Approximation de la solution d une équation différentielle ordinaire avec impulsions qui dépendent de l état

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1 Approximatio de la solutio d ue équatio différetielle ordiaire avec impulsios qui dépedet de l état F. Dubeau A. Ouasafi A. Sakat CRM-276 Jauary 21 Départemet de mathématiques et d iformatique, Uiversité de Sherbrooke, Sherbrooke (Québec), Caada, J1K 2R1. Travail subvetioé par le CRSNG. Uiversité Mohamed V, Faculté des Scieces, Départemet de mathématiques et d iformatique, B.P.114, Rabat, Maroc. Cet auteur remercie le Cetre de Recherches Mathématiques de l Uiversité de Motréal pour so accueil chaleureux durat so séjour.

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3 1 Itroductio L objectif de ce travail est de préseter ue méthode d approximatio de la solutio d u système d équatios différetielles ordiaires avec des impulsios qui dépedet de l état e utilisat ue méthode de type Galerki. La solutio de ce système d équatios différetielles ordiaires avec impulsios est ue foctio à variatio borée qui est o régulière et cotiet des sauts [7, 8. Ces équatios différetielles provieet de problèmes physiques et e particulier de problèmes du domaie de l aérospatiale. Ces équatios différetielles sot de la forme ẋ(t) = f(x(t), t) + α j (x(τ j ))δ(t τ j), t [, T, x() = x, (1) où T est u ombre réel strictemet positif, x E est la coditio iitiale, E est u espace euclidie de dimesio fiie d = dime 1 de la forme E = IR d, x : [, T E est ue foctio vectorielle, f : E [, T E est ue applicatio doée, δ (.) est la distributio de Dirac au poit, J IN est u esemble o vide déombrable d idices, α j : E E est ue foctio doée pour tout j J et τ j } est ue suite strictemet croissate das, T. Das [6, ue formulatio variatioelle faible est utilisée pour obteir u théorème d existece et d uicité de la solutio de (1). Ue approximatio de cette solutio utilisat ue méthode de type Galerki a égalemet été présetée et les ordres de covergece obteus sot e O(h 1/2 ) pour l erreur das L 2 (, T ; E) et e O(h 1 ) pour l erreur aux oeuds. Das le cas où les impulsios e dépedet pas de l état il y a ue supercovergece aux oeuds e O(h K+2 ), voir [2. Cepedat das le cas où la solutio est das H K+1 (, T ; E) les ordres de covergece sot e O(h K+1 ) pour la orme de L 2 (, T ; E) et e O(h 2K+2 ) pour l erreur aux oeuds, voir [3 et [5. Das otre travail ous utilisos ue trasformatio qui permet d écrire l équatio différetielle ordiaire avec des impulsios qui dépedet de l état sous la forme d ue équatio différetielle équivalete sas impulsio et ous motros que cette derière a ue solutio uique das H 1 (, T ; E). Cette trasformatio trouve égalemet so utilité das les approximatios umériques. E effet, pour approcher la solutio de (1), il suffit de trouver ue solutio approchée du problème équivalet dot la solutio est régulière. Nous costatos alors ue légère amélioratio des ordres de covergece. De plus la solutio approchée est de même ature que la solutio de (1) à savoir das BV (, T ; E). Das la sectio 2 ous présetos le problème sas impulsio équivalet au problème (1). Esuite ous obteos ue formulatio variatioelle équivalete au problème sas impulsio et ous motros le résultat d existece et d uicité de la solutio sous des hypothèses plus faibles que das [6. Das la sectio 4 o itroduit des espaces d approximatio pour obteir ue approximatio polyômiale par morceaux de la solutio. Esuite ous motros que les ordres de covergece sot e O(h 1 ) pour l erreur das L 2 (, T ; E) et aux oeuds. Das le cas où les impulsios e dépedet pas de l état, ous motros que ous avos des résultats de supercovergece aux oeuds, ous obtiedros O(h 2 ) pour les systèmes o liéaires et O(h K+2 ) pour les systèmes liéaire. Efi ous utilisos ue formule d itégratio umérique qui coduit à des approximatios umériques de la solutio et ous présetos des exemples qui idiquet que les estimatios d erreur sot optimales.

4 2 Trasformatio du problème e ue équatio différetielle ordiaire sas impulsio Ue solutio de (1) est ue foctio à variatio borée qui s écrit sous la forme x(t) = x + t f(x(τ), τ)dτ + α j (x(τ j ))χ [τ j, )(t); (2) elle cotiet doc deux parties, la première partie est ue foctio régulière de H 1 (, T ; E) x R (t) = x + et la deuxième partie est la foctio des sauts t f(x(τ), τ)dτ x J (t) = α j (x(τ j ))χ [τ j, )(t). Cosidéros les deux familles de foctios θ j } et β j }, de C(, T ; E) das E, défiies par θ 1 (y) = y(τ 1 ), θ j (y) = y(τ j ) + i<j α i θ i (y) pour j > 1 et β j = α j θ j, j J pour toute foctio y de C(, T ; E). Le problème (1) est alors équivalet à l équatio différetielle ordiaire sas impulsio suivate ẋ R (t) = f(x R (t) + β j (x R )χ [τj, )(t), t), t [, T, x R () = x, Cosidéros la foctio F défiie de C(, T ; E) [, T das E par F (y, t) = f(y(t) + β j (y)χ [τj, )(t), t). (4) (3) Alors l équatio précédete deviet ẋ R (t) = F (x R, t), t [, T, x R () = x. (5) Trouver la solutio x(t) de 1) reviet doc à trouver la foctio x R (t) solutio de (5) puisque x(t) = x R (t) + β j (x R )χ [τj, )(t), voir [8. 3 Formulatio faible E utilisat la méthode de Galerki ous allos approcher la solutio de (5) par ue foctio u h polyômiale par morceaux. Les valeurs u h (τ j ) approchet les x R (τ j ) (j J). Nous motros efi que u h + β j (u h )χ [τj, ) coverge bie vers la solutio de (1).

5 L équatio (5) est équivalete au problème faible global suivat trouver (x R, X) H 1 (, T ; E) E tel que X v(t ) T x R(τ) v(τ)dτ = x v() + T F (x R, τ) v(τ)dτ, pour tout v H 1 (, T ; E). Théorème 3.1 Les équatios (5) et (6) sot équivaletes. Démostratio :Si (5) a ue solutio alors e multipliat par v H 1 (, T ; E) et e itégrat par partie le terme T ẋr(τ) v(τ)dτ ous obteos x R (T ) v(t ) x R () v() T x R (τ) v(τ)dτ = E posat x R (T ) = X et x R () = x, ous obteos ue solutio de (6). Iversemet, si (6) a ue solutio, e itégrat par partie o a [X x R (T ) v(t ) + [x R () x v() + T T F (x R, τ) v(τ)dτ. [ẋ R (τ) F (x R, τ) v(τ)dτ = pour tout v H 1 (, T ; E). E preat v H 1(, T ; E) et e utilisat le fait que H1 (, T ; E) est dese das L 2 (, T ; E), ous e déduisos que Alors ẋ R (t) = F (x R, t), p.p. t [, T. [X x R (T ) v(t ) + [x R () x v() = pour tout v H 1 (, T ; E). Doc X = x R (T ) et x R () = x. Soit t, =,..., N} tel que = t <... < t <... < t N = T ue partitio régulière de l itervalle [, T. Cette partitio défiit N sous itervalles = [t 1, t, = 1,..., N, de [, T de logueur h = t t 1. Le pas d ue partitio est défii par h = max h : = 1,.., N}. Pour chaque = 1,..., N o pose U = E +1 H 1 (I k ; E) et pour ũ = (U,..., U ; u 1,..., u ) U o pose U k si t = t k (k =,..., ), û (t) = u k (t) si t t k 1, t k [ (k = 1,..., ). O cosidère alors le problème variatioel local suivat état doés U = x et (u k, U k ) H 1 (I K ; E) E déjà détermiés pour k = 1, 2,... 1, trouver (u, U ) H 1 ( ; E) E tel que k=1 U v (t ) u (τ) v (τ)dτ = U 1 v (t 1 ) + F (û, τ) v (τ)dτ, pour tout v H 1 ( ; E). Notos que si ce problème a ue solutio o obtiet, comme das la démostratio du Théorème 3.1, que U = u (t ) et U 1 = u (t 1 ). Aisi, comme les (u k, U k ) (k = 1,..., 1) ot été détermiés suivat le même procédé, û (.) est cotiue et appartiet à H 1 (, t ; E). (6) (7)

6 Théorème 3.2 Les problèmes ( 6)et (7) sot équivalets. Démostratio :Supposos que l équatio (7) a ue solutio (u, U ) H 1 ( ; E) E. E preat v H 1 (; E) L 2 ( ; E) o e déduit que u (t) = F (û, t) p.p. sur. Aussi U = u (t ) et U 1 = u (t 1 ). Posos x R = û N H 1 (, T ; E). O e déduit (6) e additioat (7) pour = 1,..., N, e posat X = U N = û (T ) et e observat que U = x. Iversemet, si (6) a ue solutio, cosidéros v 1 H 1 (I 1 ; E) et défiissos v H 1 (, T ; E) par v(t) = E substituat v das l équatio (6) o obtiet v 1 (t) v 1 (t 1 ), t t 1,, si t > t 1. t 1 x R(τ) v 1 (τ)dτ = x (v 1 (t ) v 1 (t 1 )) + t 1 F (x R, τ) (v 1 (τ) v 1 (t 1 ))dτ. Posos u 1 = x R I1 et U 1 = x + t 1 F (u 1, τ)dτ. Aisi o a U 1 v 1 (t 1 ) t 1 u 1(τ) v 1 (τ)dτ = x v 1 (t ) + t 1 F (u 1, τ) v 1 (τ)dτ. (8) pour tout v 1 H 1 (I 1 ; E). Aussi, o a de (6) E cosidérat v I1 = v 1, o trouve X.v(T ) t 1 u 1(τ). v(τ)dτ T t 1 x R (τ) v(τ)dτ = x.v 1 (t ) + t 1 F (u 1, τ).v(τ)dτ + T t 1 F (x R, τ).v(τ)dτ, pour tout v H 1 (, T ; E). X.v(T ) T t 1 x R (τ). v(τ)dτ = U 1.v(t 1 ) + T t 1 F (x R, τ).v(τ)dτ, pour tout v H 1 (t 1, T ; E). O procède alors de même pour ( = 2,..., N). O itroduit les otatios suivates J = j J : τ j t 1, t }, = 1,..., N, J = j J : τ j, t }, = 1,..., N et l (E J ) = ξ E J : ξ = sup ξ j : j J} < + }. O défiit de la même maière l (E J ) et l (E J ). Pour motrer l existece et l uicité de la solutio de l équatio (7) o utilise les lemmes suivats dot les démostratios se trouvet das [8. Nous supposos que J = IN, cepedat les résultats obteus restet vrais pour importe quel sous-esemble J de IN. Pour simplifier l écriture o pose Λ = λ i. O utilise les otatios i=m γ i = 1 si < m et γ i = si < m. i=m i=1

7 Lemme 3.1 Soit λ j } ue suite de ombres réels positifs. Alors 1 + λ i i 1 i=1 k=1 (1 + λ k ) e Λ. Notos que les foctios θ j (.) sot bie défiies sous la seule coditio que les valeurs y(τ j )} soiet bie défiies. Aisi pour ue suite ξ = ξ j } o peut défiir θ 1 (ξ) = ξ 1, θ j (ξ) = ξ j + α i θ i (ξ) et i<j avec comme précédemmet β j = α j θ j, (j J). Lemme 3.2 Pour tout ξ 1 et ξ 2 das l (E j ), o a β j (ξ 1 ) β j (ξ 2 ) λ j e Λ max ξk 1 ξ2 k : k = 1,..., j} λ j e Λ ξ 1 ξ 2. Remarque 3.1 Si x 1, x 2 C(, T ; E) et ξ k j = x k(τ j ) (k = 1, 2). Alors β j (ξ 1 ) β j (ξ 2 ) λ j e Λ max x 1 (τ k ) x 2 (τ k ) : k = 1,..., j} λ j e Λ x 1 x 2. Lemme 3.3 O a Lemme 3.4 Soit I = [α, β. (i) L applicatio β j () e Λ α j (). H 1 (I; E) L 2 (I; E) E v ( v, v(β)) est u isomorphisme. (ii) Soit b u élémet arbitraire de H 1 (I, E), le problème variatioel suivat trouver (u, U) L 2 (I; E) E tel que U.v(β) β α u(t) v(t)dt = b(v) pour tout v H 1 (I; E) (9) a ue solutio uique. Démostratio :Voir [9. Théorème 3.3 Soit x E, (a) supposos que f : E [, T E vérifie les coditios suivates : (i) pour tout x E, l applicatio t f(x, t) est ( Lebesgue ) mesurable, (ii) il existe q L 2 (, T ; E) telle que pour tout x 1, x 2 L 2 (, T ; E)

8 f(x 1 (t), t) f(x 2 (t), t) q(t) x 1 (t) x 2 (t), (iii) l applicatio t f(, t) est das L 2 (, T ; E) ; (b) supposos que les foctios α j (j J) vérifiet les coditios suivates : (iv) α j () < +, (v) il existe ue suite de ombres réels positifs λ j } tel que λ j < + et pour tout j J et x 1, x 2 E α j (x 1 ) α j (x 2 ) λ j x 1 x 2. Alors (1) La solutio (U 1,..., U N, u 1,..., u N ) U N de (7) existe et est uique. De plus x R = û N est l uique solutio das H 1 (, T ; E) du système (5). (2) La solutio de (1) existe et est uique das BV (, T ; E). De plus o a x(t) = û N (t) + β j (û N )χ [τj, )(t). Démostratio :Sous les hypothèses du théorème, f(.,.) est ue foctio de Carathéodory. Alors pour tout u mesurable et ξ = ξ j } l applicatio t u(t) + β j (ξ)χ [τj, )(t) est mesurable et alors t f(u(t) + β j (ξ)χ [τj, )(t), t) est mesurable. De plus si u L 2 (, T ; E) et ξ = ξ j } l (E J ), l applicatio t f(u(t) + β j (ξ)χ [τj, )(t), t) est itégrable puisque f(u(t) + β j (ξ)χ [tj, )(t), t) f(u(t) + β j (ξ)χ [tj, )(t), t) f(, t) + f(, t), q(t) u(t) + β j (ξ)χ [tj, )(t) + f(, t), [ q(t) u(t) + β j (ξ) β j () + β j () χ [tj, )(t) + f(, t), [ q(t) u(t) + Λe Λ ξ + e Λ α j () + f(, t). Alors T f(u(t) + β j (ξ)χ [tj, )(t), t) dτ q u + q T 1/2 e Λ [Λ ξ + α j () + T 1/2 f(,.).

9 Aisi l applicatio v b (v; u, ξ) = U 1.v(t 1 ) + f(u(τ) + β j (ξ)χ [τj, )(τ), τ) v(τ)dτ est bie défiie, liéaire et cotiue sur H 1 ( ; E). Par suite b (.; u, ξ) H 1 ( ; E). Notos que pour τ o a β j (ξ)χ [τj, )(τ) = 1 β j (ξ) + β j (ξ)χ [τj, )(τ), la première sommatio de droite est ue costate lorsque la suite ξ j } l (E J 1 ) est déjà coue. 1 O cosidère le problème auxiliaire local (faible) suivat état doé U = x, (u k, U k ) L 2 (I k, E) E (k = 1,..., 1) et ξ j } l (E J 1 ), 1 pour = 1,..., N détermier (u, U ) L 2 ( ; E) E et ξ j } l (E J ) tels que U v (t ) u (τ) v (τ)dτ = U 1 v (t 1 ) + f(u (τ) + β j (ξ)χ [τj, )(τ), τ) v (τ)dτ, pour tout v H 1 ( ; E) et ξ i = U 1 + τ i t 1 f(u (τ) + β j (ξ)χ [τj, )(τ), τ)dτ pour tout i J. (1) Soit (u, U ) L 2 ( ; E) E fixe mais arbitraire et ξ = ξ j } l (E J ) tel que ξ j } 1 sot doés sur l itervalle précédet et ξ j } sot fixes et arbitraires. O costruit les suites (u m, U m )} m= et ξ m = ξ m j } } m= de la maière suivate : supposos coue (um, U m ) L 2 ( ; E) E et ξ m = ξj m} l (E J ), (u m+1, U m+1 ) L 2 ( ; E) E est la solutio du problème U m+1.v (t ) u m+1 (τ) v (τ)dτ = b (v ; u m, ξ m ) pour tout v H 1 ( ; E) (11) et ξ m+1 j } est défiie par τi ξi m+1 = U 1 + f(u m (τ) + β j (ξ m )χ [τj, )(τ), τ)dτ. (12) t 1 pour i J et ξ m+1 j = ξ m j pour j J 1. Motros que les deux suites u m } m= m= et ξm } m= m= sot de Cauchy respectivemet das L2 ( ; E) et l (E J ). O a f(u m+1 (τ) + β j (ξ m+1 )χ [τj, )(τ), τ) f(u m (τ) + β j (ξ m )χ [τj, )(τ), τ) [ q(τ) u m+1 u m + (β j (ξ m+1 )χ [τj, )(τ) β j (ξ m ))χ [τj, )(τ). Pour les v qui vérifiet v (t) = ( u m+1 v (t ) =. u m ) (t) sur I,

10 O trouve v (t) = t t (u m+1 u m ) (τ)dτ h 1/2 D après le Lemme 3.3 et l équatio (11), o motre que u m+1 u m, h 1/2 Par la même techique o obtiet u m+1 u m,. [ q, u m u m 1, + h 1/2 Λe Λ ξ m ξ m 1,. ξ m+1 ξ m [ u m, q, u m 1, + h 1/2 Λe Λ ξ m ξ m 1,. Pour compléter la preuve o utilise le lemme suivat Lemme 3.5 Soiet x m } m= m= et y m } m= m= deux suites telles que pour m =, 1, 2,... avec α >, β >. Alors pour m =, 1, 2,... et pour k. Démostratio :Voir [6. x m+1 αy m + βx m y m+1 r(αy m + βx m ) x m+1 (αr + β) m (αy + βx ) y m+1 r(αr + β) m (αy + βx ) Si o applique ce lemme avec α = q,, β = q, h 1/2 Λe Λ et r = h 1/2 suivates ξ m+1 ξ m, ( h 1/2 q, + h 1/2 q, Λe Λ) m 1 [ q u 1, u, + h 1/2 q, Λe Λ ξ 1 ξ,, u m+1 u m (, h 1/2 h 1/2 q, + h 1/2 q, Λe Λ) m 1 [ q, u 1 u, + h 1/2 q, Λe Λ ξ 1 ξ,. o déduit les majoratios Si h est suffisammet petit (h 1/2 q, + h 1/2 q, Λe Λ < 1) les suites u m } m= et ξm } m= sot de Cauchy das L 2 ( ; E) et l (E J ) respectivemet. Alors u m u das L 2 (, T ; E) et ξ m ξ das l (E J ). Par cotiuité o trouve u (τ) v (τ)dτ = b (v ; u, ξ) pour tout v H 1 ( ; E) tel que v (t ) = et ξ i = U 1 + τi f(u (τ) + β j (ξ)χ [τj, )(τ), τ)dτ, j J. t 1

11 Si o pred v (t) = V E das l équatio (11), o obtiet U m+1.v = b (V ; u m, ξ m ) pour tout V E. Aisi U m } m= coverge vers u U E et U.V = b (V ; u, ξ) pour tout V E. Soit w (t) = v (t) v (t ) avec v H 1 ( ; E), alors u (τ) v (τ)dτ = b (v (.) v (t ); u, ξ), = b (v ; u, ξ) b (v (t ); u, ξ), = b (v ; u, ξ) U.v (t ). Alors (u, U ) L 2 ( ; E) E et ξ j } l (E J ) est solutio de (1). O pose esuite t U (t) = U 1 + f(u (τ) + β j (ξ)χ [τj, )(τ), τ)dτ, t 1 U (.) H 1 ( ; E) et o a U (τ j ) = ξ j, (j J). De plus, si o pred v (t) = 1 das (1) o trouve que U (t ) = U. D autre part o a t t 1 [U (τ) u (τ) v (τ)dτ = U v (t ) U 1 v (t 1 ) t t 1 f(u (τ) + β j (ξ)χ [τj, )(τ), τ) v (τ)dτ t t 1 u (τ) v (τ)dτ =. Alors o obtiet U (t) = u (t) p.p. sur et doc u H 1 ( ; E). Efi l équatio (7) admet ue solutio uique das H 1 (, T ; E) E. Défiissos les espaces de Hilbert U et V comme suit U = E N+1 V = E N H 1 ( ; E) = U N, =1 N H 1 ( ; E) = V N. =1 Das le but d appliquer ue méthode d approximatio de type Galerki ous cosidéros le problème faible global équivalet à ce derier trouver ũ = (U, U 1,..., U N ; u 1,..., u N ) U tel que U (V v 1 (t )) + N U (v (t ) v +1 (t )) + U N v N (t N ) N u (τ) v (τ)dτ =1 = x V + N [ F (û, τ) v (τ)dτ, =1 pour tout ṽ = (V, v 1,..., v N ) V. =1 (13)

12 4 Approximatio de type Galerki Nous cherchos ue solutio ũ h das u sous-espace U h de U das le cas où les foctios test ṽ h sot das u sous-espace V h de V, où les espaces U h et V h sot de dimesios fiies et o utilisera pour os approximatios des foctios polyômiales par morceaux. Défiissos les sous-espaces U h et V h de U et V par U h ũ h = (U, U 1,.., U N ; u 1,..., u N ) U = tel que u P K ( ; E) pour = 1,...N V h ṽ h = (V, v 1, v 2,..., v N ) V = tel que v P K+1 ( ; E); pour = 1,..., N Notos que dimv h = dimu h = (1 + (k + 2)N)dimE. O pose pour chaque = 1,..., N U h = E +1 P K+1 (I k, E) k=1 }, (14) }. (15) tel que pour chaque ũ = (U,..., U ; u 1,..., u ) U h o a U k si t = t k (k =,..., ), û (t) = u k (t) si t t k 1, t k [ (k = 1,..., ). (16) O cherche maiteat á approcher la solutio du problème (13) par la solutio du problème suivat trouver ũ h = (U,..., U N ; u 1,..., u N ) U h tel que U = x et pour = 1,..., N U v (t ) u (τ) v (τ)dτ = U 1 v (t 1 ) + (17) F (û, τ) v (τ)dτ, pour tout v P K+1 ( ; E). Nous allos motrer que (17) admet ue solutio uique pour h assez petit. Les aalogues du Lemme 3.4 et du Théorème 3.3 sot les suivats. Lemme 4.1 Soit = [t 1, t. (i) L applicatio est u isomorphisme. P K+1 ( ; E) P K ( ; E) E v ( v, v(t )) (ii) Soit b u élémet arbitraire de P K+1 ( ; E), le problème variatioel trouver (u, U) P K ( ; E) E tel que a ue solutio uique. U.v(t ) u(t). v(t)dt = b(v) v P K+1 ( ; E), Théorème 4.1 Si les hypothèses du Théorème 3.3 sot vérifiées alors le problème variatioel (17) a ue solutio uique.

13 Démostratio :Posos U = x. Sur chaque itervalle o suppose que (u k, U k ), k = 1,..., 1, sot doés et il faut trouver (u, U ) P K ( ; E) E tel que U v (t ) u (τ) v (τ)dτ = U 1 v (t 1 ) + F (û, τ) v (τ)dτ pour tout v P K+1 ( ; E). Pour tout u P K ( ; E) l applicatio v b (v; u ) = U 1.v(t 1 ) + F (û, τ) v(τ)dτ est bie défiie, liéaire et cotiue sur P K ( ; E). Aisi b (.; u ) P K+1 ( ; E). Soit (u, U) P K ( ; E) E arbitraire fixe. O costruit la suite (u m, U m )} m= de la maière suivate : supposos coue (u m, U m ) P K ( ; E) E, (u m+1, U m+1 ) P K ( ; E) E est la solutio du problème U m+1.v (t ) u m+1 (τ) v (τ)dτ = b (v ; u m ), (18) pour tout v P K+1 ( ; E). Motros que la suite u m } m= m= est de Cauchy das PK ( ; E). O a F (û m+1, τ) [ F (û m, τ) q(τ) u m+1 (τ) u m (τ) + (β j (û m+1 )χ [τj, )(τ) β j (û m )χ [τj, )(τ). Pour les v qui vérifiet O trouve v (t) = t t v (t) = ( u m+1 v (t ) =. (u m+1 u m ) (t) sur I, u m )(τ) dτ h 1/2 D après le Lemme 4.1 et e utilisat l équatio (18), o motre que u m+1 u m, h 1/2 u m+1 u m,. [ q, u m u m 1, + h 1/2 Λe Λ ζ m ζ m 1, avec ζ j = u (τ j ), j J, et ζ m ζ m 1, = sup u m (τ j ) u m 1 (τ j ) ; j J }. Pour j J 1 o a ûm (τ j ) = (τ j ) car les u k, k = 1,..., 1, sot fixes. E utilisat les iégalités suivates (voir Delfour et Dubeau û m 1 [3) o trouve ζ m ζ m 1, h 1/2 [ ζ m ζ m 1, + h ζ m ζ m 1 1, ζ m ζ m 1 1, ch 1 ζ m ζ m 1,, u m+1 u m, ch 1/2 q, u m u m 1,. Si h est suffisammet petit, la suite u m } m= est de Cauchy das PK ( ; E). Alors u m P K ( ; E). Par cotiuité o trouve u (τ) v (τ)dτ = b (v ; u ) pour tout v H 1 ( ; E), tel que v (t ) =. u das

14 Si o pred v (t) = V E sur das l équatio (18) o obtiet U m+1.v = b (V ; u m ) pour tout V das E. Doc U m } m= coverge vers U E et U.V = b (V ; u ) pour tout V E. Soit w (t) = v (t) v (t ) avec v (t) H 1 ( ; E). O a u (τ) ẇ (τ)dτ = b (w ; u ) car w (t ) = et o obtiet u (τ) v (τ)dτ = b (v ; u ) b (v (t ); u ) = b (v ; u ) U.v (t ). D où (u, U ) est ue solutio de l équatio (17) sur l itervalle. 5 L erreur L 2 et aux oeuds 5.1 Résultats de covergece Théorème 5.1 Soit x H K+1 (, T ; E) alors If x u, : u P K ( ; E)} ch k+1 x K+1,, (19) If x u h : u h I = u P K ( ; E)} ch k+1 x K+1. (2) Posos e, = u x R,, e = u x R, e, = u x R,, E = U x R (t ), e 1, = u x R 1,, e 1, = u x R 1,, e, = sup u (τ j ) x R (τ j ) : j J } et e, = sup û (τ j ) x R (τ j ) : j J } avec u P K ( ; E). Théorème 5.2 Sous les hypothèses du Théorème 3.3 et si h est assez petit, û N x R (t) < c h 1 x (1) R, (21) max U x R (t ) ; =, 1,.., N} ch 1 x (1) R, (22) où û N = N u χ [t 1,t. =1 Démostratio :O va faire u raisoemet de proche e proche. O suppose que E k = U k x R (t k ) = O(h), k = 1,..., 1, u x R,[,t 1 = O(h) (i.e. u x R,[,t 1 ch) et regardos ce qui se passe sur l itervalle = [t 1, t. Des problèmes suivats trouver x H 1 ( ; E), avec x 1,..., x 1 déjà doés et x = x R I, tel que x R (t ) v (t ) I x R (τ) v (τ)dτ = x R (t 1 ) v (t 1 ) + F (x R, τ) v (τ)dτ, pour tout v H 1 ( ; E) et trouver u H 1 ( ; E) avec u 1,..., u 1 déjà doés, tel que U v (t ) u (τ) v (τ)dτ = U 1 v (t 1 ) + F (û, τ) v (τ)dτ, pour tout v H 1 ( ; E),

