Chapitre 0 Eléménts de Méthodologie El Methni M.

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1 Chaptre 0 Eléménts de Méthodologe El Methn M. 0-. Un peu de vocabulare Observaton, nterprétaton, expérence, expérmentaton, mesure, échelle de mesure, moenne, varance, hpothèse, test. 0-. Consttuants d une expérence 0-- Sujets : Défnton : Les untés statstques sur lesquelles porte l expérence sont appelées untés expérmentales. L ensemble des sujets consttue la populaton (souvent c est un échantllon). On note S cet ensemble et s un sujet. En pschologe l s agt souvent d ndvdus, on les désgne par le terme «sujet». 0-- Varable dépendante : Défnton : On appelle varable dépendante (VD) la réponse du sstème aux dfférentes condtons expérmentales. Cette réponse est mesurée sur les sujets de l expérence. Elle peut être un ou multdmensonnelle. On note Y cette varable et Y(s) ou Y s la valeur qu elle prend pour le sujet s Les facteurs de varaton : Les varables ndépendantes : Défnton : Les varables ndépendantes (VI) sont les varables représentant les causes postulées des varatons de la VD. Le but de l expérmentaton étant de mettre en évdence l effet de ces varables ndépendantes. Remarque : On emploe auss le terme de facteur de varaton ou facteur expérmental ou encore (plus smplement) facteur. Par usage le terme de «varables ndépendantes» est utlsé dans un contexte méthodologque alors que le terme de facteur est utlsé dans un contexte statstque. Défnton : On appelle varables ndépendantes provoquées les varables ndépendantes pouvant être manpulées (contrôlées) par l expérmentateur. Remarque (fondamentale): Dans le cas des varables ndépendantes provoquées l expérmentateur a la possblté de répartr aléatorement les sujets dans dfférents groupes expérmentaux et cec avant d agr sur les VI. Défnton : Les varables ndépendantes nvoquées (ou étquettes) sont des caractérstques «naturelles» sur lesquelles l expérmentateur ne peut agr, mas elles lu servent pour repérer les condtons expérmentales. Remarque : Certans auteurs réservent le mot «expérmental» aux stuatons d observatons lorsque toutes les varables ndépendantes sont provoquées et «quas-expérmental» lorsque le plan d expérence content des varables ndépendantes nvoquées. Défnton : On dt que deux varables ndépendantes sont confondues s chaque modalté de l une est assocée à une modalté de l autre Les varables parastes : Les varables ndépendantes non prses en consdératon dans l expérence sont appelées varables parastes. Les varables parastes dentfables sont celles que l on peut totalement dentfer. On cherche alors à les contrôler pour «effacer» leur effet. Les varables parastes non dentfables sont toutes les caractérstques propres à l unté statstque. Ces dernères peuvent être contrôlées par randomsaton. Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page--

2 0-3. Les effets des facteurs 0-3- Les nveaux des effets des facteurs : Dans de nombreuses études, les phénomènes sont plus complexes que la smple relaton de cause à effet entre les VI et les VD. On peut magner tout un réseau de causaltés. L effet d un facteur peut se tradure alors à pluseurs nveaux : a) effet prncpal : effet drect sur la VD que l on aurat mesuré dans une expérence où seul ce facteur serat présent. b) effet d nteracton : effet du facteur sur les effets des autres facteurs. On dstngue alors pluseurs nveaux d nteracton : * Interacton d ordre : nteracton d un facteur sur l effet d un autre facteur. * Interacton d ordre : nteracton d un facteur sur l nteracton entre deux autres facteurs * etc Nature des effets des facteurs : On dstngue deux cas : a) Les facteurs à effets fxes : les modaltés du facteur qu ntéressent le chercheur sont choses de façon sstématque par l expérmentateur. On veut mesurer l effet de chaque modalté prse par elle-même. b) Les facteurs à effets aléatores : toutes les modaltés du facteur ne sont pas présentes dans l expérence. Les modaltés retenues ne sont pas choses de façon sstématque mas de façon aléatore. Le chercheur ne s ntéresse donc pas à chaque modalté prse ndvduellement mas à l effet global du facteur. Il lu sera alors possble d étendre des conclusons à d autres modaltés de la varable ndépendante non présentes lors de l expérmentaton. Dans de nombreux modèles on ntrodut le facteur de varaton «sujet» dont les modaltés sont les untés statstques de l expérence. Le facteur sujet est par constructon même de l expérence un facteur à effets aléatores Plans d expérence 0-4- Généraltés : L expérmentateur défnt un ensemble de p facteurs élémentares A, A,,A p Chaque facteur possède un nombre n fn de modaltés A {a, a,, a n }. Chaque observaton de la varable dépendante correspond à une combnason des modaltés des facteurs élémentares a {a, a,, a p p }. a j j A j Notons E l ensemble de toutes les combnasons des modaltés des facteurs élémentares E A A A p. Chaque condton expérmentale envsagée dans l expérence est décrte par un élément de E Lors de l expérence l arrve souvent que toutes les combnasons ne sont pas retenues. Cependant chaque modalté de chaque facteur est présente au mons une fos dans l expérence. L ensemble des combnasons retenues défnt le plan d expérence. Défnton : On appelle plan d expérence un sous-ensemble E* de E tel que chaque modalté de chaque facteur sot présente au mons une fos dans les éléments de E*. Les éléments de E* sont appelés condtons expérmentales Relatons entre facteurs : Un plan d expérence se conçot en précsant les facteurs élémentares prs en compte mas auss les relatons entre ces facteurs. Nous étuderons deux relatons fondamentales : la relaton de crosement et la relaton d emboîtement. Ces deux relatons permettent de décrre un ensemble partculer de plans d expérence (ensemble des plans quas-complets). Défnton : Deux facteurs A et B sont crosés s chaque modalté de l un apparaît avec chaque modalté de l autre. On note A B (ou B A). Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page--

3 Remarque : La défnton précédente se généralse à pluseurs facteurs. p facteurs sont crosés dans leur ensemble s chaque modalté de l un apparasse avec toutes les modaltés de tous les autres facteurs. Remarque (mportante) : Des facteurs crosés deux à deux ne sont pas nécessarement crosés dans leur ensemble. Défnton : Un facteur A est emboîté dans un facteur B s chaque modalté de A est assocée à exactement une modalté de B. A est appelé le facteur emboîté et B le facteur emboîtant. On note A<B>. Remarque : un facteur peut être emboîté dans un facteur lu-même emboîté dans un trosème facteur. Dans ce cas le er facteur est emboîté dans le 3 ème. Défnton : L emboîtement est dt équlbré (balancé) s et seulement s chaque modalté du facteur emboîtant est assocée au même nombre de modaltés du facteur emboîté. Défnton : Deux facteurs A et B sont confondus s et seulement s A est emboîté dans B et B est emboîté dans A Les plans d expérence de base: Défnton : Un plan d expérence est dt complet s et seulement s l est égal au crosement de tous ses facteurs élémentares (E* E). Autrement dt l content toutes les combnasons des modaltés des facteurs élémentares. Défnton : Un plan d expérence est dt quas-complet s et seulement s pour tout couple de facteurs les deux facteurs sont sot crosés sot emboîtés et s tous les facteurs crosés deux à deux sont crosés dans leur ensemble. Dans toute la sute nous ne nous ntéresserons qu à des plans quas-complets. Défnton : Un plan d expérence est dt à un facteur et à mesures ndépendantes s l met en jeu un seul facteur A outre les sujets qu ne sont «utlsés» qu une seule fos (un sujet ne se retrouve que dans un seul groupe expérmental). On a donc S<A>. On parle de plan nter. Défnton : Un plan d expérence est dt à un facteur et à mesures répétées s l met en jeu un seul facteur A outre les sujets qu sont «utlsés» dans les dfférentes condtons expérmentales. On a donc S A. On parle de plan ntra. Défnton : Un plan d expérence est dt à deux facteurs et à mesures ndépendantes s on a S<A B> Défnton : Un plan d expérence est dt à deux facteurs et à mesures complètement répétées s les sujets sont utlsés dans l ensemble des condtons expérmentales. On a donc S A B. Défnton : Un plan quas-complet de la forme S<A> B est dt mxte. Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-3-

4 Chaptre I Modélsaton statstque El Methn M. I-. Modèle statstque Les données sont consttuées d une famlle de N valeurs,, N résultant de l observaton de la varable dépendante dans les dfférentes condtons expérmentales défnes par le plan de l expérence. On appelle protocole expérmental cette famlle et on note (e) l observaton de la VD dans la condton expérmentale e. L élaboraton du modèle qu décrt le processus de génératon des données dot prendre en compte d une part le fat que les mesures sont fates sur un échantllon aléatore d untés statstques (fluctuatons d échantllonnage) et d autre part qu ntervennent de façon aléatore au cours de l expérmentaton des facteurs non contrôlés tels que par exemple les erreurs de mesure ou des facteurs ndvduels. L observaton (e) est alors consdérée comme la réalsaton Y(e) d une varable aléatore Y. Le modèle du score décrt les effets des facteurs sur la varable aléatore par le modèle algébrque : Y(e) Z(e)+ε(e) où : Z(e), appelé modèle structurel, décrt les effets des facteurs du plan ε(e), appelé résdu, mesure l écart entre la varable réponse et le modèle structurel dû aux effets de facteurs non prs en compte dans le plan de l expérence. Ce modèle lnéare est caractérsé par des hpothèses portant sur le résdu ε(e) est une varable aléatore de moenne nulle. Var (ε(e))σ pour tout e homoscédastcté ou homogénété des varances des résdus Cor[(ε(e), ε(e )]0 pour tout e e non corrélaton des résdus Ce modèle lnéare est auss caractérsé par des hpothèses portant sur le modèle structurel Z(e) µ(e)+a(e) µ(e) est une foncton détermnste de e qu décrt les effets des modaltés des facteurs à effets fxes présentes dans e. A(e) est une varable aléatore non corrélée avec ε(e), qu décrt les effets des facteurs à effets aléatores ε(e) sut une lo normale N(0, σ ) Selon la forme du modèle structurel, on dstngue tros classes de modèles d analse de la varance : ANOVA modèle : Le modèle ne content pas de terme aléatore A(e) : Y(e) µ(e)+ε(e) Ce modèle correspond à des plans où tous les facteurs sont à effets fxes. Leurs effets portent unquement sur la moenne de la VD. Y(e) est dstrbué selon une N(µ(e), σ ). ANOVA modèle : (modèle des composantes de la varance) Le terme détermnste est constant Y(e) µ+a(e) +ε(e) Ce modèle correspond à des plans où tous les facteurs sont à effets aléatores. Leurs effets portent sur la varance de la VD. Y(e) est dstrbué selon une N(µ, σ +σ A(e)). ANOVA modèle 3 : (modèle mxte) c est le modèle qu mélange les deux cas précédents Ce modèle correspond à des plans où sont présents des facteurs à effets fxes et des facteurs à effets aléatores. Y(e) est dstrbué selon une N(µ(e), σ +σ A(e)). Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-4-

5 I-. Décomposton de la varance assocée à un facteur : (rappel) Dans toute la sute Y désgne la varable dépendante et G un facteur à r modaltés. Les N observatons sont répartes en r classes g, g, g r contenant respectvement n, n, n r observatons. (On a donc N n + n, + + n r ). Notons s() l observaton assocée au sujet s dans la classe g Facteur G (groupe) Sujets g g g g r () () ( ) () () ( ) s s() n () s() n () s () n () ( r) ( r) s ( r ) n r ( r ) Effectf n n n n r Total Moenne r N n T T T T r T T r r r n N Les observatons de la varable dépendante Y peuvent dfférer sous l effet de deux sources de varatons : La varaton à l ntéreur des classes (ou dans les classes) : varaton ntra La varaton entre les classes : varaton nter. Le facteur étant constant à l ntéreur des classes, seule la varaton nter peut être mputée à l effet du facteur. La varaton ntra est une varaton ndvduelle correspondant à la varaton des observatons dans une même classe. La varaton nter est une varaton sstématque correspondant à la varaton des classes. Elle exprme l effet (éventuel) du facteur (VI). La varaton des observatons sera mesurée en termes de dsperson autour de la moenne à l ade de la varance (ou de la somme des carrées des écarts à la moenne). La moenne générale des observatons est donnée par : T s() ( n+ n+ + nrr ) N s N N La varaton Totale des observatons est mesurée par la Somme des Carrés des écarts entre chacune des N observatons et la moenne générale : SCT ( ) N Varance Totale s s () n En notant la moenne des observatons de la classe g on a : T s() n n s Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-5-

6 La varaton à l Intéreur de la classe g est mesurée par la Somme des Carrés des écarts entre chaque observaton de la classe et la moenne de cette classe : n ( s() ) ( s SCIntra n Varance g ) La varaton à l ntéreur des classes est défne par la somme, pour toutes les classes, des sommes des carrés ntra : SCIntr a r SCIntra Pour calculer la varaton-nter on se place dans le cas de la stuaton fctve où toutes les observatons d une même classe sont égales à la moenne de cette classe et on calcule la Somme des Carrés Inter : SC Inter r n N ( ) Varance( ) On démontre la relaton fondamentale suvante : SCT SCInter + SCIntra Remarque : En dvsant par l effectf total N on a une relaton analogue entre les varances : Varance totale Var Inter + Var Intra Varaton totale Varaton nter-classe Varaton ntra-classe varance des moennes moenne des varances Remarque : On retrouve l ndce de lason PRE, appelé rapport de corrélaton (cf. cours de L) Varaton Inter en consdérant le rapport : η Y G Varaton Totale η Y G mesure la lason entre la varable réponse Y et le facteur G : η Y 0 ndque une absence de lason (la réponse du sujet ne dépend pas du groupe auquel G l appartent). η Y ndque une lason parfate (la réponse du sujet est entèrement détermnée par son G appartenance à un groupe). Ans η Y G mesure l ntensté de l effet de G sur la réponse Y. Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-6-

7 I-3. Dstrbuton de Fsher-Snedecor Proposton : Soent U, U,, U m, V, V,, V n m+n varables aléatores ndépendantes de même lo N(0, σ m n ) alors les varables et U V sont ndépendantes et de lo σ σ respectve χ et χ m n Théorème : Soent U, U,, U m, V, V,, V n m+n varables aléatores ndépendantes de m m même lo N(0, σ U U mσ m ) alors la varable sut une lo de Fsher-Snedecor n n V V nσ n F(m, n) de (m, n) degrés de lberté. Remarque : S F est une varable aléatore de lo F(m, n) alors la varable aléatore /F sut une lo F(n, m). Corollare : Soent U, U,, U m m varables aléatores ndépendantes de même lo N(µ, σ ) et V, V,, V n n varables aléatores ndépendantes de même lo N(µ, σ ) ndépendantes des U m ( U U) m alors la varable sut une lo de Fsher-Snedecor F(m-, n-). n ( V V) n m U U et V m n V Sont les estmateurs respectfs de µ et µ n Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-7-

8 I-- Exemple : Pour étuder l nfluence du facteur «ntensté du brut envronnant» sur la capacté d un sujet à résoudre un problème, l expérmentateur construt l expérence suvante : 4 écolers sont réparts de façon aléatore dans quatre pèces. Des bruts de la rue ont été enregstrés et sont dffusés dans chaque pèce avec un nveau sonore partculer. Les enfants dovent résoudre une sére de problèmes. La varable réponse est la note fnale obtenue à la sére d épreuves. Nveau sonore n N Varance 0/4 48/8 40/6 4/6 SCIntra SCR ( ) n r ) 8 SCInter n ( SCT N varance totale 340 SCIntra 8 SCInter η 0,6706 Y G Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-8-

9 Chaptre II Analse du plan S<G> El Methn M. II-. G est un (seul) facteur à effets fxes II-- Généraltés G est un facteur à r modaltés (groupes) g, g, g r d effectfs respectfs n, n, n r. Nn +n + +n r. Y est la varable dépendante et s() est le score du sujet s dans le groupe g (c est l observaton assocée au sujet s dans la modalté g ). Facteur G (groupe) Sujets g g g g r () () ( ) () () ( ) s s() n () s() n () s() n () ( r) ( r) s( r) Effectf n n n n r Moenne nr ( r) r r N n r n N Varance s' s' s' s' r s' On veut étuder l effet du facteur G sur la varable réponse Y. Pour cela on testera l hpothèse nulle : H 0 : le facteur n a pas d effet sur Y contre l hpothèse alternatve : H : le facteur a de l effet sur Y. II-- Décomposton de la varance (Rappel) Varance totale Var Inter + Var Intra Varaton totale Varaton nter-classe Varaton ntra-classe varance des moennes moenne des varances Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-9-

10 II--3 Modèle statstque (Modèle du score, modèle lnéare) On veut étuder l effet d un facteur G à r modaltés sur une varable réponse Y. On dspose pour chaque modalté du facteur G de n observatons. On note s() l observaton du sujet s dans la modalté. s() est la réalsaton de la varable aléatore Y s() décrte par le modèle suvant : Y s() µ+α +ε s() où : µ s nterprète comme un nveau général. α mesure l effet de la ème modalté du facteur G. les varables aléatores ε s() sont ndépendantes et de même lo N(0, σ ) Pour tout,,, r. Les varances des r groupes sont homogènes (homoscédastcté) On rajoute une contrante d dentfablté: r nα 0 (en moenne les effets sont nuls) On peut écrre l hpothèse nulle et l hpothèse alternatve sous la forme suvante : hpothèse nulle : H 0 : α 0 pour tout,,, r hpothèse alternatve : H : l un au mons des α est non nul On montre alors les résultats suvants : Théorème : E(SCR) (N - r)σ E(SCG) ( r ) σ α + n Remarque : Il est clar que les valeurs des varatons (totale, nter et ntra) dépendent des effectfs des modaltés du facteur G. Auss pour apprécer plus justement les grandeurs relatves à ces varatons (en partculer pour comparer la varaton due au facteur à la varaton résduelle), on calcule les carrés moens des écarts, en dvsant chaque varaton par son nombre de degrés de lberté (ddl) : MC SC ddl carrés moens (total) : MCT La varaton totale concerne N scores (observatons) s() lés par une relaton s() donc N présente N - ddl et on a : MCT SCT N carrés moens nter : MCG La varaton nter(-groupes) concerne r groupes lés par une relaton n N donc présente r - ddl et on a : MCG SCG r carrés moens ntra (résduels) : MCR La varaton ntra (résduelle) concerne N scores (observatons) lés par r relatons j n j donc présente N - r ddl et on a : MCR SCR N r Remarque : Tout comme les varatons, les degrés de lberté sont addtfs ddl total ddl nter + ddl ntra N - r - + N - r, j Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-0-

11 Mas les carrés moens ne sont pas addtfs. En général MCT MCG + MCR. Le théorème précédent peut se réécrre : E(MCR) σ r α E(MCG) σ + n r Par conséquent : MCR est une estmaton sans bas de la varance σ et MCG est une estmaton r n α r de σ augmentée d un terme postf foncton des effets de groupe ( ). Sous l hpothèse nulle ( α 0 pour tout,,,r) MCG est auss une estmaton de σ. Théorème : Dans le cadre du modèle statstque, la statstque SCR σ l hpothèse nulle la statstque SCG σ ndépendantes. sut une lo du χ à N - r ddl et sous sut une lo du χ à r - ddl et ces deux statstques sont Corollare : Sous l hpothèse nulle la statstque ddl, notée F(r -, N - r). SCG r MCG SCR MCR F G sut une lo de Fscher à r - et N - r N r Concluson : Le test d hpothèse est alors défn au seul de sgnfcaton α par la règle de décson suvante : S F obs λ α alors on rejette l hpothèse nulle. λ α étant donné par l équaton : α P(F λ α ). II--4 Tableau d analse de la varance Les résultats sont souvent présentés sous forme d un tableau : Source de varaton Somme des carrés des écarts observés SC obs ddl G, Facteur, Intergroupes,... S<G>, Résduelle, Intra Totale SCT N - Carrés moens observés MC obs SCG r - MCG F MCG obs MCR SCR N - r MCR F lu α II--5 Exemple : Pour étuder l nfluence du facteur «ntensté du brut envronnant» sur la capacté d un sujet à résoudre un problème, l expérmentateur construt l expérence suvante : 4 écolers sont réparts de façon aléatore dans quatre pèces. Des bruts de la rue ont été enregstrés et sont dffusés dans chaque pèce avec un nveau sonore partculer. Les enfants dovent résoudre une sére de problèmes. La varable réponse est la note fnale obtenue à la sére d épreuves. F Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page--

