Cours d analyse numérique de C. Bertelle. FMdKdD fmdkdd [à] free.fr

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1 Cours d analyse numérque de C Bertelle FMdKdD fmdkdd [à] freefr Unversté du Havre Année

2 Table des matères Rappels d algèbre lnéare Espace vectorel Applcatons lnéares et matrces Matrce nverse d une matrce carrée 4 4 Calcul du détermnant d une matrce carrée 4 5 Trace d une matrce carrée 4 6 Matrces transposées, orthogonales, hermtennes, untares et normales 5 7 Valeurs propres et vecteurs propres de matrce 6 8 Matrces hermtennes défnes postves et matrces à dagonale domnante 6 9 Normes vectorelles et matrcelles 7 0 Condtonnement d une matrce 9 Méthodes drectes de résoluton de systèmes lnéares 0 Introducton 0 Formule de Cramer 0 Méthode de Gauss 0 Trangulaton du système Résoluton du système trangulare 4 Méthode du pvot de Gauss 5 Place mémore occupée 6 Méthode de factorsaton LDR 6 Résoluton du système lnéare avec la factorsaton LDR 5 6 Intérêt de la méthode de factorsaton 6 6 Calcul de l nverse d une matrce 6 Méthodes tératves de résoluton de systèmes lnéares 7 Introducton 7 Une étude abstrate générale 8 Étude de cas partculers de décomposton A = M N 9 Méthode de Jacob 9 Méthode de Gauss-Sedel 0 Méthode de relaxaton 4 Exemples 5 Résultats sur la convergence des méthodes tératves

3 Chaptre Rappels d algèbre lnéare Espace vectorel Un espace vectorel E sur un corps commutatf K (en général ou ) possède une lo de composton nterne (E E E) et une lo de composton externe (K E E) qu ont des proprétés (vor rappel donné en cours) Défnton Une base B d un espace vectorel E sur un corps K est un ensemble d éléments de E, B = (e,, e n ), s x E,! (x,, x n ) K n, x = x e x E est dt de dmenson n, et on note E = K n x se note = (x,, x n ) x n Opératons sur les vecteurs : On défnt le produt scalare de deux vecteurs u et v de K n par uv = u v K u v avec u = et v = u n v n On défnt le produt vectorel de deux vecteurs u et v de K par u v u v u v u v = u v u v K u v u v u v On défnt le produt mxte de tros vecteurs u, v, w K par Il exste de manère unque = (u, v, w) = (uv)w K =

4 CHAPITRE RAPPELS D ALGÈBRE LINÉAIRE Applcatons lnéares et matrces Défnton Sot f : K n K m une applcaton lnéare s α, β K, x, y K n, f (αx + βy) = α f (x) + βf (y) Sot une base B = {e j ; j n} une base de K n et sot C = { f ; m} une base de K m j tel que j n, f (e j ) = m a,j f On peut ranger tous les a,j dans un tableau : a, a,n a A =, a,n M m,n (K) a m, a m,n où M m,n (K) est l ensemble des matrces à m lgnes et n colonnes à éléments dans K Ans, pour tout élément x de K n, on a x = n j= x je j, et f (x) = f x j e j = x j f (e j ) j= La matrce A caractérse complètement l applcaton lnéare f, et elle permet de calculer les transformatons par f de tous les vecteurs de K n En effet, pour x = x y K n et y = K m, on a x n y m = y = f (x) y = a,j x j j= y = Ax Le produt Ax = y étant : a, a,n x a, a,n a =, x + + a,n x n x a m, a n a m, x + + a m,n x n m,n Opératons élémentares sur les matrces : L addton : A + B = C s A, B M n,m (K), C,j = A,j + B,j,, j La multplcaton par un scalare de K : αa = C, C,j = αa,j,, j Le produt : AB = C, s A M m,n (K), B M n,p (K), C,j = n k= a,k b k,j S A est assocée à l applcaton lnéare f, et B assocée à l applcaton lnéare g, alors AB est assocée à f g Donc, s z = f (g(x)) = (f g)(x), alors z = (AB)x = A(Bx) j=

