Parmi les malades, il y 4 non vaccinés pour un vacciné. Quelle est la probabilité pour un non vacciné de tomber malade?

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1 Exercice : 4 d ue populatio a été vaccié Parmi les vacciés, o compte de malades 2 Parmi les malades, il y 4 o vacciés pour u vaccié Quelle est la probabilité pour u o vaccié de tomber malade? (O otera V l évéemet être vaccié et M l évéemet être malade ) Exercice 2: Quatre ures cotieet des boules : l ure cotiet 3 boules rouges, 2 boules blaches, 3 boules oires ; l ure 2 cotiet 4 boules rouges, 3 boules blaches, boule oire ; l ure 3 cotiet 2 boules rouges, boule blache, boule oire ; l ure 4 cotiet boule rouge, 6 boules blaches, 2 boules oires O choisit au hasard ue ure et de celle-ci l o tire ue boule au hasard A l aide de la formule des probabilités totales, calculer la probabilité que cette boule e soit pas blache 2 Si la boule est rouge, quelle est la probabilité qu elle ait été tirée de l ure 3? Exercice 3: Pour se redre au lycée, u élève a le choix etre 4 itiéraires A, B, C et D La probabilité qu il a de choisir A (resp B, C) est 3 (resp 4, ) La probabilité d arriver e retard e emprutat A (resp B, C) est 20 (resp 2 ) E emprutat l itiéraire D, l élève arrive jamais e retard 0, 5 Quelle est la probabilité que l élève choisisse le chemi D? 2 L élève arrive e retard Quelle est la probabilité qu il ait empruté l itiéraire C? Exercice 4: O étudie au cours du temps le foctioemet d u appareil obéissat aux règles suivates : si l appareil foctioe à l istat ( N ), il a la probabilité 6 d être e pae à l istat si l appareil est e pae à l istat, il a la probabilité 2 d être e pae 3 à l istat O ote p la probabilité que l appareil soit e état de marche à l istat Établir pour tout N ue relatio etre p et p 2 Exprimer p e foctio de p 0 3 Étudier la covergece de la suite (p ) Exercice 5: Ue boîte cotiet deux boules : ue oire et ue rouge O tire fois ue boule das cette boîte e la remettat après avoir oté sa couleur O ote A l évéemet o obtiet des boules des deux couleurs au cours des tirages et B l évéemet o obtiet au plus ue boule oire Calculer P (A ) et P (B )

2 2 A et B sot-ils idépedats si = 2? 3 Même questio si = 3

3 Exercice 6: Soit X, variable aléatoire dot la loi est doée par : i P (X = i) 6 O pose Y = X Détermier la loi cojoit du couple (X, Y ), puis la loi margiale de Y 2 Calculer E(X), E(Y ) Sas trop de calculs, justifier E(X 3 ) = 0 Que vaut E(XY ) E(X)E(Y ) Coséquece? 3 Les variables X et Y sot-elles idépedates? O pourra examier P ((X = 0) (Y = )) Exercice 7: X et Y sot deux variables aléatoires idépedates suivat la loi uiforme sur [, ] Détermier la loi de S = max(x, Y ) et de I = mi(x, Y ) O calculera P (S k) et P (I k) 2 Calculer l espérace de S et l espérace de V 3 Les variables S et I sot-elles idépedates? 4 Détermier la loi du couple (I, S) Exercice 8: Ue ure cotiet boules umérotées de à : o e tire successivemet, et avec remise, deux boules O ote F la variable égale au premier uméro sorti, et S pour le secod Efi, X représete le plus grad des deux uméros sortis, et Y le plus petit Exprimer X et Y à l aide de F et S 2 Détermier la loi cojoite du couple (X, Y ) 3 Détermier les lois margiales de X et Y Calculer E(X) et E(Y ) Les variables X et Y sot-elles idépedates? 4 Doer la valeur de V (X + Y ) Exercice 9: O lace u dè et o ote X le uméro obteu O choisit alors au hasard avec équiprobabilité u etier Y etre et X Détermier la loi du couple (X, Y ), puis la loi de Y 2 Détermier la loi de Xsachat [Y = 2] Exercice 0: O dispose d u jeu usuel de 2 cartes qui cotiet doc 2 rois rouges O evisage u jeux d arget régis par le protocoles suivat O ote R k l évéemet la carte obteue au kème essai est u roi rouge I Premier protocole Les cartes sot aligés sur ue table de faço aléatoire Le joueur découvre les cartes, de gauche à droite jusqu à obteir le premier roi rouge A chaque fois que le joueur découvre ue carte, il paie euro et lorsqu il découvre le premier roi rouge il gage a euros (où a N ) O ote X la variable aléatoire égale au rag d apparitio du premier roi rouge et G la variable aléatoire égale au gai algébrique du joueur

4 Détermier la loi de X 2 Motrer que E(X) = ( Rappel : p k 2 = k= 3 Exprimer G e foctio de X et e déduire E(G ) ) p(p + )(2p + ) 6 II Deuxième protocole Les 2 cartes du même jeu sot aligés sur ue table de faço aléatoire, mais cette fois-ci, le joueur peut découvrir au maximum cartes Le joueur paie u euro à chaque fois qu il découvre ue carte et gage a euros losqu il obtiet le premier roi rouge X désige toujours le rag d apparitio du premier roi rouge et o ote G 2 la variable aléatoire égale au gai algébrique du joueur Pour tout etier k {,, }, détermier P (G 2 = a k) 2 Vérifier : P (G 2 = ) = 2 (2 ) 3 Motrer : E (G 2 ) = 3 (3 ) a (72 ) 6 (2 ) III Comparaiso des deux protocoles O suppose le jeu costitué de 32 cartes ( = 6) Détermier, selo les valeurs de a, le protocole le plus favorable au joueur Justifier la répose Exercice : O joue à pile ou face avec ue pièce o équilibrée A chaque lacer la probabilité d obteir face est égale à 3 Les lacers sot supposés idépedats O ote X la variable aléatoire réelle égale au ombre de lacers écessaires pour l obtetio pour la première fois de deux piles cosécutifs Soit u etier aturel o ul O ote p la probabilité de l évéemet [X = ] O ote de plus F i l évéemet obteir face au i-ème lacer Expliciter les évéemets [X = 2], [X = 3], [X = 4], [X = 5] à l aide des évéemets F i et F i Détermier la valeur de p, p 2, p 3, p 4, p 5 2 A l aide de la formule des probabilités totales, e distiguat deux cas selo le résultat du premier lacer, motrer que : 3, p = 2 9 p p 3 E déduire l expressio de p e foctio de, pour 4 Calculer E(X) Exercice 2: Ue ure cotiet ue boule blache et ue boule oire, les boules état idiscerables au toucher O effectue tirages avec remise de la boule das l ure O ote X la variable aléatoire réelle égale au ombre de boules blaches obteues au cours des tirages et Y la variable aléatoire réelle défiie par : { Y = k Y = 0 si l o obtiet ue boule blache pour la première fois au kème tirage si les boules tirées sot oires

5 Détermier la loi de X Doer la valeur de E(X) et de V (X) 2 Pour k {,, }, détermier la probabilité P (Y = k) de l évéemet (Y = k), puis détermier P (Y = 0) 3 Vérifier que : P (Y = k) = k=0 4 Pour x et etier aturel o ul, motrer que : 5 E déduire E(Y ) k= kx k = x+2 ( + )x + + x ( x) 2 Exercice 3: Ue piste rectilige est divisée e cases, umérotées 0,, 2, de gauche à droite Ue puce se déplace vers la droite, de ou 2 cases au hasard à chaque saut Au départ elle est sur la case 0 Soit X la variable aléatoire égale au uméro de la case occupée par la puce après sauts Détermier la loi de probabilité de X, et calculer E(X ) et V (X ) 2 O appelle Y la VAR égale au ombre de fois où la puce a sauté d ue case au cours des premiers sauts Détermier la loi de Y, puis E(Y ) et V (Y ) 3 Exprimer X e foctio de Y et e déduire la loi de probabilité de X, puis E(X ) et V (X ) Exercice 4: Le service de dépaage d u grad magasi dispose d équipes iterveat sur appel de la clietèle Pour des causes diverses les itervetios ot lieu parfois avec retard O admet que les appels se produiset idépedammet les us des autres et que, pour chaque appel, la probabilité d u retard est 0, 25 U cliet appelle le service à quatre reprises O désige par X la variable aléatoire preat pour valeur le ombre de fois où ce cliet a dû subir u retard a) Détermier la loi de probabilité de X, l espérace et la variace de X b) Calculer la probabilité de l évéemet : le cliet a subit au mois u retard 2 Au cours des aées 998 et 999 le service après-vete eregistre ue successio d appels Le rag du premier appel pour lequel l itervetio s effectue avec retard e 998 (resp 999) défiit ue variable aléatoire Y (resp Z) a) Détermier les lois de Y et Z b) Calculer P (Y k), pour tout k N c) O pose T = max(y, Z) (i) Calculer P (T k), pour tout k N (O rappelle que [T k] = [Y k] [Z k]) (ii) Détermier la loi de T (iii) Calculer l espérace de T Exercice 5: U cocierge possède u trousseau de 0 clés dot ue seule permet d ouvrir la porte qu il a e face de lui Soit X le ombre de clés essayées pour ouvrir la porte

6 Détermier la loi de X (evisager 2 cas : avec ou sas remise) 2 Le cocierge est ivre u jour sur trois, et quad il est ivre, il essaie les clés au hasard avec remise, sio il procède sas remise Sachat qu u jour 8 essais ot été écessaires pour ouvrir la porte, quelle est la probabilité que le cocierge ait été ivre ce jour là? Exercice 6: Soit X ue variable aléatoire suivat ue loi biômiale de paramètres et p U compteur affiche les valeurs prises par X de la faço suivate : si X(ω) 0, le compteur affiche correctemet la valeur X(ω) si X(ω) = 0, le compteur affiche importe quoi, au hasard, etre et Soit Y la va égale au ombre affiché par le compteur Doer la loi de Y et so espérace Exercice 7: Ue ure cotiet boules oires et blaches Soit X la variable aléatoire égale au ombre de tirages écessaires pour extraire la derière boule blache (tirages successifs d ue boule sas remise) Détermier la foctio de répartitio de X, puis sa loi et so espérace Exercice 8: Soit X ue variable aléatoire à valeurs etières Soit pour tout etier, p = P (X = ) O suppose que la suite (p ) satisfait à la relatio de récurrece : 3p +2 = 4p + p Trouver la loi de X et so espérace Exercice : Soit X ue va à valeurs das N, telle que : N, P (X = ) = 3 P (X = ) Détermier la loi de X, et doer sas calcul so espérace et sa variace Exercice 9: Pour λ réel, calculer a = + k=0 λ 2k + (2k)! et b = λ 2k+ (2k + )! e foctio de eλ 2 Soit X ue variable aléatoire suivat ue loi de Poisso de paramètre λ > 0 O défiit la variable aléatoire Y par : ω Ω, Y (ω) = X(ω) si X(ω) est pair 2 et Y (ω) = 0 sio Détermier la loi de Y, so espérace et sa variace (pour la variace, o commecera par calculer E[2Y (2Y )]) Exercice 20: Soit X et Y deux variables aléatoires idépedates suivat la même loi de Beroulli de paramètre p ]0, [ O pose U = X + Y et V = X Y Quelle est la loi cojoite du couple (U, V )? 2 Calculer cov(u, V ) = E(UV ) E(U)E(V ) 3 Les variables U et V sot-elles idépedates? Coclusio? Exercice 2: Soit (X, Y ), ue variable aléatoire défiie sur u espace probabilisé fii et de loi uiforme [0, 2 ]) k=0

7 Détermier les lois de X, Y et X + Y Vérificatio? 2 Les variables X et Y sot-elles idépedates? Exercice 22: Soit (X ) 0, ue suite de variables aléatoires (fiies) à valeurs das N O suppose lim E(X ) = 0 Motrer : lim P (X = 0) = O dispose, das ue ure, de jetos umérotés de à O tire N jetos au hasard, avec remise à chaque tirage, et X N = le plus grad uméro tiré (a) Calculer P (X N k) puis P (X N = k) ( ) N k Motrer : E(X N ) = k= A l aide de sommes de Riema, doer u équivalet de E(X N ) lorsque + (b) E cosidérat les variables aléatoires ( X N ) 0, motrer : P (X N = ) + Exercice 23: Soit N, et ue variable aléatoire X à valeurs das [0, ] Pour k, détermier u lie etre MP (X = k), P (X k+) et P (X k) E déduire : E(X) = P (X k) k= 2 Ue ure cotiet boules, umérotées de à O tire des boules ue à ue avec remise O s arrête dès que le uméro tiré est supérieur ou égal au uméro précédet Soit X la variable aléatoire égale au ombre de tirages effectués Calculer l espérace de X Exercice 24: Soiet X et Y deux variables aléatoires idépedates de lois respectives B(, p) et B(, p) Quelle est la loi de la somme X + Y? Exercice 25: Détermier la loi de la somme de deux va idépedates de loi de Poisso

8 Exercice 26: Soit (X, Y ) u couple de VAR discrètes à valeurs das N 2, de loi cojoite : P ([X = i] [Y = j]) = Détermier toutes les valeurs possibles de a 2 Détermier les lois margiales de X et de Y 3 X et Y sot-elle idépedates? a 2 i+ j! Exercice 27: Soit (X i ) i N ue suite de VAR de Beroulli de paramètre p, idépedates Soit Y i = X i X i+ Quelle est la loi de Y i? 2 Soit S = Y i Calculer E(S ) et V (S ) i= Exercice 28: Prélimiaire : Soit x ]0; [ Das ue successio d épreuves de Beroulli idépedates, de même probabilité d échec x, o défiit deux suites de variables aléatoires ( S ), et (T ) de la faço suivate : pour tout etier aturel o ul, S est la variable aléatoire égale au ombre d épreuves écessaires pour obteir le ième succès ; T est la variable aléatoire égale à S et pour tout etier aturel > 2, T est la variable aléatoire égale au ombre d épreuves supplémetaires écessaires pour obteir le ième succès après le ( ) ième succès Aisi, pour tout 2, T = S S et pour tout, S = T + T T a) Pour tout etier aturel o ul, détermier la loi de T et, sas calcul, doer l espérace et la variace de T b) Pour tout etier aturel 2, justifier l idépedace des variables aléatoires T, T 2,, T c) Pour tout etier aturel o ul, motrer que l espérace et la variace de S sot défiies et motrer : E(S ) = x et V (S ) = x ( x) 2 d) Soit u etier aturel o ul Détermier la loi de S Que peut-o dire, sas calcul, de la valeur de + P (S = k)? e) E déduire, pour tout x ]0; [ et pour tout etier aturel o ul : + ( ) k x k x = ( x) k= 2 Deux joueurs A et B procèdet chacu à ue successio de lacers d ue même pièce À chaque lacer, la probabilité d obteir pile est p, p fixé, p ]0; [, et la probabilité d obteir face est q = p Le joueur A commece et il s arrête quad il obtiet le premier pile O ote X la variable aléatoire égale au ombre de lacers effectués par le joueur A Le joueur B effectue alors autat de lacers que le joueur A et o ote Y la variable aléatoire égale au ombre de piles obteu par le joueur B k=

9 a) Rappeler la loi de X et, pour tout k, doer la loi coditioelle de Y sachat X = k b) Quelles sot les valeurs prises par Y? c) Motrer : P (Y = 0) = + pq 2k = q + q k= d) Soit u etier aturel o ul Motrer : P (Y = ) = puis, e utilisat e : P (Y = ) = + k= ( ) q ( + q) 2 + q ( ) k p + q 2k Exercice 29: Soit X ue variable aléatoire à valeurs das N Motrer que X admet ue espérace si,et seulemet si, la série P (X > ) coverge et qu alors E(X) = + k=0 P (X > k) Exercice 30: Étude prélimiaire O admet, pour tout etier aturel k et tout réel x de [0; [, que la série ( ) + ( ) x est covergete et o ote s k (x) = x k k k a) Vérifier, pour tout réel x de [0; [ : s 0 (x) = x et s x (x) = ( x) 2 b) Pour tout couple d etiers aturels (, k) tel que k <, motrer : ( ) ( ) ( ) + = + k + k k + c) Pour tout etier aturel k et tout réel x de [0; [, déduire de la questio précédete : s k+ (x) = xs k (x) + xs k+ (x) d) Motrer, par récurrece : =k k N, x [0, [, s k (x) = x k ( x) k+ 2 Étude d ue expériece aléatoire O cosidère ue ure coteat ue boule oire et quatre boules blaches O effectue l expériece aléatoire suivate : O commece par tirer des boules de l ure ue à ue avec remise jusqu à obteir la boule oire (que l o remet aussi das l ure) O défiit la variable aléatoire N égale au ombre de tirages avec remise écessaires pour obteir la boule oire Puis, si N pred ue valeur etière positive o ulle otée, o réalise alors ue secode série de tirages das l ure, toujours avec remise O défiit la variable aléatoire X égale au ombre de fois où la boule oire a été obteue das cette secode série de tirages

10 a) Détermier la loi de la variable aléatoire N Doer so espérace b) Soit k N et N Détermier la probabilité coditioelle P [N=] (X = k) c) Vérifier : P (X = 0) = 4 9 d) E utilisat l étude prélimiaire, motrer : k N, P (X = k) = ( ) k 4 9 e) Motrer que X admet ue espérace E(X) et calculer E(X) f) Motrer : k N, P (X k) = 5 ( ) k Exercice 3: Soucieux d améliorer le flux de sa clietèle lors du passage e caisse, u gérat de magasi a réalisé les observatios suivates : L étude du mode de paiemet e foctio du motat des achats a permis d établir les probabilités suivates : P ([S = 0] [U = 0]) = 0, 4 P ([S = 0] [U = ]) = 0, 3 P ([S = ] [U = 0]) = 0, 2 P ([S = ] [U = ]) = 0, où S représete la variable aléatoire preat la valeur 0 si le motat des achats est iférieur ou égal à 50 euros, preat la valeur sio, et U la variable aléatoire preat la valeur 0 si la somme est réglée par carte bacaire, preat la valeur sio a) Détermier les lois de S et U et vérifier que la probabilité que le cliet règle par carte bacaire est égale à p = 3 5 b) Calculer la covariace du couple (S, U) Les variables S et U sot-elles idépedates? c) Quelle est la probabilité que la somme réglée soit supérieure strictemet à 50 euros sachat que le cliet utilise u autre moye de paiemet que la carte bacaire? 2 O suppose que les modes de règlemet sot idépedats etre les idividus Ue caissière reçoit cliets das sa jourée ( 2) O défiit trois variables aléatoires C, L, L 2 par : -C comptabilise le ombre de cliets qui paiet par carte bacaire -L (respl 2 ) est égale au rag du er (respdu 2ème ) cliet utilisat la carte bacaire comme moye de paiemet, s il y e a au mois u (respau mois deux) et à zéro sio a) Recoaître la loi de C, rappeler la valeur de l espérace et de la variace de cette variable aléatoire b) Détermier la loi de L et vérifier que : P (L = k) = k=0

11 c) Détermier la loi de L 2 Exercice 32: Ue usie cofectioe des pièces dot ue proportio p est défectueuse La valeur de p est icoue mais o souhaiterait e coaître ue estimatio Pour cela o prélève pièces et o ote Z le ombre de pièces défectueuses das ce prélèvemet O cosidère que le ombre total de pièces das l usie est assez grad pour que le prélèvemet des pièces soit cosidéré comme ue suite de tirage avec remise L idée est d approcher la valeur de p par la valeur de Z O va doc chercher à partir de quelle valeur de cette approximatio sera boe Quelle est la loi de Z? 2 E déduire l espérace et la variace de Z 3 a) Motrer que pour tout x [0; ], x( x) 4 ( ) Z b) Motrer que pour tout e positif, P p e 4e 2 4 E déduire ue coditio sur pour que Z soit ue valeur approchée de p à 0 2 près avec ue probabilité supérieure ou égale à 95% Exercice 33: Soit (X i ) i N ue suite de VAR deux à deux idépedates O suppose que X i suit ue loi de ( Berouilli de paramètre p i O souhaite ) démotrer que pour tout ɛ, X + + X lim + P p i < ɛ = i= A quel résultat de cours cela vous fait-il peser? Peut-o appliquer ici ce théorème? 2 E vous ispirat de la démostratio du théorème cité das la questio précédete démotrer le résultat demadé Exercice 34: Soit (U ) ue suite de variables aléatoires idépedates suivat toutes la loi uiforme sur [0, ] O ote M = max(u,, U ) et X = ( M ) Quelle est la foctio de répartitio de X? 2 etudier la covergece e loi de la suite (X ) Exercice 35: Soit (X ) ue suite de variables aléatoires qui coverge e loi vers ue variable aléatoire X costate égale à a Démotrer que la suite (X ) coverge aussi e probabilité vers X