12 Nveau sonore n N Varance 0/4 48/8 40/6 4/6 SCIntra SCR ( ) n SCT N varance totale 340 MCO SCO 08, 9 r 54, 45 SCR 3, 8 MCR 5., ( n )( r ) 6 On peut présenter les résultats dans le tableau d'analse de varance : r ) 8 SCInter n ( Sources de varatons SC obs ddl MC obs Statstque de test Q Facteur Inter G 8 r MCGobs 76 ** F obs 3,574 MCR obs 5,6 S(G) Intra N-r 0 5,6 - Total 340 N En prenant un nveau de sgnfcaton α0,055%, on peut lre la valeur de λ α dans la table de Fscher à r- 3 et N-r 0 degrés de lberté : λ α F (3 ; 0 ; 0,95) 3,0. Donc, s F obs, la valeur observée de la statstque de test, est supéreure ou égale à 3,0 on rejette H 0 et dans le cas contrare, on conserve l'hpothèse H 0. Concluson : Comme F obs 3,574 > λ α 3,0, on rejette H 0 pour accepter H ; C est-àdre qu l a effectvement un effet du brut envronnant sur la capacté de résoluton des problèmes. On rejette H 0 même avec un α0,0%. II-. G est un (seul) facteur à effets aléatores II-- Modèle statstque On chost un échantllon de r modaltés g, g, g r du facteur G. On dspose pour chaque modalté échantllonnée de n observatons de la varable dépendante (Nn +n + +n r ). On note s() l observaton du sujet s dans le groupe g. Chaque observaton s() est la réalsaton d une varable aléatore Y s() décrte par le modèle : Y s() µ + Γ + ε s() où : µ est une constante mesurant le nveau général de la réponse Γ est une varable aléatore qu mesure l effet aléatore de G. ε s() est une varable aléatore représentant le résdu. On suppose réalsées les tros hpothèses suvantes : les ε s() sont des varables aléatores ndépendantes et de même lo N(0, σ ) Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page--

13 les Γ (,,, r) sont des varables aléatores ndépendantes de même lo N(0, σ G ) les Γ sont ndépendantes des ε s(). Le test d hpothèse s écrra alors : H 0 : G n a pas d effet σ G 0 H : G a un effet σ G > 0 On montre alors les résultats suvants : Théorème : E(MCR) σ ou encore E(SCR) (N - r)σ E(MCG) σ + Kσ G où K est une constante. II-- Test statstque On se ramène donc au cas précédent et on utlsera la même statstque F test. II--3 Exemple : MCG pour réalser le MCR On veut vérfer que l ntensté de tratement perceptf d un vsage dépend du vsage examné (certans vsages retennent plus l attenton que d autres). Pour mettre à l épreuve cette hpothèse de recherche, on construt l expérence suvante : 40 sujets sont choss au hasard et réparts de façon aléatore dans 5 groupes de 8 sujets chacun. Chaque groupe examne un vsage chos par l expérmentateur au hasard dans l ensemble de vsages dsponbles. L expérmentateur mesure l ntensté du tratement perceptf en observant la dlataton de la puplle lors de l examen du vsage. Il obtent les résultats suvants : SCT N s' 40 5,8 63,4 SCG N s N ( ' 5 Groupe des vsages Sujets g g g 3 g 4 g n N , ,5 6,65 60, s ² 7,5 6,6094 7,5 7,4375 6,4844 s ²5,8 5 ) 40 8, ,5 ' SCR N s 8 [7,5+6,6094+7,5+7,4375+6,4844] 8 35,533 84,5 On vérfe que : SCR SCT - SCG 63,4-348,5 84,5. On peut présenter les résultats dans le tableau d'analse de varance : Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-3-

14 Sources de varatons SC obs ddl MC obs Statstque de test Q MCGobs 87,0375 Facteur Inter G 348,5 r- 4 87,0375 F obs 0,77 ** MCR 8,4 S(G) Intra 84,5 N-r 35 8,4 - Total 63,4 N En prenant un nveau de sgnfcaton α0,055%, on peut lre la valeur de λ α dans la table de Fscher à r- 4 et N-r 35 degrés de lberté : λ α F (4 ; 35 ; 0,95),64 Concluson : Comme F obs 0,77> λ α,64, on rejette H 0 pour accepter H ; C est-à-dre qu l a effectvement un effet du facteur vsage. ( σ > 0 ) Remarque : En prenant un nveau de sgnfcaton α0,0%, on peut lre la valeur de λ α dans la table de Fscher à r- 4 et N-r 35 degrés de lberté : λ α F (4 ; 35 ; 0,99) 3,9 et on tre la même concluson. G obs Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-4-

15 Chaptre III Analse du plan S<A B> El Methn M. III-. Plan S<A B> avec A et B deux facteurs à effets fxes III-- Généraltés Un tel plan quas-complet défn par le crosement de deux facteurs A et B, est auss appelé plan factorel complet d ordre. Chaque condton est réplquée sur des sujets dfférents. Le facteur sujet est emboîté dans le crosement A B. L analse dffère selon que l emboîtement est équlbré ou non. Dans toute la sute on ne consdère que le cas équlbré. On se propose d étuder l effet de la présence smultanée d un facteur A à r modaltés et d un facteur B à c modaltés sur une varable réponse Y. Le plan étant équlbré, on dspose pour chaque crosement des modaltés du facteur A et j du facteur B de n observatons. On note s(,j) l observaton du sujet s dans le crosement (,j). a Facteur B b b b j B c A a a (,j), (,j), n(,j) a r Remarque : dans le cas où n, l nteracton des facteurs A et B est confondue avec le facteur sujet, on ne peut donc séparer les effets d nteracton des effets résduels et on ne peut tester leur exstence. Un tel plan n est justfé que lorsque l on peut modfer a pror la forme de l nteracton entre les facteurs. Dans toute la sute nous développons le cas n >. III-- Analse descrptve des effets (prncpaux et nteracton) : Consdérons, pour chaque crosement (,j) de la modalté de A et de la modalté j de B la moenne obtenue : Facteur B b b b j B c moennes a j c 0 a j c 0 A a j c 0 a r r r rj rc r0 moennes j 0c 00 La colonne margnale des moennes par modalté de A (ndépendamment de B) «tradut» l effet prncpal du facteur A. De même la lgne margnale des moennes par modalté de B (ndépendamment de A) «tradut» l effet prncpal du facteur B. Les dfférentes moennes correspondant au crosement des modaltés «tradusent» l nteracton des deux facteurs A et B. Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-5-

