x k, 2 : x k 1 n x x 1

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1 SMIA/S3 ANALYSE 3 AALAMI IDRISSI et EZEROUALI Chapitre 5 FONCTIONS DE IR DANS IR p I) NOTIONS DE TOPOLOGIE SUR IR 1) Normes sur IR : a) Défiitio: O appelle orme sur toute applicatio x x de das telle que : (i) x 0 x 0 (ii) IK, x E, x x (iii) x, y E 2 x y x y (l iégalité triagulaire) L espace état mui de la orme est dit espace ormé b) Exemples: Sur l applicatio valeur absolue x x est ue orme Sur les applicatios 1 : x k 1 : x sup 1 k x k sot des ormes x k, 2 : x k 1 x k 2 1/2 et Remarque: Das l espace, o a pour tout x : x x 2 x 1 x x 1, Plus gééralemet, ous verros plutard que deux ormes quelcoques sur et sot équivaletes das le ses suivat :, 0 tel que : x x x c) Boules ouvertes et fermées de Soit ue orme sur Pour tout poit x de et tout r 0, la boule ouverte ( respectivemet fermée) de cetre x et de rayo r est défiie par : B x, r y / x y r ( respectivemet B x, r y / x y r ) Das les boules ouvertes ( respectivemet fermées ) sot les itervalles cetrés ouverts (respectivemet fermés) Exercice Détermier les boules uités de 2 cetrées à l origie des trois ormes fodametales défiies ci-dessus d) Itérieur,adhérece d ue partie de Ue partie A de est dite ouverte si elle est soit vide soit o vide et si pour tout poit x de A il existe r 0 telle que la boule de cetre x et de rayo r soit coteue das A ( B x, r A) Soit A ue partie quelcoque de ; u poit a de A est dit poit itérieur de A s il existe ue boule cetrée e a et coteu das A L itérieur d ue partie A quelcoque de est l esemble des poits itérieurs de A et c est le plus grad ouvert de coteu das A, il es oté A A titre d exemple, les boules ouvertes et plus gééralemet les réuios quelcoques de boules ouvertes sot des ouverts Ue partie B de est dite fermée si elle est le complémetaire d ue partie ouverte A, soit B \ A Soit B ue partie quelcoque de ; u poit a de est dit poit adhéret à B si pour tout r 0 o a B x, r B o vide L adhérece d ue partie B quelcoque de est l esemble des poits ahérets à B, c est le plus petit fermé coteat B, oté B Ue réuio fiie de boules fermées est u exemple de fermé 1

2 Exemple: L itérieur de la boule fermée B x, r est la boule ouverte B x, r L adhérece de la boule ouverte B x, r est la boule fermée B x, r Ue partie A de est dite borée s il existe r 0, tel que A soit coteue das la boule fermée B 0, r : r 0, x A, x r Ue partie A de est dite coexe si elle est pas réuio de deux ouverts disjoits de : A 1, A 2 ouverts de : A A 1 A 2 avec A 1 A 2 Das, ue partie est coexe si et seulemet si c est u itervalle Remarque: Du fait que deux ormes quelcoques de sot toujours équivaletes, les otios défiies das ce paragraphe ( ouvert,fermé,) e dépedet pas de la orme choisie das 2) Suites das DéfiitioUe suite x m d élémets de est dite covergete vers x, si l o a : 0, m 0 : m m 0 : x m x Propositio 1 La limite d ue suite covergete das est uique Propositio 2 Soit x m ue suite d élemets d ue partie A de Nous avos : x m x 1 m, x 2 m,, x m Alors la suite x m coverge das si et seulemet si chaque suite suite réelle x k m ( k 1,, ) coverge das et l o a : lim m x m lim m x 1 m, lim m x 2 m,, lim m x m Propriètès : Soiet u m, v m deux suites covergetes de et réel, alors grâce aux propriètès des suites réelles, ous avos : i) lim m u m v m lim m u m lim m v m ii) lim m u m lim m u m Remarques:1) La covergece d ue suite e déped pas de la orme choisie das 2) O peut motrer que l adhérece d ue partie A quelcoque de, est égal à l esemble des limites de suites d élemets de A e) Compacité: Défiitio: Ue partie A de est dite compacte si toute suite d élemets de A o peut e extraire ue sous suite covergete das A Théorème 1 : Ue partie de est compacte si et seulemet si elle est fermée et borée das Exemple: Toute boule fermée ou sphère de est compacte II) FONCTIONS CONTINUES DE DANS p 1) Notio de limite: 2

