EXERCICES ET PROBLÈMES SUR LA FONCTION EXPONENTIELLE Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako. e = 4 ; 4 ) e x+3 e x 2 = e 3

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1 EXERCICES ET PROBLÈMES SUR LA FONCTION EXPONENTIELLE Sit MathsTICE d Adama Traoré Lycé Tchiqu Bamako Ercic I résoudr das R ls équatios t iéquatios suivats : ) ; ) + ; 3 ) 4 ; 4 ) ) ; 6 ) 4 +3 ; 7 ) 3 8 ; 3 8 ) 3 ; 9 ) (+) ; ) ; ) + ; ) ; 3 ) ; 4 ) ; 5 ) ; 6 ) > ; 7 ) 3 + ; 8 ) + 5 > ) II- ) Résoudr das R l équatio : 3 E déduir la résolutio ds équatios suivats + a) 9 3 b) 4 3 c) ( log ) 3( log ) 3 ) Soit l polyôm P ( ) a) Calculr P() Écrir P() sous la form d u produit d facturs du prmir dgré b) Résoudr P() E déduir la résolutio das R d chacu ds équatios 3 ( l ) ( l ) 4( l ) ) Résoudr das ls équatios : III Résoudr das ls systèms suivats : ; ) y y 6 7 ) y + y ) l( y + ) l( + 4) l 8 y + 4 ) 7 ) 4 + 3f ) l + l 4 l 3 l y y l(3 + 4y) l 7 l( 5) + l 5 y ) l l y l 3 y y 6 ) l( 4 9 ) ( ) 8 y y ) + l( y ) l 6 + y 4 + y Ercics Foctio Epotill Pag sur 5 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu

2 IV Détrmir l smbl d défiitio d chacu ds foctios, puis ls limits au bors d l smbl d défiitio : ) f () + ; ) 5 f ( ) ; 3 ) ) l + 5 ) f ( ) + ; 6 ) ( 9 ) 3 l 4 ( ) + f ; ) Ercic + f ; 7 ) ( ) l( + ) f ( ) ; ) + 3 f ( ) ; 4 ) f ( ) l( ) + f ; 8 ) f ( ) 3 4 ( ) ( f ; ) f ) ( ) A] Soit h la foctio umériqu défii par : h ( ) ( ) + ) Etudir la foctio h ; ) Démotrr qu l équatio h() admt u solutio uiqu α t qu : α 3) Dor l sig d h() das so domai d défiitio 4) A l aid d la calculatric dor u cadrmt d α d amplitud 3 (O plicitra la méthod utilisé) B] Soit la foctio f défii par ; f ( ) + t soit (C) sa courb das u rpèr orthoormé d uité graphiqu cm Etudir ls variatios d f ; Démotrr qu (C) admt u droit (D) asymptot obliqu + qu l o précisra 3 Etudir la positio rlativ d (C) par rapport à (D) ; 4 Dor u équatio d la tagt (T) à (C) au poit d absciss 5 Détrmir sur la figur l domai puis calculr cm l air d la régio du pla limité par (C), (D) t ls droits d équatios t EXERCICE 3 Soit f la foctio umériqu d la variabl réll défii par : f ( ) f () pour ) Dor l smbl d défiitio Df d f t étudir ls limits au bors d Df Ercics Foctio Epotill Pag sur 5 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu

3 ) Etudir l problèm d la cotiuité d f au poit 3 ) Détrmir ls variatios d f t tracr sa courb 4 ) Calculr la dérivé d la foctio F défii pa r : F ) ( 5 ) Détrmir l air A d la parti du pla limité par la courb d f t ls droits y d équatios rspctivs : ; ; Ercic 4 O cosidèr la foctio f défii par : f ( ) ( ) t soit (C f ) sa courb das l pla mui d u rpèr orthoormé d uité cm Etudir ls variatios d f Ecrir u équatio d la tagt (T) à (C f ) au poit l 3 Tracr (T) t (C f ) das l mêm rpèr ; 4 Calculr cm l air d la portio du pla limité par (C f ) ; l a ds abscisss t ls droits d équatios t l ; 5 Détrmir graphiqumt foctio du rél m l ombr d solutios d l équatio m Ercic 5 L pla st mui d u rpèr orthoormé d uité graphiqu : cm A] Soit g la foctio défii par : g( ) Motrr qu lim g( ) ; Etudir l ss d variatio d g Calculr g() puis déduir du tablau d variatio d g l sig d g() suivat ls valurs d 3 Détrmir ls réls a ; b ; t c pour qu la foctio F défii par F( ) ( a + b) soit u primitiv d la foctio qui à a 4 E déduir la primitiv d g qui prd la valur 3 pour B] Soit f la foctio défii par f ( ) + 3 O appll (C f) sa courb rpréstativ das l pla rapporté à u rpèr orthoormé d uité cm Etudir la foctio f Motrr qu la droit (D) d équatio : y + 3 st asymptot à (C f ) 3 Etudir la positio d (C f ) par rapport à (D) ; 4 Motrr qu l équatio f() admt du solutios α t β (α< β) 5 Tracr la courb (C f ) t la droit (D) ; 6 Calculr l itégral : I [ f ( ) y ] d Ercics Foctio Epotill Pag 3 sur 5 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu

4 Ercic 6 Soit la foctio f défii par : f ( ) + Soit (Cf) sa courb das l pla mui d u rpèr orthoormé d uité graphiqu : cm Détrmir l smbl d défiitio Df d f a) Vérifir qu pour tout rél o a : f ( ) + + ; + + b) Etudir ls limits d f + t c) Motrr qu ls droits (D ) : y + t (D ) : y sot asymptots à (Cf) d) Précisr ls positios rlativs d (Cf) par rapport à (D ) t (D ) 3 Motrr qu la foctio f st impair O limitra l étud d f à l itrvall [;+ [ 4 Etudir ls variatios d f sur [ ; + [ 5 Costruir la courb (Cf), la tagt (T) à (Cf) au poit d absciss t ls asymptots (D ) t (D ) 6 Motrr qu l équatio f() admt u solutio uiqu 7 Détrmir cm l air A du domai pla limité par la courb (C) la droit (D ), l a ds abscisss t ls droits d équatios t (O hachurra l domai D sur la figur) Ercic 7: Soit la famill d foctios f m défiis par f m ( ) ( + ) t soit (C m ) sa courb rpréstativ das l pla rapporté à u rpèr orthoormé d uité graphiqu cm Motrr qu touts ls courbs (C m ) d f m passt par du poits fis A t B dot précisra ls coordoés Etudir ls variatios ds foctios f t 3 Dor ls équatios ds tagts au courbs (C ) t (C ) au poits A t B 4 Tracr ls courbs (C ) t (C ) 5 Calculr cm l air du domai pla limité par ls courbs (C ) t (C ) ls droits d équatios t f m Ercics Foctio Epotill Pag 4 sur 5 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu

5 Ercic 8 ) O désig par f la foctio défii sur R par : f ( ) t o appll (C f ) la courb rpréstativ d f das u rpèr orthoormé d uité cm a) Etudir ls variatios d f précisr ls limits d f t + b) Détrmir l sig d f() suivat ls valurs d c) Tracr la courb (C f ) d) Soit α u rél strictmt égatif O ot A(α) l air cm d la parti du pla limité par la courb (C f ), l a ds abscisss t ls droits d équatios : α t Calculr A(α) foctio d α Détrmir la limit d A(α) lorsqu α td vrs ) Das ctt parti, o s propos d étudir la f octio g défii sur R-{} par ( ) l O ot (Γ) la courb rpréstativ d g das l rpèr g précédt a) Précisr ls limits d g ; + t b) Calculr g () t détrmir l sig d g () utilisat ls sigs d f () t f() Drssr l tablau ds variatios d g c) Démotrr qu pour tout rél strictmt positif g( ) l( ) Motrr qu la droit (D ) d équatio y st asymptot à la courb (Γ) Précisr la positio d (Γ) par rapport à (D ) pour tout rél strictmt positif d) Démotrr qu pour tout rél strictmt égatif g( ) l( ) Motrr qu la droit (D ) d équatio y st asymptot à la courb (Γ) Précisr la positio d (Γ) par rapport à (D ) pour tout rél strictmt égatif ) Costruir (Γ ) ; (D ) t (D ) das l rpèr (O ; i ; j ) NB : O utilisra u graphiqu différt d clui d la parti ) Ercics Foctio Epotill Pag 5 sur 5 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu

6 Ercic 9 O cosidèr, pour tir aturl o ul, ls foctios f défiis sur [ ;+ [ par : f ( ), si f () f L pla st rapporté à u rpèr orthoormé d uité graphiqu cm ) Etud ds variatios d f pour ε[ ;+ [ a) Prouvr qu f st cotiu sur [ ;+ [ b) Etudir la dérivabilité d f c) Calculr f () pour > t justifir qu f st strictmt croissat sur [ ;+ [ ) Etud au voisiag d + a) Etudir la limit d f + b) Dor l tablau ds variatios d la foctio g défii sur [ ;+ [ par u g( ) ( u) E déduir qu pour tout ombr rél u : u u () 3 ) Soit t, itégrat sur l itrvall [ ; t] l cadrmt (), déduir qu, t pour tout ombr rél t o a : t ( t) () 4 ) Démotrr grâc à () qu, pour tout rél ; o a f ( ) ( ) (3) E déduir qu la droit D d équatio y st asymptot à la courb (C ) d f 5 ) Précisr la positio rlativ d (C ) t (D ) 6 ) Tracé d courbs a) Dor l tablau ds variatios d f b) Tracr la courb (C ) t so asymptot précisat la tagt O c) Démotrr qu, pour tout >, (C ) st l imag d (C ) par l homothéti d ctr O t d rapport Costruir (C ) sur l mêm graphiqu qu (C ) 7 ) Pour tir aturl o ul, o pos : I f ( ) d O s propos d cadrr l itégral I sas chrchr à la calculr a) Motrr qu, pour tout d [ ;] : f () E déduir qu, pour tout tir, I b) E utilisat la rlatio (3), établir qu : I c) Détrmir la limit d I quad td vrs + Ercics Foctio Epotill Pag 6 sur 5 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu

7 Ercic Das tout l problèm, désig u tir aturl o ul O étudi la foctio défii sur R par : f ( ) O ot (C ) sa courb rpréstativ das u rpèr orthoormal (O ; i ; j ) A] Soit g la foctio défii sur R par : g ( ) ( + ) Détrmir la dérivé d g Fair l tablau ds variatios d g t détrmir ls limits d g au bors d so smbl d défiitio Motrr qu g s aul pour u valur α, t qu α st positif ou ul 3 Motrr qu : α l + α avc α l() 4 a) Motrr qu pour tout rél strictmt positif, o a : l, () b) Déduir d () l sig d g (l ) ; c) Justifir qu : l( ) α α Qulls sot ls limits ds suits d trms géérau α t? B] a) Détrmir la dérivé d f E déduir ls variatios d f b) Détrmir ls limits d au bors d f so smbl d défiitio c) Motrr qu f α ( α ) + α Motrr qu (C ) admt u asymptot (D ) qu l o détrmira 3 Détrmir ls poits d itrsctio d (C ) avc l a ds abscisss, t précisr la positio d par rapport à ct a 4 Etudir ls positios rlativs d (C ) t (C + ) 5 a) Motrr qu :,35 α,4 Détrmir ls valurs décimals approchés à près, par défaut t par cès d α E déduir u cadrmt d ) f ( α b) Tracr (C ) t (C ) sur l mêm graphiqu d uité cm, mttat évidc ls résultats précédts Précisr ls tagts O à (C ) t (C ) Ercics Foctio Epotill Pag 7 sur 5 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu

8 Ercic Soit ls foctios f t g défiis sur [ ;+ [ par 36 f ( t) t g( t) l( t + ) + t 8 + Soit (C f ) t (C g ) lurs courbs rspctivs das u rpèr orthoormé d uité cm /- a) Etudir ls variatios d chacu ds foctios f t g b) Détrmir lim f ( t) t lim g( t) t + t + c) Tracr ls tagts à (C f ) t à (C g ) au poits d absciss puis ls courbs (C f ) t (C g ) das l mêm rpèr /- O suppos h g f a) Calculr la dérivé h d la foctio h b) O admt qu h () > sur [ ;+ [ Motrr qu h s aul u sul valur α d [ ; 5] t u sul Motrr qu α ε [ ;3] t 36 3/- a) vérifir qu f ( t) Calculr l itégral I t 5 f ( t) dt ; dor la valur 8 + act puis la valur approché à - près par défaut b) Calculr J 5 g( t) dt (o utilisra la dérivé d la foctio k défii sur [ ;+ [ par k(t) (t+)l(t +) t) ; dor la valur act puis la valur approché à - près par défaut 4/- O stim qu sur u périod [t ; t+[ où t 9 U pla d rstructuratio idustrill traî ds supprssios d mplois doés par f (t)(ombr d mplois supprimés primé millirs) pdat la mêm périod c pla cré d ouvau mplois doés par g (t)(ombr d mplois crés primé millirs) O suppos qu cs du phéomès s réalist cotiûmt au cours du tmps L sold d mploi à l istat t st doc h( t) g( t) f ( t) a) D après l graphiqu d h, à partir d qull aé c sold dvit-il positif? b) O admt qu sur ls ciq prmièrs aés l d rstructuratio iduit u variatio das l ombr d mploi assimilabl à l itégral Eprimr l bila d rstructuratio sur 5 aés L h( t) dt 5 Ercics Foctio Epotill Pag 8 sur 5 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu

9 Ercic Soit la foctio f défii par f ( ) ( 4) + ; t soit (Cf) sa courb rpréstativ das l pla mui d u rpèr orthoormé ( O i ; j ) Parti A : ; Pour tout rél, o cosidèr la foctio g défii par : g( ) ) Etudir ls variatios d la foctio g ) E déduir l sig d g() suivat ls valurs d Parti B : ) Calculr la limit d f t + lim f ( ) ( ) puis itrprétr ) Calculr [ ] + 3 ) Calculr f '( ) t motrr qu f '( ) g( ) 4 ) E déduir l ss d variatio d f 5 ) Détrmir ls coordoés du poit B itrsct io d la courb (C f ) d f t d so asymptot obliqu (D) E déduir la positio d (C f ) t (D) 6 ) Motrr qu l équatio f() admt u solut io uiqu l das R t justifir qu < l < 7 ) Dor u équatio d la tagt (T) à (Cf) au poit d absciss 8 ) Tracr (D) t (Cf) das l rpèr orthoormé ( O i ; j ) ; 9 ) Calculr l air d la parti du pla limité pa r (Cf), (D), l a ds abscisss t ls droits d équatios, Ercic 3 Soit ls foctios f t g défiis par : f ( ) t g( ) ( ) O désig par (C f ) t (C g ) ls courbs rpréstativs d f t g das l pla mui d u rpèr orthoormé d uité graphiqu cm ) Etudir ls variatios ds foctios f t g ) Motrr qu la droit (D) d équatio y st asymptot obliqu à (C f ) 3 ) Pour tout rél o pos h( ) f ( ) g( ) a) Motrr qu pour tout rél, h' ( ) g( ) ; b) E déduir l ss d variatio d h ; c) Drssr l tablau d variatio d h, o calculra ls limits d h 4 ) Démotrr qu ls courbs (C f ) t (C g ) admttt u uiqu poit d itrsctio, dot, l absciss, oté α, appartit à [; ] 5 ) Etudir la positio rlativ d (C f ) par rapport à (C g ) 6 ) Tracr la droit (D) t ls courbs (C f ) t (C g ) 7 ) Calculr cm² l air A du domai pla limité par (C f ) t (C g ), l a ds ordoés t la droit d équatio α Ercics Foctio Epotill Pag 9 sur 5 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu

10 Ercic 4 Soit la foctio f défii par d u rpèr orthoormé (O ; f ( ) t soit (Cf) sa courb das l pla mui i ; ) Étudir ls variatios d la foctio f j ) d uité graphiqu cm ) Vérifir qu l poit I ( ; 3 ) st ctr d symétri pour la courb (Cf) 3 ) Détrmir ls coordoés ds poits d la cou rb (Cf) lsquls la tagt admt u cofficit dirctur égal à ( 6) 4 ) Tracr la courb (Cf) das l pla mui du rpè r orthoormé (O ; i ; j ) 5 ) Calculr cm² l air du domai formé par l smbl ds poits dot ls coordoés t y vérifit : y f ( ) 6 ) La droit (D) d équatio y coup (Cf) d u poits Soit M lur poit d itrsctio dot l absciss st positiv a) Motrr qu st solutio d l équatio : + b) Motrr qu la foctio umériqu h défii par h() + st cotiu t strictmt mooto sur [ ; + [ E déduir qu appartit à l itrvall [ ; 3] t calculr u valur approché d par défaut t par cès à près Ercic 5 Soit g la foctio défii sur [ ;+ [ par g() + + ) Etudir ls variatios d g sur K[ ;+ [( O dmad pas d tracr sa courb) ) Motrr qu si appartit à [ ;+ [ alors g() appartit à K[ ;+ [ 3 ) Motrr qu l équatio g() admt u solut io uiqu α K[ ;+ [ 3 4 ) Motrr qu pour tout d K, o a : g'( ) g 3 E déduir qu pour tout d K, o a : ( ) α α 5 ) Soit (U ) la suit d élémt d K défii par U t U + g(u ) pour εn a) Motrr qu pour tout tir positif ou ul o a : α U α b) E déduir qu pour tout tir positif ou ul o a : 3 U + U 3 α Ercics Foctio Epotill Pag sur 5 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu

11 Ercic 6 Ls foctios f t f sot défiis sur R par : Parti I : f( ) + t f ( ) ) détrmir ls foctios dérivés d f t f ) Drssr l tablau d variatio d f puis clui d f 3) Détrmir la positio rlativ ds courbs (C ) d f t (C ) d f 4) Détrmir ls poits d itrsctio d chacu d cs courbs avc l a ds ordoés t u équatio d la tagt à chacu ds courbs cs poits 4) Tracr ls courbs (C ) t (C ) das u rpèr orthoormé (uité cm) 5) calculr cm l air A( λ ) du domai pla limité par ls courbs (C ); (C ) t ls droits d équatios : t λ, ( λ >) Détrmir lim A( λ) Parti II : λ + O cosidèr la foctio h défii par : f ( ) h ( ) f ( ) ) Motrr qu h st cotiu sur R, t qu ( f ( ) ) ( f ( ) ), R E déduir la foctio dérivé h ' d h t drssr l tablau d variatio d h ) Précisr ls asymptots évtulls d la courb (C h ) d h 3) Détrmir la positio rlativ d (C h ) par rapport au asymptots 4) Détrmir l poit d (C h ) d absciss ull t la tagt c poit 5) Costruir das u rpèr orthoormé la courb (C h ) d h 6) E posat u() + -, motrr qu h() put s écrir sous la form u '( ) l h ( ), R Calculr alors I u( ) h( ) d Ercics Foctio Epotill Pag sur 5 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu

12 Ercic 7 Soit f la foctio défii par f ( ) ² t (Cf ) sa courb rpréstativ das u rpèr ( O; i ; j ) du pla ) Etudir ls limits d f au bors d so smbl d défiitio ) Soit U la foctio défii par U ) ( Démotrr qu, pour tout ombr rél o ul t différt d, ( f ( ) ) st l tau d variatio d U tr t Déduisz- la limit d ( f ( ) ) quad td vrs + ou Itrprétr graphiqumt l résultat obtu 3 ) Soit g la foctio défii d la faço suivat : g( ) g() f ( ), si O désig par (Cg) sa courb rpréstativ das l rpèr ( ; i ; j ) a) Justifir qu g st l prologmt d f par cotiuité à gauch b) Etudir la dérivabilité d g 4 ) a) Démotrr qu l équatio f ( ) + a ls mêm solutios qu ( )( + l équatio : ( )( + ) O b) Résolvz l équatio : ) t déduisz- ls solutios d l équatio : f ( ) + puis ls positios rlativs d ) (Cf 5 ) Dssir la courb ) Ercic 8 (Cf t d la droit D d équatio : + y + Soit C m () la foctio coût margial primé k Euros st défii par : C ( ) ( ) + m pour u productio tos ) a) Étudir ls variatios d la foctio coût margial b) Pour qull quatité l coût margial st-il miimum? c) Motrr qu [ ;+ [ C m () > Qu put-o déduir pour l coût total d) Calculr lim ( ) Pour d grads quatités qu put-o dir du coût margial? C + m + ) a) L coût fi état k Euros ; motrr qu l coût total C ( ) + + b) L coût moy état défii par C M C ( ) T ( ) ; primr () c) Motrr qu l coût moy st décroissat sur ] ;+ [ T C M foctio d Ercics Foctio Epotill Pag sur 5 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu

13 Ercic 9 A-/ Étud d u foctio auiliair Soit la foctio g défii sur R par ( ) ( ) g ) Détrmir ls limits d f t + ) Calculr g () t drssr l tablau d variatio d g 3 ) Calculr g() E déduir l sig d g() B-/ Étud d la foctio f Soit la foctio umériqu f défii par f ( ) Soit (C f ) sa courb rpréstativ das l pla mui d u rpèr orthoormé d uité graphiqu cm ) Détrmir l smbl d défiitio Df d f puis calculr ls limits d f ) Motrr qu la droit (D) d équatio y + 4 st asymptot à (C f ) + Étudir la positio rlativ d (C f ) par rapport à (D) 3 ) Vérifir qu f '( ) g( ) E déduir l tablau d variatio d f 4 ) a) A l aid du tablau d variatio d f, détrmir l ombr d solutio d l équatio f ( ) b) Dor u cadrmt d amplitud d chacu ds solutios 5 ) Tracr soigusmt la droit (D) t la courb (C f ) C-/ Modélisatio écoomiqu d la foctio f La foctio f modélis la dmad d u produit, la quatité dmadé d à 4 millirs d tos, f () l pri Euros d c produit Kg ) justifir qu pour [ ; 4], f () st positif ) La foctio d offr d c mêm produit st défii sur [ ;4] par h ( ),5 + la quatité t h() l pri Euros Costruir sa rpréstatio graphiqu ( ) das l mêm rpèr qu (C f ), où st 3 ) Lir graphiqumt l pri d équilibr du marché d la quatité échagé à c pri 4 ) O suppos qu la quatité produit au pri d équilibr st,55 a) Qull st la positio d la courb d l offr par rapport à cll d la dmad das [ ;,55] Qull coséquc écoomiqu put-o déduir? b) Qull st la positio d la courb d l offr par rapport à cll d la dmad das [,55 ; 4] Qull coséquc écoomiqu put-o déduir? Ercics Foctio Epotill Pag 3 sur 5 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu

14 Ercic Parti A Pour tout tir aturl strictmt positif o do f la foctio umériqu d la variabl réll défii sur R- {-} par f ( ) O ot (C ) la courb rpréstativ d f das l pla rapporté à ( + ) u rpèr orthoormé d uité graphiqu cm ' ' ) Détrmir la foctio dérivé f d f t dor l prssio d f foctio d f t f + ) Étudir ls variatios d f t ss limits évtulls ; ; + (O distigura l cas pair t impair) 3 ) Démotrr qu touts ls courbs (C ) passt par u mêm poit fi f 4 ) Détrmir la limit d ( ) quad td vrs + Qu put-o déduir pour touts ls courbs (C )? Tracr sur du figurs disticts ls courbs (C ) t (C ) Parti B O do I f ( ) d, N* ) Démotrr qu la suit (I ) st décroissat ) Démotrr qu pour tout, I E déduir lim I + 3 ) E utilisat la qustio A) ) trouvr u rlatio tr I t I + 4 ) Démotrr qu lim I E déduir qu la suit ( I ), N* covrg t détrmir sa limit Parti C + + Das ctt parti o do ) Démotrr qu l équatio f ( ) admt u solutio uiqu α t qu α ; ) Étudir ls variatios d f ' das ; t déduir qu pour tout ; o a :,5 f '( ) 3 ) Soit la suit ( ) IN U défii par u u + f( ) u a) Démotrr utilisat la qustio C) ) qu pour tout tir o a : u + α u α 4 b) E déduir qu u 4 α pour N, t qu ( ) IN U covrg vrs α b) Détrmir pour qu U soit u valur approché d α à 3 près NB : O do, 65 ; l, 69 ; l 5, 6 Ercics Foctio Epotill Pag 4 sur 5 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu

15 Ercic Parti A : Étud d u foctio f t costructio d sa courb O cosidèr la foctio f défii sur R par : f ( ) l( + ) O ot (C) sa courb rpréstativ das l pla rapporté à u rpèr orthogoal (O, i ; j ) L uité graphiqu st cm sur l a ds abscisss t cm sur l a ds ordoés l( + h) ) a) O rappll qu lim Détrmir la limit d f - h h b) Vérifir qu pour tout rél, f ( ) + l( + ) Détrmir la limit d f + c) E déduir qu la courb (C) admt du asymptots qu l o précisra t ) O cosidèr la foctio g défii sur ]- ;+ [ par g ( t) l( + t) + t a) Démotrr qu la foctio g st strictmt décroissat sur [ ; + [ b) E déduir l sig d g(t) lorsqu t > 3 ) a) Calculr f '( ) t l primr foctio d g( ) b) E déduir l ss d variatio d la foctio f puis drssr so tablau d variatio 4 ) Tracr ls asymptots à la courb (C) t la courb (Cg) Parti B : Comportmt asymptotiqu d u primitiv F d f sur R Soit F la foctio défii sur R par F( ) f ( t) dt ) Étudir l ss d variatio d la foctio F t dt ) a) Vérifir qu pour tout ombr rél t, t calculr t t t b) E déduir, à l aid d u itégratio par partis, l calcul d F() c) Vérifir qu F() put s écrir sous ls forms suivats : F( ) l( + ) f ( ) + l ; F( ) l ( ) + l f + 3 ) Détrmir lim F( ) + 4 ) Détrmir lim ( F( ) ) Dor u itrprétatio graphiqu du résultat Parti C : Étud d u suit Soit (u ) la suit défii sur N* par : U ) Détrmir l ss d variatio d la suit (u ) k k f ( ) + f () + + f ( ) l( + ) ) a) Justifir qu pour tout tir k, tl qu k ; o a : f ( k) f ( t) dt k b) Comparr U t F() c) La suit (u ) st-ll covrgt? k k Ercics Foctio Epotill Pag 5 sur 5 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu