UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire Corrigé - Statistiques Descriptives

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1 UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année unverstare L1 Économe Cours de B. Desgraupes Corrgé - Statstques Descrptves Séance 10: Régresson lnéare Corrgé ex. 1: Vtesse et dstance de frenage Vtesse Dstance Vtesse Dstance ) Calcul des moyennes arthmétques. On trouve faclement µ V = 14 et µ D = 36, ) Calcul des varances. On trouve Var(V ) = 28, 3 et Var(D) = 610, ) Calcul de la drote de régresson D D V de la dstance par rapport à la vtesse. Notons y = a x + b l équaton de cette drote. Il faut trouver a et b. On commence par calculer la covarance des varables V et D : Cov(V, D) = 1 (V µ V ) (D µ D ) = = 121, 6 20 La pente de la drote de régresson de D par rapport à V est défne comme On obtent donc a = a = 121, 6 28, 3 Cov(V, D) Var(V ) = 4, 297 On calcule ensute le coeffcent b par la formule b = ȳ a x = µ D a µ V = 36, 5 4, = 23, 658

2 Fnalement l équaton de la drote est : D D V : y = 4, 297 x 23, ) Calcul de la drote de régresson D V D de la vtesse par rapport à la dstance. On procède comme précédemment en nversant le rôle de D et de V. Notons x = a y + b l équaton de cette drote. Il faut trouver a et b. La covarance est symétrque en les deux varables : Cov(D, V ) = Cov(V, D) = 121, 6 La pente de la drote de régresson de D par rapport à V est défne comme On obtent donc a = Cov(D, V ) Var(D) a = 121, 6 = 0, , 65 On calcule ensute le coeffcent b par la formule b = x a ȳ = µ V a µ D = 14 0, , 5 = 6, 736 Fnalement l équaton de la drote est : D V D : x = 0, 199 y + 6, ) Représentaton graphque des deux drotes de régresson. Pour représenter les deux drotes sur le même graphque, on réécrt l équaton de la seconde sous la forme : y = 1 a x b a On obtent la fgure suvante. Les deux drotes se coupent au barycentre G dont les coordonnées sont respectvement les moyennes µ V et µ D. 2

3 Dstances de frenage drote D V drote V D Dstance G Vtesse D après le cours, la racne carrée du produt des pentes représente le cosnus de l angle que font les deux drotes. On calcule : a a = 4, 297 0, 199 = 0, 925 Cela correspond à un angle de 22, ) Calcul du coeffcent de corrélaton lnéare. D après le cours, le coeffcent de corrélaton lnéare est défn par r = Cov(D, V ) σ D σ V On calcule : r = 121, 6 610, 65 28, 3 = 0, 925 On retrouve la quantté a a calculée dans la queston précédente. C est normal car effectvement on a la relaton r 2 = a a. La valeur 0,925 est proche de 1 : on en dédut qu l y a une forte corrélaton lnéare entre les deux varables. Cela suggère une forte dépendance lnéare (qu l faudrat vérfer par la connassance des deux varables). Le dagramme de dsperson, par sa forme allongée et rectlgne, semble confrmer cette dépendance. Corrgé ex. 2: Geyser Old Fathful 3

4 Attente Érupton Attente Érupton Attente Érupton ) Calcul des moyennes et des varances des durées d érupton et des temps d attente. Le calcul ne présente aucune dffculté en applquant les formules. On trouve : Moyenne Varance Attente Érupton ) Calculer la drote de régresson D E A des éruptons par rapport aux temps d attente par la méthode des mondres carrés. Notons y = a x + b l équaton de cette drote. Il faut trouver a et b. On commence par calculer la covarance des varables A et E : Cov(A, E) = 1 30 (A µ A ) (E µ E ) = = La pente de la drote de régresson de E par rapport à A est défne comme a = Cov(A, E) Var(A) On obtent donc a = = On calcule ensute le coeffcent b par la formule b = ȳ a x = µ E a µ A = = Fnalement l équaton de la drote est : D E A : y = x ) Représentaton graphque du dagramme de dsperson et de la drote de régresson. 4

5 Geyser Old Fathful Erupton µ E = 3.22 G µ A = Attente On a placé le barycentre G du nuage de ponts qu a pour coordonnées les moyennes des deux varables (69.5, 3.22). 2-4 ) Pour les deux varables, répartr les données en 4 classes d ampltude égale et dresser le tableau de contngence. Les valeurs extrêmes de la varable A (temps d attente) sont 48 et 88. On construt les classe d ampltude égale suvantes : [48, 58), [58, 68), [68, 78) et [78, 88]. Pour les calculs, on remplacera chaque classe par son mleu (respectvement 53, 63, 73, 83). Les valeurs extrêmes de la varable E (durée d érupton) sont 1,6 et 4,8. On construt les classe d ampltude égale suvantes : [1.6, 2.4), [2.4, 3.2), [3.2, 4) et [4, 4.8]. Pour les calculs, on remplacera chaque classe par son mleu (respectvement 2, 2.8, 3.6, 4.4). En répartssant les données selon ces classes, on obtent le tableau de contngence suvant : A\E [1.6, 2.4) [2.4, 3.2) [3.2, 4) [4, 4.8] [48, 58) [58, 68) [68, 78) [78, 88] ) À partr du tableau de contngence, nous allons représenter les courbes de régresson C E A et C A E. Ajoutant les marges au tableau de contngence afn de pourvor calculer les dstrbutons condtonnelles : 5