3 a) DéfiitioSoit f ue foctio défiie sur ue partie A de et à valeurs das p Soit a A, o dit que f admet ue limite e a de valeur l p quad x ted vers a, si l o a : 0, 0, x A et x a f x l O écrit alors : lim x a f x l b) Remarque: Avec les hypothèses de la défiitio ci-dessus,comme la foctio f est à valeurs das p, ous écrivos f f 1,, f p E preat la même démarche que pour la propositio 2, ous pouvos motrer que la foctio f admet ue limite l e a si et seulemet si les foctios composates f 1,, f p admettet des limites l 1,, l p et l o a alors : l l 1,, l p Ceci ramèe l étude des limites de foctios sur et à valeurs das p aux limites de foctios à valeurs réelles c) Propriètès des limites: Soiet f et g deux foctios défiies sur A à valeurs réelles et admettat ue limite e u poit a A, ous avos alors les propriètès: i) lim x a f x g x lim x a f x lim x a g x ii) lim x a f x g x lim x a f x lim x a g x iii) lim x a f x / g x lim x a f x / lim x a g x, à coditio que g x 0 pour x voisi de a Exercice: Calculer lim x,y 0,0 x/ x 2 y 2 2) Cotiuité a) Défiitio:Soit f ue foctio défiie sur ue partie A de et à valeurs das p O dit que f est cotiue e u poit a apparteat à l itérieur de A, si l o a : lim x a f x f ce qui se traduit par : 0, 0, x A et x a f x f b) Remarque: Grâce à la remarque II)1) b), étudier la cotiuité de f f 1,, f p au poit a se ramèe à l étude de la cotiuité des foctios composates f 1,, et f p e ce poit c) Théorème 2 Soit f ue foctio défiie sur ue partie A de et à valeurs das p Alors f est cotiue au poit a si et seulemet si pour toute suite x m d élemets de A qui coverge vers a la suite f x m coverge vers f Remarque : Soit f ue foctio défiie et cotiue sur ue partie A de et à valeurs das p Soit x 1, x 2,, x A, e fixat x 2,, x l applicatio x 1 f x 1, x 2,, x est cotiuemême résultat pour les autres foctios partielles de f La réciproque de cette propriètè est fausse, voici u cotre-exemple avec la foctio défiie das 2 par: 3

4 f x, y x y/ x 2 y 2 si x, y 0, 0 0 sio d) Propositio 3: Cotiuité globale Soit f : p Alors ous avos l équivalece: i) f est cotiue e tout poit de ii) L image réciproque par f de tout ouvert ( respectivemet fermé) de p est u ouvert (respectivemet fermé) de e) Propositio 4: Toute applicatio liéaire u de das p, est cotiue et vérifie ue iégalité de la forme suivate : u x M x, x où M est ue costate dépedate de u f) Exemple: Soit à étudier la cotiuité de la foctio f : 2 défiie par : f x, y x 2 y/ x 2 y 2 si x, y 0, 0 0 sio Il est clair que f est cotiue e tout poit x, y o ulpassos e coordoées polaires, ous obteos : f r cos, r si r cos 2 si d où f r cos, r si r doc lim x,y 0,0 f x, y 0 f 0, 0 g) Propositio 5: Soit f ue foctio défiie sur ue partie ouverte A de 2 et a, b A Alors f est cotiue au poit a, b si et seulemet si pour tout 0, 2, ous avos : lim r 0 f a r cos, b r si f a, b Exercice Discuter la cotiuité de l applicatio f : 2 défiie par : f x, y x y / x 2 y 2 si x, y 0, 0 0 sio selo les paramétres réels et h) Propriètès algébriques : Soiet f et g deux foctios défiies sur A à valeurs réelles et qui so cotiues e u poit a itérieur de A, alors les foctios somme f g, produit f g et rapport f /g ( si g 0 ) sot cotiues e a La preuve découle du théorème 2, et des propriètès des suites réelles covergetes U autre corollaire de ce théorème affirme que si f est cotiue e a et si g est cotiue e b f, alors la foctio composée g f est cotiue e a 4