16 III--3 Représentaton géométrque des dfférents effets : Les dfférentes combnasons des effets prncpaux et d nteracton peuvent être llustrés par des graphques dans lesquels on représente les moennes en foncton des modaltés de l un des facteurs. Il a deux graphques possbles selon le facteur porté en abscsse. b b. b c b c. b b b. b b c a a a r A a a a r A a a a r A b. b c b, b,, b c b b b c b a a a r A a a a r A a a a r A Le parallélsme des lgnes tradut le fat que l effet du facteur A (ou B) sur la varable réponse Y est le même quelque sot la valeur du facteur B (ou A). Les effets des facteurs A et B sont addtfs et l n a pas d effet de l nteracton entre les deux facteurs A et B sur Y. Le non parallélsme des lgnes tradut le fat que l effet du facteur A (ou du facteur B) n est pas le même en foncton de la modalté du facteur B (ou du facteur A). Les effets des facteurs A et B sur la varable Y ne sont pas addtfs. Aux effets smples des facteurs s ajoutent l effet de l nteracton entre les deux facteurs. Le parallélsme avec l axe des abscsses tradut l absence d effet du facteur A (ou B). De plus s les dfférentes lgnes correspondant aux modaltés de B (ou A) sont confondues c est l absence totale d effets. III--4 Le modèle : Rappelons que l on veut étuder l effet de la présence smultanée d un facteur A à r modaltés et d un facteur B à c modaltés sur une varable réponse Y. Le plan étant équlbré, on dspose pour chaque modalté du facteur A et pour chaque modalté j du facteur B de n observatons (n > ). On note s(,j) l observaton du sujet s dans le crosement (,j). s(,j) est la réalsaton de la varable aléatore Y s(,j) décrte par le modèle suvant : Y s(,j) µ j + ε s(,j) où les varables aléatores ε s(,j) sont ndépendantes et de même lo N(0,σ ) et µ j µ + α + β j + (αβ) j où - µ mesure la moenne de la populaton - les α mesurent les effets prncpaux du facteur A - les β j mesurent les effets prncpaux du facteur B - les (αβ) j mesurent les effets d nteracton. On rajoute (comme hpothèses) les contrantes d dentfablté suvantes : α 0 β 0 ( αβ ) 0 ( αβ ) 0 III--5 Décomposton de la varaton : j j j j j Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-6-

17 A partr du tableau des données on calcule les Sommes des Carrés assocées aux dfférentes sources de varaton. Le crosement des facteurs A et B permet de décomposer la varaton totale en somme de deux varatons : SCT obs SCI ntercase + SCI ntracase SC(A B) obs + SCR obs avec : SCT ( ) SC(A B) n ( ) SCR ( ) obs s (, ) obs j obs s (, ) j j s j j s D autre part le facteur élémentare A (resp B) défnt une partton de l ensemble des observatons en classes à laquelle correspond une somme de carrés observée mesurant la varaton assocée à l effet prncpal de A (resp de B) : SCA nc ( ) SCB nr ( ) obs 0 obs 0 j j Défnton : On appelle somme des carrés assocée à l nteracton la quantté : SCAB obs SC(A B) obs - SCA obs - SCB obs On montre que : SCAB n( + ) obs j 0 0 j j Dans le cadre du modèle statstque ces sommes de carrés sont des réalsatons de varables aléatores dont on calcule les espérances et plus généralement les dstrbutons des probabltés. On montre le théorème fondamental suvant : Théorème : Sous les hpothèses du modèle, les statstques SCA, SCB, SCAB et SCR sont ndépendantes et d espérances respectves : E( SCA) ( r ) σ + ncα E( SCB) ( c ) σ + nrβ j j E( SCAB) ( r )( c ) σ + n( αβ ) j j E( SCR) ( N rc) σ rc( n ) σ On ramène toutes les sommes de carrés à des moennes de carrés en dvsant par les degrés de lberté correspondant. SCA r SCB c SCAB ( r )( c ) SCR MCA MCB MCAB MCR rc( n ) Cec permet de réécrre le théorème précédent pour les moennes des carrés : Théorème : Sous les hpothèses du modèle, les statstques MCA, MCB, MCAB et MCR sont ndépendantes et d espérances respectves : nc E( MCA) σ + α ( r ) E( MCB) σ + j ( c ) j n E( MCAB) σ + ( αβ ) E( MCR) σ nr β j ( r )( c ) j Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-7-

18 III--6 Tests et décsons statstques : Le théorème précédent nous permet de tester l exstence des dfférents effets des facteurs. On peut construre des tests ndépendants sur chacune des sources de varatons : Test : hpothèse nulle H 0A : pas d effet prncpal du facteur A ( ) α 0 contre l hpothèse alternatve : H A : l exste un effet prncpal du facteur A ( ) α 0 Test : hpothèse nulle H 0B : pas d effet prncpal du facteur B ( j) β j 0 contre l hpothèse alternatve : H B : l exste un effet prncpal du facteur B ( j) β j 0 Test 3 : hpothèse nulle H 0AB : pas d effet d nteracton (,j) (αβ) j 0 contre l hpothèse alternatve : H AB : l exste une nteracton (,j) (αβ) j 0 La constructon de ces tests résulte des tros corollares du théorème suvant : Théorème : Dans le cadre du modèle statstque, la statstque SCR/σ sut une lo de χ à rc(n - ) degrés de lberté, sous l hpothèse nulle H 0A la statstque SCA/σ sut une lo de χ à r - degrés de lberté, sous l hpothèse nulle H 0B la statstque SCB/σ sut une lo de χ à c - degrés de lberté, sous l hpothèse nulle H 0AB la statstque SCAB/σ sut une lo de χ à (r - )(c - ) degrés de lberté et ces statstques sont ndépendantes. MCA Corollare : sous l hpothèse H 0A, la statstque FA MCR r - et rc(n - ) degrés de lberté. sut une lo de Fscher à Le test est alors défn au seul de sgnfcaton α par la règle de décson suvante : s F A obs λ α alors on rejette l hpothèse nulle où λ α est donné par l équaton : α P(F A λ α ). MCB Corollare : sous l hpothèse H 0B, la statstque FB MCR c - et rc(n - ) degrés de lberté. sut une lo de Fscher à Le test est alors défn au seul de sgnfcaton α par la règle de décson suvante : s F B obs λ α alors on rejette l hpothèse nulle où λ α est donné par l équaton : α P(F B λ α ). MCAB Corollare : sous l hpothèse H 0AB, la statstque FAB MCR (r - )(c - ) et rc(n - ) degrés de lberté. sut une lo de Fscher à Le test3 est alors défn au seul de sgnfcaton α par la règle de décson suvante : s F AB obs λ α alors on rejette l hpothèse nulle où λ α est donné par l équaton : α P(F AB λ α ). On présente l étude dans le : tableau d analse de la varance : Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-8-

19 Source SC obs ddl MC obs F obs A SCA obs r - MCA obs F A obs B SCB obs c - MCB obs F B obs AB SCAB obs (r - )(c - ) MCAB obs F AB obs R SCR obs rc(n - ) MCR obs Total SCT obs rcn - Pratque des calculs : Calcul de SCA : SCA nc ( ) obs 0 Calcul de SCB : SCB nr ( ) obs 0 j j c Calcul de SC(A B) : ncr varance des moennes de A ncr varance des moennes de B r c SC(A B) obs n( j ) ncr varance des moennes des carrés crosés j Calcul de SC(AB) : SC(AB) obs SC(A B) obs - SCA obs - SCB obs Calcul de SCT : SCT obs ncr varance de toutes les données Calcul de SCR : SCR obs SCT obs - SC(A B) obs SCT obs - SC(AB) obs - SCA obs - SCB obs Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-9-

20 III--7 Exemple : Un expérmentateur veut mettre à l épreuve l hpothèse que le nveau d exctaton phsologque d une personne frustrée dépend du tpe d agresson autorsée. Il construt alors l expérence suvante : 30 sujets choss au hasard sont réparts de façon aléatore en 6 groupes de 5 sujets, correspondant aux 6 condtons expérmentales défns par le crosement de deux facteurs A : Facteur frustraton : modaltés : A : frustré A : non frustré B : Facteur agresson : 3 modaltés : B : non agressf B : moennement agressf B 3 : très agressf Les résultats sont donnés par le tableau c-contre. A A B B B Calcul de SCA : SCA obs nc( 0 ) A A Moenne ncr varance B,8 9,0 0 5,9 des moennes de A B 3, 6 5,0 0 4,3 SCA obs 30,0 30,0 B 3 3 5,0 3 3, , Calcul de SCB : SCB obs nr( 00 j ) Moenne 0 5,9 0 5,8 4,8 ncr varance j des moennes de B SCB obs 30 0,6067 8, Calcul de SC(A B) : SC(A B) r obs n ( j ) ncr varance des moennes des carrés crosés j SC(A B) obs 30 4,867 5,6 Calcul de SC(AB) : SC(AB) obs SC(A B) obs - SCA obs - SCB obs 5,6-30,0-8, 77,4 Calcul de SCT : SCT obs ncr varance de toutes les données SCT obs 30 7,6 4,8 Calcul de SCR : SCR obs SCT obs - SC(A B) obs 4,8-5,6 89, On présente l étude dans le : tableau d analse de la varance : Source SC obs ddl MC obs F obs A SCA obs 30,0 r - MCA obs 30,0 F A obs 8,077 B SCB obs 8, c - MCB obs 9, F B obs,4484 AB SCAB obs 77,4 (r - )(c - ) MCAB obs 38,7 F AB obs 0,46 R SCR obs 89, rc(n - ) 4 MCR obs 3,767 Total SCT obs 4,8 rcn - 9 Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-0-

21 Chaptre IV Analse du plan S 0 El Methn M. IV-. O est un (seul) facteur à effets fxes IV-- Généraltés O est un facteur à r modaltés o, o, o r (Occasons). S est le facteur sujet (à effets aléatores) dont les modaltés sont les n sujets s, s, s n. Pour chaque modalté du facteur O on «utlse» les n sujets. On a donc des mesures s répétées pour chaque sujet s dans l occason (modalté) O. En pschologe et en méthodologe on parle de plan ntra, en statstque on parle de plan à mesures répétées. On dspose donc de Nn r mesures s que l on présente sous la forme d un tableau : Facteur O (Occasons) Sujets o o o o r s r s r s s s s s sr s n n n n nr Remarque : Un premer avantage d un tel plan par rapport au plan S<O> est une «économe» du nombre de sujets. D autre part avec un tel plan on peut dmnuer l erreur expérmentale (résdu). En effet le contrôle du facteur sujet permet de séparer son effet des effets résduels. Mas le résdu sera confondu avec l nteracton entre S et O. IV-- Modèle unvaré : Les données peuvent être d une part, consdérées comme les Nn r observatons de la varable réponse Y dans les Nn r condtons expérmentales décrtes par le crosement du facteur sujet et du facteur occason. Elles peuvent d autre part, être regardées comme les n observatons d un vecteur de r varables réponses. Ces deux ponts de vue condusent à l élaboraton de deux modèles, le modèle mxte unvaré dans le premer cas et le modèle multvaré dans le second (vor condton de valdaton IV--5). Nous étuderons le modèle mxte unvaré dans lequel on consdère que les modaltés du facteur sujet ont été obtenues par échantllonnage, le facteur sujet est donc un facteur aléatore. Le facteur occason est lu un facteur à effets fxes. Chaque donnée s correspond alors à l observaton d une varable aléatore réelle Y s décrte par le modèle suvant : Y s µ + π s + ε s Où : les µ sont des constantes mesurant les effets fxes des modaltés (,,, r) du facteur O les π s sont des varables aléatores ndépendantes de lo N(0, σ π) mesurant les effets aléatores des modaltés s (s,,, n) du facteur S les résdus ε s sont des varables aléatores ndépendantes de lo N(0, σ ). On suppose en plus que les π s et les ε s sont ndépendantes. On peut réécrre l effet de la modalté sous la forme : µ µ + α on a donc : Y s µ + α + π s + ε s Où : µ constante s nterprétant comme un nveau général de réponse Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page--

22 les α sont des constantes mesurant les effets fxes des modaltés et vérfant : α 0 (contrante d dentfablté) Conséquence : D après ce modèle les Y s sont des varables aléatores de lo N(µ+α, σ π+σ ). L effet du facteur fxe se tradut sur la moenne de la varable réponse tands que l effet du facteur aléatore se tradut sur la varance de la varable réponse. Pour ce modèle, l nteracton entre le facteur sujet et le facteur occason est confondue avec le résdu car pour chaque modalté de l un et de l autre on ne dspose que d une seule observaton. IV--3 Décomposton de la varaton : On décompose la varaton totale en varaton nter-sujets (due au facteur sujet) et varaton ntrasujets (due à l effet du facteur O). SCT obs SC nter-sujets + SC ntra-sujets La varaton nter-sujets est due au facteur sujet et la varaton ntra-sujets est due d une part à l effet du facteur O et d autre part à l effet des autres facteurs non contrôlés SC ntra-sujets SCO obs + SCR obs Concluson : Dans le cas du plan complet S O, la varaton totale se décompose de façon addtve en : SCT obs SCS obs + SCO obs + SCR obs De même on a la décomposton des degrés de lberté : nr- (n-) + (r-) + (n-)(r-) Les dfférentes sommes de carrées se calculent par : SCT obs n r ( s ) nr varance totale s n nter-sujet obs r( s0 ) nr varance des moennes des sujets s SCS SCS SCO r obs n( 0 ) nr varance des moennes par occason SCR est calculé par : SCR obs SCT obs - SCS obs - SCO obs En pratque on peut effectuer les calculs en utlsant le tableau suvant : Facteur O (Occasons) Sujets o o o o r s0 s r 0 s r 0 ( ) s0 ( ) 0 ( ) s s s s s sr s0 0 ( ) s n n n n nr n r 00 ( ) ( ) 0 0 ( 0 ) ( 0 ) ( ) 0r r s0 ( ) ( ) n 0 n s n0 ( ) r s0 Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page--

23 IV--4 Statstques des tests : On montre le théorème suvant : Théorème : sous les hpothèses du modèle on a E(SCO) (r - )σ + nα E(SCS) (n - )(σ + rσ π) E(SCR) (n - )(r - )σ En consdérant les moennes des carrés : MCO SCO SCR MCR r ( r )(n ) On peut réécrre le théorème précédent sous la forme : Théorème : sous les hpothèses du modèle on a n E( MCO ) σ + α r r E( MCS ) σ + σ π n E(MCR) σ De nouveau on constate que MCR est un estmateur sans bas de la varance σ et que MCO est un également un estmateur de la varance σ augmentée d une valeur postve tradusant l effet du facteur. On consdérera donc la statstque F MCO O pour effectuer le test suvant : MCR Test de l effet du facteur O sur la varable Y : hpothèse nulle H 0 : O n a pas d effet ( ) α 0 (tous les α sont nuls) contre l hpothèse alternatve : H : O a un effet ( ) α 0 (l un au mons des α est non nul). Sous l hpothèse nulle MCO et MCR sont deux estmateurs ndépendants de σ, leur rapport F O est dstrbué selon une lo de Fscher à ν r - et ν (n - )(r - ) ddl. Le test est alors défn au seul de sgnfcaton α par la règle de décson suvante : s F O obs λ α alors on rejette l hpothèse nulle où λ α est donné par l équaton : α P(F O λ α ). Les résultats sont présentés dans le tableau d analse de la varance suvant : Source de varaton SC ddl MC F O Inter S SCS obs n - MCS obs Intra S SC ntra-sujets n(r ) O SCO obs r - MCO obs F O obs R SCR obs (n - )(r - ) MCR obs Total SCT obs rn - N - IV--5 Condton de valdaton : Les données peuvent être d une part, consdérées comme les Nn r observatons de la varable réponse Y dans les Nn r condtons expérmentales décrtes par le crosement du facteur sujet et du facteur occason. Elles peuvent d autre part, être regardées comme les n observatons d un vecteur de r varables réponses. Ces deux ponts de vue condusent à l élaboraton de deux modèles, le modèle mxte unvaré dans le premer cas et le modèle multvaré dans le second. Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-3-

24 Le fat de mesurer pluseurs fos la varable réponse sur le même sujet ntrodut des corrélatons entre les observatons fates sur ce même sujet. Dans le cas du modèle mxte unvaré on montre 0s s s' cov( Ys, Ys ' ') σ π s s s' et ' que : σπ + σ s s s' et ' et cor( Y, Y ) s σ π s ' ' σπ + σ Dans le cas du modèle multvaré on consdère que les données sont les réalsatons de r vecteurs aléatores de dmenson n. Y s (Y s, Y s,, Y sr ) ndépendants et de même lo normale caractérsés par : E(Y s )µ Var(Y s )σ cov(y s, Y s ) cov Le modèle mxte unvaré est donc un cas partculer du modèle multvaré se caratérsant par un matrce de varance-covarance Σ de la forme : O O O O O σπ + σ σπ σπ σπ O σπ σπ + σ σπ σπ Σ O σπ σπ σπ + σ σπ Or σ π σπ σπ σπ + σ Une telle matrce où tous les termes sont postfs et où tous les termes dagonaux sont égaux et tous les autres sont égaux est dte matrce crculare, et cette proprété est appelée la smétre composée de la matrce. Sur la dagonale prncpale de la matrce des varances-covarances Σ se trouvent les varances et les éléments hors dagonale sont des covarances. L hpothèse d homogénété des varances (homoscédastcté) se tradut par l égalté des éléments de la dagonale de la matrce Σ, Les éléments en dehors de la dagonale prncpale de la matrce Σ dovent être de même ordre. De même on peut consdérer la matrce des corrélatons ρ : O O ρ... O O O... O... O σπ σπ σ π σ π + σ σπ + σ σπ + σ σ σ σ σπ σπ σπ σ π + σ σπ + σ σπ + σ σπ σπ σπ σπ + σ σπ + σ σπ + σ π π π σ π + σ σπ + σ σπ + σ... O r r r Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-4-

25 De ce fat, dans le cas du chox de modèle mxte unvaré, en calculant les varances-covarances nous obtenons ˆΣ l estmaton de la matrce des varances-covarances (et auss l'estmaton de la matrce des corrélatons). S les éléments de la dagonale de la matrce des varances-covarances ˆΣ sont de même ordre, alors la condton de l'homoscédastcté (homogénété des varances) est vérfée. S les éléments hors dagonale de la matrce des varances-covarance (ou des corrélatons) sont de même ordre que les varances, alors le chox du modèle mxte unvaré est justfé. C'est-à-dre que la condton de la crcularté (de sphércté) est acquse. IV--6 Exemple : Pendant ¼ d heure on compte le nombre d actons exercées par chacun des 7 rats sur un lever. Et cec dans tros condtons de renforcement : ere condton : on présente au rat des alments très apprécés. eme condton : on présente au rat des alments moennement apprécés. 3 eme condton : on présente au rat des alments peu apprécés. On obtent les résultats donnés par le tableau c-contre. Facteur O Sujets A B C moenne ( ) s0 s ,333,46 s ,00 s ,00 s ,734 s ,333 0,656 s ,667 0,74 s ,667,78 moenne 0 6, ,86 03,86 T 4,43 N 5,98 35,90 ) 7,365 0,00 8,6 5, ,857 ( 0 SCT38,574 SCO08,857 SCS5,90 SCRSCT- SCO- SCS3,8 MCO SCO 08, 9 r SCR 3, 8 MCO 54, 45 MCR 5, F ( n )( r ) 6 obs MCR 54, , 34, Les résultats sont présentés dans le tableau d analse de la varance suvant : Source de SC ddl MC F O varaton Inter S SCS obs 5,90 n 6 MCS obs,65 Intra S SC ntra-sujets n(r )4 O SCO obs 08,857 r MCO obs 54,45 F O obs 47,34 R SCR obs 3,8 (n - )(r - ) MCR obs,5 Total SCT obs 38,574 rn - N 0 Pour vérfer la condton de la smétre composée, nous allons établr la matrce des varances-covarances et auss la matrce des corrélatons pour les colonnes du tableau des observatons. Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-5-

26 Très Apprécé Moennement Peu apprécé ,0,5,0,5,0,5 0,0 -, Très Apprécé Moennement Peu apprécé Matrce des varances-covarances Matrce des corrélatons O O O 3 O O O 3 O O O 3,55 0,84,633 0,898 0,04,06 O O O 3 0,5 0,700 0,55 On constate que les estmatons des varances ne sont pas très dfférentes. L hpothèse d homogénété des varances (homoscédastcté) peut être consdérée comme acquse. En ce qu concerne les covarances ou les corrélatons, on constate une corrélaton relatvement forte entre les résultats des condtons et 3 (r 3 0,7). Dans la condton 3 (alments peu apprécés), les rats n'ont pas trop d'actons. Mas, les rats très actfs dans la condton (alments très apprécés) sont auss actfs dans la condton 3, alors que les résultats de la condton ne sont pas corrélés n avec la condton n avec la condton. Ces résultats suggèrent une réflexon supplémentare sur ces données. Peut être faut-l examner un modèle multvaré et effectuer une MANOVA. Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-6-

27 Chaptre V Analse du plan S A B El Methn M. V-. A et B sont deux facteurs à effets fxes V-- Généraltés On consdère le plan complet S A B défn par le crosement de tros facteurs S, A et B. S est le facteur sujet (aléatore) à n modaltés. A et B sont deux facteurs à effets fxes, A possède r modaltés et B c modaltés. Chacun des n sujets est observé dans chacun des r c crosements des modaltés de A et B. On dspose donc de Nn r c observatons sj que l on présente sous la forme d un tableau : a a a r Sujets b b j b c b b j b c b b j b c j c j c r rj rc j c j c r rj rc s s sj sc s sj sc sr srj src n n nj nc n nj nc nr nrj nrc V-- Modèle unvaré : Les données peuvent être d une part, consdérées comme les N n r c observatons d une seule varable aléatore Y dans les N n r c condtons expérmentales décrtes par le crosement des tros facteurs S, A et B. Elles peuvent d autre part, être regardées comme les n observatons d un vecteur de r c varables aléatores. Ces deux ponts de vue condusent à l élaboraton de deux modèles, le modèle mxte unvaré dans le premer cas, et le modèle multvaré dans le second. Comme pour le plan S O, nous allons étuder le modèle mxte unvaré dans lequel nous consdérons que les modaltés du facteur sujet ont été obtenues par échantllonnage, le facteur sujet est donc un facteur aléatore. Les facteurs A et B sont des facteurs à effets fxes. Chaque donnée sj correspond alors à l observaton d une varable aléatore Y sj et on pose le modèle mxte suvant : Y sj µ j + π s + (απ) s + (βπ) js + (αβπ) sj + e sj Pour chaque crosement des modaltés s, et j nous ne dsposons que d une seule observaton, l nteracton (αβπ) sj sera confondue avec le résdu et on pose : ε sj (αβπ) sj + e sj On a donc : Y sj µ j + π s + (απ) s + (βπ) js + ε sj Où Les µ j (,,, r, j,,, c) sont des constantes qu mesurent les effets fxes des modaltés (,j) du crosement A B Les π s (s,,, n) sont des varables aléatores ndépendantes et dentquement dstrbuées (d) de lo N(0 ;σ² π ) qu mesurent les effets aléatores des modaltés s du facteur S Les (απ) s (s,,, n,,,, r) sont des varables aléatores ndépendantes et dentquement dstrbuées (d) de lo N(0 ;σ² απ ) qu mesurent les effets aléatores d nteractons entre le facteur S et le facteur A Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-7-

28 Les (βπ) sj (s,,, n, j,,, c) sont des varables aléatores ndépendantes et dentquement dstrbuées (d) de lo N(0 ;σ² βπ ) qu mesurent les effets aléatores d nteractons entre le facteur S et le facteur B Les résdus ε sj sont des varables aléatores ndépendantes et dentquement dstrbuées (d) de lo N(0 ;σ²) De plus, on suppose que les résdus ε sj sont ndépendantes des π s, des (απ) s et des (βπ) sj. Nous pouvons réécrre l effet fxe de la modalté (,j) sous la forme suvante : µ j µ + α + β j + (αβ) j Où : Le paramètre µ s nterprète comme un nveau général de réponse commun pour l ensemble des observatons, Le paramètre α µ - µ s nterprète comme l effet de la modalté du facteur A Le paramètre β j µ j - µ s nterprète comme l effet de la modalté j du facteur B Le paramètre (αβ) j µ j - µ - µ j + µ s nterprète comme l effet de la modalté (,j) du crosement A B (l effet d nteracton de A et B). Le modèle mxte unvaré peut fnalement s écrre : Y sj µ + α + β j + (αβ) j + π s + (απ) s + (βπ) js + ε sj Où : les Y sj sont des varables aléatores de lo : N ( µ + α + β + ( αβ), σ + σ + σ + σ j j π απ βπ ) Une telle paramétrsaton nécesste de rajouter les contrantes d dentfablté suvantes : r c r c α 0 β 0 ( αβ ) 0 ( αβ ) 0 j j j j V--3 Décomposton de la varaton : On commence par décomposer la varaton totale en varaton nter-sujets et varaton ntra-sujets : SCT obs SC nter-sujets + SC ntra-sujets SC SC n nter-sujet rc( s00 ) N Varance des moennes des sujets s ( ) ntra-sujet sj s00 s,, j La varaton nter-sujets est due au facteur sujet et la varaton ntra-sujets est due aux effets du crosement A B et à l effet des autres facteurs non contrôlés. L effet du facteur A B se fat à deux nveaux : effet prncpal et effet d nteracton. SC ntra-sujets SC(A B) obs + SC(A B)S obs + SCR obs Avec : SC(A B) obs SC(A) obs + SC(B) obs + SC(AB) obs et : SC(A B)S obs SC(AS) obs + SC(BS) obs + SC(ABS) obs Ne dsposant que d une seule observaton pour chaque crosement (,j,s) on ne peut donc séparer l nteracton SAB du résdu on a donc : SC(ABS) obs SCR Concluson : Dans le cas du plan complet S A B, la varaton totale se décompose de façon addtve en : SCT obs SCS obs + SCA obs + SCB obs + SCAB obs + SCAS obs + SCBS obs + SCR obs De même on a la décomposton des degrés de lberté : N-ncr- (n-) + n(rc-) (n-) + n(rc-) - (c-)(r-)(n-) + (c-)(r-)(n-) N-ncr- (n-)+(r-)+(c-)+(c-)(r-)+(r-)(n-)+(c-)(n-) Les dfférentes sommes de carrées se calculent de façon habtuelles par : n c r obs s j SCT ( ) sj N varance de toutes les observatons Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-8-