5 CHAPITRE RAPPELS D ALGÈBRE LINÉAIRE 4 Remarques La matrce 0 0 La matrce Id = est élément neutre pour l addton des matrces est élément neutre de la multplcaton Matrce nverse d une matrce carrée Défnton A M n,n (K) est nversble (ou régulère) s B M n,n (K) telle que AB = BA = Id Le produt matrcel n étant pas commutatf, l faut vérfer les deux produts AB et BA B est notée A et assocée à l applcaton lnéare nverse de celle assocée à A 4 Calcul du détermnant d une matrce carrée Par développement de lgne ou de colonne : a, a, a, j a,n a, a, a, j a,n a n, a n, a n,j a n,n = ( ) + j a,j det(a [ ; j] ) + + ( ) n+j a n,j det(a [ n; j] ) où A [ ; j] est la matrce A sans la lgne et sans la colonne j Pour calculer un détermnant d ordre n, C(n) = nc(n )+a où a est une constante D où, C(n) n! Proposton det(id) = det(ab) = det(a) det(b) det(λa) = λ n det(a) A est régulère (nversble) s et seulement s det(a) 0 Dans, (u, v, w) = det(a) où A est la matrce dont les tros colonnes sont u, v et w S A est trangulare, alors det A = n = A, 5 Trace d une matrce carrée Défnton 4 La trace est une applcaton tr : M n,n (K) K défne par A tr(a) = n = A, Autrement dt, la trace d une matrce carrée A d ordre n est la somme de ses n coeffcents dagonaux Proposton tr(id) = n pour une matrce d ordre n tr(a + B) = tr(a) + tr(b) tr(λa) = λ tr(a)

6 CHAPITRE RAPPELS D ALGÈBRE LINÉAIRE 5 6 Matrces transposées, orthogonales, hermtennes, untares et normales Défnton 5 Sot A M m,n (K), on appelle transposée de A, notée A t M n,m (K), défne par (A t ),j = A j,,, j Remarque On assmle M n, (K) à K n Défnton 6 On dt que A est symétrque s A t = A (et donc m = n) Proposton det(a t ) = det(a) (A + B) t = A t + B t (AB) t = B t A t S A est régulère (nversble), alors (A t ) = (A ) t, et donc A t est également nversble Défnton 7 On dt que A est orthogonale s et seulement s A = A t Dans la sute de la secton, on se place dans K =, l ensemble des nombres complexes Défnton 8 On appelle A, adjonte de A : Proposton 4 det(a ) = det(a) (λa + µb) = λa + µb, λ, µ (AB) = B A S A est régulère, A l est auss et (A ),j = A j, (A ) = (A ) Défnton 9 A M n,n () est hermtenne s A = A En conséquence, les éléments dagonaux d une matrce hermtenne sont des réels, et les éléments symétrques par rapport à la dagonale sont des conjugués Défnton 0 On dt que A M n,n () est untare s A = A Défnton On dt que A M n,n () est normale s elle commute avec son adjonte A : A A = AA Remarque Une matrce hermtenne ou untare est normale Théorème (de factorsaton d une matrce normale) A est normale s et seulement s l exste une matrce U untare telle que : A = UDU où D est la matrce dagonale des valeurs propres complexes de A

7 CHAPITRE RAPPELS D ALGÈBRE LINÉAIRE 6 7 Valeurs propres et vecteurs propres de matrce Sot A M n,n (K) Défnton λ K est appelée valeur propre de A s : x K n, x 0, Ax = λx x est appelé le vecteur propre assocé à la valeur propre λ Proposton 5 (caractérstque) λ est une valeur propre de A s et seulement s det(a λ Id) = 0 On note det(a λ Id) = P(λ) le polynôme caractérstque de A de degré n Remarques S K =, P(λ) = 0 donc une équaton de degré n, donc n racnes complexes (pas nécessarement dsjontes), d où n valeurs propres complexes S K =, on n a pas forcément n valeurs propres réelles Défnton On appelle spectre de A, noté ( A), l ensemble des valeurs propres de A On appelle rayon spectral ρ(a) = max λ ( A) λ Rappel S z = x + y, le module de z est z = x + y Proposton 6 det(a) = n = λ tr(a) = n = λ ( A t ) = ( A) n n ρ(a) max n j= a,j, et ρ(a) max jn j= a,j, qu sont deux normes matrcelles Défnton 4 A M n,n (K) est dagonalsable s l exste P M n,n (K) nversble telle que : PAP }{{ } = D nouvelle base où D est la matrce dagonale des valeurs propres de A, et où P est formée des vecteurs propres de A qu consttuent ans une nouvelle base S A est dagonalsable, ses vecteurs propres sont lnéarement ndépendants 8 Matrces hermtennes défnes postves et matrces à dagonale domnante Défnton 5 Une matrce carrée A M n,n () hermtenne est dte postve s : Remarque x Ax, et donc x Ax, comparable à 0 x n, x 0 alors x Ax > 0 (x Ax) = x A x = x Ax

8 CHAPITRE RAPPELS D ALGÈBRE LINÉAIRE 7 Défnton 6 Une matrce A M n,n (K) est dte à dagonale domnante (resp strctement domnante) s : a, a,j resp a, > j= j a,j Proposton 7 Une matrce à dagonale strctement domnante est nversble j= j 9 Normes vectorelles et matrcelles Défnton 7 (norme vectorelle) Un norme N : n + vérfe les proprétés : x, y n, λ, N(x) 0 N(x) = 0 x = 0 N(x + y) N(x) N(y) (négalté trangulare) 4 N(λx) = λ N(x) Défnton 8 La norme de la convergence en moyenne N est défne par : N (x) = x = L espace vectorel normé par N est appelé L x Défnton 9 La norme eucldenne N est défne par : = / N (x) = x = x L espace vectorel normé par N est appelé L Défnton 0 La norme de la convergence absolue N est défne par : = N (x) = x = max n x L espace vectorel normé par N est appelé L Défnton De manère générale, l espace vectorel L p, p, est normé par N p défne par : N p (x) = = x p /p

9 CHAPITRE RAPPELS D ALGÈBRE LINÉAIRE 8 Remarque Dans ou : uv = u v cos(u, v) uv est nul s u = 0, ou v = 0, ou s cos(u, v) = 0, et u et v sont dts orthogonaux Dans, u v = u v sn(u, v) C est l are du parallélogramme défn par u et v u v est perpendculare à u et à v car (u v)u = (u v)v = (u, v, u) = (u, v, v) = 0 La défnton précédente d une norme vectorelle s applque à tout espace vectorel, donc à l espace vectorel des matrces Défnton Norme de Schurman (?) sur M n,n (K) m A s = a j = j= On peut vérfer faclement que c est ben une norme au sens de la défnton 7 Défnton Norme matrcelle assocée, subordonnée et ndute Soent A M n,n (K), N m et N n deux normes vectorelles sur K m et K n On appelle norme matrcelle ndute, la norme : Proposton 8 A = max N m (Ax) N n (x)= Ce sont des normes au sens de la défnton 7, A = max x 0 Ax x Ax A x, x K n 4 AB A B 5 I = Défnton 4 Norme matrcelle assocée à L : A = max a j j = Défnton 5 Norme matrcelle assocée à L : A = φ(a A) Défnton 6 Norme matrcelle assocée à L : m A = max a j Remarques La norme de Shurman (?) n est pas une norme matrcelle ndute ( I s = n) S A est hermtenne, on peut montrer A = φ(a) j=

10 CHAPITRE RAPPELS D ALGÈBRE LINÉAIRE 9 0 Condtonnement d une matrce Défnton 7 Sot A M n,n (K) nversble et une norme matrcelle sur M n,n (K) On appelle condtonnement de A relatvement à une norme matrcelle, le nombre réel postf : card(a) = A A Exemple Sot le système lnéare : u u u u 4 = De soluton On consdère le système perturbé pour lequel les coeffcents du second membre ont été légèrement modfés : u + δ, u + δ u + δ =, 9, u 4 + δ 4 0, 9 9,,6 La soluton est 4,5 On constate qu une erreur relatve de l ordre de sur les 00, données entraîne une erreur relatve sur le résultat de l ordre de 0 On a un coeffcent d amplfcaton entre les erreurs relatves sur les données et les erreurs relatves sur le résultat de 000 On a le même phénomène s on ntrodut des perturbatons sur les coeffcents de la matrce

11 Chaptre Méthodes drectes de résoluton de systèmes lnéares Introducton Soent A M n,n (), x, b n et l équaton Ax = b On cherche x qu vérfe l équaton avec A et b donnés Remarque Le système a une soluton unque s et seulement s det A 0 On a deux famlles de méthodes : les méthodes drectes : algorthme qu fournt en un temps fn la soluton exacte, les méthodes tératves : on calcule une sute de vecteurs qu convergent vers la soluton Formule de Cramer x = det(a ) det(a) A : matrce obtenue à partr de A en remplaçant la e colonne par le vecteur second membre b (coût de l ordre de nn!) Pour n = 5, coût d envron 0 opératons Sur une machne qu effectue 0 6 opératons par seconde, cela prendrat 4 mos de calcul Méthode de Gauss On procède en deux étapes : On transforme le système en un système trangulare supéreur équvalent, On résout le système trangulare 0

12 CHAPITRE MÉTHODES DIRECTES DE RÉSOLUTION DE SYSTÈMES LINÉAIRES Trangulaton du système a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b a n x + a n x + + a nn x n = b n re étape : on effectue des combnasons lnéares d équatons pour élmner les coeffcents de x pour la premère lgne Par exemple, pour la lgne (), n, on la remplace par () a a Pour chaque coeffcent de la lgne () on devra le remplacer par : a j a j a a a j pour j n e étape : a x + + a n x n = b 0 + a x + + a n x n = b a hk x k + + a hn x n = b h a nk x k + dots + a nn x n = b n La combnason lnéare applquée à tous les éléments de la lgne : a (k) j a (k ) j a(k ) k a (k ) kk a (k ) k j k + j n b (k) b (k ) a(k ) k a (k ) kk Algorthme : for k = à n do {tratement pour savor s a (k ) 0} kk for = k + à n do C a (k ) /a k kk for j = k + à n do a (k) j a (k ) j C a (k ) k j end for b (k) b (k ) end for end for C b (k ) k b k Résoluton du système trangulare a x + a x + + a n x n = b 0 + a x + + a n x n = b a nn x n = b n

13 CHAPITRE MÉTHODES DIRECTES DE RÉSOLUTION DE SYSTÈMES LINÉAIRES On résout par remontée : (n) x n = b n a nn Algorthme for = n à do x (b n j=+ a j x j )/a end for (n ) a n,n x n + a n,n x n = b n () a x + a,+ x a n x n = b x = (b n j=+ a j x j ) a 4 Méthode du pvot de Gauss Problème : l algorthme ne fonctonne pas s a = 0 ou a () = 0, ou a(k ) = 0 kk S a (k ) = 0, on recherche parm les coeffcents {a kk k ; k + n} un coeffcent non nul, par exemple sur la lgne j En permutant les lgnes k et j, on a résolu le problème Par contre, s tous les coeffcents sont nuls, alors on sat que a kk a kn det A = a a a k,k a nk a nn det A = 0 Le système n a pas de soluton et on s arrête Pour évter des sngulartés numérques ou des propagatons d erreurs numérques, on recherche : max ak ; h + n Sot j la lgne correspondant à ce coeffcent, on permute les deux lgnes k et j (sans oubler le second membre) S le max < ɛ (consdéré comme un zéro numérque), alors on consdère que la matrce est sngulère (det A = 0) Exemple 0 4 x + y = x + y = x, 0000 y 0, On travalle avec une matrce à nombres On ne permute pas les lgnes : 0 4 x + y = x y = 0 4

14 CHAPITRE MÉTHODES DIRECTES DE RÉSOLUTION DE SYSTÈMES LINÉAIRES Avec chffres sgnfcatfs, 0 4 y = 0 4 y = On reporte dans la premère équaton : 0 4 x = 0 x = 0 S on permute les deux expressons : x + y = 0 4 x + y = x + y = 0 4 y = Place mémore occupée L algorthme de trangulaton fat ntervenr des coeffcents de A (k ) et A (k) : on a beson de deux matrces Formule centrale : a (k) j a (k ) j a(k ) k a (k ) kk a (k ), k +, j n k j On a beson que d une seule matrce Pourquo? Après le calcul de a (k) j, on ne réutlsera jamas a (k ) j donc on peut remplacer 6 Méthode de factorsaton LDR où On factorse la matrce A du système sous la forme du produt de tros matrces : A = LDR L est une matrce trangulare nféreure à dagonale unté, D est une matrce dagonale, R est une matrce trangulare supéreure à dagonale unté On peut montrer que la décomposton est unque A j = L k (DR) k j k= = L k D kl R l j k= l= = L k D kk R k j k= car D kl = 0 sauf s k = l pusque D est dagonale

15 CHAPITRE MÉTHODES DIRECTES DE RÉSOLUTION DE SYSTÈMES LINÉAIRES4 S < j A j = L k D kk R k j + L D R j + k= = L k D kk R k j + L D R j k= R j = D car L k = 0 quand < k S = j A j k= L k D kk R k j A = L k D kk R k + L D R + k= D = A L k D kk R k k= car L k = 0 pour < k, et L = R = S > j j A j = L k D kk R k j + L j D j j R j j + k= L j = D j j j A j k= L k D kk R k j k=+ k=+ k=j+ L k D kk R k j L k D kk R k L k D kk R k j Algorthme for = à n do for j = à do L j A D j j j j k= L kd kk R k j end for D A k= L kd kk R k j for j = + à n do R j A D j k= L kd kk R k j end for end for Est-elle calculable? On peut regarder les ndces pour s en convancre, pour le cas > j par exemple : L j D j j }{{} j< A j j k= L k }{{} k<j D kk }{{} k< R k j }{{} k<

16 CHAPITRE MÉTHODES DIRECTES DE RÉSOLUTION DE SYSTÈMES LINÉAIRES5 Stockage des matrces L, D et R Dans les tros formules de calcul L j, D et R j, seul le coeffcent de A de même ordre que celu du calcul en cours est utlsé Donc le coeffcent A j une fos utlsé ne sera plus réutlsé dans la sute de la factorsaton, et on peut donc l effacer et le remplacer par le coeffcent en cours de calcul Ans, une seule matrce est nécessare pour l algorthme, et on peut remplacer tous les L,R et D par A Remarque Une méthode fréquemment rencontrée est la factorsaton LU : A = LU où L est une matrce trangulare nféreure à dagonale unté, et où U est une matrce trangulare supéreure U = DR où D et R sont les matrces de la factorsaton A = LDR S A est symétrque, A t = A : A = LDR A t = (LDR) t = R t D t L t R t est trangulare nféreure à dagonale unté, L t est trangulare supéreure à dagonale unté et D t est dagonale Donc, comme A = A t, L = R t Pour une matrce symétrque, on peut se passer d un des facteurs En revanche, pour la méthode LU : A = LU A t = (LU) t = U t L t U t est trangulare nféreure mas pas à dagonale unté On change alors de méthode de factorsaton pour les matrces symétrques : on pose A = LL t où L est trangulare nféreure mas pas à dagonale unté 6 Résoluton du système lnéare avec la factorsaton LDR Le système à résoudre s écrt : Ax = b avec A = LDR, d où : On résout en tros étapes : (LDR)x = b L D }{{} Rx = b z }{{} y On calcule y soluton de Ly = b, avec L matrce trangulare nféreure à dagonale unté, On calcule z soluton de Dz = y, avec D matrce dagonale, On calcule x soluton de Rx = z, avec R matrce trangulare supéreure à dagonale unté Dans les TP, pour les tros appels successfs permettant de résoudre les systèmes, et, on transmettra la matrce A drectement

17 CHAPITRE MÉTHODES DIRECTES DE RÉSOLUTION DE SYSTÈMES LINÉAIRES6 6 Intérêt de la méthode de factorsaton Dans la transformaton qu correspond à la factorsaton, on n agt pas sur le second membre b, par opposton avec ce qu est fat dans la méthode de Gauss S on dot résoudre pluseurs systèmes lnéares avec la même matrce et des seconds membres dfférents, on ne fera qu une seule fos la factorsaton LDR 6 Calcul de l nverse d une matrce Pour résoudre AA = Id, on résout n systèmes lnéares : Ax = E Ax = E Ax (n ) = E n où E est la e colonne de la matrce Id Les x () forment les colonnes de la matrce A Pour la résoluton de ces systèmes, la méthode de factorsaton vue précédemment est ben plus effcace que la méthode de Gauss, car A est conservée Remarque Dans l algorthme de factorsaton LDR, on effectue des dvsons par les coeffcents de D Que fare s l un d eux est nul? On a un résultat qu dt que s tous les mneurs prncpaux de A sont non nuls, alors la matrce peut se factorser sous la forme LDR Le mneur d ordre n est det A, le mneur d ordre n est le détermnant de la matrce A prvée des lgnes et colonnes n, Dans la pratque, on regarde s les coeffcents dagonaux de D calculés sont non nuls, et on peut dre que la méthode ne s applque pas Peut-on permuter des lgnes en cours de résoluton, comme on le fat pour la méthode de Gauss? S on permute une lgne dans la matrce A, on dot mémorser les permutatons effectuées pour les applquer ultéreurement aux seconds membres On peut pour cela conserver un vecteur d ndces : n On transforme le second membre b en c, de façon à avor c b permut() Ans, la méthode LDR peut s applquer aux mêmes matrces que la méthode de Gauss

18 Chaptre Méthodes tératves de résoluton de systèmes lnéares Introducton Résoluton du système Ax = b avec A M n,n (K), b, x K n et K = ou Une méthode tératve consste à : à partr de x (0), «estmaton» de x, générer une sute de vecteurs x (h) par une relaton de récurrence : x (h+) = F k x (h), x (h ),, x (h ) relaton mult-pas sur termes S F k est ndépendante de k, on parle d tératon statonnare Remarque La méthode est dte convergente s la sute (x (k) ) converge vers x D une manère pratque, on arrête les calculs avec le test : b Ax (k) ɛ b pour un ɛ donné S ɛ = 0 p, les p premers chffres sgnfcatfs de b et Ax (k) sont dentques Plus précsément, le sens de l dentté dépend de la norme utlsée : en moyenne sur les n coeffcents s =, pour tous les coeffcents s = Une autre condton d arrêt, mons fable, consste à regarder l évoluton de la sute : x (k+) x (k) ɛ x (k) Il y a un problème s, en cours de calcul, on obtent x = 0 7

19 CHAPITRE MÉTHODES ITÉRATIVES DE RÉSOLUTION DE SYSTÈMES LINÉAIRES8 Une étude abstrate générale On écrt A sous la forme M N avec M, N M n,n (K) A = M N M dot être faclement nversble (dagonale ou trangulare, par exemple) On a le système : Ax = b (M N)x = b Mx Nx = b Mx = Nx + b C est une formule de pont fxe (f (x) = x) On peut en dédure un processus tératf x (0) donné dans K n Mx (k+) = Nx (k) + b À chaque tératon, on dot résoudre un système lnéare de matrce M que l on peut écrre x (k+) = M Nx (k) + M b Dans la pratque, on ne calcule pas M mas on résout le système de matrce M Étude de convergence l étape k x soluton de Ax = b On pose e (k) = x (k) x, l erreur à Pour passer de e (k) à e (k+), x (k+) = M Nx (k) + M b e (k+) = x (k+) x T = M N est la matrce d tératon : = M Nx (k) + M b x = M Nx (k) M Nx = M N(x (k) x) = M Ne (k) e (k+) = M Ne (k) e (k+) = Te (k) = T e (k ) e (k) = T k e (0)

20 CHAPITRE MÉTHODES ITÉRATIVES DE RÉSOLUTION DE SYSTÈMES LINÉAIRES9 La méthode converge s e (k) k 0 T k e (0) k 0 lm k Tk = 0 Théorème (adms) Une condton nécessare et suffsante pour que lm k T k = 0 est que ρ(t) < Avec ρ(t) = max λ ( T) λ Remarque S (x k ) est une sute réelle, x k, l faut x < k On peut montrer que pour toute matrce A, on a ρ(a) A pour toutes les normes matrcelles assocées (à des normes vectorelles) Corollare S est une norme subordonnée telle que T < alors le processus tératf converge vers la soluton de Ax = b Étude de cas partculers de décomposton A = M N Décomposton A = D E F, où : F D E D est une matrce dagonale, D j = 0 s j D = A E est une matrce trangulare nféreure, E j = 0 s j E j = A j s > j F est une matrce trangulare supéreure, F j = 0 s j Méthode de Jacob F j = A j s < j Formulaton matrcelle processus tératf : A = M N = D E F, avec M = D et N = E + F Le x (0) donné Mx (k+) = Nx (k) + b À chaque tératon, on dot résoudre le système dagonal : Dx (k+) = (E + F)x (k) + b avec D = A 0,

21 CHAPITRE MÉTHODES ITÉRATIVES DE RÉSOLUTION DE SYSTÈMES LINÉAIRES0 Mse en œuvre effectve D où a x + a x + a x = b a x + a x + a x = b a x + a x + a x = b Pour applquer le processus tératf, on transforme : Méthode de Gauss-Sedel a x (k+) = a x (k) a x (k) + b a x (k+) = a x (k) a x (k) + b a x (k+) = a x (k) a x (k) + b x (k+) = a x (k) a x (k) + b a x (k+) = a x (k) a x (k) + b a x (k+) = a x (k) a x (k) + b a Formulaton matrcelle Cette fos-c on pose M = D E et N = F On dot alors résoudre à chaque tératon le système dagonal : (D E)x (k+) = Fx (k) + b Mse en œuvre effectve Les coeffcents de E sont à l ordre (k + ) mantenant : Sot a x (k+) = a x (k) a x (k) + b a x (k+) = a x (k+) a x (k) + b a x (k+) = a x (k+) a x (k+) + b x (k+) = a x (k) a x (k) + b a x (k+) = a x (k+) a x (k) + b a x (k+) = a x (k+) a x (k+) + b a Même s les x à l ordre (k + ) ne sont pas tous du côté gauche des équatons, s l on résout le système de haut en bas, ls seront tous calculés avant d être utlsés

22 CHAPITRE MÉTHODES ITÉRATIVES DE RÉSOLUTION DE SYSTÈMES LINÉAIRES Méthode de relaxaton x (k+) Formulaton de la méthode de Gauss-Sedel : a x (k+) a x (k) a x = a j x (k+) j x (k+) x (k) = j= = b j= b j=+ a j x (k+) j j= a j x (k+) j a j= a j x (k) j + b a j x (k) j n j= a j x (k) j x (k) = (k+) est l écart entre deux térés successfs Dans la méthode de relaxaton, on ntrodut un facteur de relaxaton ω : b j= a j x (k+) j n j= a j x (k) j = ω (k+) pour obtenr la formule de récurrence : b x (k+) = x (k) + ω a j= a a j x (k+) j + a j x (k) On peut vérfer que la formulaton matrcelle assocée est j= j M = (D ωe) ω N = (( ω)d + ωf) ω 4 Exemples Résoudre 0x + x = x + 0x = De soluton exacte On part de x (0) 0 0, et on applque les méthodes de Jacob et de Gauss-Sedel Méthode de Jacob : (k) x (k+) x = 0 (k) x (k+) x = 0 x (0) 0 0 /0 98/00 00/000 x () x () x () /0 98/00 004/000

23 CHAPITRE MÉTHODES ITÉRATIVES DE RÉSOLUTION DE SYSTÈMES LINÉAIRES Méthode de Gauss-Sedel : Résoudre x (0) 0 0 (k) x (k+) x = 0 (k+) x (k+) x = 0 /0 00/000 x () x () 98/0 9996/0000 x + 0x = 0x + x = de même soluton que le système précédent Méthode de Jacob : (k+) x = 0x (k) x (k+) = 6 5x (k) x (0) 0 0 x () x () x () 49 5 Méthode de Gauss-Sedel : (k+) x = 0x (k) x (k+) = 6 5x (k+) x (0) x () x () Résultats sur la convergence des méthodes tératves Proposton S A est à dagonale strctement domnante, alors quelque sot x (0) donné : la méthode de Jacob converge, la méthode de Gauss-Sedel converge, la méthode de relaxaton converge, s 0 < ω Proposton S A est hermtenne défne postve, alors quelque sot x (0) : la méthode de Gauss-Sedel converge, la méthode de relaxaton converge s et seulement s 0 < ω < Proposton La méthode de relaxaton converge mplque que 0 < ω <