- p. 1/33. Pourquoi utiliser les méthodes itératives. Méthodes itératives Principe Général. Un peu d algèbre linéaire.

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1 On cherche à résoudre une équaton de la forme : pour la résoluton de systèmes lnéares VIET HUNG NGUYEN - FABIEN RICO HungNguyen@lp6fr EPU Perre et Mare Cure - Scence de la Terre Ax = b Les méthodes drectes fournssent la soluton x en un nombre fn d opératons Mas : S la talle du système est élevée, le nombre d opératons est mportant, or les erreurs de calcul dépendent drectement du nombre de calculs Elles utlsent des proprétés mathématques nécesstant un calcul exact, l est dffcle de tenr compte des erreurs de calcul dans ce processus Donc le résultat n est jamas rgoureusement égal à x Il peut même en être très dfférent - p /33 - p 2/33 Les fonctons lnéares ont de bonnes proprétés : ce sont des fonctons très régulères (C ) elles sont lnéares L utlsaton de la formule de TAYLOR dans l algorthme de NEWTON sert justement à «lnéarser» une foncton non lnéare Mas on ne peut pas utlser l algorthme de NEWTON On construt une sute de vecteurs (x k ) k =,, qu tend vers x On décompose la matrce A : A = M N, de telle façon que M sot faclement nversble Alors, Ax = b Mx = Nx + b On calcule la sute de vecteurs (x ) à partr d un vecteur x chos arbtrarement et de la relaton : Mx k+ = Nx k + b x k+ = M Nx k + M b Le pont de départ est une approxmaton x de x obtenue par exemple par une méthode drecte Pour construre cette sute, on utlse la lnéarté pour décomposer la matrce A en une parte faclement nversble et un reste C est à dre : { donné x k+ = M Nx k + M b x - p 3/33 - p 4/33 Posons C = M N, et d = M b Nous devons donc étuder la sute récurrente : { x donné x k+ = Cx k + d Sous quelles condtons la sute va-t-elle converger? Cela dépend-l de C ou d? Avec : x est pont fxe de la foncton lnéare x Cx + d cette foncton est C l faut démontrer que c est une foncton contractante - p 5/33 - p 6/33

2 Norme matrcelle et norme On appelle norme matrcelle une norme défne sur M n (C) qu est compatble avec la multplcaton de matrce C est à dre : : M n (C) IR + telle que A, B M n (C) et λ C : Séparaton : A = A = (), A A Norme matrcelle et norme Homogénété : λa = λ A, Inégalté trangulare : A + B A + B, A B A B u d algèbre lnéare - p 7/33 - p 8/33 Norme de Frobenus : A M n (C) n A F = n = j= a j = tr ( t AA)) Sot la norme : x = max x n x C n Normes ndutes (ou subordonnées) : Sot v une norme défne sur C n la foncton qu A M n (C) assoce Ax A = max v x C n,x x v Norme matrcelle et norme Cette norme ndut la norme matrcelle sur M n (C) : A M n (C) A = max n j= a j Norme matrcelle et norme est une norme matrcelle dte norme matrcelle ndute ou subordonnée - p 9/33 - p /33 Norme matrcelle et norme Défnton On dt qu une norme matrcelle est compatble avec une norme v s x Ax v A x v Proprétés : Pour toute norme matrcelle, l exste une norme avec laquelle elle est compatble Il sufft de défnr : x x x v = k x n Norme matrcelle et norme Défnton Sot A M n (C), on appel rayon spectral de la matrce A le nombre réel : ρ (A) = max n λ où λ sont les valeurs propres de A Remarque : ρ() n est pas une norme Proprétés : Pour toute norme matrcelle et pour toute matrce : ρ(a) A A M n (C), ǫ IR +, une norme matrcelle ndute telle que : Norme matrcelle et norme Toute norme matrcelle ndute est compatble avec sa norme ρ(a) A ρ(a) + ε - p /33 - p 2/33

3 Revenons sur la convergence de la sute : { x donné x k+ = Cx k + d Théorème C M n (C), s l exste une norme matrcelle ndute telle que C < alors : L équaton x = Cx + d admet une soluton unque x 2 La sute x k x quelle que sot x Norme matrcelle et norme Exstence de la soluton : ρ(c) C < Donc les valeurs propres λ de C sont telles que λ < Cela sgnfe que la matrce I C est nversble Donc l exste une soluton unque à l équaton x = Cx + d On appel x cette soluton Norme matrcelle et norme - p 3/33 - p 4/33 : Sot e k = x k x On peut dédure une relaton entre e k et e k Ce k = C(x k x) = C(x k ) C( x) = C(x k ) + d x Donc e k = Ce k pour k =, 2, Nous avons alors : Norme matrcelle et norme Connassant C, comment savor s la sute va converger? Cas général : Théorème Il y a équvalence entre les propostons suvantes : C est une matrce convergente (e C k tend vers ) ρ(c) < Il exste une norme matrcelle ndute telle que C < Norme matrcelle et norme e k = C k e Sot la norme matrcelle ndute et sa norme v telle que C < : e k v C k e v Donc e k et x k x - p 5/33 - p 6/33 Théorème Sot A une matrce symétrque défne postve, S A = M N et s M + t N est défne postve (elle est forcement symétrque) alors la sute est convergente x k+ = M Nx k + d dée de la preuve : S on consdère la norme défne par A : Norme matrcelle et norme Sot A une matrce, pour résoudre le système d équatons Ax = b, l faut décomposer A = M N de tel façon que : M sot nversble l une des deux condtons suvantes sot vérfée C = M N at un rayon spectral < (le plus pett possble) S A est symétrque défne postve, M + t N sot auss défne et postve Comment chosr M et N? Norme matrcelle et norme x A = t xax Et sa norme matrcelle ndute, alors M N < - p 7/33 - p 8/33

4 (sute) Algorthme de JACOBI (sute) Condtons de convergence Dagonale strctement domnante Cas des matrces symétrques x = Sot ( x, x 2, x 3 ) la soluton S on connaît deux coordonnées de la soluton, l est possble de calculer la trosème La lgne donne : x = x 2 x 3 La lgne 2 donne : x 2 = + x x 3 La lgne 3 donne : x 3 = 2 x x 2 2 (sute) Algorthme de JACOBI (sute) Condtons de convergence Dagonale strctement domnante Cas des matrces symétrques ode de JACOBI - p 9/33 (sute) Algorthme de JACOBI - p 2/33 S on ne connaît pas de coordonnées de la soluton, mas que l on en a des valeurs approchées : ( x, x 2, x 3 ) Il est possble d térer, c est à dre de chosr une nouvelle approxmaton (x, x 2, x 3 ) plus proche du résultat par les formules : x = x 2 x 3 x 2 = + x x 3 x 3 = 2 x x 2 (sute) Algorthme de JACOBI (sute) Condtons de convergence Dagonale strctement domnante Cas des matrces symétrques Données : A, b, x, n, ε et MAXITER début pour = à n fare x fn nb tant que ( A b > ε) et (nb < MAXITER) fare nb nb+ pour = à n fare x old pour = à n fare b j=,j a a j x old j (sute) Algorthme de JACOBI (sute) Condtons de convergence Dagonale strctement domnante Cas des matrces symétrques La méthode de JACOBI consste à térer tant que l on n est pas assez proche du résultat - p 2/33 - p 22/33 (sute) Sot la matrce A, on note : D la matrce des éléments dagonaux de A L algorthme de JACOBI décompose la matrce en la somme A = M N et calcule la sute E la matrce des éléments sous-dagonaux x k+ = M Nx k + M b F la matrce des éléments sur-dagonaux C est à dre : a a n a j A = D = a n a nn a a nn (sute) Algorthme de JACOBI (sute) Condtons de convergence Dagonale strctement domnante Cas des matrces symétrques Avec : { M = D N = E F On appel matrce de JACOBI la matrce J = D ( E F ) = M N (sute) Algorthme de JACOBI (sute) Condtons de convergence Dagonale strctement domnante Cas des matrces symétrques E = a j >j F = a j <j - p 23/33 - p 24/33

5 Condtons de convergence Dagonale strctement domnante D après ce qu précède une condton nécessare et suffsante (CNS) est que : D sot nversble les éléments dagonaux de A dovent être non nuls et ρ(j) < (la valeur propre de plus grand module est < à ) Remarques : Pour un système lnéare donné, on peut nverser l ordre des nconnues e celu des colonnes de la matrce l ordre des équatons e celu des lgnes de la matrce Cette CNS est dffcle à vérfer, mas l y a deux condtons suffsantes Pour les matrces à dagonale strctement domnante Pour les matrce symétrques (sute) Algorthme de JACOBI (sute) Condtons de convergence Dagonale strctement domnante Cas des matrces symétrques Défnton Une matrce A est dte à dagonale strctement domnante s :, n, a > j=,j a j Théorème S A est une matrce à dagonale strctement domnante, alors la méthode de JACOBI est convergente quel que sot le vecteur ntal x Preuve : S a > n j=,j a j a Pour démontrer la convergence, on peut prouver que C < avec C = D ( E F ) Donc C =, C j = aj pour j a C = max C j = max C j = max a j <, pusque a j= j= A est à dagonale strctement domnante j=,j Cas des matrces symétrques - p 25/33 - p 26/33 Théorème S A et 2D A sont symétrques défnes postves, alors la méthode de JACOBI converge preuve : S on pose M = D N = E F = D A (sute) Algorthme de JACOBI (sute) Condtons de convergence Dagonale strctement Algorthme de Condton de convergence Méthodes SOR (Successve Over Relaxaton) alors M + t N = 2D A domnante Cas des matrces symétrques Algorthme de - p 27/33 - p 28/33 Données : A, b, x, n, ε et MAXITER début pour = à n fare x fn L algorthme de GAUSS-SEIDEL modfe l algorthme de JACOBI pour utlser à chaque tératon les valeurs x k+ nb tant que ( A b > ε) et (nb < MAXITER) fare nb nb+ pour = à n fare x old pour = à n fare b a j j j= a j=+ a j x old j déjà calculées L algorthme de GAUSS-SEIDEL décompose la matrce en la somme A = M N et calcule la sute Avec : { x k+ = M Nx k + M b M = D + E N = F On appel matrce de GAUSS-SEIDEL la matrce GS = (D + E) ( F ) = M N Algorthme de Condton de convergence Méthodes SOR (Successve Over Relaxaton) thme de GAUSS-SEIDEL - p 29/33 - p 3/33

6 Condton de convergence Méthodes SOR (Successve Over Relaxaton) D après ce qu précede, une condton nécessare et suffsante (CNS) est que : (D+E) est nversble les éléments dagonaux de A dovent être non nuls et ρ(gs) < avec GS = (D + E) F Il y a auss deux condtons suffsantes : Théorème S A est une matrce à dagonale strctement domnante, alors la méthode de GAUSS-SEIDEL est convergente quel que sot le vecteur ntal x Algorthme de Condton de convergence Méthodes SOR (Successve Over Relaxaton) On peut modfer l algorthme de Gauss-Seden en fasant passer une parte de D en N, plus précsement, en ntrodusant un paramètre ω dt paramètre de relaxaton et en chosssant M = ω D + E et N = ( w )D F M est nversble s D est nversble Pour ω = on retrouve l algorthme de Gauss-Sedel Pour ω < on parle de sous-relaxaton Pour ω > on parle de sur-relaxaton La matrce d tératon C ω de la méthode SOR est C ω = (D + ωe) (( ω)d ωf ) Algorthme de Condton de convergence Méthodes SOR (Successve Over Relaxaton) Théorème S A est une matrce symétrque défne postve alors la méthode de GAUSS-SEIDEL est convergente quel que sot le vecteur ntal x S A est à dagonale strctement domnante, la méthode SOR avec paramètre ω converge pour tout x s < ω S A est symétrque défne postve, la méthode SOR avec paramètre ω converge pour tout x s < ω < 2 thme de GAUSS-SEIDEL - p 3/33 - p 32/33 Méthodes stables Les condtons de convergences sont dffcles à mettre en œuvres L utlsaton des matrces à dagonales domnantes est très restrctve L utlsaton des condtons sur le rayon spectrale ou ou sur les matrces symétrques défnes postves nécesstent une analyse mathématque préalable Algorthme de Condton de convergence Méthodes SOR (Successve Over Relaxaton) Il y a d autres méthode algorthme du gradant conjugué, méthode de KRYLOV thme de GAUSS-SEIDEL - p 33/33