idétrmié h() Pour lvr cll-ci, utilisos u propriété d l : la différc ds logarithms st l logarithm du quotit Pour tout rél strictmt positif, ous pouvos écrir : h() = l l ( ) = l l l = = Quad td vrs, t tdt vrs Doc td vrs = Par coséqut, so logarithm épéri h() td vrs h() = l l = l l l = U autr voi : c) L logarithm d la puissac st l produit d l'posat par l logarithm Par suit : h = l l = l l 8 = l l = l l = l ' u ' l = = u Par coséqut, la différc h d cs du foctios logarithms st dérivabl sur l'itrvall ] ; [ t pour tout rél strictmt positif, ous avos : h ' = = = = = Coaissat ls sigs ds quatr facturs, ous pouvos détrmir clui d la dérivé h '( ) qui ous dora ls variatios d la foctio h h '( ) h l d) La foctio l st dérivabl sur l'itrvall ] ; [ t sa dérivé st La foctio u = st dérivabl sur, sa dérivé st u ' = t surtout ll y st toujours strictmt positiv Doc so logarithm l ( u ) st aussi dérivabl sur t sa dérivé st :

22 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 Dvoir Survillé No L cott C scod dvoir d du hurs d l'aé ut liu à la fi ovmbr 5 Il s costituait d'u problèm portat sur l'étud d'u foctio potill t d quatr ptits rcics sur ls compls où dvait êtr miss ouvr ds compétcs dircts Ls calculatrics était autorisés,5 L'éocé Prmièr parti : la rvach d l'potill La foctio f st défii sur par : = f O appll (C) sa courb rpréstativ La foctio auiliair g st défii sur par : g = a) Etudir ls variatios d la foctio g sur E déduir l sig d g() Démotrr qu pour tout rél, la différc st strictmt positiv, ,5 b) Détrmir ls limits d la foctio f lorsqu td vrs, puis vrs Itrprétr graphiqumt ls résultats précédts c) Calculr la dérivé f '( ) d la foctio f Etudir ls variatios d la foctio f d) Détrmir u équatio d la tagt ( T ) à la courb (C) au poit d'absciss E utilisat la qustio a, étudir la positio rlativ d la courb (C) par rapport à la T droit ) Das l rpèr ci-cotr, tracr la droit ( T ), ls asymptots rcotrés t la courb (C) - -,5

23 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 Scod parti : du équatios compls Résoudr das ls équatios suivats d'icou z : ( i) z 6 i = 5 i z i z 6 i = i z Not : u grad atttio sra porté à la rédactio t au détail ds calculs Troisièm parti : la puissac d l'argumt Détrmir (par l calcul) l modul t u argumt du ombr compl : Z = 6 i 6 Démotrr qu Z st u rél strictmt égatif Not : u grad atttio sra porté à la rédactio t au détail ds calculs Quatrièm parti : l'agl d l'argumt L pla compl st mui d'u rpèr orthoormé dirct ( O;u, v) Das clui-ci, ls poits A, B t C ot pour affis rspctivs i ; i t i Détrmir par l calcul u msur d l'agl orité ( AB,AC) Not : u grad atttio sra porté à la rédactio t au détail ds calculs Drièr parti : o va tout cassr! L polyôm P st défii par : P( z) = z z 8z z 6 a) Démotrr qu ls ombrs i t i sot du racis du polyôm P b) Pourquoi l polyôm P st-il factorisabl par z? Détrmir trois réls a, b t c tls qu pour tout ombr compl z, o ait : P z = z az bz c c) Résoudr das l'équatio P( z) = L corrigé Prmièr parti : la rvach d l'potill a) Comm la foctio potill t la foctio affi u = sot dérivabls sur alors il va d mêm pour lur somm g Pour tout rél, ous pouvos écrir : ' g ' = = Comm la foctio potill st strictmt croissat sur t qu Si < alors Si = alors < = doc = < = alors : Si > alors > = doc > Coaissat l sig d sa dérivé g '(), ous pouvos déduir ls variatios d g L tablau d clls-ci st l suivat : g '() = g Pour qu l tablau ci-dssus soit complt, calculos l'imag d par g : g ( ) = = =

24 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 Quid ds limits d g au ifiis? Ls limits d g sot pas écssairs à la résolutio d l'rcic t sot d'aillurs pas dmadés C'st pourquoi ous allos ls détrmir lim = = g() Sous l'écritur proposé, g st u form idétrmié du typ U modificatio s'impos doc das l'prssio d g() lim lim ( ) = = = = g() D'après l tablau d variatio précédt, ous pouvos affirmr qu l miimum d la foctio g sur st Il st attit = Doc l tablau d sig d g( ) st l suivat : g() Par coséqut, pour tout rél, ous pouvos écrir : g() doc > doc doc st positif Coclusio : pour tout rél, la différc b) Quad td vrs, st strictmt positiv td vrs ( ) = Doc g st u form idétrmié du typ Pour lvr ctt drièr, factorisos ls umératur t déomiatur d g() par lurs trms ls plus forts Pour tout rél o ul, ous pouvos écrir : f = = = Quad td vrs, td vrs = = = Par suit : lim f = lim = = = Coclusio : la droit horizotal d'équatio y = st u asymptot à la courb (C) au voisiag d D'après u résultat du cours, ous savos qu : lim = Par coséqut : lim f = lim = = = ( ) Coclusio : l'a ds abscisss, c'st-à-dir la droit d'équatio y =, st u asymptot à la courb (C) au voisiag d c) La foctio f st l quotit ds foctios dérivabls sur suivats : u() u ' = = d dérivé v() = qui s'aul jamais sur t d dérivé v'() = Doc la foctio f st dérivabl sur t pour tout rél, ous avos : f ' u 'v v'u ( ) = = = = = v L sig d la dérivé do ls variatios d la foctio L tablau d variatio d f st l suivat : ( ) f '( ) f

25 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 5 sur 67 d) A part la courb (C), il y a trois droits à tracr : ls du asymptots t la tagt Pour qu l tablau soit complt, calculos l'imag d par la foctio f : f = =, 58 d) L'équatio réduit d la tagt Calculos l ombr dérivé d f t l'imag d par f f ' = = = ( ) ( ) T st d la form : y f '( ) ( ) f ( ) = f ( ) = = = = Coclusio : l'équatio réduit d la tagt ( T ) st : y = = ( T ) (C) - - y = Pour coaîtr la positio rlativ d la courb (C) par rapport à sa tagt ( T ), étudios la différc d'ordoés tr cs du objts Pour tout rél, ous avos : ( ) ( )g() f () y = = = = = ( C) ( T ) Coaissat ls sigs ds trois facturs, ous pouvos coaîtr clui du quotit : g() ( C) ( T ) Coclusio : la courb (C) au-dssus d sa tagt ( T ) sur l'itrvall ] ;[ crois, puis st au-dssous sur l'itrvall ] ; [, la - y = Scod parti : du équatios compls Résolvos das l'équatio ( i) z 6 i = 5 i z i ( 6 i) ( i) i i z = = = i ( i )( i) ( ) i z 6 i = 5 iz i z 5 iz = 6 i i z = 6 i 6 8 U ombr so cojugué= modul 8 i 8 7 z = = i = i 5 5 Coclusio : la solutio d l'équatio st l ombr compl,, i Résolvos das l'équatio i z 6 i = i z O appll t y ls partis réll t imagiair d l'icou compl z Nous avos : z = i y z = i y L'équatio dvit : i z 6 i = iz i iy 6 i = i iy iy i y 6 i = i y ( y ) i ( y 6) ( y ) i = Du ombrs compls égau

26 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 6 sur 67 Du ombrs compls sot égau lorsqu t sulmt lorsqu lurs partis rélls t 6 Itérssos-ous à l'argumt d Z Nous pouvos écrir : imagiairs sot rspctivmt égals 6 π ( i) z 6 i = iz y = y t y 6 = Arg ( Z ) = 6 Arg ( Z) = 6 = π = π modulo π 6 Mêms partis rélls Mêms partis imagiairs Or ls suls compls ayat u argumt égal à π sot ls réls égatifs comm Par coséqut, ls réls t y sot ls solutios du systèm liéair : 6 Coclusio : Z st u rél égatif y = y = () y = 6 y = () Quatrièm parti : l'agl d l'argumt Pour résoudr c drir, ous allos procédr par substitutio A partir d l'équatio (), o prim y foctio d zc za U msur d l'agl orité ( AB,AC) st u argumt du compl y = y = y = zb za Das l'équatio (), o rmplac y par c qu'il vaut Par suit : Calculos c drir 8 z ( ) = = = 8 = = C za i ( i) i ( i) ( i ) i 6 i = = = = z y B za i i i i i ( i) O multipl par la quatité cojugué Il vit alors pour y : y = = 6 = 5 5 i = = i 5 Coclusio : la solutio d l'équatio ( i) z 6 i = i z st l compl i D faço à obtir u argumt d i, calculos l modul d c drir i = = = Troisièm parti : la puissac d l'argumt Calculos l modul du ombr compl Z = 6 i Z = 6 i = 6 = 6 = 8 = = Coclusio : l modul du ombr compl Z = 6 i st Détrmios u argumt d Z Z 6 i 6 = = i = i = i Z π Ls cosius t sius d sot rspctivmt égau à 6 t Par suit : π Z π π i = i = cos si 6 i = Z 6 6 Coclusio : u argumt d Z = 6 i st π 6 Par suit, il vit qu : i i = = i = i i Or ls cosius t sius d π sot rspctivmt égau à t i π π = i = cos isi = i Coclusio : u argumt du ombr compl msur d l'agl orité ( AB,AC) z z C B z z A A π i Par suit : st π C'st aussi u

27 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 7 sur 67 Drièr parti : o va tout cassr! P( z) = ( z i) ( z i) z z = ( z i) ( z i) ( z ) a) Avat touts choss, rapplos ls puissacs du, trois t quatr d i z z z st l début d i = i = i i = ( ) = i = i i = ( i ) = ( ) = D'après 5b l'idtité z Et aussi clls d so opposé i = i : ( i) = ( ) i = ( ) = i = i = = i = i = i = i A prést, ous pouvos calculr ls imags d i t i par l polyôm P : P i = i i 8 i i 6 = i 8 i 6 = P i = i i 8 i i 6 = i 8 i 6 = Coclusio : lurs imags par l polyôm P état ulls, ls ombrs i t i sot du racis du polyôm P b) Comm i t i sot du racis du polyôm P alors o rtrouv das la form z i = z i factorisé d P ls facturs z i t Autrmt dit, pour tout ombr compl z, ous avos : ( i) ( i) ( i ) ( ) P z = z z = z = z = z Dévloppos Coclusio : l polyôm P st factorisabl par z Factorisos l polyôm P par la form du scod dgré Pour tout ombr compl z, ous pouvos écrir : z P z = z z 8z z 6 = z z z z 8z z 6 Combi d fois z? z = z z z 6z z 6 Combi d z? = z z z z z 6z z 6 z = z z z z 6z 6 = z z z z 6 z Par 6 Voilà l factur commu = z z z 5 Voilà l résultat rchrché mais cotiuos = ( z i) ( z i) ( z ) = ( z i) ( z i) ( z ) ( ) = z z z i a b ( i) ( i) ( i) ( i) = z z z i z i P st tièrmt factorisé ( a b) ( a b) c) Pour résoudr das l'équatio P( z) =, utilisos sa form totalmt factorisé ( i) ( i ) P z = z z z i z i = Or das comm das, u produit st ul lorsqu t sulmt lorsqu l'u d ss facturs l'st Par suit : P z = z i = ou z i = ou z i = ou z i = z = i ou z = i ou z = i ou z = i Coclusio : l'équatio P ( z ) a quatr solutios das : i ; i ; i t i Par cotr, ll ' a aucu das

28 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 8 sur 67 Dvoir Eprss No5 L cott C ciquièm dvoir prss d'u duré d'u hur abordait ls ombrs compls sous lur applicatio géométriqu Nous étios alors au début du mois d décmbr 5 t l bac blac approchait à grads pas Ls calculatrics était autorisés L'éocé Prmièr parti : l'itrprétatio du quotit L pla compl st mui d'u rpèr orthoormé ( O;u, v) Ls poits A, B t C ot pour affis rspctivs z A ; z B t z C c) O sait qu zc za zb za = 5 Parmi ls quatr affirmatios, laqull st vrai? Ls poits A, B t C sot aligés L triagl ABC st rctagl A L triagl ABC st isocèl A mais pas équilatéral d) O sait qu L triagl ABC st équilatéral zc za i = Parmi ls quatr affirmatios, laqull st vrai? zb za Ls poits A, B t C sot aligés L triagl ABC st rctagl A L triagl ABC st isocèl A mais pas équilatéral L triagl ABC st équilatéral a) Eprimr foctio ds trois affis z A ; z B t z C : AC AB = ( AB, AC ) = Agl orité Das la suit d l'rcic, chaqu bo répos rapport,5 poits t chaqu mauvais lèv U qustio sas répos rapport i 'lèv aucu poit Si l total ds poits obtus à ctt parti d l'rcic st égatif, il st ramé à Pour chaqu qustio, o tourra la répos choisi Aucu justificatio 'st dmadé b) O sait qu zc za zb za = i Parmi ls quatr affirmatios, laqull st vrai? Scod parti : smbls avc ls compls L pla compl st mui d'u rpèr orthoormé ( O;u, v) a) Détrmir la atur t ls attributs d l'smbl E ds poits M d'affi z tls qu : z 6 i = b) Détrmir la atur t ls attributs d l'smbl F ds poits M d'affi z tls qu : iz i = z 5 i c) Détrmir la atur t ls attributs d l'smbl G ds poits M d'affi z d la form : it z = 6i où t st u rél qulcoqu Ls poits A, B t C sot aligés L triagl ABC st rctagl A L triagl ABC st isocèl A mais pas équilatéral L triagl ABC st équilatéral

29 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 9 sur 67 Drièr parti : silc, ça tour! zc z A c) Comm l rapport st u rél alors ls vcturs AB t AC sot coliéairs L pla compl st mui d'u rpèr orthoormé ( O;u, v) zb za O appll A l poit d'affi i D'aillurs, comm zc za = 5 ( zb za ) alors o a : AC = 5AB Coclusio : π O ot r la rotatio d ctr A t d'agl ls poits A, B t C sot aligés a) Soit M u poit qulcoqu d'affi z O appll M' so imag par la rotatio r L'affi d M' st oté z' Détrmir l'écritur compl d la rotatio r b) O ot B l poit d'affi b = 7 5 i O appll B' l'imag d B par la rotatio r Calculr l'affi b' du poit B' c) L poit C' d'affi c' = 5 i st l'imag du poit C par la rotatio r Détrmir l'affi c du poit C d) M st u poit du pla d'affi z O appll M' so imag par la trasformatio T O ot z' l'affi du poit M' L'écritur compl d la trasformatio T st : z ' = 7 i i z T( z) Détrmir la atur t ls attributs d la trasformatio T L corrigé Prmièr parti : l'itrprétatio du quotit a) D'après c qui a été vu cours, ous pouvos écrir : AC zc za zc z A zc za = = ( AB,AC) = Arg AB zb za zb za z B z A Agl orité b) Das l prést cas t applicatio c qui vit d'êtr écrit, ous avos : AC AB = i = π ( AB,AC) = Arg ( i) = modulo π état droit, l triagl ABC st rctagl A Coclusio : l'agl orité ( AB,AC) Par cotr, comm AC = AB alors il 'st pas isocèl A d) Das l prést cas, ous pouvos écrir : AC i = = i = = = = = AB Doc AC = AB Par coséqut, l triagl ABC st au mois isocèl A Voyos s'il srait pas équilatéral avc détrmiat la msur d l'agl au sommt ( AB,AC) C ( AB, AC) = Arg i π π \ = Arg cos si i π / π i Arg π A \ B = = modulo π π Coclusio : comm l'agl au sommt A msur = 6 alors l triagl ABC isocèl A st aussi équilatéral Scod parti : smbls avc ls compls a) Pour pouvoir ous proocr sur l'smbl E, modifios l'égalité l caractérisat i ( i) ( i) ( i) M d'affi z appartit à E z 6 = z = z = z = 7 z z A AM = 7 où l poit A a pour affi i Coclusio : l'smbl E st l crcl d ctr A d'affi i t d rayo 7

30 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 b) Pour coaîtr la atur d l'smbl F, modifios l'égalité l caractérisat M d'affi z appartit à F iz i = z 5 i i z i = z 5 i i z i = z 5 i ( i) ( i) z = z 5 où ls poits A t B ot pour affis AM = BM rspctivs i t 5 i Coclusio : F st l'smbl ds poits M équidistats d A t B : c'st la médiatric du sgmt [AB] L poit surls propriétés du modul C'st u rél positif ou ul L modul d'u ombr rél st sa valur absolu A l'istar d cll-ci, il laiss passr qu ls opératios d la famill multiplicatio L modul du ombr compl z st défii par : z = R( z) Im ( z) z z ' = z z ' z z ' = z z ' z = z Par cotr, l modul 'st compatibl i avc l'additio, i avc la soustractio z z ' = z z ' z z ' = z z ' mais c) Pour c qui cocr l'smbl G, ous pouvos écrir : z z ' z z ' Iégalité triagulair it ( i) M d'affi z appartit à Il ist u rél t tl qu z = 6 G Rayo Ctr Coclusio : l'smbl G st l crcl d ctr l poit d'affi 6 i t d rayo G ( i) it it Egalmt : si M z alors z 6 = = = = Drièr parti : silc, ça tour! a) Nous pouvos écrir : π i M ' z ' st l'imag M z par la rotatio z ' z r ( i) = ( i) z ' = i [ z i] i z ' = iz i i z ' = iz 5 i Coclusio : la rotatio r a pour prssio compl r z = z ' = iz 5 i L poit surls valurs particulièrs d l'potill imagiair π π π π i i i iπ = = i = = i = π = i π i i i = = b) Comm l poit B' st l'imag d B par la rotatio r alors ous pouvos écrir : b ' = r b = ib 5 i = i 7 5 i 5 i = 7 i 5 5 i = 8 i Coclusio : l poit B' a pour affi 8i c) Comm l poit C' st l'imag d C par la rotatio r alors ous avos : C a pour imag C' par la rotatio r r c = c' ic 5 i = 5 i ic = i i c = = ( i) ( i) = i i Coclusio : l poit C a pour affi i d) Vu so écritur compl T z = z ' = iz 7 i, T smbl êtr u rotatio Commços par détrmir ls affis ω ds poits Ω ivariats par T L poit Ω d'affi ω st ivariat par T T Ω = Ω 7 i i ω = ω 7 i i ( 7 i) ( i) ( i) ( i) 7 i = ω i ω 7 i = ω i ω = = 7 i i 7 7 i i ω = = i i ω = = 5 i Doc la trasformatio T a u sul poit ivariat : Ω d'affi ω = 5 i C ombr compl ω vérifi l'égalité ω = 7 i i ω Désormais, ous pouvos mttr évidc qu l'écritur compl d T st cll d'u rotatio

31 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 Pour tout ombr compl z, ous pouvos écrir : z ' = 7 i iz ω = 7 i i ω π i z ' ω = iz i ω z ' ω = i z ω Or i = L'écritur compl d la trasformatio T dvit : i π z ' 5 i = z 5 i ( ) Coclusio : T st la rotatio d ctr Ω d'affi ω = 5 i t d'aglé π L poit surls foctios affis d qui sot ds trasformatios Ls foctios affis d sot ds foctios T d la form : T z = az b où a t b sot du cofficits compls Suivat la valur d a, la foctio affi T st u crtai trasformatio du pla : Si = T z = z b st u traslatio d vctur u d'affi b a alors Si a st u rél k alors Aisi la foctio T( z) = z i st u homothéti d rapport i T z = k z b st u homothéti d rapport k Si a st u ombr compl d modul alors a st d la form a = i θ θ T z = z b st alors u rotatio d'agl θ i π Aisi la foctio T( z ) = z 5 i st u rotatio d'agl i π/ Si a = alors la trasformatio T a pour prssio compl : i π T( z) = ( )z b = z b Homothéti d rapport Rotatio d'agl π T st alors st u symétri ctral O détrmi l ctr d'u homothéti ou d'u rotatio chrchat ls poits ivariats par la trasformatio T, c'st-à-dir ls poits M dot l'affi st solutio d T z = z Autrmt dit, o doit résoudr ctt drièr équatio! l'équatio

32 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 Scod rcic : u foctio assz compl L prmir bac blac L cott C prmir bac blac itrvit just avat ls vacacs d Noël 5 Il abordait tous ls poits vus dpuis l début d l'aé t mêm u pu avat : dérivabilité t limits, ls foctios potill t logarithm épéri, ombrs compls Il comportait aucu qustio d cours t était costitué d'rcics d bac plus ou mois adaptés D'u duré d quatr hurs, ls calculatrics était bi tdu autorisés L'éocé Prmir rcic : ls racis ot l touris L pla st rapporté à u rpèr orthoormé dirct ( O;u, v) L polyôm P st défii pour tout ombr compl z par : P( z) = z 8 a) Détrmir u raci réll du polyôm P Détrmir trois réls a, b t c tls qu pour tout ombr compl z, o ait : P z = z az bz c Résoudr das l'équatio z 8 = L pla st rapporté à u rpèr orthoormé dirct ( O;u, v) La foctio f st défii pour tout ombr compl z \{ i; i} z f ( z) = z O appll A t B ls poits d'affis rspctivs i t i a) Calculr f ( i ) par : b) E la résolvat, détrmir ls du solutios compls z t z d l'équatio : f ( z) = O ls écrira d'abord sous form algébriqu, puis sous form trigoométriqu c) O pos z = i y où t y sot ls partis réll t imagiair du compl z Etablir qu : ( y ) ( y )( y ) f ( z ) = i y y y y d) Détrmir l'smbl E ds poits M d'affi z tls qu f ( z ) soit rél Not : o pourra s'itérssr à la parti imagiair d f(z) A, B t C sot trois poits du pla d'affis rspctivs : za = i z B = z C = i b) Ecrir ls ombrs compls z A t z C sous form trigoométriqu Détrmir la atur du triagl ABC O appll F la trasformatio du pla qui à tout poit M d'affi z associ l poit M' d'affi z' tll qu : z ' = i z c) Détrmir la atur t ls attributs d la trasformatio F d) Détrmir l'imag d la droit (AC) par la trasformatio F π = ) Détrmir l'smbl F ds poits M d'affi z tls qu Arg f ( z) Troisièm rcic : potill vs logarithm La foctio f st défii sur ] ; [ par : O appll (C) sa courb rpréstativ = f l a) Détrmir la limit d la foctio f E rmarquat qu l f =, détrmir la limit d f L cas échéat, itrprétr graphiqumt ls résultats précédts

33 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 b) La foctio g st défii sur [ ; [ par : g = Calculr ls imags d t par la foctio g Etudir ls variatios d la foctio g (Ss limits sot pas dmadés) g Démotrr qu l'équatio = admt u uiqu solutio α das l'itrvall [ ] A l'aid d la calculatric, détrmir u valur approché d α au ctièm près E déduir l sig d g sur l'itrvall ] ; [ ; Etudir la positio d la courb (C) par rapport à la tagt T Pour cla, o pourra étudir l sig la foctio ϕ défii sur par : ϕ = f ( ) prouvat qu ϕ ' = c) Pourquoi la foctio f st-ll dérivabl sur l'itrvall ] ; [? Motrr qu pour tout rél d l'itrvall ] ; [, o a : g f ' = Etablir l tablau d variatio d la foctio f α E rmarquat qu α =, démotrr qu : α f ( α ) = α d) Tracr la courb (C) aisi qu touts ls droits rcotrés au cours d l'rcic Drir rcic : potill vs potill La foctio f st défii sur par : O ot (C) sa courb rpréstativ f = a) Détrmir ls limits d la foctio f t L cas échéat, itrprétr graphiqumt ls résultats précédts b) Etudir ls variatios d la foctio f Not : o 'omttra pas d'pliqur brièvmt pourquoi la foctio f st dérivabl sur O appll A l poit d la courb (C) dot l'absciss st c) Détrmir u équatio d la tagt T à la courb (C) au poit A d) Tracr la courb (C) aisi qu touts ls droits rcotrés au cours d l'rcic L corrigé Prmir rcic : ls racis ot l touris Ls racis compls d'u form du scod dgré à cofficits réls Lorsqu so discrimiat = b ac st égatif, l'équatio du scod dgré a b c = admt a du solutios das mais aucu das b i b i Ls du solutios compls sot t a a Cs du solutios compls sot ls cojugués l'u d l'autr Not : état u rél égatif, so opposé st u rél positif a) Comm P = 8 = 8 8 = alors st u raci réll du polyôm P Doc c drir st factorisabl par z Etamos la factorisatio d P par z P z = z 8 = z z z 8 = z z z z z 8 z z z 8 = z z z z z = z z z Voilà u factur commu Voilà l résultat rchrché! Mais poursuivos la factorisatio = ( z ) ( z ) = ( z ) ( z ) = ( z ) ( z ) ( ) z z a b a b a b ( z ) ( z ) ( i ) ( z )( z i )( z i ) = = L polyôm P st tièrmt scidé das

34 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 Ayat complètmt factorisé l polyôm P, la résolutio d l'équatio P( z) = Coclusio : ABC st u triagl isocèl B dot l'agl au sommt B msur dvit u promad d saté π radias = 6 Par coséqut, l triagl ABC st équilatéral P( z) z = ou z i = ( z )( z i )( z i ) = c) Dévloppos l'prssio compl d la trasformatio F Pour tout compl z : ou z i = U produit st ul si t sulmt F( z ) = i ( z) = i iz = iz i si l'u d ss facturs l'st F smbl êtr u rotatio Commços par détrmir ss poits ivariats z = ou z = i ou z = i M d'affi z st ivariat par F F( z) = z iz i = z Coclusio : l'équatio z 8 = a trois solutios das : ; i t i F M = M b) Pour écrir z A t z C sous form trigoométriqu, calculos d'abord lurs moduls Comm z C st l cojugué d z A za = i = = = Il vit alors : za = i = i Form algébriqu z A i π π π = cos si i = Form Form trigoométriqu potill 9 6 i 6 6 i = = = i = ( ) ( ) Par coséqut, ous avos : π BA za z i = B = = BC zc zb alors il a l mêm modul mais ss argumts sot opposés à cu d z A Aisi : zc = t Arg ( z ) = ( π ) C π π π zc = cos isi π i Form trigoométriqu Pour détrmir la atur du triagl ABC (qui smbl au mois isocèl B), calculos l rapport : A za z ( i ) B i i = = zc zb ( i ) i π / v ( i )( i ) ( i ) = = O u B ( i )( i ) i π / π z z i π = = = zc zb t ( BC, BA A B ) Arg Arg C i ( i) ( i) iz z = i i z = i J 'aim pas ls sigs mois i i i i z = = = i i i i i i 6 i = = = 7 i ( ) La trasformatio F a doc u sul poit ivariat qu ous appllos Ω t qui a pour affi ω = 7 i C compl ω vérifi l'égalité i ω i = ω z ' = F z alors il vit : Pour tout ombr compl z, si o ot z ' ω = ( iz i) ( i ω i) i π = ω = ω = ω iz i i z z Coclusio : la trasformatio F st la rotatio d'agl l'affi st l ombr compl ω = 7 i π t d ctr Ω, poit dot d) Si o appll A' t C' ls imags ds poits A t C par la rotatio F, l'imag d la droit (AC) par ctt trasformatio st la droit (A'C') Calculos ls affis z A ' t z C' ds poits A' t C' : z = F z = iz i A ' A A = i i i = i i = 5 i z = F z = iz i C' C C = i i i = i i = 5 i

35 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 5 sur 67 Graphiqumt, la situatio st la suivat : b) Résolvos das \{ i; i} l'équatio compl f ( z) = C' A' \ i; i, l déomiatur d f st toujours o ul Choutt! A v O u B C Ω Travaillat sur { } z z z f ( z) = = = z z = z ( z ) z z = O multupli tout par U quotit qui ist st ul z z z = z = z = i i i z z z = / U produit st ul so umératur l'st Sur \ { i; i}, l déomiatur pos aucu problèm Scod rcic : u foctio assz compl a) Calculos l'imag d i par la foctio f ( i) i i i f ( i) = = = = i i i i i ( ) ( ) ( ) i i 8 8i i i i = = = = = i i i i L'smbl d défiitio d la foctio ratioll compl f Pour qu f ( z ) ist, il faut t il suffit qu so déomiatur z soit o ul f z 'ist pas z i = z i z i = z = i ou z = i z ( ) U produit st ul Coclusio : à l'cptio d i t i, tous ls compls ot u imag par f l'u d ss facturs l'st i i i i z = ou z = z = ou z = Coclusio : l'équatio f ( z) l'u d ss facturs l'st = a du solutios compls cojugués qui sot : i π π i π π z = = cos si i 6 6 z = = cos si i 6 6 Form Form trigoométriqu Form Form trigoométriqu algébriqu algébriqu c) Avat tout chos, écrivos l déomiatur sous form algébriqu Pour tout ombr compl z = i y, ous pouvos écrir : Parti réll Parti imagiair z = ( iy) = iy ( iy) = y i y Parti réll Parti imagiair

36 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 6 sur 67 Il vit alors qu : π ) Ls compls dot l'argumt st égal à sot ls imagiairs purs positifs C'st-àdir cu dot la parti réll st ull t dot la parti imagiair st positiv Par suit : [ y] ( y ) ( y) y i i i f ( z) = = ( y ) i ( y) ( y ) ( y ) ( y ) ( y) i i M ( z) F R f ( z) = t Im f ( z) > t z ± i f O distribu O distribu y ( z ) doit istr y i y iy iy iy y ( y ) ( y )( y ) = = t > t z ± i ( y ) ( iy) z z y y y y y ( y) y ( y) ( y) i i i i = = Comm o travaill sur \ { i; i}, l déomiatur z 'st jamais ul Et comm c'st l carré d'u modul, il st toujours positif ( y ) y ( y ) y La ullité t la positivité ds fractios rpost sur lurs suls umératurs ( y ) ( y )( y ) ( y ) = t ( y )( y ) > t z ±i = i Or y st u rél strictmt positif Doc l produit ( y ) ( y ) y ( y ) y 'st ul qu lorsqu t sulmt lorsqu l sul factur l'st Parti réll d f ( z) Parti imagiair d f ( z) = t ( y )( y ) > t z ±i st ul t cla a qulqus coséqucs d) U ombr compl st rél si t sulmt si sa parti imagiair st ull Aisi : M d'affi z appartit à E Im f ( z) = t z ± i = t ( y )( y ) > t z ±i Esmbl d défiitio d f Quad cla s réalis-t-il? ( y )( y ) Comm la parti réll st ull, il st clair qu z = i y st u imagiair pur = t z ± i ( y ) y Maitat z = i y doit êtr différt d ±i t êtr tl qu ( y )( y ) > Quad c quotit rél st-il ul? Pour résoudr ctt iéquatio, drssos l tablau d sig du produit ( y )( y ) \ i; i, l déomiatur z = y y Lorsqu z appartit à { } 'st jamais ul car z l'st pas o plus Il pos aucu problèm Aisi : M d'affi z appartit à E y y = t z ± i U produit st ul y = ou y = t z ± i y = ou y = t z ±i M appartit OM = OM= à l'a ds M appartit au réls crcl trigoométriqu Coclusio : l'smbl E st l'uio du crcl trigoométriqu t d l'a ds réls à laqull o rtir ls poits A t B qui ot pour affis rspctivs i t i y y y ( y )( y ) Coclusio : F st l'smbl ds imagiairs purs d la form i y où y appartit à la réuio d'itrvalls ] ; [ ] ;[

37 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 7 sur 67 Géométriqumt, F st la dmi droit ( BA ] privé du poit A t du sgmt [BO] Utilisat ds limits établis das l cours, il vit : l lim = ( ) ( ) = ( ) ( ) = f E Ls trois écriturs d'u ombr compl U ombr compl z d partis réll t imagiair y t, dot u argumt st l rél θ put êtr écrit sous trois forms : i z = iy = z cos ( θ ) isi ( θ ) = z θ Algébriqu Trigoométriqu Troisièm rcic : potill vs logarithm a) Lorsqu s rapproch d par la droit, td vrs Epotill lim l = = f Coséquc : l'a ds ordoés st u asymptot à la courb (C) v O = t l ( ) vrs Lorsqu s' va, t l ( ) s' vot tous du vrs Doc f st alors u form idétrmié du typ Or pour tout rél ] ; [, ous avos : l f = l = A B F u b) Calculos ls imags d t par la foctio g = g ( ) = = = g = = Pour étudir ls variatios d la foctio sur [ ; [, passos par sa dérivé Comm ls foctios t potill sot dérivabls sur doc particulir sur l'itrvall [ ; [ alors il va d mêm d lur produit Pour tout rél [ ; [, ous avos : ' uv ' g ' = = = u 'v uv ' L'potill st toujours positiv ;, l factur Quad appartit à [ [ affi st strictmt positif Efi : lim = = g L sig d g' do ls variatios d g Comm : t d la foctio g g '( ) g la foctio g st cotiu sur l'itrvall [ ; ] car ll st dérivabl sur [ [ la foctio g st strictmt croissat sur [ ; ] car ll l'st sur [ ; [ alors la foctio g st u bijctio d [ ; ] sur [ ; ] g g état u rél strictmt positif, appartit à l'itrvall [ ; ] Par coséqut, a u uiqu atécédt par g das l'itrvall [ ; ] Autrmt dit, l'équatio g = a u uiqu solutio α das l'itrvall [ ] ; ;

38 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 8 sur 67 O détrmi qu'u valur approché au ctièm près d α st,57 La foctio g état strictmt croissat sur α [ ; [ t s'aulat α, so tablau d sig st clui ci-cotr : g() f) Ls foctios potill t logarithm épéri état dérivabls rspctivmt sur ; t ] ; [, lur différc f 'st dérivabl qu sur ] [ Pour tout >, il vit : f ' l = = = g = = Coaissat ls sigs d g() t d ;, ous pouvos détrmir sur ] [ clui d la dérivé f '( ) qui ous dora ls variatios d f α g() f '( ) f α α α st la solutio d l'équatio g = doc il vérifi ls quatr égalités : Il vit alors : α α α α = α = α = = α α α f α = l α = l = l = l = α = α α α α α α f = l 'st accompagé qu α α α d) La courb (C) rpréstat la foctio d'u sul asymptot vrtical : l'a ds ordoés qui st la droit d'équatio = 5 α Asymptot Drir rcic : potill vs potill a) Lorsqu td vrs, td vrs Par suit : lim = = f Coséquc : l'a ds abscisss st u asymptot à la courb (C) au voisiag d Lorsqu s' va vrs,,5,5,5 td vrs Doc f st u form idétrmié du typ Lvos cll-ci pulsat du quotit ss trms ls plus forts Pour tout rél, ous pouvos écrir : f = = = Quad td vrs, td vrs = Doc lim f = = = Coséquc : la droit d'équatio y = st u asymptot à (C) au voisiag d ( C )

39 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 9 sur 67 b) La foctio potill u = st dérivabl sur t y st strictmt positiv Pour tout rél, ous pouvos écrir : Il va d mêm pour la foctio v = qui s'aul doc jamais ( ) ϕ ' = f ' = = u Doc lur quotit f = st aussi dérivabl sur ( ) ( ) v Pour tout rél, il vit : ( ) ( ) ( ) u 'v v'u ( ) = = = f ' = = ( ) ( ) ( ) v ( ) ( ) U qustio : quad s'aul-t-il? = = = = = ( ( ) ( ) ) f '( ) Par suit, l tablau d sig d ϕ' t d variatio d ϕ st clui ci-cotr U potill t u carré o ul sot du Coclusio : comm ϕ st strictmt quatités positivs croissat t s'aul alors : Par suit, l tablau d sig d la dérivé f '( ) f Sur l'itrvall ] ;[, ϕ st t d variatio d la foctio f st clui ci-cotr ϕ ' égativ t la tagt T st au-dssous d la courb (C) E, la tagt T t la courb c) La tagt T a u équatio réduit d la form y = f '( ) ( ) f ( ) (C) s coupt au poit A Calculos l'imag d par la foctio f aisi qu l ombr dérivé d f f ( ) = = = f '( ) = = = Coclusio : l'équatio réduit d la tagt T st y ( ) = = Sur l'itrvall ] [ ;, ϕ st positiv t la tagt T st au-dssus d la courb (C) d) La courb (C) rpréstat la foctio f st accompagé d la tagt T t d du asymptots horizotals : l'a ds abscisss ( y = ) t la droit d'équatio y = ϕ Pour coaîtr la positio d la tagt T par rapport à la courb (C), étudios sur l sig d lur différc d'ordoés : ϕ = T ( C) = f = Rmarquos d'tré qu : ϕ ( ) = f ( ) = Normal! Cla corrspod au poit A Pour coaîtr l sig d la différc d'ordoés ϕ, détrmios ls variatios d ctt foctio Pour c fair, calculos la dérivé d ϕ Comm ϕ st la différc d'u foctio affi t d la foctio f qui sot dérivabls sur, alors ll l'st aussi y =, A T ( C ) y =

