Externat Notre Dame Bac Blanc n 1 (Tle S) janvier Proposition de corrigé

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1 Exterat Notre Dame Bac Blac Tle S) javier 06 durée : 4 h Propositio de corrigé calculatrice autorisée Das tout ce devoir, la qualité de la rédactio et le soi serot pris e compte das la otatio. Les exercices pourrot être traités das l ordre de votre choix. Bie idiquer les uméros des exercices Les élèves suivat l eseigemet de Spécialité rédigerot l exercice qui leur est réservé sur ue feuille à part. Exercice : Commu à tous les cadidats L espace est mui d u repère orthoormé O, ı, j, ) k. O cosidère les poits A ; ; 5), B ; 6 ; 4) et C7 ; 0 ; 8). / 3 poits. Les poits A, B et C défiisset-ils u pla? répose à justifier) O va étudier la coliéarité des vecteurs AB et AC e détermiat leurs coordoées : AB = ; 4 ; ) et AC = 6 ; ; 3) ; o a doc : AC = 3AB Les vecteurs état coliéaires, les poits A, B et C sot aligés et e défiisset doc pas de pla.. Détermier ue équatio paramétrique de paramètre t) de la droite AB). Mx ; y ; z) AB) AM et AB sot coliéaires il existe u réel t tel que AM = t. AB x x = t x = t y = t 4 y = 4t y = + 4t z 5 z 5 = t z = 5 t x = t AB) a pour représetatio paramétrique y = + 4t avec t R. z = 5 t 3. Soit P le pla d équatio paramétrique de paramètres u et v) x = 3 + u y = v z = 5 u Détermier AB) P. Mx ; y ; z) AB) P O résout t = 3 + u + 4t = v 5 t = 5 u x = t y = + 4t z = 5 t x = 3 + u et y = v z = 5 u La derière lige doe : t = u et e remplaçat u par t das la première lige, o obtiet : t = 3 Esuite, e remplaçat t par sa valeur das l équatio paramétrique de la droite AB), o obtiet : x = 7 3, y = 3 et z = Coclusio : la droite AB) et le pla P se coupet au poit M de coordoées 3 ; 3 ; 7 ) 3

2 Exercice : / poits Commu à tous les cadidats O cosidère le polyôme P défii sur C par Pz) = z 3 + i ) z + + i ) z i.. Motrer que le ombre complexe z 0 = i est solutio de l équatio Pz) = 0. P i ) = i ) 3 + i ) i ) + + i ) i ) i = i i + i 4 i = 0 i est solutio das C de l équatio Pz) = 0.. a. Détermier les réels a et b tels que Pz) = z i ) z + az + b ). Développos : z i ) z + az + b ) = z 3 +az +bz z i azi bi = z 3 + a i ) z + b ai ) z bi. Par idetificatio avec l éocé, o obtiet : a i = i b ai = + i bi = i a = b = b = O a doc Pz) = z i ) z z + ) a = b + i = + i b = b. E déduire les solutios das C de l équatio Pz) = 0. E utilisat la factorisatio précédete : Pz) = 0 z i ) z z + ) = 0 { z i = 0 z z + = 0 O retrouve la racie i ; résolutio de l équatio du secod degré : z z + = 0 z ) + = 0 z ) + = 0 { { z = i z = + i z ) = z ) = i z = i z = i Les solutios sot doc : i, + i, i.