15 o trouve [U x R (t ) v (t ) (u (τ) x R (τ)) v (τ)dτ = [U 1 x R (t 1 ) v (t 1 ) + [F (û, τ) F (x R, τ) v (τ)dτ. (23) Preos v = U x R (t ) das cette équatio alors o a U x R (t ) 2 U 1 x R (t 1 ) U x R (t ) + U x R (t ) F (û, τ) F (x R, τ) dτ, par suite De plus o a Alors o obtiet la majoratio suivate U x R (t ) U 1 x R (t 1 ) + F (û, τ) F (x R, τ) dτ. F (û, τ) F (x R, τ) dτ q(τ) (u (τ) x R (τ)) + ((β j (û ) β j (x R ))χ [τj, )(τ) dτ, q, u x R, + Λe Λ h 1/2 q, û x R,. (24) E E 1 + q, e, + Λ e Λ q, h 1/2 max û (τ j ) x R (τ j ) : j J }, E 1 + q, e, + Λ e Λ q, h 1/2 (e, 1 + e, ). Or e, h 1/2 [e, + h e 1,, voir [3, d où E E 1 + (1 + Λ e Λ ) q, e, + Λ e Λ h 1 e 1, q, + Λ e Λ q, h 1/2 e, 1. De plus e 1, u u 1, + e 1, et u u 1, ch 1 u u,. Doc o obtiet E E 1 + (1 + Λ e Λ ) q, e, + Λ e Λ h 1 ch 1 u u, + e 1, + h 1/2 e, 1 } q,. (25) Preos v tel que v (τ) = (u u )(τ), t et v (t ) = das l équatio (23) u (τ) u (τ) 2 dτ u (τ) x R (τ)) u (τ) u (τ) dτ + E 1 u (τ) u (τ) dτ +h 1/2 u u, F (û, τ) F (x R (τ), τ) dτ. Alors e utilisat (24) o trouve doc u u 2, u u, u x R, + h 1/2 E 1 u u, +h 1/2 q, u u, [ u u, + u x R, + Λ e Λ h 1/2 (e, 1 + e, ), u u, e, + E 1 h 1/2 + h 1/2 q, e, + h q, Λ e Λ (e, 1 + e, ), e, + E 1 h 1/2 + h 1/2 q, u u, + e, } +h q, Λ e Λ (e, + h e 1, )h 1/2 + h q, Λ e Λ e,, e, + E 1 h 1/2 + h 1/2 q, u u, + e, } +h q, Λ e Λ h 1/2 [e, + c u u, + h e 1, + h q, Λ e Λ e, 1.

16 Par suite [1 h 1/2 q, (1 + (1 + c)λ e Λ ) u u, E 1 h 1/2 + e, [1 + h 1/2 q, (1 + Λ e Λ ) + h 3/2 q, Λ e Λ e 1, + h q, Λ e Λ e, 1. Posos θ = h 1/2 q, (1 + (1 + c)λ e Λ ) alors l équatio précédete deviet u u, Efi o a la majoratio suivate u u, + 1 E 1 h 1/2 + e, (1 + θ ) + h 3/2 q, Λ e Λ e 1, + h q, Λ e Λ e, 1 }. 1 } h 1/2 E 1 + (1 + θ )e, + h 3/2 q, Λ e Λ e 1, 1 h q, Λ e Λ e, 1. (26) E utilisat cette iégalité pour la majoratio de l erreur das L 2 (, T ; E), o obtiet Alors e, e, + u u,, e, + 1 [ h 1/2 E 1 + (1 + θ )e, + h 3/2 q, Λ e Λ e 1, + 1 h 1 q, Λ e Λ e, 1. e, 1 [ h 1/2 E 1 + 2e, + h 3/2 q, Λ e Λ e 1, + h 1 q, Λ e Λ e, 1. (27) De même pour la majoratio de l erreur aux oeuds, o utilise l équatio (26), alors l équatio (25) deviet D où E E 1 + q, (1 + Λ e Λ ) [e, + u u, + Λ e Λ q, [h e 1, + c u u, + q, Λ e Λ h 1/2 e, 1, E 1 + q, (1 + Λ e Λ )e, + h Λ e Λ q, e 1, + q,(1 + Λ e Λ ) + c q, Λ e Λ [ h 1/2 E 1 + (1 + θ )e, + h 3/2 q, Λ e Λ e 1, + q, Λ e Λ h 1/2 e, 1 + c q, (1 + Λ e Λ )h q, Λ e Λ e, 1. E 1 + q,λ e Λ h 1/2 E 1 1 θ [ +e, (1 + Λ e Λ ) q, θ ( q, (1 + Λ e Λ ) + q, Λ e Λ ) [ +e 1, h q, Λ e Λ + h 3/2 q, Λ e q,(1 + Λ Λ e Λ ) + c q, Λ e Λ [ +Λ e Λ h 1/2 q, e, c (1 + Λ e Λ )h 1/2 q,.

17 Pour h suffisammet petit, le coefficiet de e, 1 peut être réarragé et majoré comme suit [ Λ e Λ h 1/2 q, 1 + c (1 + Λ e Λ )h 1/2 q, Λ e Λ h 1/2 q, (1 + c θ ), Le coefficiet de e, est égal à (1 + Λ e Λ ) q, Le coefficiet de e 1, est majoré par Doc o trouve (1 + Λ e Λ ) q, (3 + θ ). c θ. } Λ e Λ ( ) + (1 + θ ) + c(1 + θ ) 1 + Λ e Λ h q, Λ e Λ [ + θ h 1/2 + ch 1/2 q, Λ e Λ h q, Λ e Λ [ 1 + ch 1/2 q, Λ e Λ. E 1 + θ E 1 + q,[1 + Λ e Λ c (3 + θ )e, + c θ + 1 h q, Λ e Λ (1 + q, h 1/2 Λ e Λ c) e, 1 } e 1,. Si o pred α = 1+θ 1 θ, β = q,[1+λ e Λ c 1 θ (3 + θ ), γ = 1 1 θ h q, Λ e Λ (1 + q, h 1/2 Λ e Λ c)} et δ = c θ 1 θ, o trouve E α E 1 + β e, + γ e 1, + δ e, 1. De proche e proche o motre que avec la covetio E ( α i )E + k=m + i=1 j 1 ( α i )β j e, j + j= i=1 j 1 ( α i )δ j e, j j= i=1 α k = 1 si < m. Doc E KE + K β j e, j + K j= où K est défii comme suit α = 1+θ 1 θ j 1 ( α i )γ j e 1, j j= i=1 γ j e 1, j + K j= = 1 + 2θ 1 θ, K = i=1 δ j e, j, j= α i = (1 + 2θ i 1 θ i ) e 2 petit de telle sorte que θ l < 1/2 pour tout l de l esemble 1,..., N}, alors 1 θ i > 1/2 d où Doc K e 4 θ i i=1 <. O a égalemet i=1 β j e, j ( β j) 2 1/2 e j= j= i=1 θ i 1 θ i. Si h est assez θ i 1 θ i 2θ i.