40 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 Dvoir Eprss No6 L cott C siièm dvoir prss toujours d'u hur ut liu à la mi-javir 6 Il portait sur ls équatios différtills A priori, ls rcics doés sot ds créatios d mo volcaiqu crvau Ls calculatrics était autorisés L'éocé Prmièr parti : du équatiosdiffért cil Résoudr ls équatios différtills suivats : y y 5 ( E = ) y( ) = y = F y = 7 Scod parti : l scrt d'u scod dgré L'objt d ct rcic st la résolutio d l'équatio différtill ( D ) : ( D ) y y = y( ) = O appll ( E ) t ( F ) ls équatios différtills suivats : y y = ( E ) y y = ( F ) a) Démotrr qu la foctio u différtill ( E ) = st u solutio particulièr d l'équatio b) Motrr qu'u foctio dérivabl v st solutio d l'équatio différtill ( E ) si t sulmt si la foctio v u st solutio d l'équatio différtill ( F ) c) Résoudr l'équatio différtill y y = ( F ) d) Résoudr l'équatio différtill ( D ) Drièr parti : l'potill à la rscousscomm toujours L'objt d ct rcic st la résolutio d l'équatio différtill ( J ) : 7 y 7y = J y( ) = Soit f u solutio d l'équatio différtill ( J ) O suppos qu la foctio f st défii t dérivabl sur u itrvall I cotat (qui st évtullmt ) O appll h la foctio défii par : h f = 7 a) Pourquoi la foctio h st-ll défii t dérivabl sur l'itrvall I? h Eprimr f ( ) foctio d b) Démotrr qu pour tout I =, h E déduir l'prssio d h ( ) foctio d, puis cll d f ( ) c) Coclur ctt résolutio doat ls solutios d l'équatio différtill ( J ) L corrigé Prmièr parti : du équatiosdiffért cil Modifios la prmièr égalité d l'équatio différtill ( E ) : 5 y y = 5 y = y 5 y = 7y y = 7y 5/ D'après u résultat du cours, l'équatio différtill ( E ) a b admt u y( ) = uiqu solutio ϕ Ctt foctio ϕ défii t dérivabl sur st d la form : a b 7 5/ ϕ = C = C = C = C a 7 7 Détrmios la costat C La solutio ϕ vérifi la coditio iitial y( ) = ϕ ( ) = C = C = C =

41 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 Coclusio : la solutio d l'équatio ( E ) st la foctio ϕ = 7 Ctt foctio ϕ st défii t dérivabl sur à l'istar d l'potill Résoudr l'équatio ( F ), c'st détrmir la foctio dérivabl F dot la dérivé st (autrmt dit qui st u primitiv d) Ctt primitivs F d y =, t tlls qu y = 7 st d la form F = l Cst Détrmios la costat Cst La solutio F vérifi la coditio iitial d F = 7 l Cst = 7 Cst = 7 Cst = 8 Coclusio : la solutio d l'équatio ( F ) st la foctio Ctt foctio f 'st défii t dérivabl qu sur ] ; [ du fait d l F F = l 8 Scod parti : l scrt d'u scod dgré a) Pour tout rél, ous pouvos écrir : u u = = ( ) = = = Coclusio : la foctio u ( ) E = st u solutio d l'équatio différtill b) Prouvr u équivalc, c'st établir u doubl implicatio ( ) : Si v st u solutio d l'équatio différtill ( E ) alors pour tout : v v = = u u ( E ) car u st solutio d d 'après a d'où u st solutio d l'équatio différtill ( F ) u st solutio d l'équatio différtill ( F ) alors pour tout : v u v u = doc v u v u = Par coséqut la foctio v ( ) : Si v v u v u = d ' où v v = u u = ( v u) ( ) ( E ) v u car u solutio d d 'après a Aisi la foctio v st-ll solutio d l'équatio différtill ( E ) Coclusio : v st solutio d ( E ) v u st solutio d ( F ) O put aussi procédr par équivalcmais il faut fair très atttio! v solutio d ( E ) car u solutio d v u solutio d E ( F ) v v = v v = u u v u ( v u) = Il faut toujours s'assurr qu c qui st dit st vrai das u ss mais aussi das l'autr c) Ls solutios d l'équatio différtill y y = y = y sot touts ls foctios d la form C où C st u costat à détrmir d) Assmblos ls du équivalcs qui vit d'êtr établis v st solutio d ( E ) v u st solutio d ( F ) v u = C d'après b Pour tout, d'après c Autrmt dit, ls solutios d l'équatio ( E ) sot ls foctios v d la form : v = u C = C D sot ls foctios v d la Par coséqut, ls solutios d l'équatio différtill form v( ) = C vérifiat la coditio iitial v( ) = v( ) = C = C = C = Coclusio : la foctio v( ) A l'istar ds foctios carré t potill, v st défii t dérivabl sur = st l'uiqu solutio d l'équatio Drièr parti : l'potill à la rscousscomm toujours a) L umératur f st u foctio dérivabl sur l'itrvall I 7 La foctio u = st défii t dérivabl sur doc ll l'st sur l'itrvall I Etat u potill, l déomiatur u st toujours strictmt positif doc s'aul jamais f Coclusio : l quotit h = st défii t dérivabl sur I u f 7 Pour tout I, ous avos : h = f = h 7 D

42 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 7 b) La foctio f st l produit ds foctios h t dérivabls sur l'itrvall I Pour tout I, ous pouvos écrir : f = h = ( ) h h = 7 h h J alors pour tout I : Comm la foctio f st u solutio d l'équatio 7 f 7f = h h 7 h = f f 7 7 h 7 7 h 7 h 7 = 7 7 h = O a divisé par l'potill h = 7 qui st o ull Comm h = st la dérivé d h alors la foctio h st u primitiv d Doc la foctio h st d la form h = Costat Par suit, pour tout I : 7 7 f = h = Costat Détrmios la valur d ctt costat f vérifi la coditio iitial d l'équatio 7 Costat = [ Costat] Costat = = = f ( ) Coclusio : si f st u solutio d l'équatio ( J ) alors 7 f = c) La qustio b ous a appris qu si ( c'st pas sûr!) l'équatio ( J ) a u solutio 7 f = qui st défii t dérivabl sur J admt au plus u solutio "Au plus u" sigifi u ou aucu alors cll-ci st la foctio Autrmt dit, J 7 Rgardos si la foctio f = Du choss sot à vérifir : D'abord, pour tout, ous avos : 7 7 f ' 7f = 7 f st solutio d l'équatio ( J ) = ( ) 7 f f = 7 7 Doc f vérifi la prmièr égalité 7 y 7y = f = = = = 7 Esuit : [ ] Doc f vérifi la coditio iitial d ( J ) Doc la foctio f st bi solutio d l'équatio différtill ( J ) Coclusio : l'équatio différtill qui st la foctio 7 = 7 y 7y = J admt u uiqu solutio y( ) = 7 f = Ctt foctio st défii t dérivabl sur

43 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 E utilisat sulmt cs du argumts t la défiitio doé lors d la qustio a, u covrg vrs Dvoir Survillé No L cott C troisièm dvoir survillé d du hurs ut liu just avat ls vacacs d févrir 6 Il portait clusivmt sur ls suits avc otammt du rcics d qustios d cours assz musclés "styl bac" Ls calculatrics était autorisés L'éocé Prmièr parti : qustios d coursassiss Pour chacu ds propositios ci-dssous, idiqur si ll st vrai ou fauss, t proposr u démostratio pour la répos idiqué Das l cas d'u propositio fauss, la démostratio cosistra à fourir u cotr-mpl qui sra justifié U répos o démotré sra cosidéré comm ull u st u suit dot ls trms sot strictmt positifs La suit ( v ) st défii pour tout tir aturl par v l ( u ) Si la suit ( u ) st géométriqu, alors la suit ( ) ( u ) st u suit qulcoqu = v st arithmétiqu La suit ( v ) st défii pour tout tir aturl par v [ ] u Si la suit ( v ) covrg, alors la suit ( u ) covrg aussi = ( u ) st u suit qulcoqu Si la suit ( u ) td vrs, alors ll st décroissat à partir d'u crtai rag Scod parti : qustio d courssuprêm a) Rapplr la défiitio d'u suit ( u ) covrgat vrs u rél l b) Ls suits ( u ) t ( ) v sot tlls qu : Pour tout tir aturl, u v ( v ) covrg vrs l rél démotrr qu la suit Drièr parti : ls suits américais La foctio f st défii sur 5 ; par : f O appll (C) sa courb rpréstativ a) Etudir ls variatios d la foctio f ;5, o a : Démotrr qu pour tout rél [ ] Ls suits ( u ) t ( ) 5 8 = f 5 v sot défiis pour tout tir aturl par : u = v = 5 t u = f ( u ) v = f ( v ) b) Sur l graphiqu pag suivat, tracr avc l plus grad soi la courb (C) Costruir sur l'a ds abscisss ls quatr prmirs trms d chacu ds suits ( u ) t ( v ) laissat apparts tous ls traits d costructios A partir du graphiqu, qu put-o cojcturr cocrat l ss d variatio t la covrgc ds suits ( u ) t ( v ) c) Motrr à l'aid d raisomts par récurrc qu : Pour tout tir aturl, u 5 Pour tout tir aturl, u u Pour tout tir aturl, v 5 Pour tout tir aturl, v v d) Motrr qu pour tout tir aturl : v u = ( v u ) ( v )( u )

44 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 E déduir qu pour tout tir aturl, o a : L corrigé v u t v u ( v u ) Prmièr parti : qustios d coursassiss U suit st géométriqu si pour passr d chacu d ss trms au suivat, o ) Prouvr qu pour tout tir aturl : multipli toujours la mêm quatité qui st sa raiso Si ( u v u ) st u suit géométriqu d raiso q alors pour tout tir aturl, u = u q Il vit alors : f) Motrr qu ls suits ( u ) t ( v ) covrgt vrs u mêm rél α v = l ( u ) = l ( u q) = l ( u ) l ( q) = v l ( q) Détrmir la valur act d α Logarithm d'u produit 5,5 Pour passr du trm v au suivat v, o rajout toujours la mêm quatité l ( q ) Coclusio : la suit propositio st vrai v st arithmétiqu d raiso l q Doc la prmièr 5,5,5,5,5,5,5 5 5,5 Not : si tous ls trms d la suit géométriqu ( u ) sot positifs, alors il va d mêm pour sa raiso q Doc lurs logarithms épéris istt Das ctt propositio, ( u ) st u suit qulcoqu Cla sigifi qu ss trms puvt êtr positifs ou égatifs Et c, idépdammt ls us ds autrs Mêm si pour tout tir ous avos v [ u ] =, ous pouvos pas coclur pour autat qu pour tout tir, u = v Nous pouvos très bi avoir : u7 = v7 u = si st pair = u = si st impair Chacu sait qu'll covrg pas Pourtat pour tout tir aturl, ous avos : Itérssos-ous à la (classiqu) suit u [ ] v = u = = = = [ ] = Coclusio : la suit v = [ u ] = covrg vrs t pourtat la suit u divrgt Doc la scod propositio st fauss Mêm ls plus grads champios puvt avoir ds istats d faiblss u défii pour tout tir aturl par : Itérssos-ous à la suit u = Détrmios la limit d ctt suit ( u ) Pour tout, ous avos : = st

