La transformée de Fourier de cette fonction est directe et donne 1 ) T

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1 Efft d l échantillonnag t d la troncation sur l spctr d un signal Ls signaux réls utilisés n physiqu sont d plus n plus souvnt traités d façon numériqu. Pour cla, il st nécssair d échantillonnr l signal. D plus, c drnir sra systématiqumnt tronqués. En fft, on n connaît sa valur qu sur un plag d tmps rstrint t on doit limitr l nombr d points à mémorisr. I. Exprssion d un signal échantillonné. L échantillonnag. On considèr un signal f(t) continu (par opposition à discrt!) qu nous allons échantillonnr, n prnant un valur aux instants k. (k Ζ). L signal échantillonné sra noté f*(t). Pour rprésntr mathématiqumnt l signal f*(t), on va supposr qu c drnir st équivalnt à un somm d impulsions rctangulairs étroits (largur ), cntrés sur ls instants k. t d amplitud f(k. ). Chacun d cs impulsions put êtr rprésnté par un impulsion d Dirac, ll aussi cntré sur k. t «d amplitud» égal à l air ds impulsions (à savoir.f(k. )). On arriv donc à l xprssion + + f * (t) =.f (k. ). δ(t k. ) = f (t).. δ(t k. ) = f (t).. C(t) où (t) st l pign d Dirac. II. Spctr du signal échantillonné. L spctr du signal échantillonné va êtr obtnu à partir du produit d convolution du signal analogiqu par l pign d Dirac (échantillonnag à périod ), l tout multiplié par. I.. Spctr du pign d Dirac. Ctt fonction st périodiqu t put donc s décomposr n séri d Fourir. En utilisant la rprésntation complx, on trouv C(t) =. 2. π j.n..t

2 La transformé d Fourir d ctt fonction st dirct t donn C( =. δ( ν n. ) =. δ( ν n. ν ) I.2. ransformé d Fourir du signal échantillonné. Il s agit d un produit d convolution c qui donn F * ( =.F( C( = F( δ( ν n. ν ) = F( δ( ν n. ν ) Finalmnt, on trouv F * ( ν ) = n= + F( ν n. ν On constat donc qu n échantillonnant l signal à la fréqunc ν (périod ), on périodis son spctr avc un périod spctral ν. ) I.3. héorèm d Shannon. Nous vnons d voir qu l échantillonnag contribuait à modifir l spctr d un signal. Nous allons maintnant définir un critèr d échantillonnag qui prmt d rtrouvr l spctr du signal analogiqu quand on connaît clui du signal échantillonné. C st l critèr d Shannon. Nous allons considérr un signal dont l spctr d amplitud a l allur suivant rq : un signal rél f(t) a un spctr F( tl qu F(-=F*(. L modul du spctr d un signal rél st donc un fonction pair. Si on échantillonn c signal à la fréqunc ν, on dvra considérr dux cas - si ν >2ν M : ls élémnts périodisés n fréqunc à caus d l échantillonnag n s chvauchnt pas. On put donc récupérr l signal analogiqu par un filtrag approprié. - si ν 2ν M : ls élémnts périodisés à caus d l échantillonnag s chvauchnt. On dit qu l on a rcouvrmnt d spctr. On n pourra pas séparr la contribution d chaqu élémnt au spctr global, c qui rnd la rconstruction du signal analogiqu impossibl. 2

3 rq : C critèr va bin dans l sns d un millur connaissanc du signal si on prnd un plus grand nombr d points par unité d tmps L critèr d Shannon s énonc donc comm suit : Pour rtrouvr l spctr d un signal analogiqu f(t) intact à partir d clui du signal échantillonné f*(t), il faut qu la fréqunc d échantillonnag ν soit supériur à 2 fois la fréqunc maximal ν M contnu dans l spctr d c signal soit ν >2ν M rq : L filtrag prmttant d rtrouvr f(t) sra d autant plus aisé qu ν st supériur à 2ν M. rq : Bon nombr d signaux n ont pas un spctr contnu ntr dux fréquncs limits (par xmpl ls crénaux, ls triangls ). Dans c cas, l critèr n put êtr appliqué rigourusmnt. Néanmoins, si l spctr du signal a un modul assz faibl au dlà ν /2, on put tout d mêm réalisr un rconstruction corrct d cs signaux Pour évitr qu ls harmoniqus d ordr élvé n prturbnt l spctr du signal échantillonné, on put passr l signal avant échantillonnag dans un filtr pass-bas qui va supprimr ls fréquncs qui n rspctnt pas l critèr d Shannon. C filtr st applé filtr anti-rplimnt. rq : Pour rconstruir un signal f(t) à partir d ss échantillons, dans l cas où l critèr d Shannon st satisfait, il suffit d multiplir, dans l domain spctral, l spctr du signal échantillonné par un fnêtr d largur ν cntré sur t d amplitud. Cla rvint à dir qu, dans l domain tmporl, l signal f(t) st obtnu par un produit d convolution d la fonction échantillonné t d un sinus cardinal. On trouv alors + sin[ π. ν.(t k. )] f (t) = f (k.). π. ν.(t k. ) On put donc rconstruir f n tout point à partir d valurs discrèts. Cpndant, cla dmand d connaîtr tous ls échantillons (un infinité!) t d appliqur un fréqunc d échantillonnag suffisant. Dans l pratiqu, l intrpolation d Shannon n st donc pas simpl à mttr n œuvr. On lui préfèr d autrs intrpolations plus simpls (fonction n scalir, intrpolation linéair ou différnts lissags par filtrag ). Doit on échantillonnr très au-dlà d la fréqunc d Shannon? - Si on n a pas bsoin d rconstitur l signal continu (non discrt), on put s contntr d échantillonnr à un fréqunc proch d cll d Shannon (analysurs d spctr). - Si on vut rconstruir l signal continu, on dvra alors prndr l plus d points possibls par périod c qui rvint à dir qu il faudra échantillonnr à la fréqunc la plus élvé autorisé par notr systèm. On doit chrchr à êtr bin au-dlà d la fréqunc d Shannon. C st notammnt l cas n automatiqu échantillonné quand on chrch à réinjctr ls signaux acquis dans un systèm analogiqu La troncation. Pour ds raisons d capacité d mémoir t d rapidité d calcul, on st toujours amné à travaillr avc un nombr fini d points. Cla rvint à dir qu ls signaux xploités numériqumnt sont toujours un troncation d signaux réls. L fait d tronqur un signal put notablmnt affctr son spctr. La conséqunc principal st qu ls pics s affaissnt t s élargissnt Nous allons voir qu suivant la méthod d troncation (fnêtr d 3

4 pondération) choisi, on privilégira soit la résolution (largur ds pics), soit la msur (hautur ds pics). I. Efft d un troncation sur un sinusoïd. Nous allons considérr un signal sinusoïdal f(t) = a.cos(ω.t) qu nous allons tronqur par un fnêtr Π(t) cntré sur t d largur. La transformé d Fourir d ctt sinusoïd st noté F( t cll d la fnêtr Π(. On a donc a f (t) = a. cos( ω.t) F( =.[ δ( ν ν ) + δ( ν + ν )] 2 sin( π. ν.) Π(t) Π( =. π. ν. f (t). Π(t) F( Π( = a. 2 sin[ π.( ν ν ).]. + π.( ν ν ). sin[ π.( ν + ν ).] π.( ν + ν ). On constat qu plus la fnêtr sra larg (plus sra grand), plus l pic sra étroit t d amplitud important. On tndra bin vrs dux pics d Dirac symétriqus par rapport à l origin ds fréquncs si tnd vrs l infini. L dssin précédnt appll un rmarqu important. Si on n consrv qu un périod (nviron) d la sinusoïd, ls dux sinus cardinaux s chvauchront bin avant d avoir attint ds amplituds négligabls (alors / st voisin d ν ). Plus on voudra un résolution important n fréqunc plus il faudra consrvr un nombr important d périods tmporlls du signal à analysr II. Echantillonnag du signal obtnu après troncation. Nous allons considérr un signal f(t) qulconqu qu nous allons tronqur sur un duré (spctr F(). On obtindra alors l signal f (t). Si on suppos qu la fnêtr choisi st suffisammnt larg, F ( l spctr d f (t) sra alors d form proch d clui d F(. 4

5 rq : pour fair un calcul numériqu d spctr, il faut avoir préalablmnt échantillonné l signal c qui conduit à un périodisation du spctr t évntullmnt à un phénomèn d rplimnt spctral. On suppos ici qu un filtr anti-rplimnt évit c drnir inconvénint, t on n s intérssra pas, par la suit, aux partis du spctr créés par l échantillonnag tmporl puisqu lls n apportnt pas d informations supplémntairs par rapport au spctr du signal tmporl continu (non discrt ). Si on travaill n numériqu, l spctr du signal sra toujours échantillonné. Rst à savoir à qull fréqunc on a intérêt à réalisr ct échantillonnag t qull sra la conséqunc sur l signal tmporl f*(t) auqul corrspond l spctr échantillonné Soit ν l écart n fréqunc séparant dux priss d échantillons. L fait d échantillonnr l spctr va conduir à périodisr la fonction tmporll à la fréqunc ν, c st à dir d rproduir l motif tronqué à la périod / ν. Nous allons donc considérr trois cas : - Si ν=/, l fait d échantillonnr l spctr conduit à périodisr la fnêtr choisi n tmporl à la périod. - Si ν</, il va y avoir rplimnt tmporl. L signal dont on calcul l spctr sra donc considérablmnt modifié par rapport à clui d départ. - Si ν>/, il n y aura plus d rplimnt tmporl, mais ds intrvalls durant lsquls l signal dont on calcul l spctr sra nul Dans c cas, on st amné à fair ls calculs sur un plus grand nombr d points qu lorsqu ν=/ alors qu l signal tmporl obtnu n contint pas plus d information. C st pourquoi on échantillonn n général l spctr obtnu après troncation d fnêtr à la fréqunc ν=/. rq : lorsqu l échantillonnag du spctr s fait avc un pas d fréqunc tll qu ν=/, on constat bin qu pour avoir un spctr avc suffisammnt d points, il faut prndr un fnêtr tmporll la plus larg possibl. Dans l cas d un signal périodiqu, cla rvint à prndr un grand nombr d périods (Cf FF sur un oscilloscop). 5

6 III. Application au cas d un signal périodiqu (xmpl d un sinusoïd). Nous allons calculr l spctr d un signal périodiqu d périod o =/ν o obsrvé sur un fnêtr d largur. Nous n rtindrons d c spctr qu ls échantillons prélvés aux fréquncs multipls d ν=/ (comm nous vnons d l voir au paragraph précédnt ). Cla va nous amnr à distingur dux cas, suivant qu ν o st ou non multipl d ν. Rprnons l cas d un signal sinusoïdal tronqué sur un fnêtr. - Si ν o =k.ν, on rtomb sur l spctr d un signal sinusoïdal. En tmporl, l signal obtnu par troncatur st périodisé t on rtomb sur l signal non tronqué (à un factur multiplicatif près ). - Si ν o k.ν, on constat qu l spctr obtnu n st plus clui d un sinus. On fait la mêm constatation n tmporl n périodisant l motif obtnu par troncatur Ls discontinuités introduits par périodisation vont ngndrr ds rais parasits assimilabls à un bruit d fond. C bruit put êtr réduit n faisant n sort d réalisr ds transitions tmporlls continus. Pour cla, on choisira ds fnêtrs d troncation particulièrs (Hanning, Hamming, Blakman-Harris, Kaisr bssl, ) dont nous vrrons ls avantags t ls inconvénints au paragraph suivant. IV. Choix d un form d fnêtr d pondération. Nous avons vu qu pour pouvoir obsrvr un signal, on dvait dans un prmir tmps sélctionnr un fnêtr d obsrvation. Il s agit d l opération d troncation. Jusqu à présnt, 6

7 nous nous somms contntés d travaillr avc un fnêtr rctangulair. Nous vnons d voir qu dans l cas d signaux périodiqus d périod o, quand la taill d la fnêtr n st pas multipl d o, l spctr obtnu par échantillonnag était altéré, c qui s traduisait sur l signal tmporl par ds discontinuités. IV.. Efft d la form ds fnêtrs d pondération. Suivant la form d spctr qu l on chrch à obtnir, on put choisir ds fnêtrs d différnts forms. Qulqus xmpls sont donnés sur la figur suivant. Dans l cas d fnêtrs non rctangulairs, l spctr aura ds lobs latéraux affaiblis (atténuation du «bruit»). Cpndant, tout atténuation ds lobs latéraux ntraîn un élargissmnt du pic cntral t donc un prt d résolution n fréqunc On a donc l choix ntr ds rais fins mais parfois difficils à séparr du «bruit» (fnêtr rctangulairs) t ds rais nttmnt séparabls mais grossièrs (fnêtr d Kaisr-Bssl, Blackman-Harris). Ls fnêtr d Hanning t d Hamming constitunt un cas intrmédiair ntr ls dux précédnts (ls sconds sont préférabls aux prmièrs pour la résolution n fréqunc). IV.2. Commnt choisir la fnêtr d pondération? Suivant l typ d phénomèn obsrvé, on va réalisr ds troncations d forms différnts. - Si on étudi un phénomèn transitoir court (dont la duré d évolution st infériur à la largur d la fnêtr), la fnêtr rctangulair prmt d consrvr tout l signal sans la moindr altération. Ls dux autrs typs d fnêtrs vont, n rvanch, conduir à la prt d un grand parti d l information. - Si on étudi un phénomèn transitoir long (dont la duré st supériur à la largur d la fnêtr), la fnêtr rctangulair conduit à ds discontinuités tmporlls t donc un fort altération du spctr, alors qu ls dux autrs typs d fnêtrs évitnt ls discontinuités mais altèrnt fortmnt l signal tmporl t donc son spctr. Pour évitr c problèm, on préfèr utilisr un nouvll fnêtr, association d un fnêtr rctangulair dans la prmièr parti t d un fnêtr d Hanning dans la scond. - Si on étudi un phénomèn évoluant continûmnt (par xmpl un phénomèn périodiqu ou un transitoir xtrêmmnt long), il st préférabl d évitr la fnêtr rctangulair n prnant par xmpl, un fnêtr d typ Hanning (on put ssayr ls autrs fnêtrs disponibls pour voir la plus intérssant ) c qui évit ls discontinuités t lurs conséquncs sur l spctr qu introduit la troncation rctangulair 7

8 Application à l analysur d spctr numériqu Nous allons ssayr d associr touts ls notions dévloppés précédmmnt pour xpliqur l fonctionnmnt d un analysur d spctr. I. Prmir étap: l filtrag anti-rplimnt. On va fair n sort d n consrvr qu la parti du spctr du signal d ntré f i (t) qui satisfait au critèr d Shannon. On va donc passr l signal dans un filtr pass-bas dont la coupur st suffisammnt faibl dvant ν /2 (ν fréqunc d échantillonnag). On obtint un signal f(t). rq : Pour ls signaux ayant ds composants spctrals n dhors d la band passant du filtr, cla conduit évidmmnt à un altération II. Scond étap : l échantillonnag. On va ponctionnr ls valurs du signal filtré f(t) à intrvalls d tmps régulirs. C st l échantillonnag qui s ffctu à la fréqunc ν. On récupèr ls valurs f(k. ) utilisés dans ls calculs qui vont suivr. On obtint un signal f * (t) tl qu f * (t) = + f (k. ).. δ(t k. ) Chaqu échantillon put êtr rprésnté, non pas par un Dirac, mais par un rctangl étroit d largur, c qui st bin l imag physiqu d un impulsion d Dirac d valur.f(k. ). III. roisièm étap : la troncation. Lors d l échantillonnag, la mémoir s rmplit. On arrêt l acquisition quand ll st plin (on consrv N échantillons). On a bin réalisé un troncation c qui conduit à un fonction f * (t) f * (t) = N f (k. ).. δ(t k. ) Ctt étap conduit à un nivllmnt du spctr t à l apparition d un bruit d fond IV. Quatrièm étap : la pondération. Si la fnêtr n st pas rctangulair, on doit multiplir chaqu échantillon par un factur différnt qui corrspond à l allur d ctt drnièr. C st la pondération. On obtint l signal f * p(t) avc 8

9 f * p (t) = N f (k. ).P(k. ).. δ(t k. ) où P(k. ) dépnd d l allur d la fnêtr choisi. Lors d ctt étap, l choix d la fnêtr dépnd du typ d signal à obsrvr. On doit notammnt choisir ntr limitr l influnc du bruit d fond sur l spctr lié à la troncation t la résolution n fréqunc V. Drnièr étap : L calcul du spctr. On va calculr l spctr pour un nombr limité d valurs (échantillonnag du spctr) (cla rvint à dir qu l spctr obtnu st clui du signal tronqué sur périodisé à la fréqunc /). L spctr st calculé jusqu à la fréqunc ν c qui st la fréqunc d coupur du filtr anti-rplimnt. Ctt fréqunc st lié à la fréqunc d échantillonnag ν. En fft, on doit avoir ν c <ν /2, soit un rlation du typ ν =2α.ν c où α > t d valur d autant plus faibl qu l filtr coup rapidmnt On a donc = N., ν c =N / t / =2α.ν c c qui nous prmt d calculr l nombr d échantillons du spctr qui vaut N = N/2α Rst à calculr la valur ds échantillons du spctr. Nous avons vu qu l spctr qu nous calculons st n fait clui d un signal construit à partir d la répétition à périod d la parti tronqué sur d notr signal d ntré f i (t). Il s agit donc d un signal décomposabl n séris d Fourir. On choisit la décomposition complx C n C n N = = N C [f (k. ).P(k. ).. δ(t k. )]. n soit [f (k. ).P(k. ). δ(t k. ). ou ncor après simplification = N N. f (k. ).P(k. ). n.k j.2. π. N j.2. π.n..t j.2. π.n..t On mt donc n évidnc un rlation matricill ntr ls valurs ds échantillons pondérés du signal d ntré t l spctr échantillonné calculé pour c drnir. C calcul ayant été ffctué pour ls N valurs, on n déduit l spctr d amplitud (valurs S n ) t l spctr d phas (valurs ϕ n ). On a n fft S n = 2. C n t ϕ = Arg n (Cn ) On st donc parvnu à décrir l nsmbl du procssus d calcul d la transformé d Fourir discrèt rq : Dans la pratiqu, l calcul st optimisé pour êtr ffctué plus rapidmnt. C st l calcul d transformé d Fourir rapid (FF pour «Fast Fourir ransform)..dt ]. dt 9