3 Exercice 3 : / 5 poits Commu à tous les cadidats Pour chacue des six affirmatios suivates, idiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la répose. Ue répose o justifiée est pas prise e compte. Ue absece de répose est pas péalisée.. Zoé se red à so travail à pied ou e voiture. Là où elle habite, il pleut u jour sur quatre. Lorsqu il pleut, Zoé se red e voiture à so travail das 80 % des cas. Lorsqu il e pleut pas, elle se red à pied à so travail avec ue probabilité égale à 0,6. Affirmatio o : «Zoé utilise la voiture u jour sur deux.» Affirmatio o : VRAIE Arbre de probabilités : 0,8 V Pl 0,5 0, P. V 0,75 0,4 Pl 0,6 P Pl : il pleut ; V : e voiture ; P : à pied O cherche pv ) : pv ) = pv Pl) + pv Pl) = p Pl V ) ppl) + p Pl V ) ppl) = 0,8 0,5 + 0,4 0,75 = 0,5 «Zoé utilise la voiture u jour sur deux.» Affirmatio o : «Si Zoé arrive à so travail à pied, la probabilité qu il pleuve ce jour là est égale à 0,.» Affirmatio o : FAUSSE PP Pl) 0,5 0, Il s agit de calculer P P Pl) ; o a : P P Pl) = = = 0, PP) 0,5. Das l esemble E des issues d ue expériece aléatoire, o cosidère deux évèemets A et B. Affirmatio o 3 : «Si A et B sot idépedats, alors A et B sot aussi idépedats.» Affirmatio o 3 : VRAIE A et B sot idépedats sigifie que pa B) = pa) pb) : pa) = pa B) + pa B) = pa) pb) + pa B) = pa B) = pa) pa) pb) = pa) pb) ) = pa) pb) 3. O sait que 39 % de la populatio fraçaise est du groupe sagui A+. O cherche à savoir si cette proportio est la même parmi les doeurs de sag. O iterroge 83 doeurs de sag et parmi eux, 34 % sot du groupe sagui A+. Affirmatio o 4 : «O e peut pas rejeter, au seuil de 5 %, l hypothèse selo laquelle la proportio de persoes du groupe sagui A+ parmi les doeurs de sag est de 39 % comme das l esemble de la populatio.» Affirmatio o 4 : VRAIE

4 Comme 0, < p < 0,8, o peut utiliser la formule doat l itervalle de fluctuatio : [ p ; p + ] ; cela doe ici valeurs approchées au cetième) : [0,3 ; 0,46] : comme 0,34 appartiet à cet itervalle, rie e permet de rejeter l hypothèse doat ue proportio égale à 39 % de persoes du groupe A+ au sei de la populatio. Autre méthode avec la loi biomiale : o s atted, sur 83 persoes, à avoir eviro 7 qui sot du groupe A+ 39 % de 83) ; comme o e a que 34 % soit eviro 6 persoes), o va se demader si 6 est iférieur ou pas à la bore iférieure de l itervalle de fluctuatio doé par ue loi biomiale de paramètres = 83 et p = 0,39. Pour cela, o calcule PX 6), où X est ue variable aléatoire suivat ue loi biomiale de paramètres = 83 et p = 0,39. Or, PX 6) 0,09 > 0,05 : cet effectif est bie à l itérieur de l itervalle de fluctuatio ; o a heureusemet!) la même coclusio que précédemmet. 4. Ue ure opaque est composée de deux boules oires et d ue boule rouge, idiscerables au toucher. O tire au hasard ue boule das l ure. Si elle est rouge, o la coserve, sio o la remet das l ure et o procède à u ouveau tirage. O ote X la variable aléatoire qui doe le rag de sortie de la boule rouge par exemple, si la boule rouge sort au deuxième tirage, o obtiet X = ). Affirmatio o 5 : «Si o effectue essais, X suit ue loi biomiale de paramètres et p = 3» Affirmatio o 5 : FAUSSE La variable aléatoire X e compte pas u ombre de succès : elle e suit pas ue loi biomiale. Affirmatio o 6 : ) «pour tout etier aturel strictemet positif, PX = ) = 3 3» Affirmatio o 6 : VRAIE 3 N 3 N 3 R. 3 R N : obteir ue boule oire ; R : obteir ue boule rouge Si o obtiet la boule rouge au ième tirage, cela sigifie que l o a obteu que des boules oires aux tirages précédets il y e a eu ). Aisi, o a braches podérées par la probabilité 3 et ue seule celle qui sigifie qu o a obteu la boule rouge au derier tirage) podérée par la probabilité 3 : e multipliat les probabilités iscrites sur les braches, cela doe ue probabilité égale à ) 3 3.