45 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 5 sur 67 doc u O ajout à tous ls mmbrs ( u ) st majoré par la suit qui td vrs Par coséqut, ( u ) td aussi vrs A prést, itérssos-ous au variatios d ( u ) Pour c fair, ous allos ssayr d détrmir l sig d la différc d du d ss trms cosécutifs Pour tout tir aturl, ous pouvos écrir : u u = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) Factur commu = ( ) ( ) = ( ) Là, du cas sot à visagr : Si st pair alors u u = = Doc u u La différc st égativ Si st impair alors u u = = = Doc u u La différc st positiv U coup ça croît, l'autr ça décroît Doc la suit ( u ) 'st pas mooto, mêm à partir d'u crtai rag Coclusio : la suit u = td vrs t pourtat ll 'st jamais décroissat à partir d'u crtai rag Doc la troisièm propositio st fauss Scod parti : qustio d courssuprêm a) Dir qu la suit ( u ) covrg vrs l rél l sigifi qu pour tout rél strictmt positif ε, il ist u rag partir duqul l ε u l ε [ l l ] Autrmt dit, u ε ; ε ou la distac tr u t l st ifériur à ε b) L'éocé d ctt qustio itrdit prssémt d fair appl au théorèm ds gdarms ou à u théorèm d comparaiso qulcoqu Ls suls choss qu ous ayos l droit d'utilisr pour établir la covrgc d la suit u vrs sot : L fait : pour tout tir aturl, u v L fait : la suit ( v ) covrg vrs La défiitio d'u suit covrgt vrs l doé à la qustio précédt Soit ε u rél strictmt positif qulcoqu v covrg vrs, alors applicatio d la défiitio doé lors Comm la suit d la qustio a, il ist u rag à partir duqul ε v ε Or pour tous ls tirs aturls t doc particulir pour cu situés après, ous avos : u v E combiat ls du iégalités, il vit qu pour tout tir, o a : ε u v ε Doc car ε> Argumt ε u ε Coclusio : ous vos d'établir qu pour tout rél strictmt positif ε, il ist u rag à partir duqul ε u ε C'st la défiitio éocé lors d la qustio a Nous cocluos qu la suit ( u ) covrg vrs Drièr parti : ls suits américais a) L'étud d la foctio homographiqu f êtr fait d du maièrs : E utilisat sa dérivé u = sur l'itrvall 5 ; Ls foctios = t v sur l'itrvall [,5;5,5 ] Lurs dérivés rspctivs sot u = 5 t put = sot dérivabls sur, doc particulir v = u Comm la foctio v s'aul pas sur ct itrvall, alors lur quotit f = st v aussi dérivabl sur ct itrvall Il vit alors qu pour tout [,5;5,5] 5 ( ) ( 5 8) u v v u f = = = = v ( ) ( ) ( )

46 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 6 sur 67 Etat l quotit d du quatités positivs, la dérivé f 5 la foctio f st strictmt croissat sur l'itrvall ; st toujours positiv Doc 5,5 y = E décomposat la foctio homographiqu f,5;5,5, ous pouvos écrir : Pour tout rél [ ] f = = = ( ) 5 ( ) = 5 5 Rcostituos l'actio d ctt foctio f sur du réls d l'itrvall ; Si, 5 < y 5, 5 alors, 5 < y, 5 doc > O travaill das O ajout Ivrs y 9 l'itrvall [,5;5,5] Puis ous allos ivrsr La foctio ivrs st ds réls positifs décroissat sur ] ; [ doc < doc f < f ( y) ( ) y 5 L'ordr chag Coclusio : f cosrvat l'ordr sur l'itrvall f cosrv l'ordr 5 ;, ll y st croissat 5,5,5 ( C ) Si 5 alors f f f 5 doc, 5 f, 5 [ ;5] Car f st croissat sur [,5;5,5] Supériur Ifériur doc ll y cosrv l'ordr à à 5 Coclusio : pour tout rél d l'itrvall [ ;5 ], o a f 5 b) La costructio dmadé st cll figurat début d pag Ell rquirt d tracr la prmièr bissctric du pla, c'st-à-dir la droit d'équatio y = D'après l graphiqu t s basat sur ls quatr prmirs trms d chacu ds suits, il smbl qu la suit ( u ) soit croissat, ( v ) soit décroissat t qu'll tdt touts du vrs Not : l très pédagogiqu mot cojcturr sigifi "présumr", "supposr" ou "prévoir" Il do pas liu à u crtitud mais sulmt à u prévisio ou u imprssio Ls quatr prmirs trms d'u suit qulcoqu prmttt pas d'affirmr si cll-ci st croissat ou décroissat Ils dot qu'u idicatio d la tdac Cll-ci 'st aucu cas u pruv,5 u,5 u,5 u u v v v v,5 5 5,5 c) Ls quatr ptits démostratios par récurrc rpost sur l mêm fait : la,5;5,5 doc ll y cosrv l'ordr foctio f st croissat sur l'itrvall [ ] Prouvos par récurrc qu pour tout tir aturl, u 5 La propriété st-ll vrai au prmir rag =? u = st bi compris tr t 5 Doc l'iégalité st vrai pour = La propriété s propag-t-ll? Est-ll trasmissibl d'u rag sur l suivat? Supposos qu'au rag ous ayos u 5 A-t-o alors au rag suivat qu u 5?

47 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 7 sur 67 Comm u 5 alors f ( u ) 5 doc u 5 d) Pour tout tir aturl, ous pouvos écrir : Hypothès d récurrc D'après qustio a 5v 8 5u 8 ( 5v 8 )( u ) ( 5u 8 )( v ) v u = = Doc l'iégalité st alors vrai au rag v u ( v )( u ) Coclusio : si la propriété st vrai pour l'tir aturl, alors ll st aussi vrai pour f ( v ) f ( u ) O mt au mêm déomiatur l'tir Comm ll st vrai pour l'tir alors ll st vrai pour tous ls tirs aturls ous vos d'établir qu pour tout tir aturl, u 5 5v u 5v 8u 8 = 5u v 5u 8v 8 ( v )( u ) Démotros par récurrc qu pour tout tir aturl, u u 5v 8u 5u 8v v u ( v u ) La propriété st-ll vrai au prmir rag =? = = = ( v )( u ) ( v )( u ) ( v )( u ) Comm u = t u = f ( u ) =, 5 alors ous avos bi qu u u La propriété s trasmt-ll d'u rag sur l suivat? Démotros par récurrc qu pour tout tir aturl, v u Supposos la propriété soit vrai au rag, c'st-à-dir qu u u Comm v u = 5 = alors la propriété st vrai au rag = A-t-o alors la mêm chos au rag, c'st-à-dir qu u u? La propriété s trasmt d'u rag sur l suivat? Comm u u alors f ( u ) f ( u ) doc u u Supposos qu'au rag, la différc v u soit positiv ou ull Hypothès d récurrc f st croissat sur u t u sot das [ ;5 ] l'itrvall [,5;5,5] ( v u ) Nous vos d'établir qu : v u = Doc la propriété st alors vrai au rag ( v )( u ) Coclusio : pour tout tir aturl, u u La suit ( u ) st croissat D'après l'hypothès d récurrc, l factur v u st positif ou ul Ls facturs v t u sot positifs car ls suits ( u ) t ( v ) sot Ctt troisièm démostratio par récurrc st la rpris d la prmièr miorés par Etablissos qu pour tout tir aturl, v 5 Positif ou ul v = 5 st compris tr t 5 Doc l'iégalité st vrai pour = ( v u ) Doc, la différc v u = st positiv ou ull La propriété s trasmt- ll? Supposos qu'au rag ous ayos v 5 ( v )( u ) Comm v 5 alors f ( v ) 5 doc v 5 Positif Positif Hypothès d récurrc D'après qustio a Coclusio : pour tout tir aturl, la différc v u st positiv ou ull Doc si l'iégalité st vrai au rag, alors ll l'st aussi au rag Coclusio : pour tout tir aturl, v 5 D'après la qustio c, ous pouvos écrir qu pour tout tir aturl : u 5 u Comm alors doc t Prouvos par récurrc qu pour tout tir aturl, v v v 5 v u v Comm v = 5 t v = f ( v ) =, 5 alors ous avos bi qu v v Multiplios cs du iégalités d ombrs positifs mmbrs à mmbrs Il vit alors : La propriété s trasmt-ll d rag rag? Supposos-la vrai au rag ( v u ) ( v u ) d 'où Comm v v alors f ( v ) f ( v ) doc v v ( v ) ( u ) ( v )( u ) Hypothès d récurrc f cosrv l'ordr sur O multipli par l rél positif ou ul ( v u ) v t v sot das [ ;5 ] l'itrvall [,5;5,5] ( v Doc la propriété s trasmt d'u rag sur l suivat u ) Coclusio : pour tout tir aturl, v u = ( v u ) Coclusio : pour tout tir aturl, v v La suit ( v ) st décroissat ( v )( u )

48 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 8 sur 67 ) Prouvos par récurrc qu pour tout tir aturl, Comm v u = t = = La propriété s trasmt-ll? Supposos qu v u, alors ll st vrai pour = v u Multiplios ctt iégalité par Il vit alors : v u E applicatio d la qustio d, ous déduisos : v u ( v u ) = v u, 75 Coclusio : pour tout tir aturl, f) Ls qustios précédts ous ot prmis d'établir ls résultats suivats : v st décroissat La suit u st croissat t Pour tout tir aturl, v u, 75 Comm la suit (,75) td vrs, alors applicatio du théorèm ds gdarms, la différc v u covrg aussi vrs ctt limit v sot adjacts Ells covrgt vrs u mêm rél α Doc ls suits u t Comm la suit ( u ) st défii par la rlatio d récurrc u f ( u ) foctio cotiu sur [,5;5,5 ], alors α st solutio d l'équatio f = ( )( ) U fractio st ull ( ) ( 5 8) So umératur l'st = où f st u f = = = = = = = = = ou = t So déomiatur l'st pas Coclusio : l'équatio f = a pour solutios t Mais comm ls suits ( ) ( v ) sot das l'itrvall [ ;5 ], alors lur limit α put êtr égal qu'à u t

49 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 9 sur 67 Dvoir Eprss No7 L cott C sptièm dvoir prss qui ut liu début mars 6, fut l drir avat qu ds bos âms décidt qu lurs grads idés était plus importats qu mo cours Iévitablmt, j 'allais pas êtr d'accord car j'ai horrur qu'o m'itrdis d vivr C faisat, lls péalisèrt tout l mod t surtout lls-mêms Comm quoi la passio mport souvt la raiso C sptièm DE abordait l'itégratio L'itégratio par partis 'était pas traité Ls calculatrics était autorisés 5 (C) D L'éocé Prmièr parti : la rué vrs l'air La foctio f st défii sur l'itrvall ] ; [ par : f = Sa courb rpréstativ (C) st tracé sur l graphiqu ci-cotr où u uité d'absciss vaut quatr ctimètrs t u uité d'ordoé vaut u ctimètr O appll D l domai compris tr la courb (C), l'a ds abscisss t ls droits vrticals d'équatio = t = Calculr l'air géométriqu du domai D uités d'airs, puis ctimètrs carrés Scod parti : au frotièrs du quart d pi La foctio g st défii pour tout rél par : g = a) Détrmir ls limits d la foctio g t l par la foctio g Calculr l'imag d E comparat ls logarithms épéris d t du ombr, prouvr qu u ombr positif Etudir ls variatios d la foctio g E déduir l sig d la foctio g g l st La foctio f st défii pour tout rél positif ou ul par : f = b) E s'aidat d la qustio précédt, étudir ls variatios d la foctio f sur ; l'itrvall [ [ E déduir l sig d f ( ) sur l'itrvall [ [ ; c) E utilisat l résultat d la qustio b, établir qu pour tout rél [ ; [, o a : d) Démotrr l'iégalité : D

50 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 5 sur 67 d Drièr parti : décompositio ratiollmt itégral La foctio h st défii sur l'itrvall [ ; ] par : = h 9 7 a) Détrmir ls ombrs a t b tls qu pour tout rél [ ;] o ait : h a b = 5 b) Détrmir u primitiv H d la foctio h sur l'itrvall [ ; ] E déduir la valur act d l'itégral form l p où p st u ombr ratiol L corrigé Prmièr parti : la rué vrs l'air h d O dora l résultat sous la U primitiv d la foctio f = sur l'itrvall ] ; [ st F = Partagos l domai D O appll D la parti positiv du domai D, c'st-à-dir cll situé tr ls droits vrticals d'équatio = t = Calculos so air f ( )d = = = = / / / Doc l'air du domai D vaut 5 =,65 uités d'air 8 O désig par D la parti égativ du domai D, c'st-à-dir cll situé tr ls droits vrticals d'équatio = t = Calculos so air 5 f ( )d = = = = Doc l'air du domai D st égal à uités d'air 5 Coclusio : l'air du domai D st égal = uités d'air = 6, 5 cm 8 8 Scod parti : au frotièrs du quart d pi a) Lorsqu td vrs, td vrs t vrs Par coséqut : lim = = g Lorsqu td vrs, td vrs t vrs Doc g ( ) st alors u form idétrmié du typ Pour lvr cll-ci, factorisos par : Pour tout rél o ul, ous avos : g = = Pour pouvoir divisr par D'après u résultat du cours, l quotit Doc : lim g lim = = = Calculos l'imag d l ( ) par la foctio g : Comm < alors l < l ( ) = l st croissat sur ] ; [ Coclusio : td vrs lorsqu s' va vrs l( g = ) l = l doc l > doc O multipli par g l = l st u rél strictmt positif g > O ajout Comm ls foctios potill t sot dérivabls sur alors il va d mêm pour lur différc g Pour tout rél, ous pouvos écrir : g = = Afi d coaîtr l sig d la dérivé g, rgardos où ll s'aul

51 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 5 sur 67 = = = l g La foctio potill état croissat sur, la dérivé g st égativ sur l'itrvall ;l t positiv sur l ( ) ; Avat l Après l L tablau d variatio d g st : l ( ) g g l L miimum d la foctio g sur état l ombr positif l, o déduit qu g st u foctio strictmt positiv sur b) Comm ls foctios potill t carré sot dérivabls sur alors lur différc f st dérivabl sur so itrvall [ ; [ Calculos sa dérivé f = = = g Or la qustio a ous a appris qu la foctio g st strictmt positiv sur Ell l'st particulir sur [ ; [ Doc la foctio f st strictmt croissat sur ct itrvall Calculos l'imag d par la foctio f : f ( ) = = = Comm f croît strictmt sur [ ; [ à partir d f ( ) f() c) La qustio b ous a appris qu pour tout rél [ ; [ : =, so tablau d sig st : = f Cs du quatités sot positifs La foctio ivrs st décroissat sur ; ] [ D plus, u carré état toujours positif ou ul, il vit qu pour tout [ ; [ : = Coclusio : pour tout [ ; [, ous vos d'établir l'iégalité : d) La qustio précédt ous a appris qu pour tout rél [ ;], Itégros ctt iégalité sur l'itrvall [ ; ] Il vit alors : d d d Calculos séparémt ls du itégrals d gauch t d droit ( ) ( d = ) = = = = d = [ ] = = Nous cocluos fialmt : π d E vérité, ctt itégral vaut U primitiv pour ctt itégral : arcta! La foctio défii sur a pour primitiv la réciproqu d la foctio tagt Arctagt st la foctio h tll qu pour tout t ] / ; / [ π π, o ait h ta ( t) h ( ta ( t) ) = h = h ( ta ( t) ) = cos ( t) = = cos ( t) ta ( t) D facto, = ta( t) O dériv l'égalité par rapport à t Drièr parti : décompositio ratiollmt itégral a) Rmarquos d'abord : ( 5) ( ) = 5 = = t

52 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 5 sur 67 Ls ombrs a t b sot tls qu pour tout rél [ ;] : 9 7 a b 5 ( 5 )( ) a b 5 a b a 5b = = = Du fractios égals ayat l mêm déomiatur ot l mêm umératur Il vit : 9 7 = ( a b ) ( a 5b) 9 = a b t 7 = a 5b Du polyôms égau ot ds cofficits égau a b = 9 () Ls ombrs a t b sot ls solutios du systèm liéair a 5b = 7 () Résolvos-l par substitutio D l'équatio (), o déduit : b = 9 a Das l'équatio (), o rmplac b par c qu'il vaut a Il vit : a 5 9 a = 7 9a 5 = 7 9a = 8 a = Par coséqut : b = 9 = 9 6 = Coclusio : pour tout rél [ ;], h 9 7 = = 5 Form décomposé d h b) Lorsqu u st u foctio dérivabl t positiv, u primitiv d u st l ( u ) u La foctio 5 u = 5 y st positiv U primitiv d état égativ sur [ ; ], so opposé ( ) u = = = sur [ ; ] st l ( u) = l ( 5 ) ( ) ( ) = st dérivabl t positiv sur l'itrvall [ ; ] Doc u u La foctio u primitiv d u = u sur l'itrvall [ ; ] st l ( u) l ( ) = Doc u primitiv d h sur [ ; ] st la foctio H l ( 5 ) l ( ) Par suit, l calcul d l'itégral pos plus guèr d problèms h ( )d = H ( ) ( ) = l l 6 l 5 l H( ) H( ) = 6 = l ( 6) l ( 5) l ( ) = l = l 5 5

53 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 5 sur 67 L duièm bac blac L cott C scod bac blac itrvit just avat ls vacacs d Pâqus, u smai après qu l sovit du lycé ut autorisé la rpris ds cours D'u duré d quatr hurs, il était costitué d quatr rcics du bac plus ou mois adaptés Il abordait ls compls, l'itégratio, ls suits t ls équatios différtills Comm l précédt, il était commu au du trmials S L'éocé Prmièr parti : ls caprics du thrmomètr Parti A Soit f la foctio défii sur [ ; [ par : f = ( ) O appll (C) sa courb rpréstativ das u rpèr orthoormé ( O; i, j) ) Etudir la limit d la foctio f O admt qu la foctio qui, à tout rél t appartat à l'itrvall [ ; [, associ y( t ) st solutio d l'équatio différtill : t / ( E ) : y y = ) Vérifir qu la foctio f étudié das la parti A st solutio d l'équatio différtill (E) sur l'itrvall [ ; [ ) O s propos d démotrr qu ctt foctio f st l'uiqu solutio d l'équatio ; qui prd la valur à l'istat différtill (E) sur l'itrvall [ [ a O ot g u solutio qulcoqu d l'équatio différtill (E) sur l'itrvall [ ; [ tll qu g ( ) = Motrr qu la foctio g f st solutio sur [ ; [ d l'équatio différtill ( E' ) : y y = b Résoudr l'équatio différtill c Coclur E' ) Au bout d combi d tmps la tmpératur d ctt réactio chimiqu rdscd-ll à sa valur iitial? L résultat sra arrodi à la miut ) Etudir ls variatios d f t drssr so tablau d variatios ) Motrr qu l'équatio f = admt u uiqu solutio α das l'itrvall ] ; [ Dor u valur approché d α à ) Tracr la courb (C) près f d 5) E ffctuat u itégratio par partis, calculr l'itégral I Parti B O ot y( t ) la valur, dgrés Clsius, d la tmpératur d'u réactio chimiqu à l'istat t, t état primé hurs La valur iitial, à l'istat t = st y( ) = = La valur θ dgrés Clsius d la tmpératur moy à ctt réactio chimiqu durat ls trois prmièrs hurs st la valur moy d la foctio f sur l'itrvall ; [ ] Calculr la valur act d θ, puis dor sa valur approché arrodi au dgré Scod parti : sas compl fac au compls Prmièr parti O cosidèr das l'smbl ds ombrs compls l'équatio suivat : ( E ) z z 6 = ) Motrr qu st solutio d (E), puis qu (E) put s'écrir sous la form : z az bz c = où a, b t c sot trois réls qu l'o détrmira ) E déduir ls solutios d (E) sous form algébriqu, puis sous form potill

54 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 5 sur 67 Duièm parti L pla compl st mui d'u rpèr orthoormé ( O; i, j) ) Détrmir la limit lorsqu td vrs d f ( ) Qu put-o déduir pour la foctio f? ) Placr ls poits A, B t D d'affs rspctivs : za = i z B = z D = i ) Calculr l'aff z C du poit C tl qu ABCD soit u parallélogramm Placr C ) Soit E l'imag d C par la rotatio d ctr B t d'agl la rotatio d ctr D t d'agl π a Calculr ls affis ds poits E t F, otés rspctivmt z E t z F b Placr ls poits E t F zf za ) a Vérifr qu = i ze za b E déduir la atur du triagl AEF π t F l'imag d C par 5) Soit I l miliu d [EF] Détrmir l'imag du triagl EBA par la rotatio d ctr I π t d'agl Troisièm parti : ds qustios d cours qui y tourt La foctio st défii sur l'itrvall [ ; [ par : f ( ) = ( ) ) Complétr ls propriétés suivats : l lim = f = l si > l = lim l = E utilisat ls du propriétés ci-dssus, prouvr qu ) Détrmir la limi lorsqu td vrs d f ( ) ) a Rapplr la défiitio d la dérivabilité d'u foctio u rél a b La foctio f st-ll dérivabl? O justifira sa répos Drièr parti : l pu d'u suit d'itégrals O cosidèr la suit d'itégrals ( I ) défii pour tout tir aturl par : π / 6 = si d π / 6 I = si d = 9 ) a Calculr I b Motrr qu ) Sas calculr l'itégral I : π / 6 I = si ( )d a Motrr qu la suit ( I ) st décroissat Prouvr qu pour tout tir aturl, I Qu put-o déduir pour la suit ( I )? b Motrr qu pour tout tir aturl o ul, o a l'iégalité : π / 6 I d c E déduir la limit d la suit ( I ) ) a E ffctuat du itégratios par partis succssivs, motrr qu : π I = I 9 6 Pour tout tir aturl, b Calculr I t I

55 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 55 sur 67 L corrigé Prmièr parti : ls caprics du thrmomètr Parti A A) Quad td vrs, s' va vrs t Doc vrs td vrs Aisi, f st u form idétrmié du typ ;, ous pouvos écrir : Modifios l'écritur d f ( ) Pour tout rél [ [ Il vit alors pour tout rél [ ; [ : f = uv = u v v u = ( ) = ( ) [ 5] = = ( 5) L'potill st toujours strictmt positiv L factur affi 5 s'aul =, 5 Par coséqut, l tablau d variatio d f st l suivat : t f = = = = Quad td vrs, la quatité t = td aussi vrs t t Or d'après u résultat du cours : lim = Doc t t Coclusio : t t E posat t= / lim = lim f = = Par coséqut, l'a ds abscisss st u asymptot à la courb (C) au voisiag d U autr voi : pour tout rél [ ; [ o put écrir qu Comm d'après u résultat du cours : lim = Doc = = / lim = = / = sot dérivabls sur alors A) Comm ls foctios u = t v il va d mêm pour lur produit Doc f st dérivabl sur l'itrvall [ ; [ D plus, ous avos : u = v = = = 5 / f f / Pour complétr l tablau précédt, o calcul ls imags d t,5 par la foctio f f = = = = f = = = Das l'éocé, il était idiqué qu f était sulmt défii sur l'itrvall ] [ ; E fait, ll l'st (au mois) aussi

56 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 56 sur 67 A) Comm la foctio f st dérivabl sur l'itrvall [ ; [ alors ll y st cotiu Nous pouvos écrir : Comm f st strictmt croissat sur l'itrvall ] ;,5 [ t qu'll y pass d à / I = ( ) d,75 qui st strictmt supériur à 8, alors l'équatio f = 'a aucu u v solutio das ct itrvall,75 Comm f st strictmt décroissat sur l'itrvall [,5; [ passat d à, / / = ( ) ( ) ( ) d alors l'équatio f = a u uiqu solutio α das ct itrvall u u v v Coclusio : l'équatio f = a u uiqu solutio α das l'itrvall ] ; [ A / / / / l'aid d la calculatric, o trouv :,67 α,67 Doc α,67 = d = ( ) A) La courb (C) rpréstat la foctio f st la suivat : / / / = 8 8 = 5 (C) Parti B B) Pour tout rél t [ ; [, ous pouvos écrir : t / t / f ( t ) f ( t) = ( t 5 ) ( t ) t / = t 5 t 5 = 5 t / E : y y = Coclusio : la foctio f st u ds solutios d l'équatio t / A5) Si ous voulos itégrr par partis l'itégral I l dgré du polyôm u = v = 5 u = l dérivat Pour c fair, ous posos : / v = / Asymptot au voisiag d α = f d, il ous faut dimiur Ls foctios u t v sot clairmt dérivabls sur l'itrvall [ ; ] Ba) Si la foctio g défii sur l'itrvall [ ; [ st u solutio d (E), alors pour = t / tout rél t [ ; [, o a : g ( t ) g ( t) Par coséqut, ous pouvos écrir qu pour tout rél t [ ; [ ( g f ) ( t ) ( g f )( t) = g ( t) f ( t ) g ( t ) f ( t) : t / t / = g ( t ) g ( t) f ( t ) f ( t) = E = Car f st u solutio Coclusio : si g st u solutio d (E), alors g f st u solutio d (E') Bb) Ls solutios d l'équatio différtill ls foctios d la form d E' : y y = y = y sot t C où C st u costat à détrmir

