Navier-Stokes : écoulements souterrains et lubrification

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1 Mécanique des fluides - Bachelo TD Navie-Stokes : écoulements souteains et lubification Eecice : écoulement dans les milieu poeu satués, loi de Dac A En 856, l ingénieu Hen Dac s intéessait à l écoulement de l eau à taves les sables pou les fontaines public de la ville de Dijon. Pou modélise l écoulement dans un milieu poeu comme pa eemple le sable d un aquifèe, il fomulait la loi empiique suivante : Q = KA H L, où Q est le débit de fluide passant pa un milieu poeu de section A et de longueu L. K est la conductivité hdaulique du milieu poeu epimé en m s. H est la difféence de hauteu d eau ente l amont et l aval. Quelque 50 ans plus tad cette loi joue toujous un ôle majeu pou la modélisation d écoulement souteains.. On suppose le passage de l eau dans un aquifèe de sable fin de peméabilité K = 0 4 m s, H = m, A = 2 m 2 et L = 0 m. Donne le débit Q au soti de la nappe. 2. On souhaite maintenant faie le lien ente la loi de Dac et la mécanique des fluides dans le milieu poeu. Sachant que la poosité d un sable fin est de l ode de Φ = 30 %, déduie la vitesse moenne dans le milieu poeu. Détemine alos le nombe de Renolds on penda comme taille caactéistique d un poe la diamète d un gain D = 0, mm. Dans quel égime est-on? On appelle la viscosité cinématique de l eau à 20 C : ν eau = 0 6 m 2 s. On peut modélise un milieu poeu comme un ensemble de capillaies ectilignes paallèles de diamète individuel d, chacun se compotant comme un écoulement de Poiseuille. L d La loi de Poiseuille dans un clinde a été démontée et losqu on applique une difféence de pession P dans un tube de longueu L et de diamète d pou un fluide de viscosité µ, on obtient le débit volumique :. Q P oiseuille = π P 28νρ L d4.

2 Mécanique des fluides - Bachelo TD 3. Sachant que l on a une densité de n poes pa mète caé, epime le débit total pou la suface A. 4. Epime le lien ente la poosité Φ, la densité de poes n et le diamète d un poe d. 5. Epime P en fonction de H 6. Compae la fomule obtenue avec la loi de Dac et donne une évaluation du diamète des capillaies connaissant Φ, K, ρ eau. Commente. 7. À l aide des équations de Navie-Stokes, edémonte que v = P 8Lρν R2 2, où v est la vitesse dans un tube de diamète d et est la distance pa appot au cente du tube. Facultatif 8. On considèe l eau qui se touve dans l anneau clindique de longueu L, compis ente et d. Epime dp p, la puissance mécanique élémentaie des foces de pession qui s eecent su ce sstème. 9. En déduie la puissance mécanique P p founie pa les foces de pession qui s eecent su un tube de longueu L et de diamète d. 0. En déduie la puissance dissipée P ν dans un tube et la puissance dissipée totale.. En supposant que toute l énegie dissipée est convetie en chaleu et que l aquifèe est isolé, quelle est l élévation maimale de l eau ente l amont et l aval de l aquifèe? On donne : c = 4,8 0 3 J K kg la capacité caloifique de l eau. Eecice 2 : Application de la loi de Dac à l écoulement dans un talus poeu La loi de Dac se généalise à 3 dimensions : v s = Qn u A = Kg p, où n u est le vecteu unitaie de diection de l écoulement et p est la pession. A tite d eemple, analsons l écoulement à taves un talus poeu de peméabilité K, de longueu L et de lageu B qui sépae deu nappes d eau de niveau difféents 0 et. Nous supposons que l on atteint un égime stationnaie où le niveau de l eau s à l intéieu du massif est constant au cous du temps.. Si la pente de la suface libe est asse faible à l intéieu du massif poeu, quelle hpothèse peut-on faie su la diection de l écoulement? 2. Epime la pession p,. 3. Epime Q en fonction de h, v et B, puis écie l équation difféentielle. 4. Résoude l équation difféentielle, puis donne l epession du débit ente les deu lignes d eau. 5. Donne l epession de s en fonction de 0,, et L.. On appelle que la capacité caloifique est l énegie qu il faut founi à un cops de kg pou l éleve de K 2

3 Mécanique des fluides - Bachelo TD 6. Vous êtes chagé de constuie une digue de B = 0 m de long ente deu bassins de étention de poduits pollués distants de L = 5 m et d une difféence de hauteu d eau de 0,2 m et des pofondeus dans chaque bassin de,5 m. Quel matéiau devie-vous utilise pou limite le tansfet ente les deu bassin à 0, L/j. On vous donne la liste des matéiau disponibles : Matéiau Conductivité hdaulique K gavies sans éléments fins 0 2 m s sables non agileu 0 2 à 0 4 m s sables fins et agileu 0 4 à 0 8 m s Agiles fanches 0 8 à 0 3 m s Eecice 3 : lubification et flaque d huile Si on fait glisse une feuille de papie paallèlement à la suface hoiontale d une table lisse, la pésence du film d ai ente la table et la feuille favoise le glissement ; au contaie, si la feuille est pecée de quelques tous, elle glisse tès mal. De même, on glisse tès facilement su flaque d huile ou d eau à la sotie de la douche. Pouquoi? Considéons la situation où l on mache su une flaque d huile. On va considée le pied et le sol comme étant deu plans mobiles. Il a une couche de fluide ente deu plans mobiles espacés pa une hauteu vaiable h. La vaiation de hauteu est faible, et la hauteu moenne h = h h 2 /2 est petite devant la longueu des plans c est-à-die : h l. Le plan inféieu on invese le poblème pa simplicité dans la calcule se déplace à vitesse constante u p = 0, m/s. On considèe comme échelles caactéistiques du poblème l = L = 0, m, H = h = 0,00 m. La viscosité dnamique µ de l huile est de l ode de Pa s, sa masse volumique est de l ode de 00 kg/m 3. Le appot d aspect est défini comme ε = H /L = 0 2. On considèe l écoulement comme étant stationnaie et on néglige la gavité.. Calcule le nombe de Renolds du poblème. Peut on considée l écoulement comme laminaie? 2. À l aide des échelles caactéistiques du poblème, écie l équation de continuité sous fome adimensionnelle. Touve la elation ente U et V. 3. On intoduit l échelle caactéistique de pession P = µu /εh. Écie les équations de Navie-Stokes sous fome adimensionnelle. 4. Monte que les équations de Navie-Stokes se éduisent à p ν 2 u 2 = 0, p = Calcule le champs de vitesse u,. Indication : pense au conditions au limites, notamment que l une des deu plaques bouge. 6. Epime le débit pa unité de lageu q ente les deu plaques métalliques. Indication : intége le champ de vitesse ente 0 le plan inféieu et h le plan supéieu. 3

4 Mécanique des fluides - Bachelo TD 7. Le débit est consevé ente les deu plans métalliques. Monte que le gadient de pession s écit alos dp d = 2µ h 3 q u ph Epime la pession en un point en fonction de q, h, µ et u p sachant que la pession en = 0 vaut p. 9. On suppose que la pession en = l vaut p 2 = p = p 0 en d aute temes les deu etémités de la couche d huile sont à pession atmosphéique. On considèe un vaiation linéaie de hauteu h = h h 2 h. l Calcule le débit q. Application numéique : h =, mm et h 2 = 0,9 mm. 0. On s intéesse maintenant à la foce nomale F N et la foce tangentielle F T essenti pa le plan supéieu dû à la pésence de la couche d huile. Calcule ces deu foces et éalise une appoimation dans le cas où l épaisseu h est tès supéieu à l épaisseu minimale h 2.. Compae F N et F T. Qu en déduise-vous? 2. Faie l application numéique pou une flaque d huile avec les valeus numéiques ci-dessus. 4

5 Mécanique des fluides - Bachelo TD Equations de Navie-Stokes coodonnées catésiennes,, Consevation de la masse : u u u v = 0 Consevation de la quantité de mouvement : u t u u u u u u u t u u u u u u w t u u u u u u 2 µ u 2 2 u µ µ 2 2 u 2 2 u 2 2 u 2 2 u 2 2 u 2 g, 2 u 2 2 u 2 g, g. coodonnées clindiques, θ, Consevation de la masse: u u θ θ u = 0. Consevation de la quantité de mouvement : u t u u u θ u θ u u u2 θ uθ t u θ u u θ θ u θ u uu θ u θ u t u u u θ u θ u u µ = p θ µ µ u u θ u 2 u 2 θ 2 2 u 2 u 2 u θ g, 2 2 θ 2 u θ 2 θ 2 u θ 2 2 u 2 2 θ u θ g 2 θ, 2 u 2 θ 2 u g