EXERCICES SUR LES SUITES NUMÉRIQUES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

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1 EXERCICE : I) ; ; r t S EXERCICES SR LES SITES NMÉRIQES Sit MathsTICE d Adama Traoré Lycé Tchiqu Bamako désigat rspctivmt l prmir trm, l ièm trm, la raiso t la somm ds prmir trms d u suit arithmétiqu, calculr : ) t S, coaissat 7 ; ; r 5 ; ) t S, coaissat 6 ; 7 ; r ; ) r t S, coaissat 97; 64 ; ; 4) t, coaissat 5; r 4 ; S ; 5) t r ; 6 ; S 54 ; r 4 ; S, coaissat 8, 5 6) t, coaissat 7 II) Calculr das l cas suivat d u suit géométriqu : ) t S, coaissat ; q ; 5 ; ) q t S, coaissat 6 ; ; 5 ; ) t S, coaissat 54 ; q ; 4 ; 4) t, coaissat q,5 ; 7 ; S 57, 5 ;, coaissat 48 ; 4 ; S 6 5) t q EXERCICE : ; ; ; ) Etudir l ss d variatio d chacu ds sui ts suivats défiis par a) u 8 ; b) v 5 4 ; c) w 7 - ) Qull st la atur d la suit (u )? Précisr so prmir trm u t sa raiso ) Soit la suit (t ) défii par t t t t 4 O pos k t ; motrr qu (k ) st u suit géométriqu dot détrmira la raiso t l prmir trm EXERCICE : O cosidèr la suit ( ) défii sur N par u 4 u u 4 ) rpréstr graphiqumt ls ciq prmirs tr ms d la suit ( ) sur l ax ds abscisss ) O pos v u α (α R) a) Détrmir α pour qu (V ) soit u suit géométriqu b) E déduir qu N ; c) N ; o ot S u u u Trouvr l xprssio d S foctio d) Détrmir ls limits ds suits (u ) t (S ) Exrcics sur ls Suits Numériqus Pag sur 9 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu

2 EXERCICE 4 : O cosidèr la suit ( ) défii sur N par ) Calculr u t u ) Justifir qu >, u ) O pos v (u ) a) Motrr qu (v ) st u suit arithmétiqu b) Calculr v puis u foctio d u u u u 4 EXERCICE 5 : O cosidèr la suit ( ) défii sur N par u u u ) Calculr ls trms u ; u ; u ) O pos v u u ; la suit (v ) st-ll géométriqu? ) Soit S v v v a) Calculr S foctio d b) Motrr qu S u u c) E déduir l xprssio d u puis cll d u foctio d EXERCICE 6 : I O cosidèr la suit (V ) défii par : V 5V V 8 ) Calculr V ; V ; V4 ; ) O pos V Démotrr qu (u ) st u suit géométriqu ) Démotrr qu la suit (V ) st covrgt t trouvr sa limit ; 4) Calculr S 5) Calculr : lim S II Soit a, b, c, d, ciq trms cosécutifs d u suit arithmétiqu d a b d 6 raiso r tll qu : d 4 ) Exprimr a, b, d t foctio d c t r ) Détrmir ls ombrs réls a, b, c, d, Exrcics sur ls Suits Numériqus Pag sur 9 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu

3 EXERCICE 7 : I) ) Trouvr ombrs cosécutifs a, b, c d u s uit arithmétiqu sachat qu : a b c 7 5a 6b c Dor la raiso d ctt suit ) Trouvr ombrs a, b, c progrssio géom étriqu sachat qu : a b c 4 c a II) Soit ( ) u suit arithmétiqu croissat tll qu : 9 5 Calculr l prmir trm t la raiso r d ctt suit, puis xprimr l trm gééral foctio d Soit (V ) la suit défii par : V a) Motrr qu (V ) st u suit géométriqu dot o détrmira V t q b) Calculr : P V V V V EXERCICE 8 : Détrmir u progrssio arithmétiqu d quatr trms a, b, c, d ayat pour raiso r 6 tll qu l produit ds trms st égal à 85 Soit la suit arithmétiqu ( ) d raiso r, (r ) tl qu das ct ordr ; 4 ; 7 sot trms cosécutifs d u suit géométriqu d raiso q a) Motrr qu r t q b) Sachat qu, calculr puis foctio d c) Soit la suit (V ) défii par : V ; Calculr S puis déduir P V V V Exrcics sur ls Suits Numériqus Pag sur 9 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu

4 EXERCICE 9 : ) L Opératio Puits, u trpris d forag stim l coût d u puits à grad diamètr comm suit : l prmir mètr crusé coût F l scod mètr crusé coût 5 F t chaqu mètr crusé coût 5 F d plus qu l précédt Qull srait la profodur maximal d c puits si l crédit alloué à l trpris st d F? ) société Forstièr décid d crér u bosqut (Ptit bois, touff d arbrs) à chaqu kilomètr tr dux vills A t B distat d Km Au prmir kilomètr l bosqut compt 5 arbrs Au scod kilomètr l bosqut compt arbrs t à chaqu kilomètr qui suit l bosqut compt 7 arbrs d plus qu l précédt Qul st l ombr d arbrs qu compt l drir bosqut? Qul st l ombr total d arbrs qu la société doit platr? EXERCICE : Trouvr spt trms d u suit géométriqu : ; ; ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 tls qu : t Soit la suit ( ) défii par : a) Calculr ; ; 5 b) O pos V α Qull valur faut-il dor à α pour qu (V ) soit u suit géométriqu c) Exprimr foctio d puis calculr S V V V EXERCICE : A/ soit ( ) défii par la rlatio Motrr qu la suit ( ) st à trm positif t majoré par Démotrr par récurrc qu ( ) st croissat ; la suit ( ) st-ll covrgt?justifir Exrcics sur ls Suits Numériqus Pag 4 sur 9 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu

5 B/ Soit u la suit défii par t O pos ε N ; S i i ; ( ε N) Motrr qu u st à trms positifs Motrr qu u st décroissat E déduir qu u covrg t trouvr sa limit S 4 Motrr qu pour tout d N EXERCICE : épargat dispos au r javir 6 d u capital C F qu il plac à la Bak of Africa (BOA) à u taux d 6% l a Au bout d chaqu aé l capital st augmté ds itérêts qu il produit O désig par C la valur du capital au bout d aés ) Calculr C ; C ; C ) Démotrr qu : C C (,6 ) ) Au bout d combi d tmps l capital C aura-t-il doublé? 4) E supposat l prix du marché stabl, qull aé so capital put payr u voitur dot l prix st F? EXERCICE : A/ O pos ε N, fois ) Calculr foctio d ) Soit S ( a) a aa aaa aaa 4 aaa Calculr : S () foctio d 4 fois ) Calculr S (a) foctio d t d a 4) Calculr S S () S () S (9) B/ Soit ( ) ; ( ) ; ( ) ; ; ( ) ; droits d u pla P, sécats dux à dux ds poits disticts Soit p l ombrs ds régios du pla, détrmiés par p d cs droits Etablir u rlatio tr p t p E déduir foctio d EXERCICE 4: Soit ( ) t (V ) dux suits défiis par : 4 4 t V O pos d V t w V motrr qu (d ) st u suit arithmétiqu dot o précisra la raiso t l r trm motrr qu la suit (W ) st u suit géométriqu dot o précisra la raiso t l r trm déduir d c qui précèdt ls somms suivats : S t S Ʌ V V V Exrcics sur ls Suits Numériqus Pag 5 sur 9 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu

6 EXERCICE 5: L étud d la productio itériur brut, au Mali ( milliard d fracs) a doé l résultat suivat : Si P() désig la productio itériur d l aé uméroté, ( εn), l P( ) P( ) P( ) rapport :, costat O suppos P() 4 a) calculr P() foctio d P() ; b) calculr P() t P() c) calculr P() foctio d P() t E déduir P() (O arrodira au milliard supériur) A partir d qull aé la productio sra-t-ll supériur ou égal à P()? A partir d qull aé la productio sra-t-ll supériur ou égal à 4? EXERCICE 6 : pour tout tir aturl o pos : I ( x ) a) calculr I foctio d à l aid d u itégratio par partis b) Etudir la covrgc d la suit (I ) x dx pour tout tir aturl o pos : S I i i a) Calculr S foctio d t détrmir la limit d S quad td vrs b) calculr u valur approché d S EXERCICE 7 : O pos I * x dx t IN, I x(l x) ) Calculr I puis I utilisat u itégratio par partis ) Pour tout N* établir qu : I I ) Motrr qu la suit d trm gééral I st décroissat sur [ ;] 4 ) E déduir utilisat la rlatio d récurr c d la qustio ) qu I Calculr lim I t lim I dx Exrcics sur ls Suits Numériqus Pag 6 sur 9 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu

7 EXERCICE 8 : A/- soit la suit ( ) défii par t 6 ; ) démotrr qu ( ) st à trms positifs t majoré par 5 ) Qull st la limit évtull d la suit ( )? ) Etudir l ss d variatio, puis la covrgc d ( ) 4) Démotrr qu pour tout tir aturl, o a : t B/- bi qui valait au départ 5 Frs s dépréci d aé aé suivat la loi suivat : La valur du bi d l aé cosidéré st égal au produit du bi d l aé précédt par,65, c produit augmté d 55 frs ) Au bout d combi d aés l bi sra-t-il ifériur à 57 84,6 Frs? ) Est-il possibl qu l bi soit u momt ifériur à 57 4? EXERCICE 9 : L pla complx st rapporté au rpèr (O, i ; j) uité graphiqu cm Soit A l poit d affix, A ' l poit d affix i t A l miliu du sgmt [A A ' ] Plus gééralmt si A st u poit d affix z ; o désig par A l poit d affix iz t par A l miliu d [A ; A ] O ot P t θ l modul t l argumt d z ) Détrmir ls affixs ds poits A ; A ; t A Calculr P ; P ; P t θ ; θ ; θ ) a) Pour tout tir, xprimr Z foctio d Z b) Exprimr P t θ foctio d c) Détrmir la limit d la suit (P ) Itrprétr géométriqumt c résultat d) Comparr ls moduls t ls argumts d Z t Z 8 ) Établir qu : A A A A 4 ) Après avoir xprimé A A foctio d, détrmir foctio d la loguur D d la lig brisé : A A A A A A Détrmir la limit d la suit (D ) Exrcics sur ls Suits Numériqus Pag 7 sur 9 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu

8 EXERCICE : foctioair cosacr 8% d so rvu à u éparg C foctioair voit so rvu aul augmtr d % par a t décid d dimiur la part d l éparg das so rvu aul d,5% par a L rvu iitial du foctioair st R 4 F O désig par R l rvu aul du foctioair t E l éparg aull au bout d aés ( N) ) Calculr l éparg iitial E du foctioair ) Calculr l rvu R t l éparg E d l aé suivat ( ) ; ) Calculr l rvu R t l éparg E d l aé suivat ( ) ; 4 ) Exprimr R foctio d R t ; puis E foctio d E t 5 ) Calculr la limit d E quad td vrs EXERCICE : Soit la suit ( Z ) la suit défii sur N par z z i ( z ) ) Soit das l pla complx P mui du rpèr ort hoormé (O ;I ;J) ls poits M d affixs Z Placr M ; M ; M ; M t M 4 ) Soit ( X ) t ( Y ) ls suits d ombrs réls défiis par IN, Z X iy Exprimr X t Y rspctivmt foctio d ( X ) t ( Y ) E déduir ( X ) t ( ) foctio d Y ) Motrr qu ( X ) t ( Y ) sot covrgts t dor lurs limits rspctivs Qu put-o déduir pour la suit ( Z )? EXERCICE : I - Soit u suit arithmétiqu d prmir trm u t d raiso r ) Calculr u t r sachat qu u 78 t u u u 85 ) Trouvr la plus ptit valur d pour laqull u u u 68 II - Soit la foctio f : t t a pour t [ ; ], f ) Motrr qu pour tout d *, o a : dt t l ; ) O cosidèr la suit d trm gééral Motrr qu ( ) st mooto à trms positifs ; coclur Exrcics sur ls Suits Numériqus Pag 8 sur 9 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu

9 EXERCICE : Pour tout tir aturl o ul ; o pos I ) Motrr qu I l x ) Motrr qu pour tout tir aturl o ul, o a : I ) Motrr qu pour tout tir aturl o ul, o a : 4 ) Motrr qu N* la suit ( I ) st décroissat x dx I ( ) EXERCICE 4 : Pour tout tir aturl o ul ; o pos I l t dt t ) Motrr qu pour tout tir aturl o ul, o a : ) Motrr qu N* la suit ( I ) st boré I ) Motrr qu N* la suit st covrgt 4 ) Motrr pour N*, o a : I I I I I EXERCICE 5 : Soit a t b dux réls strictmt positifs O défiit la suit ( ), pour tout tir aturl, par a ; b ; 6 O cosidèr ls suits (V ) t (W ) défiis, pour tout tir aturl, V t W ) Motrr qu (V ) st u suit géométriqu d raiso q t d prmir trm V b a Détrmir, pour tout tir aturl, V foctio d, a t b ) Motrr aussi qu (W ) st u suit géométriqu t xprimr W foctio d, a t b ) E déduir foctio d, a t b 4 ) Motrr qu si ( ) st u suit géométriqu, alors sa raiso put êtr qu q ou q 5 ) détrmir la limit d la suit ( ) Exrcics sur ls Suits Numériqus Pag 9 sur 9 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu