GEL000 Circuis Chapire 4 FONCTIONS D EXCITATION Objecifs reconnaîre les exciaions élecriques périodiques; comprendre le comporemen des foncions d exciaion simples comme l échelon, l impulsion e la rampe ainsi que leurs relaions; savoir décomposer les exciaions élecriques apériodiques en foncions d exciaions simples; comprendre le rôle des paramères des foncions exponenielles complexes comprendre ce qu es un phaseur rerouver la foncion réelle à parir d une foncion exponenielle complexe; savoir que ou signal périodique peu se décomposer en une somme de signaux sinusoïdaux comprendre la base de la ransformaion de Fourier; reconnaîre les composanes d un specre don la fondamenale e les harmoniques; 2/50 Plan du cours Exciaions élecriques Foncions apériodiques Foncions exponenielles Foncions sinusoïdales Foncions périodiques 3/50
Exciaions élecriques Exciaions apériodiques Exciaions qui ne se répèen pas régulièremen dans le emps. v() i() 4/50 Exciaions élecriques Exciaions périodiques Exciaions qui se répèen à inervalles réguliers. Carré symérique Carré posiif Sinusoïdal alernaif Redressé simple alernance Redressé double alernance 5/50 Décomposiion de signaux complexes en signaux simples Principe de superposiion Applicaion du principe de superposiion Décomposiion d une exciaion complexe en une somme d exciaions simples que l on peu raier individuellemen La réponse à l exciaion complexe sera égale à la somme des réponses aux exciaions individuelles. 6/50 2
Foncions apériodiques 7/50 Foncions apériodiques L échelon uniaire (foncion de Heaviside) u() = 0 pour < 0 pour 0 0 L échelon uniaire es uilisé pour modéliser une exciaion qui change brusquemen de valeur à un insan donné. E 2 K a D + v s () - a D b b v s () E 0 v s () = E u() 8/50 Oliver Heaviside-Grenier 850-925 9/50 3
Foncions apériodiques L échelon uniaire E 2 K a D + v s () - a D b b On bascule le commuaeur K à = 0. Exprimer la foncion V s () en uilisan la foncion échelon uniaire. V s () Échelon appliqué à = 0 E u(- 0 ) E 0 0/50 Foncions apériodiques L échelon uniaire + V m cos(ω ) - 2 K a b D + v s () - a b D v s () v s () = V m cos(ω ) u() V m cos(ω ) /50 Foncions apériodiques L échelon uniaire Exciaion cos(ω ) appliquée à = 0 v s () 0 v s () = V m cos(ω ) u(- 0 ) v s () 0 v s () = V m cos[ω (- 0 )] u(- 0 ) Exciaion cos(ω ) reardée de 0 appliquée à = 0 2/50 4
Foncions apériodiques L échelon uniaire (fin) f()=a f()=a u() f()=a u( ) A A A f()=a( ) f()=a( ) u() f()=a( ) u( ) A A A 3/50 Foncions apériodiques L impulsion de Dirac L impulsion uniaire δ () es une foncion définie comme la dérivée de l échelon uniaire δ( ) = d d [ u( )] Caracérisiques du Dirac - δ () = 0 pour ou, sauf = 0 - infinie à = 0 - sa surface es égale à 4/50 Paul Dirac-Grenier 902-984 5/50 5
Foncions apériodiques L impulsion de Dirac Lorsqu'on muliplie δ() par une consane A, on obien une impulsion de surface A. δ () A δ () A 6/50 Foncions apériodiques L impulsion de Dirac Produi d une exciaion f() par l impulsion δ (): f() δ () f(0) f() δ () f(0) f ( ) δ ( ) = f (0 ) δ( ) 7/50 Foncions apériodiques Rampe uniaire La rampe uniaire r() es définie comme l inégrale de l échelon uniaire u(): r( ) = u( ) d La rampe uniaire r() es une droie de pene, qui commence à = 0 r() = 0 pour < 0 pour 0 ou encore r ( ) = u( ) r() pene = 8/50 6
Foncions apériodiques Pore La pore Π() es définie par deux échelons: Π() = u( + 0.5) u( 0.5) La pore ser de foncion d acivaion à durée limiée Π() = pour 0.5 e < 0.5 0 ailleurs Π() -/2 /2 *pour élargir la pore d une faceur a, faire /a *pour déplacer la pore auour de T, faire -T 9/50 Foncions apériodiques Exemple Tracer v(), sa dérivée e son inégrale v( ) = A e α u( ) v() A 20/50 Foncions apériodiques Décomposiion en foncions simples Les foncions apériodiques peuven êre décomposées en des sommes de foncions singulières. f() 6 f() 6 3 2 (s) 2 (s) f() 8 f() 6 5 2 5 (s) 8-8 2 (s) 2/50 7