5 k) Propriètès topologiques des foctios cotiues : Théorème 3: Soit f ue foctio défiie et cotiue sur ue partie A de et à valeurs das p Alors l image par f de tout compact K de A est compact das p Corollaire Toutes les ormes sur sot deux à deux équivaletes Théorème L image de toute partie coexe de par ue applicatio cotiue de das p est coexe III) CALCUL DIFFERENTIEL 1) Dérivées partielles a) Défiitio: Soit U u ouvert de et a a 1,, a U O dit que f : U admet ue dérivée partielle par rapport à la variable x i au poit a si la foctio f i défiie das u voisiage de a i par f i x f a 1,, a i 1, a i, a i 1,, a est dérivable au poit a i, c est à dire que le rapport : f a 1,, a i 1, a i h, a i 1,, a f a 1,, a i 1, a i, a i 1,, a /h admet ue limite fiie quad h ted vers 0 Cette limite est otée x i et appelée la dérivée partielle de f par rapport à x i, au poit a b) Exemples: i) La foctio f : 2 défiie par f x, y x 2 y 3 admet des dérivées partielles par rapport à x et y e tout poit de 2, doées par : x, y 2xy 3, x y 3x2 y 2 ii) Soit f la foctio défiie sur 2 par: f x, y x y/ x 2 y 2 si x, y 0, 0 0 sio O a lim h 0 f h, 0 f 0, 0 /h lim h 0 f 0, h f 0, 0 /h 0 Doc f admet des dérivées partielles par rapport à x et y e 0, 0 et o a 0, 0 0, 0 0 x y c) Matrice jacobiee: Soit f ue foctio défiie sur u ouvert U de à valeurs das p Pour x U, ous avos f x f 1 x,, f p x, où f 1,, f p sot des foctios sur U à valeurs das, appelées les foctios composates de f Soit i 1,,, o dit que f admet des dérivées partielles par rapport à x i e u poit a de U, si chacue des foctios f 1,, f p admet ue dérivée partielle par rapport à x i au poit a Si pour tout i 1,,, la foctio f admet au poit a des dérivées partielles par rapport à x i, la matrice à p liges et à coloes 5

6 1 x 1 2 x 1 1 x 2 2 x 2 P x 1 p x 2 1 x 2 x p x otée J f est appelée la matrice jacobiee de f au poit a 2) Dérivées partielles d ordre supérieur Soiet U u ouvert de, f ue foctio défiie sur U à valeurs réelles et a U Soiet i, j 1,, Supposos que f admette ue dérivée partielle voisiage du poit a Si la foctio x x admet ue dérivée partielle par rapport à au poit a, o dit que la foctio f admet ue dérivée partielle secode par rapport x i à x i et x j au poit a, otée lieu de x i x i x i x i Si i j, o écrit au x i 2 au Pour tout muti-idice 1,, k k, o défiit de proche e proche les dérivées partielles d ordre, quad elles existet par : f f x 1 i1 x ik k où i 1,, i k 1,, et 1 k Théorème 4 ( Théorème de Schwarz ) Soiet U u ouvert de, f ue foctio défiie sur U à valeurs réelles et admettat des dérivées partielles a de U Si les foctios x i x i Remarques:i) Si la foctio et 2 f x i x i et x i défiies au voisiage d u poit x i sot cotiues au poit a, o a ( ou x i ) est pas cotiue au poit, la relatio x i x i est pas satisfaite à priorivoici u cotre-exemple: Soit f la foctio défiie sur 2 par: f x, y O a : x, y x y x4 y 4 4x 2 y 3 / x 2 y 2 2, ce qui doe : x y x 2 y 2 / x 2 y 2 si x, y 0, 0 0 sio x i y x, y x x4 y 4 4x 2 y 3 / x 2 y 2 2 0, 0 1 et 2 f 0, 0 1 y x x y ii) Si f : U admet des dérivées partielles cotiues jusqu à u ordre k 2, alors d aprés le théorème de Schwarz, o peut chager l ordre des dérivatios partielles par rapport à x 1,, x 6

7 3) Différetiabilité Défiitio Soiet U u ouvert de, f ue foctio défiie sur U à valeurs das p O dit que f est différetiable au poit x de U s il existe ue applicatio liéaire L : p telle que : f x h f x L h h h où est ue foctio défiie au voisiage de 0 telle que lim h 0 h 0 L applicatio liéaire L déped de f et de x, elle est otée df x et s appelle la différetielle de f au poit x La différetiabilité de f peut s exprimer dela faço suivate : il existe ue applicatio liéaire L : p telle que : lim h 0 1 h f x h f x L h 0 Exemples : i) Soit I u itervalle ouvert de Toute foctio f : I dérivable au ses classique e u poit x est différetiable et l o a : df x h f x h où f x désige la dérivée de f au poit x ii) Soit f : p ue applicatio liéaire Alors f est différetiable e tout poit de et l o a pour tout x, df x f E effet, ous avos pour tout x, h 2 la relatio f x h f x f h Théorème 5 Soiet U u ouvert de, f ue foctio défiie sur U à valeurs das p, et f 1,, f p les composates de f Alors f est différetiable e u poit x de U si et seulemet si f 1,, f p sot différetiables au poit x et ous avos : df x df 1 x,, df p x Théorème 6 Soiet U u ouvert de, f ue foctio défiie sur U à valeurs das p, et f 1,, f p les composates de f Si f est différetiable e u poit x de U alors pour tout i 1,, p, la foctio composate f i admet des dérivées partielles i x pour tout j 1,, De plus, la matrice associée à l applicatio liéaire df x das les bases caoiques de et de p est la matrice jacobiee i x de f 1 i p,1 j, au poit x Remarque La réciproque du théorème 6 est pas toujours vraieetudier le cotre-exemple suivat : Soit f la foctio défiie sur 2 par: f x, y x y/ x 2 y 2 si x, y 0, 0 0 sio Motrer que f admet des dérivées partielles ulles à l origie mais qu elle est pas différetiable e ce poit 7

8 Théorème 7 Soiet U u ouvert de, f ue foctio défiie sur U à valeurs das et admettat des dérivées partielles cotiues e u poit a de U, alors f est différetiable au poit a Défiitio Soiet U u ouvert de et ue foctio f : U O dit que f est de classe C k sur U, k u etier o ul, si f admet des dérivées partielles f cotiues pour tout 1,, tel que k 4) Différetiabilité das ue directio DéfiitioSoiet U u ouvert de et u u vecteur uitaire de Ue foctio f : U est dite différetiable das la directio de e u poit a de U f a t u f si le rapport t admet ue limite quad t ted vers 0 Cette limite, quad elle existe, est otée D u f Théorème 8 Soiet U u ouvert de et f : U ue foctio différetiable e u poit a de U, et u u 1,, u u vecteur uitaire de Alors f admet ue dérivée au poit a das la directio de u doée par : D u f df u 5) Opératios sur les foctios différetiables Théorème 9 Soiet U u ouvert de et deux foctios f, g : U p Si f et g sot différetiables e u poit a de U, alors : i) f g est différetiable au poit a et o a: d f g df dg ( et J f g J f J g ) ii) Si p 1, alors f g est différetiable au poit a et o a : d f g gdf f dg iii) Si p 1 et g 0, alors f g est différetiable au poit a et o a : d f g 1 gdf f dg g 2 Théorème 10 Soiet U et V deux ouvert de m et et deux foctios f : U et g : V p telles que f U V Soit a u poit de U, alors si f est différetiable au poit a et si g est différetiable au poit f alors g f est différetiable au poit a et o a: d g f dg f df ( et J g f J g f J f ) soit g i f 1 i p, 1 j m g i y k f 1 i p, 1 k f k 1 k, 1 j m Exemples : 1) Soit f : U 2 2 et g : V telles que f U V Supposos que f et g soiet différetiables sur U et V respectivemet Nous avos : 8

9 et d où J g f u, v J f u, v g x J g x, y f 1 u, v f 1 u v f 2 u, v f 2 u v g x f 1 u, v, f 2 u, v O e déduit doc g f u,v u g x f u, v g f u,v v g x f u, v x, y g y g y u, v u, v x, y 1 u, v, f 2 u, v f 1 u u, v g y f u, v f 1 v u, v g y f u, v f 2 u f 2 v u, v u, v f 1 u, v f 1 u v f 2 u, v f 2 u v 2) Soit f : 2 différetiableposos x r cos, y r si, alors ous avos : x r,,y r, x x r,, y r, r, y x r,, y r, r, r x r y r et x r,,y r, x x r,, y r, x y x r,, y r, ce qui doe x r,,y r, r cos x x r,, y r, r si y x r,, y r, et x r,,y r, y r, r si x r,, y r, r cos x r,, y r, x y Exercice Soit f ue foctio dérivable sur Motrer que les foctios et défiies sur 2 par x, y f x y et x, y f x y sot différetiables et calculer leurs dérivées partielles 6) Théorème des accroissemets fiis Soit U u ouvert de O dit que est covexe si pour tout couple a, b U 2, le segmet a, b x a b a / 0, 1 est iclus das U Théorème 11 Soit U u ouvert covexe de et f : U ue foctio différetiable sur U Alors pour tout couple x, x h U 2 il existe 0, 1 tel que : f x h f x df x h h i 1 x x h h i Remarque: Le théorème des accroissemets fiis est pas toujours valable si la foctio f est à valeurs das u espace p avec p 2 Néamois, ous avos le résultat du théorème suivat qui doe ue iégalité des accroissemets fiis : 9 u, v u, v

10 Théorème 12 Soit U u ouvert covexe de et f : U p ue foctio différetiable sur U telle que df x k ( k ue costate ) pour tout x U Alors, quels que soiet les poits x, y de U, o a : f y f x k y x Corollaire Soit U u ouvert covexe de et f : U p ue foctio différetiable sur U Alors f est costate sur U si et seulemet si sa différetielle est ulle sur U ( df x 0 ) Le résultat est égalemet vrai das le cas où U est coexe 7) Développemets limités et Formule de Taylor: Théorème 13 Soit f : U A l ordre 1: Si f est de classe C 1 Pour tout a U, ous avos le développemet limité suivat, au voisiage du poit a : f a h f i 1 x i h i o h A l ordre 2: Si f est de classe C 2, ous avos le développemet limité suivat, au voisiage du poit a de U : f a h f x i h i 1 2 f h i h j o h 2 x i i 1 i 1 j 1 8) Extremums Soit U u ouvert de et f : U ue foctio DéfiitiosO dit que f présete u maximum ( respectivemet miimum) local e u poit x 0 de U, s il existe ue boule B x 0, r coteue das U telle que : f x f x 0, pour tout x B x 0, r ( respectivemet f x f x 0, pour tout x B x 0, r ) U poit x 0 de U tel que x 0 x 1 x 0 x x 0 est dit poit critique de f Théorème 14 Si f est différetiable au poit x 0 U et présete u extremum local e ce poit, alors x 0 est u poit critique de f 0 10

11 Défiitio Soit M a ij ue matrice carrée d ordre réelle et symétrique ( a i j a j i pour tout couple d etiers i, j 1, 2 )O dit que avos : Mh, h 0 Elle est dite défiie positive si Mh, h 0 pour tout h Avec h Mh, h j 1 Exemples: h 1 h a i i h i 2 2, o a Mh,1 i, j 1 a 1 j h j j 1 a i j h i h j a j h j j 1 1) Ue matrice réelle symétrique d odre 2, M est positive si, pour tout h, ous d où a b b c est positive si et seulemet si a, c 0 et detm 0 M est défiie positive ssi a, c 0 et detm 0 2) Soit A ue matrice réelle d ordre 1, alors M t AA ( où t A la trasposée de A ) est positivee effet, ous avos : t AA h, h Ah, Ah Ah 2 0 M est défiie positive si A est iversible, soit ssi deta 0 Remarque: O peut motrer qu ue matrice symétrique réelle d ordre est positive ( respectivemet défiie positive) ssi ses valeurs propres sot positives ( respectivemet strictemet posisives ) Théorème 15 Soit M ue matrice réelle carrée d ordre, symétrique défiie positive, alors il existe ue costate c 0 telle que: Mx, x c x 2 pour tout x 11

12 Défiitio Soit U u ouvert de et f : U ue foctio de classe C 2 O appelle hessiee de f au poit x 0 U la matrice symétrique: H f x 0 x 1 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 2 x 1 x x 2 x x 1 x x 2 x x 2 Rappel sur la dimesio 1: Si I est u itervalle de et f ue foctio de classe C 2 sur I Soit x 0 I tel que f x 0 0 Alors ous avos les résultats suivats: -Si f x 0 0, alors f présete u miimum strict e x 0 -Si f x 0 0, alors f présete u maximum strict e x 0 - Si f x 0 0, o e peut rie dire Théorème 16 Soit U u ouvert de et f : U ue foctio de classe C 2 sur U et x 0 U, u poit critique de f Alors : i) Si la matrice H f x 0 est défiie positive, alors f présete u miimum local au poit x 0 ii) Si la matrice H f x 0 est défiie positive, alors f présete u maximum local au poit x 0 Théorème 17 ( Cas de la dimesio 2) Soit U u ouvert de 2 et f : U ue foctio de classe C 2 sur U et x 0, y 0 U, u poit critique de f O pose r 2 f x 2 x 0, y 0, t 2 f y 2 x 0, y 0 et s 2 f 0, y 0 Alors ous avos les résultats suivats: x y - Si rt s 2 0 et r 0, f admet e x 0, y 0 u miimum local - Si rt s 2 0 et r 0, f admet e x 0, y 0 u maximum local - Si rt s 2 0, f admet pas d extremum local e x 0, y 0 - Si rt s 2 0, o e peut pas coclure directemet Exemple: Soit f : 2 défiie par f x, y x 2 y 2 xy Etudier la ature des poits critiques de cette foctio 12

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