18 où e = ( e 2, j )1/2. De même si o pred e 1 = ( e 2 1, j )1/2 o trouve j= O motre que j= γ j e 1, j ( γ j) 2 1/2 e 1. j= j= β j 2 = j= m= β 2 m max (3 + θ l) 2 (1 θ l ) 2, l } m= q 2,m(1 + Λ m e Λm c) 2. Si h est suffisammet petit pour que θ i 1/2, o aura β j 2 c(1 + Λe Λ c) 2 q 2. j= Puisque 1 + h 1/2 Λ e Λ c q, 1 + θ doc γ h 1 1 θ q, Λ e Λ (1 + θ ), o obtiet γ j 2 c q 2,m(Λe Λ c) 2 h 2. j= O a aussi δ j = j= δ k = k= 2c θ k, k= k= c θ k 1 θ k, 2hc q (1 + cλe Λ ). Fialemet E KE + Kc(1 + Λe Λ c) q e + c q (Λe Λ c)h 1 e 1 + K2c q h 1 (1 + cλe Λ )e, j. O a e, h 1/2 [e, + h e 1, de plus doc e 1, e 1, + u u 1,, e 1, + ch 1 u u,, e, h 1/2 e, + h 1/2 e 1, + ch 1/2 u u,, h 1/2 e, + h 1/2 u u, + h 1/2 e, + ch 1/2 u u,, 2h 1/2 e, + (1 + c)h 1/2 u u,, 2h 1/2 1/2 (1 + c) e, + h h 1/2 E 1 + (1 + θ )e, + h 3/2 q, Λ e Λ e 1, + h q, Λ e Λ e, 1 }, O(h 1/2 ) + ce 1 + O(h 1 ) + O(h 3/2 ) + 1 h 1/2 q, Λ e Λ e, 1.

19 D autre part e, 1 [h 1/2 E 1 + 2e, + h 3/2 q, Λ e Λ e 1, +h q, Λ e Λ e, 1 d où e C[ max E + 2e + h 3/2 max q, Λ e Λ, = 1,..., N}e 1 +h 1/2 max q, Λ e Λ, = 1,..., N}e, 1. Reveos au raisoemet par récurrece. Pour = 1 o a E = U x = alors E 1 = O(h), doc le résultat est vrai pour E 1 et e,1. Supposos qu il soit vrai jusqu a 1 et motros qu il est vrai pour. Puisque E 1 = O(h) et e,1 = O(h) alors e,1 O(h 1/2 ) ; et par suite e,2 O(h 1/2 ). Efi e,l = O(h 1/2 ) pour tout l alors E C(E + O(h 1 ) + O(h 3/2 )), e [E + O(h ) + O(h 3/2 ). Théorème 5.3 Sous les hypothèses du Théorème 3.3 et si h est assez petit, o a + β j (û N )χ [τj, ) x ch 1 x (1) ûn R, (28) max U + β j (û N )χ [τj, )(t ) x(t ) x ; =, 1,.., N ch1 (1) R (29) où x est la solutio de (1). Démostratio :O a x(t) = x R (t) + β j (x R )χ [τj, )(t ) alors + β j (û N )χ [τj, ) x ûn û N x R + [β j (û N ) β j (x R )χ [τj, ). E utilisat la défiitio de la orme., o trouve [β j (û N ) β j (x R )χ [τj, ) N 2 } 1/2 = [β j (û =1 N ) β j (x R )χ [τj, ),, N λ j e Λ max û =1 N (τ i ) x R (τ j ), i J } 2, } 1/2,

20 N e Λ e,n } 1/2 λ j 2,, =1 h 1/2 N ( λ j ) 2 } 1/2 e Λ e,n, =1 h 1/2 Λe Λ e,n. E utilisat les résultats du théorème précédet o trouve l iégalé (28). Pour obteir la majoratio (29) o suit le même procédé. 5.2 Résultats de supercovergece pour les systèmes o liéaires Das ce paragraphe o suppose que les impulsios e dépedet pas de l état c est à dire que α j (x(τj )) = α j. Das ce cas o aura β j (x R ) = α j pour tout j J, de plus l hypotèse (b) du Théorème 3.3 deviet α j <. Avec cette coditio l équatio (17) deviet trouver ũ h = (U,..., U N ; u 1,..., u N ) U h tel que U = x et pour = 1,..., N U v (t ) u (τ) v (τ)dτ = U 1 v (t 1 ) + f(u (τ) + (3) α j χ [τj, )(τ), τ) v (τ)dτ, pour tout v P K+1 ( ; E). Pour les systèmes o liéaires ous utilisos les résultats de Théorème 5.2 pour prouver que si la foctio F vérifie des hypothèses supplémetaires alors o peut obteir des ordres de covergece plus élevés. Théorème 5.4 Si A L 2 (, T ; L(E)) et f L 2 (, T ; E) alors l uique solutio w du système ẇ(t) = A(t)w(t) + f(t), w() = α est das H 1 (, T ; E), l applicatio (x, f) w de E L 2 (, T ; E) das H 1 (, T ; E) est liéaire cotiue et il existe ue costate c tel que w 1 c α + f }. Démostratio :Voir [4. Lemme 5.1 Soit x ue foctio défiie sur [, T à valeur das E, sur chaque sous-itervalle o désige so iterpolatio de Lagrage de degré par x. Si x H 1, ous avos x x, ch 1 x 1, ch 1 x 1, et x I x ch 1 x 1 ch 1 x 1. Démostratio :Voir [1.

