LSMarsa Elriadh Activité : Compléter le tableau suivat Ue suite U est Suite arithmétique Suite géométrique Terme gééral d ue La somme: S p Uk das le m cas ou U est: a - - < a < a a > lim a + Activité 2: Compléter : Ue suite (U ) I est dite miorée par u réel m, si et seulemet si, Ue suite (U ) I est dite majorée par u réel M, si et seulemet si, Ue suite (U ) I est dite borée, si et seulemet si, Applicatio : Soit U la suite défiie sur IN par majorée par2 U 0 2U + U+ U + 2 Motrer que la suite U est miorée par et wwwzribimathsjimdocom
LSMarsa Elriadh Activité 3: Compléter : Ue suite (U ) I est dite croissate, si et seulemet si, Ue suite (U ) I est dite décroissate, si et seulemet si, Ue suite (U ) I est dite costate, si et seulemet si, Applicatio 2: Soit U la suite défiie sur IN par : U 0 3 et U + 2 + U a) Motrer que pour tout IN, U > 2 b) Motrer que la suite U est strictemet décroissate Activité 4: a et b deux réels, V + + a b + b - b + + - - lim + V + V + + a b 0 b 0 a a 0 0 lim + V V + + a b b 0 lim + V + Applicatio 3: I Détermier la limite de la suite U das chaque cas : 2 ² + 3 7 + 2 lim ; lim ; lim + 3 5 + + ² + 5 + 3 + wwwzribimathsjimdocom 2
LSMarsa Elriadh II U la suite défiie par : u0 0 3u + 2 u, u + 4 défiie sur [0; ] par : 3x + 2 f ( x) x + 4 + N Soit la foctio f (C) : Courbe représetative de f ( ) : Droite d équatio y x ) Costruire sur le repère ci-dessus les poits de (O; i ) d abscisses u 0, u, u 2 et u 3 2) O défiit la suite (v ) pour tout etier u aturel par : v u + 2 a) Démotrer que (v ) est ue suite géométrique que l o caractérisera b) E déduire l expressio de v e foctio de aisi que la limite de (v ) quad ted vers + c) Exprimer u e foctio de v et e déduire l expressio de u e foctio de aisi que la Activité 5: limite de (u ) quad ted vers + Soit U la suite défiie sur IN* par 2 + ( ) U ) Doer l expressio de U 2 et U 2+ 2) Que peut-o déduire de la limite de U Soit U ue suite réelle et a fii ou ifii a si, et seulemet si, 2 2+ + + + a et a Applicatio 4: Etudier la covergece des suites suivate : wwwzribimathsjimdocom 3
LSMarsa Elriadh U (-) ; Activité 6 : U si pair 2 + U si impair ² + ) Soit U la suite défiie sur IN* par 2 + ( ) U ; motrer que U est boré 2) Soit U la suite défiie sur IN par U (-) étudier la covergece de U, prouver que U est borée Toute suite covergete est borée Soit U ue suite covergete vers u réel a S il existe u etier p tel que 0 U pour tout p ; alors 0 a S il existe u etier p tel que 0 U pour tout p ; alors 0 a S il existe u etier p et deux réels m et M tel que m U M pour tout ; alors m a M Activité 7: Soit U la suite défiie sur IN* par U 2 + + + ² ² ² ) Calculer U 2) Vérifier que U est est croissate et majorée 3) Motrer que la suite U est covergete Si la suite (U ) I est croissate et majorée alors elle coverge vers u réel a et pour tout I, U a Si la suite (U ) I est décroissate et miorée alors elle coverge vers u réel a et pour Applicatio 5: tout I, U a Soiet U et V les suite défiie sur IN* par U + 2! + 3! + + et V U! +! wwwzribimathsjimdocom 4
LSMarsa Elriadh ) a) motrer que la suite U est croissate et que la suite V est décroissate b) motrer que la suite U est majorée par V et que la suite U est miorée par U 2) E déduire que les suites U et V sot covergetes Toute suite croissate et o majorée ted vers + Toute suite décroissate et o miorée ted vers + Applicatio 6: Soit U la suite défiie sur IN* par U + 2 + 3 + + ) Motrer que la suite U est croissate 2) Motrer que pour tout de IN* ; U 2 -U 2 3) E déduire que la suite U est pas majorée 4) Détermier la limite de la suite U Soit f ue foctio cotiue sur u itervalle I et U ue suite d élémets de I Si la suite U coverge vers a de I alors la suite (f(u )) coverge vers f(a) Applicatio 7: Détermier la limité de la suite U das chaque cas : 3 π U si ; U ta 4 2x + Soit f ue foctio défiie sur u itervalle I et U ue suite d élémets de I vérifiat la relatio de récurrece U + f(u ) Si la suite U coverge vers u réel a et f cotiue e a alors f(a)a Applicatio 8: Soit U la suite défiie sur IN par : U 0 2 et U + wwwzribimathsjimdocom 5 3U 2 2U ) Motrer que pour tout IN o a : < U 2
LSMarsa Elriadh 2) Motrer que la suite U est décroissate 3) E déduire que U est covergete puis calculer sa limite Soit f ue foctio défiie sur u itervalle I et U ue suite d élémets de I Si a ( a fii ou ifii) et + lim f ( x ) l (l fii ou ifii) alors lim f ( U ) l x a + Soit deux suites U et V covergetes respectivemet vers a et b S il existe u etier aturel p tel que U V pour tout p alors a b Activité 8: U la suite défiie sur IN* par U + + + ² + ² + 2 ² + ² ² ) Motrer que pour tout de IN*, U ² + ² + 2) Que peut o cojecturer sur la limite de la suite U? Soit U, V et W trois suite et a u réel Si V U W pour p alors a lim V lim W a + + + Coséquece : Soit Uet V deux suite suites U V pour p Si alors 0 lim V 0 + + Applicatio 9: U0 4 Soit la suite U défiie par 3 + U U+ ; IN 2 5 + U wwwzribimathsjimdocom 6
LSMarsa Elriadh ) Motrer que pour tout IN ; 0<U < 3 +U 2) motrer que, pour tout IN ; U + 4 3) Motrer que U est croissate et e déduire qu elle est covergete 4) a) Motrer que -U + 4 (-U ) b) e déduire que pour tout IN ; -U 3 ( ) 4 c) détermier la limite de la suite U Soit deux suite U et v + U V pour p lim V + + alors + + V U pour p lim V + alors + Applicatio 0 : Soit la suite U défiie par U k 2 k + k a) Calculer U et U 2 b) Motrer que : U + 2 + 3 + + ² + ( + ) c) E remarquat que : +2+3+ +, déduire la limite de la suite U 2 Si deux suites U et V défiies sur I vérifiet les coditios : () Pour tout I, U V (2) U est croissate et V est décroissate (3) La suite (U V ) coverge vers 0 Alors les suites U et V sot covergetes et elles coverget vers la même limite Vocabulaire : Das ces coditios, les suites U et V sot dites adjacetes wwwzribimathsjimdocom 7
LSMarsa Elriadh Applicatio O cosidère les suites U et V défiies sur IN par : U k! et V U +! ) Calculer U 0, U, U 2, V 0, V et V 2 2) Motrer que pour tout IN, U V 3) Motrer que la suite U est croissate et que la suite V est décroissate 4) Vérifier que les suites U et V sot adjacetes et qu elles coverget vers la même limite que l o otera e 5) Motrer que pour tout IN, U e V 65 6) E déduire que : 24 e 4 k 0 wwwzribimathsjimdocom 8