Université de Provence Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels.

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1 Uiversité de Provece Mathématiques Géérales I Plache 6 Nombres réels Suites réelles Nombres réels Exercice 1 Mettre sous forme irréductible p/q les ratioels suivats (les chiffres souligés se répètet idéfiimet) : 0, 111 0, 33 0, , 999 Exercice Motrez que, si x, y R, max(x, y) = 1 (x + y + x y ) mi(x, y) = 1 (x + y x y ) Exercice 3 Dessier l esemble des couples (x, y) R tels que a max( x, y ) 1 b x + y 1 Exercice 4 1 Soiet A, B deux parties o vides de R, avec B majorée et A B Motrer que A est majorée et que sup(a) sup(b) Soiet A et B deux parties o vides majorées de R Soit A + B = {x + y, (x, y) A B} Que peut-o dire de sup(a B)? de sup(a + B)? Exercice 5 Soiet E u esemble et f, g deux applicatios de E das R telles que f(e) et g(e) soiet des parties majorées de R O ote sup f la bore supérieure de l esemble f(e) Que peut-o dire de sup(f + g)? Exercice 6 Dire si les esembles suivats admettet ue bore supérieure et ou bore iférieure Les calculer le cas échéat 1 [ 1, 1[ {} { 1 x x } R + 3 { 1 1 } N + 4 ([, [ {3}) { 1 + k k N} 5 {x + y (x, y) R et xy 1} 6 {( 1) + ( 1) +1 1 N } 7 { + 1 p ; (, p) (N ) }

2 Exercice 7 Soit x u réel O défiit E(x) par: E(x) = max{ Z x} a Calculer E(3), E(1, 5), E( 1/10), E(e) b Tracer le graphe de la foctio E c Calculer lim E ( 1 ) d Démotrer que E(x) x < E(x) + 1 e E déduire u ecadremet de E(x) e foctio de x f Soit x R; calculer E(x) lim + Récurrece Exercice 8 Motrer que, pour tout N : (a) 3 est divisible par 3 (b) pour tout a R + (1 + a) 1 + a (c) 3 est divisible par 7 Suites réelles Exercice 9 Ecrire à l aide de quatificateurs les phrases suivates : a La suite (u ) est pas borée b La suite (u ) e coverge pas vers l R c La suite (u ) est pas covergete Exercice 10 Les affirmatios suivates sot-elles vraies? Si oui, le démotrer, sio doer u cotre-exemple Das tout l exercice (u ) désige ue suite réelle a Si (u ) est à termes positifs et coverge vers zéro, alors (u ) est décroissate b Si ue suite réelle est ecadrée par deux suites covergetes alors elle est covergete c Si ( u ) coverge vers l, alors (u ) coverge vers l ou vers l d Si lim u = l avec l > 0 alors (u ) est positive à partir d u certai rag e Le produit d ue suite qui coverge vers 0 et d ue suite quelcoque coverge vers 0 Exercice 11 Détermier si les suites suivates sot croissates ou décroissates (a) u := + si() (b) v := (c) w := k (d) z 0 := 16, z +1 := z (e) a := + ( 1)

3 Exercice 1 Etudier la covergece des suites suivates et détermier les limites si elles existet (a) si(1/) (b) 4 (cos() ) (c) cos() + 3( 1) 3 (d) 3+5( 1) (e) +1 ; 1 (1 ) (f) +1 1, (g) + 1 1; 1 Exercice 13 Motrer que, pour tout, k=1 E déduire que la suite ( k ) coverge Exercice 14 (Suite géométrique) 1 k k(k 1) k= Détermier la covergece ou la divergece de la suite e foctio de la valeur de a Exercice 15 u := a, a R, Itérêts composés et empruts O se propose, e vue d effectuer u achat importat, d empruter ue somme S à u taux d itérêt auel I sur ue période de N mois que l o rembourse sous forme de mesualités dot le motat est m O désige, pour N avec N, par C le capital restat à rembouser après l échéace Aisi, C 0 = S et C N = 0 O ote i le taux d itérêt mesuel, c est-à-dire que i = I/1 1 Justifier que, pour {0,, N 1}, C +1 = C (1 + i) m O pose, pour {0,, N}, u = C α où α est u réel Commet choisir α pour que la suite (u ) soit ue suite géométrique 3 E déduire l expressio de C e foctio de 3 Que doit valoir m pour que C N = 0? 4 Sortat de l école polytech, vous obteez u emploi d igéieur à Paris Vous décidez doc d acheter u appartemet d ue surface de 80 m au prix moye à Paris, c est-à-dire, 7900 euros le m (prix moye e ovembre 011) Vous avez pas fait de réelles écoomies et vous êtes obligés d empruter la totalité de la somme sur 0 as, au taux d itérêt de 4,0 % (taux moye e ovembre 011 des prêts sur 0 as) Calculez la mesualité Quelle somme aurez-vous au fial remboursée après avoir payé la derière mesualité? 5 Ayat calculé la mesualité, vous réalisez que vous gagez seulemet 3000 euros par mois, salaire déjà bie supérieur au salaire moye d u igéieur débutat et que votre cojoit(e), ayat pas aussi bie réussi que vous, e gage que 000 euros par mois La loi sur 3

4 l edettemet vous iterdit d avoir des traites supérieures au tiers de vos retrées d arget Il vous est doc totalemet impossible das ces coditios, de cotracter le prêt précédet Calculez quelle devrait être la durée miimale du prêt si vous voulez que vos mesualités excèdet pas le plafod prévu par la loi Quelle sera alors la somme remboursée au total? 6 Dépité ue ouvelle fois par le résultat de votre calcul, vous décidez d acheter u appartemet plus petit (56 m ) das l arrodissemet le mois cher de Paris, c est-à-dire le XIX ème, à 5900 euros le m (prix moye e ovembre 011) Ue baque vous propose u prêt sur 30 as au taux de 4,60 % (taux moye e ovembre 011 des prêts sur 30 as) Pouvez-vous dire si cette fois, cela passe? 7 La même baque vous propose alors u prêt sur 30 as mais au taux révisable de 4,5 % (là ecore, c est le taux moye e ovembre 011 des prêts à taux révisable sur 30 as) Calculez la mesualité à rembourser Quelle somme aurez-vous alors remboursée quad vos traites serot fiies et si le taux a pas varié? 8 Malheureusemet, après avoir commecé à rembourser votre emprut pedat deux aées cosécutives, ue détérioratio de la situatio fiacière iteratioale fait que votre baque est cotraite d augmeter le taux à 5 %, puis à 7% ciq as plus tard Votre mesualité e bouge pas, mais la durée de remboursemet augmete quat à elle, afi que vous remboursiez le surplus d itérêts Pouvez-vous dire quel sera l allogemet de la durée de remboursemet? Quelle somme aurez-vous alors remboursée au total? Exercice 16 O cosidère la foctio f défiie sur ]0, + [ par: x > 0, f(x) = 1 ( x + ) x Soit u 0 O défiit la suite (u ): 0, u +1 = f(u ) (a) Étudier la foctio f Vérifier e particulier: x, f(x) (b) Motrer par récurrece que: 0, u (c) Motrer par récurrece que (u ) 0 est ue suite décroissate (d) Coclure que (u ) 0 coverge (e) Calculer la limite de la suite (u ) 0 Exercice 17 Soiet (u ) = ( ) et (v ) = ( l ) Motrer que u et v tedet vers + et que lim(u +1 u ) = lim(v +1 v ) = 0 E coclure que lim(a +1 a ) = 0 est pas ue coditio suffisate pour que (a ) soit covergete Exercice 18 Soit (u ) ue suite covergete à valeurs das Z Motrer que (u ) est statioaire à partir d u certai rag Exercice 19 a Motrer que (u ) est croissate O cosidère la suite (u ), défiie pour 1, par u = k 4

5 b Motrer qu il existe c u ombre réel strictemet positif que l o précisera tel que N, u u c c E déduire que (u ) coverge vers + Exercice 0 défiies par: Soiet a et b deux ombres réels tels que 0 < a < b et (a ) et (b ) deux suites a 0 = a, b 0 = b, et N, a +1 = a b et b +1 = a+b a Démotrer que (a ) est bie défiie et croissate b Prouver que (b ) est décroissate c Démotrer que (a ) et (b ) sot covergetes et que lim(a ) = lim(b ) (Cette limite commue est appelé moyee arithmético-géométrique des ombres a et b) Exercice 1 O cosidère les suites (u ) et (v ) défiies par u = k=0 1 k! et v = u + 1! Motrer qu elles sot adjacetes E déduire que la suite ( ) k! coverge Exercice Soit la suite (u ) N défiie par u 0 = 0 et N, u +1 = 1 + u a Justifier que (u ) est bie défiie b Motrer que (u ) e peut coverger que vers u seul ombre l que l o détermiera c Motrer que N, 0 u l d Motrer que u +1 u = P (u) 1+u+u, où P est u polyôme du secod degré que l o détermiera et dot o étudira le sige E déduire que la suite (u ) est croissate e Prouver que (u ) est covergete et doer sa limite Exercice 3 a) Soit (u ) ue suite qui coverge vers u ombre réels l Motrer que la suite u 1+u + +u coverge vers l b) Doer u exemple de suite (u ) tel que (u ) diverge et u1+u+ +u coverge c) Soit (u ) ue suite telle que (u +1 u ) coverge vers l Motrer que ( u ) coverge vers l 5