21 Théorème 5.5 Supposos que la solutio du problème (5) est das H 1 (, T ; E), que la solutio de (13) existe et que les coditios suivates sot vérifiées : (i) la matrice A(t) = F x (x(t), t), a ij (t) = F i x j (x(t), t), 1 i, j d avec d = dime, est das H 1 (, T ; E), (ii) il existe u voisiage V de l origie de E et ue costate B tels que pour tout t [, T et y x R (t) + V F (y, t) F (x R (t), t) A(t)(y x R (t)) B y x R (t) 2. Alors il existe ue costate c idépedate de h telle que lorsque h est suffisammet petit max U x R (t ) : =, 1,.., N} c u x R [h 1 + u x R, (31) max U + α j χ [τj, )(t ) x(t ) : =, 1,.., N c u x R [h 1 + u x R. (32) Démostratio :Preos v = (v 1, v 2,..., v N ) N =1 P 1 ( ; E) tel que v (t ) = v +1 (t ) pour = 1,..., N 1 das (13) et e additioat cette derière pour les premiers itervalles ous obteos (x R (t ) U ) v (t ) = (x R u i, v i ),i + (F (x R ) F (u i ), v i ),i. (33) Soit w la solutio de l équatio différetielle suivate ẇ(t) + A T (t)w(t) =, i=1 w(t ) = x(t ) U. D après (i) et le Théorème 5.4 w est das H 1 (, t ; E). Si w I est l iterpolée cotiue de w das N avec w I (t ) = x(t ) U, le Lemme 5.1 et le Théorème 5.4 ous doet Substituat w I à la place de v das (33), o trouve x R (t ) U 2 = (x R u i, ẇi I + A T wi I ),i + i=1 Par costructio de w et l hypothèse (ii), cette équatio deviet i=1 =1 (34) P 1 ( ; E) w w I 1 ch 1 w ch 1 x(t ) U. (35) (F (x R ) F (u i ) A(x R u i ), wi I ),i. i=1 x R (t ) U 2 = x R u w I i + A T w I i + B x R u 2 w I. (36) O a w I w + w w I et d après (35) o trouve w w I ct 1/2 ẇ ẇ I. ch 1 x R (t ) U, d où w I c x(t ) U si h est suffisammet petit. Egalemet ẇ I + A T w ẇ I ẇ + A T (w I w) c w I w 1 che. E utilisat ces iégalités das (36) ous obteos x R (t ) U = c x R u [h + x R u et grâce à (2.32) o obtiet x(t ) U = ch 2 x (1) [1 + x (1) d où le résultat.

22 5.3 Résultats de supercovergece das le cas liéaire Das ce paragraphe o suppose que f(x(t), t) = A(t)x(t) + b(t) où A(t) est ue matrice de dimesio d d dot les élémets sot mesurables et borés sur [, T alors si α j < o a l existece et l uicité de la solutio du problème (13) das H 1 (, T ; E). Lemme 5.2 Soit w H K+2 ( ; E) telle que ẇ(t) + A T w(t) =, w(t ) = E. alors w (l), c E (l = 1,..., K + 1), (37) w (l), ch 1/2 E (l =,..., K + 2). (38) De plus soit v P K ( ; E) telle que alors v(t) = E P K (ẇ)(τ)dτ, v, (1 + ch) E, (39) v w, ch K+2 E, (4) v w, ch K+5/2 E, (41) v ẇ, ch K+3/2 E. (42) Démostratio :Voir [2, Lemme 5.7. Lemme 5.3 L iégalité suivate est vérifiée N (1 + ch 1/2 q, ) exp(ct 1/2 q ). (43) =1 Démostratio :Voir [2, Lemme 5.4. Théorème 5.6 Sous les hypothèses du Théorème 3.3 et si les impulsios e dépedet pas de l état, alors pour h assez petit et tout u P k+1 ( ; E) o a [ U x R (t ) 1 + ch 1/2 q, U 1 x R (t 1 ) + c q, u x R,, (44) Démostratio :Voir [3, Théorème 4.1. u x R, ch 1/2 U 1 x R (t 1 ) + c u x R,. (45) Remarque 5.1 Lorsque les élémets de A sot das H 1 (, T ; E), alors ils sot cotius et borés, doc q est borée et pour tout itervalle, q, est proportioelle à h 1/2.

23 Théorème 5.7 Supposos que f(x(t), t) = A(t)x(t) + b(t) où b(t) et les coloes de A(t) sot mesurables et das H K+1 (, T ; E) et que α j <. Alors pour h assez petit o a U x R (t ) (1 + ch) [ U 1 x R (t 1 ) + ch K+3/2 u x R,. Démostratio :De l équatio (23) avec φ j (u (τ 1 ),..., u (τ j )) = α j (j J), o trouve [U x R (t ).v (t ) = [U 1 x R (t 1 ).v (t ) + (u (τ) x R (τ)). v(τ)dτ I + (A(τ) [u (τ) x R (τ).v (τ)dτ = [U 1 x R (t 1 ).v (t ) + (u (τ) x R (τ)). [ v(τ) + A T (τ)v (τ) dτ. Utilisos v défiie das le lemme (5.2), avec E = U x(t ) alors o obtiet et d après l équatio (39) De l iégalité de schwartz o déduit De plus [U 1 x R (t 1 ).v (t 1 ) v, U 1 x R (t 1 ) [U 1 x R (t 1 ).v (t 1 ) (1 + ch) U 1 x R (t 1 ) E. (u (τ) x R (τ)) [ v(τ) + A T (τ)v (τ) dτ u x R, v + A T v,. v + A T v, = v ẇ + A T (v w), w défiie das le lemme (5.2) max(1, A T )( v ẇ, + v w, ) max(1, A T )(ch K+3/2 + ch K+5/2 ) E d aprés (41) et (42) ch K+3/2 (1 + ch) E. D où [ U 1 x R (t 1 ) (1 + ch) U 1 x R (t 1 ) + ch K+3/2 u x R., Théorème 5.8 Sous les hypothèses du Théorème 5.7 o a le résultat suivat U x R (t ) c U x + h K+2 x (1) R α j.

24 Démostratio :Du Théorème 5.7 o a et du Théorème (5.6) U x R (t ) (1 + ch) [ U 1 x R (t 1 ) + ch K+3/2 u x R, U x R (t ) (1 + ch) [ U 1 x R (t 1 ) (1 + ch K+2 ) + ch K+3/2 u x R,. De Lemme (5.3) o trouve U x R (t ) (1 + ch) [ U x + ch K+3/2 u i x R,i puisque la solutio de (7) est das H 1 (, T ; E). Du Théorème 5.1 o obtiet le résultat. i=1 6 Forme géérale de la solutio du problème approché Das ce paragraphe o suppose que E = IR et o écrit P K ( ) et P K (, 1) au lieu de P K ( ; E) et P K (, 1; E). Nous allos choisir des bases pour P K (, 1) et P K+1 (, 1) et e déduire des bases pour P K ( ) et P K+1 ( ), = 1,.., N. Pour celà choisissos ue formule d itégratio umérique à (k + 1) poits 1 ψ (ζ) dζ = K+1 k=1 a k ψ(η k ), (46) où η 1... η l η l+1... η K+1 1, qui soit exacte pour les polyômes de degré iférieur où égal à (2K + 1). Soit ϕ k : k = 1,.., K + 1} les polyômes d iterpolatio de Lagrage associés aux K + 1 poits η k } K+1 k=1 ϕ k (ζ) = K+1 i=1,i k ζ η i η k η i, ζ 1, k = 1,..., K + 1. (47) les polyômes ϕ 1,..., ϕ K+1, formet ue base de P K (, 1). O défiit ψ k (t) = 1 t ϕ k(ζ)dζ t 1, k = 1,.., K + 1, ψ (t) = 1 t 1. (48) Alors ψ,..., ψ K+1 formet ue base de P K+1 (, 1). Pour obteir ue base de P K ( ) et P K+1 ( ), où = [t 1, t, o pose pour t ϕ k (t) = ϕ k ( t t 1 h ), k = 1,..., K + 1, (49) ψ k (t) = ψ k ( t t 1 h ), k =,..., K + 1. (5) La famille ϕ k } K+1 k=1 forme ue base de PK ( ), doc pour tout u P K ( ) o a u (t) = K+1 k=1 u k ϕ k (t) t, (51)

25 avec u k = u (t k ), t k = t 1 + h η k et k = 1,..., K + 1. Si o pred v (t) = ψ (t) = 1 pour tout t das (17) o obtiet U = U 1 + f(u (t) + β j (û )χ [τj, )(t), t))dt. (52) Pour v = ψ k, k = 1,..., K + 1 (17) deviet U ψ k (t ) u ψ k (t)dt = U 1 ψ k (t 1 ) + f(u (t) + β j (û )χ [τj, )(t), t)ψ k (t)dt. Or et ψ k (t 1 ) = ψ k () = u (t) ψ k (t)dt = ψ k (t ) = ψ k (1) =, K+1 j=1 K+1 = j=1 j=1 1 ϕ k (ζ)dζ = K+1 l=1 a l ϕ k (η l ) = a k ( u j ϕ k (t) I 1 ψ k ( t t ) 1 ) dt, h h u j 1 i=1 ϕ j (ζ)ϕ k (ζ)dζ où ζ = t t 1 h, K+1 K+1 = u j a j ϕ j (η i )ϕ k (η i ), = u k a k. D où pour k = 1,.., K + 1 o a u k a k = U 1 a k + f(u (t) + β j (û )χ [τj, )(t), t)ψ k (t)dt et doc u k = U a k pour k = 1,.., K + 1, avec u (τ j ) = K+1 k=1 Nous avos alors les résultats suivats. f(u (t) + u k ϕ(τ j ). Théorème 6.1 L équatio (7) est équivalete à U = x et pour = 1,..., N K+1 u (t) = U 1 + k=1 ϕ k (t) a k f(u (t) + β j (û )χ [τj, )(t), t)ψ k (t)dt, (53) β j (û )χ [τj, )(t), t)ψ k (t)dt et U = U 1 + f(u (t) + β j (û )χ [τj, )(t), t)dt, où û est la foctio défiie par (16).

26 Corollaire 6.1 O suppose que l itégrale qui cotiet le terme o liéaire f est évaluée par la formule d itégratio (46) qui est exacte pour les polyômes de degré iférieur où égal à 2K + 1, alors l équatio (7) ous doe le système U = x, u k = U 1 + h K+1 a l f(u l + β j (û )χ a [τj, )(t l ), t l )ψ k (η l ), k l=1 K+1 U = U 1 + h l=1 a l f(u l + pour k = 1,..., K + 1 et = 1,..., N, avec u (τ j ) = K+1 7 Tests umériques β j (û )χ [τj, )(t l ), t l ). k=1 u k ϕ(τ j ) et û est la foctio défiie par (16). Pour justifier umériquemet os résultats de covergece ous cosidéros deux exemples. Das le premier exemple, ous preos l équatio différetielle liéaire suivate ẋ(t) = 2tx(t), t [, 1, x() = 1. Das le deuxième exemple ous preos l équatio différetielle o liéaire suivate ẋ(t) = 2tx 2 (t), t [, 1, x() = 1. Notos que das le deuxième exemple les hypothèses du Théorème 5.5 sot satisfaites avec B=2. Pour les figures 1 et 2 ous cosidéros le premier exemple avec ue seule impulsio qui déped de l état au poit.5 avec α 1 (x(.5 )) = x(.5 ). Nous cosidéros das la suite deux cas pour les deux exemples. Das le premier cas ous supposos que ous avos 1 impulsios aux poits τ i = 7i (2) 1 4 et α i = ( 1) i+1. Pour le deuxième cas ous supposos que ous avos u poit d accumulatio au poit 1/3, avec τ i = i+1 et α i = 1 2 i. Pour chaque cas ous calculos le logarithme de l erreur das L 2 (, T ) (l(el2)) et le logarithme de l erreur aux oeuds (l(en)) e foctio du logarithme de pas de la partitio l(h).

27 Référeces [1 P.G. Ciarlet, The Fiite Elemet Method for Elliptic Problems, North-Hollad, Amsterdam, [2 M.C. Delfour et F. Dubeau, Fixed mesh Approximatio of Ordiary Differetial Equatios with Impulses, Numer. Math., 78 (1998), [3 M.C. Delfour et F. Dubeau, Discotious Polyomial Approximatios i the Theory of Oe-Step, Hybrid ad Multistep Methods for Nolieair Ordiary Differetial Equatios, Math. Comp., 47 (1986), et s1-s8. [4 M. Delfour, W. Hager et F. Trochu, Discotious Galerki Methods for Ordiary Differetial Equatios, Math. Comp., 36 (1981), [5 F. Dubeau, Approximatio polyômiale par morceaux des équatios différetielles, Thèse de Ph.D., Uiversité de Motréal, Février [6 F. Dubeau, Existece, Uiqueess ad Approximatio of the Solutio of a ODE with (Ifiitely May) State-Depedet Impulses via a Fixed Mesh Galerki Formulatio, Approx. Theory ad its Appl., 15 (1999), [7 F. Dubeau, O First Order Ordiary Differetial Equatios with Ifiitely May State-Depedet Impulses, Differetial Equatios ad Dyamical Systems, 5 (1997), [8 F. Dubeau, A. Ouasafi et A. Sakat, Équatios différetielles ordiaires avec impulsios qui dépedet de l état, à paraître das les Aales des Scieces Mathématiques du Québec, (21). [9 J.L. Lios et E. Magees, Problèmes aux limites o homogèes et applicatio, Vol. 1, Duod, Paris, 1968.

28 K= -2-4 K=1 K=2-6 log e log h Fig. 1 L erreur aux oeuds pour ue seule impulsio qui déped de l état K= -2-4 K=1 K=2-6 log erl log h Fig. 2 L erreur L 2 pour ue seule impulsio qui déped de l état -5 k= k=1 k=2-1 l(e) l(h) Fig. 3 L erreur aux oeuds pour l exemple 1 avec 1 impulsios

29 -2 k = -4 k = 1 k = 2-6 l(el2) l(h) Fig. 4 L erreur L 2 pour l exemple 1 avec 1 impulsios 5 k= k=1 k=2-5 l(e) l(h) Fig. 5 L erreur aux oeuds pour l exemple 1 avec ue ifiité d impulsios 5 k= k=1 k=2-5 l(el2) l(h) Fig. 6 L erreur L 2 pour l exemple 1 avec ue ifiité d impulsios

30 -5 k = k = 1 k = 2-1 l(e) l(h) Fig. 7 L erreur aux oeuds pour l exemple 2 avec 1 impulsios -4 k= -6 k=1 k= l(el2) l(h) Fig. 8 L erreur L 2 pour l exemple 2 avec 1 impulsios k = k = 1 k = 2 l(e) l(h) Fig. 9 L erreur aux oeuds pour l exemple 2 avec ue ifiité d impulsios

31 4 k= 2 k=1 k=2-2 l(el2) l(h) Fig. 1 L erreur L 2 pour l exemple 2 avec ue ifiité d impulsios