6 A\E [1.6, 2.4) [2.4, 3.2) [3.2, 4) [4, 4.8] Total [48, 58) [58, 68) [68, 78) [78, 88] Total Courbe de régresson C E A. On en dédut les dstrbutons condtonnelles de E sachant A (les classes de E ont été remplacées par leur centre) : A\E [48, 58) [58, 68) [68, 78) [78, 88] et les moyennes condtonnelles correspondantes : Classes [48, 58) [58, 68) [68, 78) [78, 88] Moyennes Ces moyennes permettent de tracer la courbe de régresson C E A. Courbe de régresson C_E A Éruptons Attentes Courbe de régresson C A E. De la même manère, on calcule les dstrbutons condtonnelles de A sachant E (les classes de A ont été remplacées par leur centre) : 6

7 A\E [1.6, 2.4) [2.4, 3.2) [3.2, 4) [4, 4.8] et les moyennes condtonnelles correspondantes : Classes [1.6, 2.4) [2.4, 3.2) [3.2, 4) [4, 4.8] Moyennes Ces moyennes permettent de tracer la courbe de régresson C A E. Courbe de régresson C_A E Attentes Éruptons 2-6 ) Calcul des rapports de corrélaton. Les attentes jouent le rôle de la varable X et les durées d érupton le rôle de la varable Y. On a beson de connaître la moyenne margnale de chaque varable. En remplaçant chaque classe par son mleu et en utlsant les marges calculées précédemment, on trouve : x = ȳ = 3.23 Commençons par calculer le rapport de corrélaton de Y en X. La formule de η 2 y,x est la suvante : η 2 y,x = n (ȳ ȳ) 2 j n j (y j ȳ) 2 On a déjà calculé précédemment les moyennes condtonnelles ȳ de E sachant A. 7

8 Calculons le numérateur : n (ȳ ȳ) 2 = 10 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 = Calculons le dénomnateur : n j (y j ȳ) 2 = 11 (2 3.23) ( ) 2 j On obtent fnalement + 7 ( ) ( ) 2 = ηy,x 2 = = % Pour le calcul de l autre coeffcent de corrélaton, la démarche est dentque. La formule de η 2 x,y est la suvante : j ηx,y 2 = n j ( x j x) 2 n (x x) 2 On a déjà calculé précédemment les moyennes condtonnelles x j de A sachant E. Calculons le numérateur : n j ( x j x) 2 = 11 ( ) ( ) 2 j + 7 ( ) ( ) 2 = Calculons le dénomnateur : n (x x) 2 = 10 ( ) ( ) 2 On obtent fnalement + 4 ( ) ( ) 2 = ηx,y 2 = = % Les deux coeffcents de corrélaton sont élevés et les courbes de régresson résument donc ben le nuage de ponts. 2-7 ) Fare l analyse de la varance de la varable E consste à la décomposer selon la formule suvante : V (X) = r 2 V (X) + (1 r 2 ) V (X) 8

9 où r 2 est le coeffcent de détermnaton. Il est le carré du coeffcent de corrélaton : r 2 = Cov(X, Y ) 2 Var(X) Var(Y ) On dot donc calculer la covarance et les varances margnales. On fat les calculs à partr du tableau de contngence. On trouve : Cov(X, Y ) = 1 n j x y j xȳ N j = = = On calcule faclement les varances margnales Var(X) = et Var(Y ) = On trouve fnalement : r 2 = Cov(X, Y ) Var(X) Var(X) = = % S on compare le coeffcent de détermnaton avec les rapports de corrélaton, on observe que : r 2 < η 2 y,x et r 2 < η 2 x,y Cette proprété est toujours vrae. Corrgé ex. 3: Relaton de Clausus Clapeyron 3-1 ) Calculons les logarthmes log(p ) de la presson : Pour convertr les degrés Celsus en degrés Kelvn, on ajoute 273,15. On nverse ensute les valeurs obtenues pour avor 1/T : ) La sére log(p ) va jouer le rôle de la varable Y et la sére 1/T celu de la varable X. On va fare une régresson de Y par rapport à X. Notons y = a x + b l équaton de la drote de régresson. Il faut trouver a et b. Les moyennes des varables sont X = et Ȳ = On commence par calculer la covarance des varables X et Y : Cov(X, Y ) = 1 (X µ X ) (Y µ Y ) = =

10 La varance de la varable X est égale à (calcul à fare...). La pente de la drote de régresson de Y par rapport à X est défne comme On obtent donc a = Cov(X, Y ) Var(X) a = = On calcule ensute le coeffcent b par la formule b = ȳ a x = = Fnalement l équaton de la drote est : D Y X : y = x ) En remplaçant y par log(p ) et x par 1/T dans l équaton de la drote de régresson, on obtent : log(p ) = T En prenant l exponentelle des deux membres, on obtent : ( P = exp ) T Les coeffcent de la régresson donnent donc une estmaton des constantes de la formule de Clausus Clapeyron : { A = B =