57 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 57 sur 67 Bc) Soit g u solutio d l'équatio (E) E applicatio ds du qustios II) Après la factorisatio précédt, l'équatio (E) s résout sas problèm précédts, ous pouvos écrir qu pour tout rél t [ ; [ : ( z )( z z 8) = z = ou z z 8 = t / t / g ( t) f ( t) C = d ' où g ( t) = f ( t) C l'u d ss facturs l'st U produit st ul g f solutio d ( E' ) Pour résoudr l'équatio du scod dgré z z 8 =, calculos so discrimiat Or ous savos qu g ( ) = f ( ) = Par suit : g ( ) = f ( ) C doc C = = 8 = 6 = 6 z z 8= Autrmt écrit, pour tout rél t [ ; [, o a : g ( t) = f ( t) Comm so discrimiat st égatif, l'équatio z z 8 = admt du solutios t / compls t cojugués y y = Coclusio : l'équatio différtill admt u uiqu solutio i 6 i i 6 i z = = = i z = = = i y( ) = Coclusio : l'équatio du troisièm dgré (E) admt das trois solutios : ; i sur l'itrvall [ ; [ Il s'agit d la foctio f t i Mais u sul das B) La tmpératur d la réactio rdscd à la valur iitial C lorsqu f ( t) = L modul du rél st t l'u d ss argumts st Doc : D'après la qustio IA, ctt équatio admt du solutios : t α,67 = Form Coclusio : la tmpératur rdscd à la valur iitial au bout d,67 hurs c'st-àdir hurs t miuts viro potill Pour trouvr l'écritur potill d la solutio i, calculos so modul B) La valur moy d la foctio f sur l'itrvall [ ; ] st doé par :,5 θ = f ( )d = I = 6, 97 D'après IA5 Coclusio : la tmpératur moy sur ls trois prmièrs hurs st d 7 C Scod parti : sas compl fac au compls Prmièr parti I) Comm 6 = =, alors st u solutio d l'équatio (E) Doc l polyôm z z 6 st factorisabl par z Effctuos la factorisatio! z z 6 = z z z z 6 = z z z 6 = z z z z 8z 6 = z z z z 8z 6 = z ( z ) z ( z ) 8 ( z ) = z z z 8 Voilà l factur commu Par coséqut : i = = = 8 = = π π π i i = cos si i = = i Form potill Efi, la solutio i état l cojugué du ombr compl i, ll a doc mêm modul qu clui-ci mais ss argumts sot opposés Doc i π st u argumt d i Fialmt : π Duièm parti II) La figur dmadé st cll s trouvat sur la pag suivat i = Ecritur potill II) L'appartac à u parallélogramm put s traduir par u égalité vctorill ABCD st u parallélogramm AB = DC z = z AB DC Du vcturs égau ot ds affis égals zb za = zc zd zc = zb zd z A Arrivé Départ zc = i i = i

58 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 58 sur 67 IIa) Calculos l quotit compl dmadé : zf za ( 6 ) ( ) 6 8 = i i = i i = i F ze za 6 ( i) 6 i 8 i zf za Comm i ( 8 i ) = 8 i i = 8 i, alors l quotit st bi égal à i ze za C A D j O I π i π π II) Si l poit E st l'imag d C par la rotatio d'agl t d ctr B, alors : π i z E zb = ( zc zb ) d 'où ze = i ( i ) d 'où ze = i i d 'où ze = d 'où ze = 6 D mêm, si F st l'imag du poit C par la rotatio d ctr D t d'agl π, alors : π i z F zd = zc zd d 'où zf = ( i) i ( i) ( i) d 'où z ( i) = i ( i) F B i i i d 'où zf = = 6 E IIb) L quotit calculé à la qustio précédt prmt d'affirmr : z D'abord : F za π ( AE,AF) = arg = arg ( i) = modulo π ze za Agl orité Doc ls droits (AE) t (AF) sot prpdiculairs Autrmt dit, l triagl AEF st rctagl A AF zf za z Esuit : F z = = A = i = AE ze za ze za Doc ls côtés [AF] t [AE] ot ds loguurs égals AEF st isocèl A Coclusio : l triagl AEF st u triagl isocèl rctagl (dirct) A II5) Commços par calculr l'affi du poit I qui st l'isobaryctr ds poits E t F ze zf 6 ( 6 i ) 6 i zi = = = = i π A prést, détrmios l'prssio compl d la rotatio r d ctr I t d'agl π M' d'affi z' st l'imag d M i z ' z I = ( z zi ) d'affi z par la rotatio r z ' = i z i i Doc u prssio compl d la rotatio r st : z ' = iz i i = iz i r z = iz i A prést, ous pouvos calculr ls affis ds imags ds poits E, B t A par la rotatio r r z = i z i = 6 i i = i = z E E A Doc l'imag du poit E par la rotatio r st l poit A r z = i z i = i i = i = z B B D Doc l'imag du poit B par la rotatio r st l poit D

59 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 59 sur 67 r za = i i i = i i = 6 i = z za Doc l'imag du poit A par la rotatio r st l poit F Coclusio : l'imag du triagl EBA par la rotatio r st l triagl ADF Troisièm parti : ds qustios d cours qui y tourt ) Das l cours, il a été établi : l lim = t l = l A prmièr vu, lorsqu td vrs, l produit l ( ) st u form idétrmié du typ ( ) Nous allos lvr cll-ci par u astuc Pour tout rél ] ; [, o appll t l'ivrs d O a doc : t = = t L produit précédt s'écrit doc : l ( t) l = l l ( t) t t = = t t Lorsqu td vrs, so ivrs t td vrs = Alors l t td vrs t l ( t) Coclusio : lim l = lim = = t t L'objt d ct rcic : la cotiuité t la dérivabilité d la foctio f sur [ ; [ ; : La foctio f st défii par morcau sur l'itrvall [ [ D'abord, o défiit l'imag d : f ( ) = Esuit sur l rst d l'itrvall : pour tout >, f ( ) = l ;, ous pouvos dir qu la foctio f y st D'après so prssio sur la parti ] [ dérivabl t doc cotiu Maitat, o igor c qu'il advit d la cotiuité t d la dérivabilité d f (E fait, à droit d ) C'st l'objt du rst d ct rcic ) Pour tout rél ] ; [, ous pouvos écrir : f ( ) = l l = F Lorsqu td vrs, ls quatités t l ( ) tdt aussi vrs Aisi : lim f = = = f ( ) Comm lim f = f ( ), o déduit qu la foctio f st cotiu à droit d ) Quad s' va vrs, ls quatités lim f = ( ) ( ) = ( ) ( ) = t l ( ) tdt lls aussi vrs ) Dir qu la foctio f st dérivabl a sigifi qu la limit lorsqu h td vrs du f ( a h) f ( a) quotit ist t st fii h f ( h) f ( ) Afi d savoir si f st dérivabl, étudios la limit du quotit h lorsqu h td vrs N'oublios pas qu la foctio f 'st défii qu'à droit d Pour tout rél h >, ous pouvos écrir : f h f f h f h l ( h) h l ( h) = = = h h h h = h l ( h ) h hl ( h) = Or lorsqu h td vrs, la quatité hl ( h ) td vrs d'après la qustio f ( h) f ( ) Coclusio : comm lim = =, alors la foctio f st dérivabl à h f = droit d t l ombr dérivé d f à droit d st égal à Autrmt dit : Drièr parti : l pu d'u suit d'itégrals Rappl d la primitiv d'u composé f st u foctio dot u primitiv sur u itrvall J st u foctio F Si u : I J st u foctio défii t dérivabl sur u itrvall I t à valurs das J u f u F u alors u primitiv d sur l'itrvall I st la foctio

60 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 6 sur 67 = = sur st la a) U primitiv d la foctio si ( ) si ( ) u f ( u) foctio F( u) cos ( ) cos = ( ) = Par suit : π / 6 π / 6 cos( ) cos ( π / ) cos ( ) I = si ( )d = = = = b) Pour calculr I, ous allos procédr à u itégratio par partis posat : u = doc u = v = si ( ) doc v cos = où u t v sot du foctios clairmt dérivabls sur doc sur [ ; π / 6] Aisi : π / 6 π / 6 π / 6 cos cos I = si ( )d = d u v π / 6 π / 6 π cos π / cos = cos( )d = cos( )d 6 = = U primitiv d la foctio cos ( ) = cos( ) sur st π / 6 u π / 6 f u si F u = si si π / si I = cos ( )d = = = = 9 a) Avat tout chos, établissos u résultat qui ous srvira par la suit : π π π Si alors doc = si ( ) si ( ) si 6 = Car sius st croissat sur l'itrvall [ ; π / ] Soit u tir aturl qulcoqu Nous pouvos écrir : π Si alors doc si ( ) si ( ) 6 O a multiplié l'iégalité par l rél positif si( ) t si( ) sot positifs car [ ; π / 6 ] π Ctt iégalité st valabl pour tout ; 6 Itégros-la sur ct itrvall Il vit : π / 6 π / 6 π / 6 d si ( )d si ( )d I I Coclusio : l'iégalité précédt I I ous prmt d coclur : Comm pour tout ous avos I I, alors la suit ( I ) st décroissat Comm pour tout ous avos I, alors la suit Comm la suit ( I ) st décroissat t mioré par (car positiv ou ull) alors ll st covrgt Mais il srait prématuré d'affirmr qu sa limit st I st positiv ou ull b) Soit u tir aturl qulcoqu Nous avos établi précédmmt : π Si alors si ( ) doc si ( ) 6 O a multiplié par l rél positif ou ul π Itégros ctt drièr iégalité sur l'itrvall ; 6 où ll st valabl Il vit : π / 6 π / 6 π / 6 π / 6 d si d d I d c) Pour établir la limit d la suit, ous dvos calculr la valur d l'itégral : π / 6 π / 6 π π d = = 6 = 6 π Doc pour tout tir aturl, ous avos : I 6 π π alors la suit géométriqu 6 6 td vrs comm la suit Comm ] ;[ π Doc lim = = 6 Coclusio : comm la suit ( I ) st coicé tr t u suit qui y va, alors applicatio du théorèm ds gdarms la limit d la suit ( I ) st égal à

61 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 6 sur 67 a) Pour tout tir aturl, ous pouvos écrir : π / 6 π / 6 π / 6 cos( ) cos( ) I = si ( )d = ( ) d u v u v Prmièr itégratio par partis π / 6 π = cos( )d 6 u v = = Scod itégratio par partis π / 6 π / 6 si ( ) si ( ) = ( ) d u v π / 6 π = si ( )d 6 I ( ) I π π = = b) Calculos ls troisièm t quatrièm d la suit ( I ) π π = = = I I I π π = = = 8 I I I 9 6 8

62 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 6 sur 67 d) Démotrr qu la droit (NG) 'st pas parallèl au pla (APH) Détrmir ls coordoés du poit I qui st l'itrsctio d la droit (NG) t du pla Dvoir Survillé No (APH) Costruir c poit I sur la figur L cott C quatrièm t drir dvoir d du hurs ut liu à la mi-mai 6 Il abordait l déombrmt, ls probabilités discrèts t cotius aisi qu'u parti d la géoémtri das l'spac Pour ct au rvoir, mo diaboliqu crvau coçut trois rcics rmarquabls plus ou mois das l'sprit du bac Ls calculatrics était autorisés G H L'éocé D C Prmièr parti : u bo pla pour u bo droit Sur la figur ci-cotr, ABCDEFGH st u cub dot tous ls côtés msurt ctimètrs O appll O l ctr du carré ABEF O ot P l miliu du sgmt [BE] L poit N st défii par la rlatio vctorill : AN = AB Ls vcturs i, j t k qui ot pour orm ctimètr, sot défiis par : FA AB AD i = j = k = Das l prést rcic, ous travaillros das l rpèr orthoormé ( O; i, j,k) a) Complétr la figur ci-cotr idiquat ls coordoés das l rpèr ( O; i, j,k) d tous ls poits y apparaissat F k O i j P E b) Démotrr qu l vctur st orthogoal au vcturs AH t AP Pourquoi l vctur st-il u vctur ormal du pla (APH)? Détrmir u équatio cartési du pla (APH) A N B c) Détrmir u rpréstatio paramétriqu d la droit (NG)

63 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 6 sur 67 Scod parti : ri va plus! ) Démotrr qu l'spérac mathématiqu d la variabl aléatoir X st : La Blacois ds Ju vit d lacr so ouvau produit : l Phyltophryk Epliquos 97m E ( X) = l pricip d c ouvau ju 5 Pour participr, l jouur acquitt u mis d m uros Das u cès d géérosité, la Blacois ds Ju décid qu l Phyltophryk doit êtr U ur cotit u boul oir, du bouls vrts t quatr bouls blachs Touts u ju équitabl A combi doit-ll fir la mis pour qu'il soit aisi? cs bouls sot idiscrabls au touchr L jouur tir au hasard t simultaémt u poigé d du bouls f) U jouur décid d jour spt fois d suit au Phyltophryk O suppos qu chaqu Si l'u ds du bouls tirés st la boul oir, alors l jouur gag ri parti st idépdat ds autrs Calculr la probabilité qu'il gag actmt trois Par cotr, si l jouur tir du bouls vrts alors il gag ciq fois sa mis d'tr lls O dora l résultat sous la form d'u valur approché arrodi au Si la poigé comprd qu'u sul boul vrt t pas la boul oir, alors l jouur a millièm près droit à u scod chac Il tir alors u troisièm boul parmi clls rstat das l'ur Si ctt troisièm boul st vrt alors il gag ciq fois sa mis Sio il st rmboursé d sa mis Efi si ls du bouls tirés sot blachs, alors la Blacois ds Ju rmt géérusmt au jouur u chèqu d uro O ot : V l'évémt "ls du bouls d la poigé sot vrts" V l'évémt "la poigé compt u sul boul vrt mais pas la boul oir" B l'évémt "ls du bouls d la poigé sot blachs" N l'évémt "u ds du bouls d la poigé st la boul oir" G l'évémt "l jouur a gagé ciq fois sa mis" Das l prést rcic, u grad atttio sra accordé à la qualité d la rédactio aisi qu'à la clarté ds plicatios O pourra fair u arbr podéré pour bi comprdr la situatio a) Calculr ls probabilités ds évémts N, B, V t V Drièr parti : l prof s'appll machi! Afi d rmplacr ls profssurs d mathématiqus qui partt à la rtrait, l Miistèr d l'educatio Natioal a décidé d'acquérir u ouvau typ d'sigat : l Roboprof U orgaism cybrétiqu capabl d'sigr hurs sur, d démotrr tous ls théorèms istats t d résoudr tous ls rcics au programm U Trmiator ds maths qulqu sort Mais comm touts ls machis, ls Roboprofs puvt tombr pa Ls Roboprofs 'état pas réparabls, cu qui tombt pa sot irrémédiablmt prdus O désig par X la duré d vi primé mois d'u Roboprof X st u variabl aléatoir cotiu prat ss valurs das l'itrvall [ [ La loi d probabilité d X st u loi potill d paramètr λ Ls probabilités doés srot arrodis au millièm près ; a) Dor l'prssio d la dsité d probabilité f d la variabl aléatoir cotiu X aisi qu so smbl d défiitio b) Calculr la probabilité d l'évémt G sachat qu l'évémt V st réalisé Démotrr qu la probabilité d l'évémt G st égal à 5 c) O sait qu l jouur a gagé ciq fois sa mis Calculr la probabilité qu'il ait tiré du bouls vrts au prmir tirag O appll X la variabl aléatoir doat l gai brut du jouur d) Qulls sot ls valurs priss par la variabl aléatoir X? Dor la loi d probabilité d la variabl aléatoir X b) Sachat qu la probabilité qu'u Roboprof tomb pa durat la prmièr aé st égal à,, détrmir u valur approché à près du paramètr λ Das la suit d l'rcic, o admttra qu λ =, c) Calculr la probabilité qu'u Roboprof ait u duré d vi supériur à trois as d) Sachat qu'u Roboprof a déjà foctioé trois as, calculr la probabilité qu sa duré d vi soit ifériur ou égal à ciq as

64 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 6 sur 67 L corrigé Prmièr parti : u bo pla pour u bo droit a) La figur complété st la suivat : G(- ; - ; ) H(- ; ; ) AP = = = = Comm lur produit scalair st ul, alors t AP sot orthogoau Ls vcturs AH t AP sot du vcturs o coliéairs du pla (APH) Comm l vctur o ul lur st orthogoal, alors il st orthogoal à tous ls vcturs v cotus das c pla Doc st u vctur ormal du pla (APH) D( ; - ; ) F(- ; - ; ) C( ; ; ) I(/7 ; -/7 ; /7) E(- ; ; ) k O( ; ; ) i P( ; ; ) j L pla (APH) st l'smbl ds poits M d l'spac tls qu l vctur AM soit orthogoal au vctur Par coséqut : M ( ; y;z) pla ( APH) Ls vcturs AM y t sot orthogoau z (APH) AM = y = z A M y z = y z = y z = Coclusio : u équatio cartési du pla (APH) st y z = Not : touts ls autrs s'obtit multipliat ls cofficits par u mêm rél A( ; - ; ) N( ; ; ) B( ; ; ) b) Pour savoir si st orthogoal au vcturs AH t AP, ous allos calculr lurs produits scalairs rspctifs Comm ous travaillos das l rpèr orthoormé ( O; i, j,k) alors cs produits scalairs s'primt foctio ds coordoés ds vcturs AH = = ( ) = 8 = Somm ds produits d chaqu coordoé Lur produit scalair état ul, ls vcturs t AH sot orthogoau c) La droit (NG) st l'smbl ds poits M d l'spac tls qu l vctur NM soit coliéair au vctur NG M ( ; y; z) droit ( NG) Ls vcturs NM y t NG sot coliéairs z Il ist u rél t tl qu NM = tng = t Il ist u rél t tl qu y = t z = t

65 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 65 sur 67 = t Il vit alors : M ( ; y;z) droit( NG) Il ist u rél t tl qu y = t 7 9 I = = = yi = = = zi = = z = t Coclusio : u rpréstatio paramétriqu d la droit (NG) st : Coclusio : l poit d'itrsctio I a pour coordoés = t ; ; y = t avc t C poit I s trouv au trois sptièms du sgmt [NG] à partir d N car NI = NG z = t 7 Et c das la réalité comm sur la prspctiv cavalièr où ls rapports d loguurs sot présrvés C'st aisi qu'o l trac d) Pour qu la droit (NG) soit parallèl au pla (APH), il faut t il suffit qu'u vctur dirctur d la prmièr soit orthogoal à u vctur ormal du scod Rgardos si ls vcturs NG t sot orthogoau calculat lur produit scalair NG = = (APH) Et si (NG) était parallèl au pla (APH)? = 8 = 7 Coclusio : comm lur produit scalair st o ul alors l vctur dirctur NG 'st pas orthogoal au vctur ormal Doc la droit (NG) 'st pas parallèl au pla (APH) Cu-ci sot doc sécats t lur itrsctio st u poit qu l'o ot I Comm d'habitud, applos ( I; y I;z I ) ls coordoés d c poit I Comm l poit I appartit à la droit (NG) alors ss coordoés vérifit la I = ti rpréstatio paramétriqu Autrmt dit, il ist u rél t I tl qu yi = ti zi = ti D plus, comm l poit I appartit aussi au pla (APH) alors ls coordoés du prmir sot solutios d l'équatio cartési du scod Aisi : y z = t t t = NG I I I I I I 8tI ti ti = 7 7tI = 7tI = ti = = 7 (NG) Scod parti : ri va plus! La clé d ct rcic st d bi comprdr la situatio D'abord, comm touts ls bouls sot idiscrabls au touchr t qu ls tirags s fot au hasard alors ous somms situatio d'équiprobabilité Esuit, l jouur tir u poigé ou u combiaiso d du bouls C'st u tirag sas ordr t simultaé Nous mploiros ls "p parmi " Efi, si ctt poigé s costitu d'u boul vrt t d'u boul blach, alors l jouur tir u troisièm boul La situatio put êtr rprésté par l'arbr podéré suivat : O tir simultaémt du bouls / 8/ /7 /7 V O a tiré du vrts V O a tiré u vrt t u blach B O a tiré du blachs N O a tiré la boul oir L'évémt G st alors réalisé /5 /5 G O a tiré la vrt G O tir alors u troisièm boul parmi ls ciq rstat das l'ur : u vrt, trois blachs t u oir

66 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 66 sur 67 a) Calculos ls probabilités ds évémts dmadés L'évémt N st réalisé lorsqu la poigé st costitué d la boul oir t d'u ds si autrs bouls Aisi : 6 Nombr d poigés "u oir u autr" 6 6 p( N) = = = = = Nombr d poigés total 7 7 L'évémt B st réalisé lorsqu la poigé st costitué d du bouls blachs à choisir parmi ls quatr présts das l'ur Doc : Nombr d poigés "du blachs" 6 p( N) = = = = Nombr d poigés total 7 7 L'évémt G s réalis : soit lorsqu l'évémt V s réalis soit lorsqu l'évémt V s'st réalisé t qu la troisièm boul tiré par l jouur st vrt Par coséqut : p( G) = p( V ) p( V G) = p( V ) p( V ) pv ( G) = = = c) L'évémt V st iclus das l'évémt G Par coséqut : ( V ) pg ( ) p G V p V 5 p G p G 5 = = = = = 5 5 = L'évémt V st réalisé lorsqu la poigé st costitué d'u sul boul vrt t d'u autr boul qui put êtr blach Par coséqut : Nombr d poigés "u vrt u blach" 8 p( V) = = = = Nombr d poigés total 7 L'évémt V st réalisé lorsqu la poigé st costitué ds du bouls vrts Nombr d poigés "du vrts" p( V) = = = Nombr d poigés total 7 b) Lorsqu l'évémt V st réalisé, il rst das l'ur ciq bouls : u boul vrt, trois blachs t la oir L jouur tir alors u troisièm boul Pour qu'alors l'évémt G s réalis, il faut qu l jouur tir la sul boul vrt Par coséqut : pv ( G) = p( G sachat V ) = 5 d) L gai brut corrspod à la somm qu gag l jouur L gai t st la différc tr l gai brut t la mis m du jouur C sot ls bééfics du ju qulqus sorts Ls gais bruts X possibls sot : 5m ; m ; t uros La loi d probabilité d la variabl aléatoir X st la suivat : Valur d X m 5 m Evémt corrspodat N B V G G Total Probabilité / 7 8 / /5 /5 ) Calculos l'spérac mathématiqu d la variabl aléatoir X m 65m 97m E ( X) = m 5m = = Somm ds probabilité valur d X U ju st équitabl lorsqu l'spérac d gai brut st égal à la mis Aisi : 97m L ju st équitabl E( X) = m = m 97m = 5m 5 = 8m m = =, 75 8 Coclusio : pour qu l Phylthophryk soit équitabl, la mis doit êtr fié à,75

67 Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 67 sur 67 f) Chaqu parti d Phylthophryk st assimilabl à u épruv d Broulli où la qustio st d savoir si l'évémt G s réalis Ls spt partis succssivs d Phylthophryk costitut u schéma d Broulli à spt épruvs O appll N la variabl aléatoir comptat l ombr d partis gagés par l jouur sur ls spt N prd touts ls valurs tièrs compriss tr t 7 Sa loi d probabilité st la loi biomial d paramètr = 7 t p = 5 Il gag actmt trois partis lorsqu N = Par suit : P( N = ) =, 9 = Coclusio : l jouur a mois d quatr pourcts d chac d gagr actmt trois partis sur ls spt auqulls il jou Drièr parti : l prof s'appll machi! a) La loi d probabilité d X état u loi potill d paramètr λ, la dsité d probabilité d X st la foctio f défii sur l'itrvall [ ; [ par : f ( ) = λ λ U primitiv d la foctio f ( ) λ sur l'itrvall [ ; [ st = λ u u λ b) Nous savos qu la probabilité qu l'apparil tomb pa au cours d prmirs mois c'st-à-dir qu X apparti à l'itrvall [ ; ] st d, Par coséqut : ( [ ]) λ p X ; =, f d =, =, λ λ λ =, =, λ λ Du réls positifs égau ot u =, 7 =, 7 λ = l, 7 l,7 λ =, 97 L jouur gag-t-il ctt parti? /5 9/5 G G ds logarithms égau c) Désormais, la dsité d probabilité d la variabl aléatoir cotiu X à valurs st la foctio f défii sur [ ; [ par : dot u primitiv st,, =, f Calculos la probabilité qu'u Roboprof ait u duré d vi supériur à trt-si mois c'st-à-dir la probabilité qu X apparti à l'itrvall [ 6; [ 6 6, p( X [ 6; [) = p( X [ ;6[ ) = f ( )d = Evémt cotrair,8,8 = =, Coclusio : la probabilité qu'u Roboprof srv plus d trois as st d'viro, d) Calculos la probabilité qu la duré d vi d'u Roboprof soit ifériur à ciq as X [ ;6] sachat qu 'il a déjà foctioé trois aés X [ ; [ ( [ ] [ [) ( [ [) ( [ ]) ( [ [) p X ; 6 6; p X 6; 6 p( X [ ;6 ] sachat X [ 6; [) = = p X 6; p X 6; Nous coaissos déjà l déomiatur Calculos l umératur 6 p X 6; 6 = f d ( [ ]) 6 6,,8,8,8,8 = = ( ) ( ) = 6 La probabilité coditioll dvit alors :,8,8 p( X [ ;6 ] sachat X [ 6; [) =,8,8,7 = =, 5,8 Coclusio : u Roboprof qui a foctioé déjà trois aés a mois d'u chac sur du d dépassr so ciquièm aivrsair