5 Exercice 4 : Commu à tous les cadidats Soit f la foctio défiie sur R par : f x) = e x x.. Émettre ue cojecture sur le sige de f ; expliquer votre démarche. / 5 poits O peut cojecturer, e utilisat ue représetatio graphique, que f 0.. Démotrer votre cojecture. O peut étudier rapidemet cette foctio e dérivat f : f x) = e x ; et doc f est décroissate sur ] ; 0] et croissate sur [0 ; + [ ; elle présete u miimum e 0 égal à f 0) = e 0 0 = 0 et doc pour tout x R, f x) 0 : la cojecture est démotrée. 3. E déduire pour tout etier aturel o ul les iégalités suivates : ) e + ) e + + O utilise le résultat précédet avec x = : e 0 e + De même avec x = + : e + ) 0 e E utilisat l iégalité ), démotrer que pour tout etier aturel o ul + ) e O utilise l égalité ) et o utilise la foctio ) x x qui est croissate sur [0 ; + [ pour obteir l iégalité voulue e remarquat que e = e 5. E utilisat l iégalité ), démotrer que pour tout etier aturel o ul e + ) + O utilise l égalité ) et o utilise la foctio x x + qui est croissate sur [0 ; + [ ; o obtiet : ) e + + ) e + e + ) + ) + ) + + e par iverse) e + ) +

6 6. Déduire des questios précédetes u ecadremet de + ), puis sa limite e +. O a doc questio 4) : + ) e D après la questio 5 : e + ) + e + ) + e + + ) Aisi, e + + ) e Comme e ted vers e quad ted vers +, o coclut par le théorème d ecadremet que : + lim + ) = e + Exercice 5 : Cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité / 5 poits Das u pays de populatio costate égale à 0 millios, les habitats vivet soit e zoe rurale, soit e ville. Les mouvemets de populatio peuvet être modélisés de la faço suivate : e 00, la populatio compte 90 millios de ruraux et 30 millios de citadis ; chaque aée, 0 % des ruraux émigret à la ville ; chaque aée, 5 % des citadis émigret e zoe rurale. Pour tout etier aturel, o ote : u la populatio e zoe rurale, e l aée 00 +, exprimée e millios d habitats ; v la populatio e ville, e l aée 00 +, exprimée e millios d habitats. O a doc u 0 = 90 et v 0 = 30. Partie A. Traduire le fait que la populatio totale est costate par ue relatio liat u et v. La populatio totale est costate et égale à 0 millios doc, pour tout etier aturel, o peut dire que u + v = 0.

7 . O utilise u tableur pour visualiser l évolutio des suites u ) et v ). Quelles formules peut-o saisir das les cellules B3 et C3 qui, recopiées vers le bas, permettet d obteir la feuille de calcul ci-dessous : A B C Populatio e zoe rurale Populatio e ville ,5 37,5 4 76,5 43, ,706 49, ,00 53, , ,857 6, ,09 63, ,65 66, ,58 68, ,844 70, ,367 7, , 7, ,045 73, ,38 74, ,368 75, ,73 76, ,56 76, ,005 79, ,004 79, ,003 79, ,003 79, ,00 79,998 Das B3 o etre la formule =0,9*B+0,05*C. Das C3 o etre la formule =0,*B+0,95*C. 3. Quelles cojectures peut-o faire cocerat l évolutio à log terme de cette populatio? D après les doées du tableur, la suite u ) doc le ombre de ruraux) semble décroitre et tedre vers 40 millios, et la suite v ) doc le ombre de citadis) semble croitre et tedre vers 80 millios. Partie B O admet das cette partie que, pour tout etier aturel, u + = 0,85u a. Démotrer par récurrece que la suite u ) est décroissate. Soit P la propriété u > u +. u 0 = 90 et u = 0,85u 0 = 0, = 8,5 doc u 0 > u La propriété est vraie au rag 0. O suppose la propriété vraie au rag p 0, c est-à-dire u p > u p+. u p > u p+ 0,85u p > 0,85u p+ 0,85u p + 6 > 0,85u p+ + 6 u p+ > u p+ Doc la propriété est vraie au rag p + ; elle est héréditaire. P est vraie au rag 0 et est héréditaire, doc elle est vraie pour tout etier aturel.

8 Pour tout, u > u + doc la suite u ) est décroissate. b. O admet que u est positif pour tout etier aturel. Que peut-o e déduire quat à la suite u )? O a vu que la suite était décroissate. Doc, d après le théorème de la covergece mootoe, la suite u ) est covergete.. O cosidère la suite w ), défiie par : w = u 40, pour tout 0. a. Démotrer que w ) est ue suite géométrique de raiso 0,85. w + = u + 40 = 0,85u = 0,85w + 40) 34 = 0,85w = 0,85w w 0 = u 0 40 = = 50 Doc la suite w ) est géométrique de raiso q = 0,85 et de premier terme w 0 = 50. b. E déduire l expressio de w puis de u e foctio de. D après les propriétés des suites géométriques, pour tout : w = w 0 q = 50 0,85 Comme pour tout, u = w + 40, o peut dire que u = 50 0, c. Détermier l expressio de v e foctio de. } u + v = 0 Pour tout, u = 50 0,85 = v + 40 = ,85 3. Valider ou ivalider les cojectures effectuées à la questio 3. de la partie A. Pour tout, w = 50 0,85 doc w > 0 w + = 0,85w < w et doc la suite w ) est décroissate. Comme pour tout, u = w + 40, la suite u ) est décroissate. w ) est géométrique de raiso 0,85 ; or < 0,85 < doc la suite w ) coverge vers 0. Comme pour tout, u = w + 40, la suite u ) coverge vers 40. Pour tout, v = 0 u et la suite u ) est décroissate, doc la suite v ) est croissate. La suite u ) est covergete vers 40 et, pour tout, v = 0 u, doc la suite v ) est covergete vers 0 40 = O cosidère l algorithme suivat : Etrée : et u sot des ombres Iitialisatio : pred la valeur 0 u pred la valeur 90 Traitemet : Tat que u 0 u faire pred la valeur + u pred la valeur 0,85 u + 6 Fi Tat que Sortie : Afficher a. Que fait cet algorithme? Das cet algorithme, la variable u, iitialisée à 90, représete le terme u, et 0 u représete doc v. O sort de la boucle «tat que» dès que u < 0 u c est-à-dire dès que u < v ; l algorithme affiche doc la plus petite valeur pour laquelle u < v. C est la plus petite valeur de pour laquelle le ombre de ruraux est deveu iférieur au ombre de citadis. b. Quelle valeur affiche-t-il? D après le tableur, u 5 > v 5 et u 6 < v 6 doc la valeur affichée sera 6.

9 Exercice 6 : /5 poits Cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité : exercice à rédiger sur feuille à part Les deux parties sot totalemet idépedates. Partie,5 poits O appelle triplet pythagoricie trois etiers o uls x, y, z vérifiat x + y = z. a. Dresser u tableau avec les cogrueces possibles d u etier N et de so carré, modulo 3. b. E déduire que das u triplet pythagoricie, au mois x ou y est u multiple de 3.. Das cette questio, o pourra admettre que puisque x + y = z avec x, y et z o uls, o a y < z. 3. a. Justifier que das u triplet pythagoricie, y + z divise x. b. E déduire qu il existe pas de triplet pythagoricie avec x =. Remarque : il est pas demadé de le faire, mais avec la même démarche, o pourrait aussi motrer qu il existe pas o plus de triplet pythagoricie avec x =. a. Motrer que si z = y +, alors x est écessairemet u ombre impair. b. Motrer réciproquemet que pour tout x impair plus grad que, il existe u triplet pythagoricie x ; y ; z) avec z = y +. Partie,5 poits O cosidère deux suites u ) et v ) défiies pour tout N par : u = v = 3 u O ote X la matrice coloe v ) u + = u + v v + = 3 u + 3 v. Motrer que pour tout N, X + = A X avec A ue matrice que l o détermiera.. Retrouver les premiers termes u 0 et v 0 par ue démarche matricielle à détailler puis à réaliser à l aide de votre calculatrice. ) 0 3. Pour la suite, o admet que pour tout, N, X = A 3 a. O doe P = ) 0 et D = 0 Vérifier à la calculatrice que P est iversible, et que A = P D P. b. Démotrer e détail que pour tout N, A = P D P. 6 ) 4. Déduire de ce qui précède l expressio de u et v e foctio de, et motrer que les deux suites u ) et v ) coverget vers 3 5.

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