Corrigé de l épreuve Math C, Banque PT Nathalie Planche. 1. Pour tout réel t, car y est solution de ( ) et a ne s annule pas sur.

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1 Corrigé de l éreuve Mah C, Banque PT Nahalie Planche Préambule:. Pour ou réel, car y es soluion de ( ) e a ne s annule as sur. = On a donc bien monré que es soluion du sysème différeniel (S) :. L équaion ( ) es une équaion différenielle linéaire scalaire, homogène d ordre, e el que a ne s annule as sur. D arès le cours, on eu donc affirmer que l esace vecoriel des soluions de ( ) es de dimension. 3. W es soluion de (S),, Or u e v son soluions de l équaion ( ), donc e de même On a donc On eu donc écrire: W es soluion de (S), W es soluion de (S), =H() 4. Il suffi de remlacer, dans l équaion =H(), U, V e H ar leur définiion, our obenir le sysème vrai our ou réel : ()u() ()v() ()u () ()v () h() a() Page sur 9

2 Parie I: I..i. Si, la série converge car ous les ermes de cee série son nuls. Si, aliquons le crière de d Alember our des séries numériques:, donc la série converge si, e diverge si. Or,, on eu donc en conclure : Le rayon de convergence de la série ( ) es. ]-,[, ( ) ( ) car (u) u our u ]-,[ I..ii. De manière analogue à la quesion récédene, on monre que : ]-,[, ( ) ( ) Le rayon de convergence de la série ( ) es. I.., y () a,, y () a a,b),, y() a+b I.3.a.i. Noons g la foncion définie sur ar g: ( ) f() On a alors, our ou réel : g () ( ) f () f() g () ( ) f () 4f () f() car f es une soluion de ( h ) D arès la quesion récédene, on en dédui que g es une foncion affine. I.3.a.ii. On a donc monré que si f es une soluion de ( h ), alors a,b),, f() a b Noons y e y les foncions définies sur ar y () e ( S H ) l esace vecoriel des soluions de ( h ). Nous avons donc rouvé que ( S H ) Vec{ y,y }, y (), Page sur 9

3 De lus, les foncions y e y son linéairemen indéendanes, car si e son deu réels els que,, alors,, donc,, d où Comme de lus dim( S H ) (d arès le cours car ( ) ne s annule jamais), on eu affirmer que : ( S H ) Vec{ y y } e { y y } es une base de ( S H ) I.3.b.i. Noons R le rayon de convergence de la série cherchée. ]-R,R[, y () na n n, y () n(n )a n n En reoran dans l équaion ( h ), on obien: n(n )a n n n(n )a n n 4na n n a n (*) Effecuons le changemen d indice n dans la remière somme, on a alors n(n )a n n = ( )( )a On regroue alors ous les ermes de (*) dans une même somme, d où ( (n )(n )a n (n(n ) 4n )a n ) Une série enière es nulle si e seulemen si ous ses coefficiens son nuls, donc n IN, (n )(n )a n (n(n ) 4n )a Or n(n ) 4n = n 3n, rinôme qui adme - e - our racines. Donc n(n ) 4n = (n+)(n+), qui es non nul our ou enier naurel n. On a donc: n IN, a n a I.3.b.ii. On monre, ar récurrence que IN, a =( ) a e a ( ) a les formules son évidenes our = Page 3 sur 9

4 suosons les formules vraies à un cerain rang, e monrons les au rang +. En uilisan la quesion récédene e l hyohèse de récurrence, on a a ( ) a a ( ) a a ( ) a 3 a ( ) a ce qui achève la récurrence. I.3.b.iii. ]-R,R[, a n n ( ) a ( ) a = a a d arès la quesion I.. I.4.a. D arès la quesion 4. du réambule, avec ici our ou réel : u(), v(), h(),a(), e donc u () ( ), v () ( ), () on eu donc écrire le sysème: () ( ) () () ( ) (S) ( ) I.4.b. (S) λ ()+μ ()= -λ ()+( ) μ ()= car our ou réel, λ () μ () ( ) μ () λ () μ () λ () I.4.c., μ () (a,b),, () ln( ) a () Arcan() b I.4.d. D arès le résula éabli dans le réambule, la soluion générale de ( ) es y() ()u() ()v(), c es à dire ici: (a,b) a b ln(,, y() ) Arcan() Parie II: II.. Soi n un enier naurel non nul. (n) n d = [ Arcan() ln( ) ] / n, d où (n) Arcan n ln n Page 4 sur 9

5 II.. Si g es de classe C sur un inervalle I e si I, alors I : g() g( ) g ( )( )! g() ( )( ) II.3. On uilise le déveloemen limié usuel de la foncion u o o( ( ) ) u! g( ) ( )( ) au voisinage de : o o( ( ) ) u u u.. u o ( u ) u o ( u ) En remlaçan u ar ( ), on obien : 4.. ( ) o ( ) ( ) o ( ) On rimiive alors ce déveloemen limié our obenir (en uilisan Arcan()= ): Arcan() ( ) ( ) o ( ) o ( ) II.4. On noe f la foncion définie sur ],+ [ ar f() Arcan() Arcan. Cee foncion es dérivable sur ],+ [ e ],+ [, f () = Cee foncion es donc consane sur ],+ [ e comme lim f(), on eu conclure que ],+ [, Arcan() Arcan II.5. cos( (n) (n) ln(n)) cosarcan n ln Arcan(n) ln( n ) n ln(n) =cos ln( n ) ln( n ) ln( n ) sinln arès simlificaion dans les logarihmes néériens. n = car ln( u) u u o ( u ) = n n 4 o car sin(u) u u3 n 4 6 o ( u 4 ) Page 5 sur 9

6 On a donc n 4 (cos( (n) (n) ln(n)) )= o (), qui end vers lorsque n end vers +. n A arir d un cerain rang, cee quanié sera ar eemle, en valeur absolue, inférieure ou égale à. On eu donc affirmer :, N IN, n N, n 4 (cos( (n) (n) ln(n)) ). (On a donc =) n II.6. En rerenan le déveloemens asymoiques déerminé à la quesion récédene, on eu donc affirmer qu au voisinage de +, cos( (n) (n) ln(n)) es équivalen à n. Ces deu eressions on donc même signe au voisinage de +, donc au voisinage de +, la série cos( (n) (n) ln(n)) es à ermes osiifs, e converge d arès le crière de l équivalen avec la série n de Riemann II.7. Pour ou enier n non nul, cos( (n)) cosarcan n ln, qui end vers lorsque n end vers. n La série cos( (n)) diverge grossièremen. Parie III: III.. Pour ou réel, () Arcan(), e la foncion Arcan es d arès le cours définie e coninue sur. III..a.b. Toujours d arès le cours, lim () e lim (). Pour la suie, on a donc l. III.3. Soien e deu réels. ( ( a) ( b))d b a ( a)d ( a)d ( b a) b a ( a)d ( b)d d arès la relaion de Chasles. (u b)du ( b)d grâce au changemen de variable u a b dans la remière inégrale. Nous avons donc bien monré que ( ( a) ( b))d b a ( a)d ( a)d Page 6 sur 9

7 III.4. lim ( a), donc ar définiion de la limie, si es un réel sricemen osiif fié, on eu affirmer qu il eise un réel el que : ( a) III.5. Si, on a alors: ( a)d (b a) ( a)d d = ( a) d Or d arès l inégalié de la moyenne, ( a) d ( a) d De lus, uisque, on eu dire que [ ], ( a) ( a)d (b a) d, c es à dire: ( a)d (b a) (b a) III.6. lim ( a), donc ar définiion de la limie, si es un réel sricemen osiif fié, on eu affirmer qu il eise un réel el que : ( a) III.7. Grâce à la quesion III.5., nous avons donc monré que :,, b a ( a)d Ceci es eacemen la définiion de lim ( b a ( a)d ) =, c es à dire lim ( a)d =(b a) De la même façon, grâce à la quesion III.6.,,, b a b a ( a)d + Ceci rouve que lim b a b a ( a)d ) =, c es à dire lim b a ( a)d = (b a) On asse alors à la limie lorsque end vers e lorsque end vers + dans l égalié: ( ( a) ( b))d b a ( a)d ( a)d, d où: ( ( a) ( b))d (b a) Page 7 sur 9

8 III.8.a. Soi + On alique alors le résula éabli à la quesion III.3. avec, a e b. On a alors: ( ( ) ())d III.8.b. Arcan = [Arcan()] d grâce à une inégraion ar aries 4 ln( ), d où finalemen 4 ln() III.8.c. Il s agi eacemen de la définiion de lim () III.8.d. D arès les quesions III.8.a. e III.8.b., on a donc ( ( ) ())d 4 ln() (*) Soi, + el que si, alors : () d () d d Nous venons de rouver que lim Finalemen, en assan à la limie lorsque end vers + dans l égalié (*), on a donc: ( ( ) ())d 4 ln() III.9. Soi un enier naurel fié, e soi un réel de l inervalle [, ]. Aliquons le héorème des accroissemens finis à la foncion Arcan enre e (cee foncion éan infinimen dérivable sur ): c ] [, ( ) () (c) c Or c ] [ (+) + c Donc ar croissance de l inégrale, on a donc finalemen (+) + ( ( ) ())d ( ) d ( ( ) ())d d, c es à dire Page 8 sur 9

9 III.. D arès la quesion III.8.d., l inégrale ( ( ) ())d es bien convergene vers 4 ln() Pour ou enier naurel N, on eu écrire: N ( ( ) ())d N ln() ( ( ) ())d end vers 4 lorsque N end vers +. Donc la série ( ( ) ())d es convergene e ( ( ) ())d ( ( ) ())d III.. En uilisan la quesion III.9., on en dédui (+) + ( ( ) ())d Remarque: ces deu séries son bien convergenes car leur erme générau resecifs son osiifs e équivalens au ermes générau de séries de Riemann convergenes. Page 9 sur 9

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