Foncions exponenielles complexes 22/50 Foncions exponenielles complexes x() = X e s X = X e jϕ es le phaseur (ampliude complexe) ϕ = X s = σ + jω es la fréquence complexe x() = X e σ j(ω +ϕ ) σ: e fréquence népérienne [neper/s] ω: fréquence angulaire [rad/s] 23/50 Foncions exponenielles complexes Signal analyique x() = X e σ j(ω +ϕ ) e Noion de veceur complexe Veceur ournan dans le plan complexe: x() X e σ es la longeur du veceur complexe (ω + ϕ) es l'angle du veceur complexe 24/50 8
Foncions exponenielles complexes σ < 0 σ > 0 Le veceur complexe ourne avec une viesse angulaire ω (en rad /s). La longueur du veceur complexe es une foncion exponenielle du emps. 25/50 Foncions exponenielles réelles 26/50 Foncions exponenielles réelles (X e s réels) ω=0, φ=0 σ > 0 σ = 0 σ < 0 x() = Xe σ Exponenielle croissane Consane Exponenielle décroissane s > 0 X s < 0 s = 0 Consane de emps: = / s 27/50 9
Foncions exponenielles complexes Cas où X e s son réels Exemple Déerminaion de τ par la méhode de la angene v() = e τ Monrer que la angene de à la courbe en = 0 coupe l axe des emps en = τ. v() 28/50 Foncions exponenielles complexes Cas où X e s son réels Exemple 2 Charge d un condensaeur Monrer commen on peu déerminer τ à parir des deux courbes i C () v C () v C () i C () 29/50 Uilié des exponenielles complexes 30/50 0
Uilié des foncions exponenielles complexes Représener des foncions réelles y() = x() + x *() 2 = X eσ cos(ω +ϕ) y s () = x() x *() 2 j = X eσ sin(ω +ϕ) y() = Re{x()} = X e σ cos(ω + ϕ) 3/50 Uilié des foncions exponenielles complexes y() = X e σ cos(ω +ϕ) σ > 0 Sinusoïde à ampliude croissan exponeniellemen σ = 0 Sinusoïde à ampliude consane σ < 0 Sinusoïde à ampliude décroissan exponeniellemen 32/50 Foncions exponenielles complexes i() 3 enveloppe π/40 3π/40 0.5 0 π/20 π/0 3 (0.368) -3 i()=ae -σ cos(ω+φ) A=? σ=? ω=? φ=? 33/50
Exemple: v() = 4 cos(5π + π 6 ) V =? 36/50 Foncions exponenielles complexes Cas pariculier où σ = 0 La sinusoïde Im ω (rad/s) = 0 X X = ϕ Re y() = X cos(ω +ϕ) Ampliude X (ω 0 +ϕ) = 0 ϕ ω Phase 0 2 π Période : T = ω 34/50 Foncions exponenielles complexes 35/50 Foncions exponenielles complexes Cas pariculier où σ = 0 La sinusoïde Valeur moyenne v moy T = v( T 0 ) d = T 0 + T 0 v( ) d Valeur efficace (RMS) v eff 0 + T 2 = v ( T 0 ) d / 2 2
Uiliés des phaseurs Représener une foncion sinusoïdale (cosinusoïdale) Ā = Ae jφ è Acos(ω+φ) Soluionner facilemen des équaions différenielles impliquan des foncions sinusoïdales dāe jω /d = jωāe jω Addiion de foncions sinusoïdales dans le plan complexe A cos(ω+φ )+A 2 cos(ω+φ 2 )è A e jφ +A 2 e jφ 2=Ā +Ā 2 Im 0.57cos(00π+0.4) 5cos(00π+.0) 7cos(00π) Re 37/50 Foncions périodiques Transformaion de Fourier 38/50 Base de la ransformaion de Fourier orhogonalié des foncions rigonomériques (cosθ ou sinθ) cos(ω )cos(ω 2 )d = 0 si ω ω 2 conséquence: cos(ω) forme une base à parir de laquelle oue foncion peu s exprimer comme une combinaison f () = 2π F(ω)cos(ω)d avec F(ω 0 ) es la projecion du signal f() sur la base cos(ω 0 ) F(ω 0 ) = f ()cos(ω 0 )d *pas de 2π si on ravaille direcemen en fréquence f 39/50 3
Joseph Fourier-Savard 768-830 40/50 Foncions périodiques Une foncion de période T peu êre exprimée sous la forme d une somme de foncions exponenielles Décomposiion en Série de Fourier f () = n= C n e j n ω 0 avec ω 0 = 2 π f 0 = 2 π T e ω n = nω 0 C n = T T 2 T 2 f () e j n ω 0 d Si on noe C n = C n e j ϕ n C n = ( C n ) * = C n e j ϕ n ( ) f () = C o + 2 C n cos ω n + ϕ n n= 4/50 Foncions périodiques Composane coninue (DC) C 0 = T T 2 T 2 f () d ( ) f () = C o + 2 C n cos ω n + ϕ n n= n = n > Composane fondamenale ω =ω 0 Composanes harmoniques ω n =nω 0 42/50 4
Foncions périodiques: Exemple Décomposiion d un signal en dens de scie (sans niveau DC, foncion impaire i.e. f()=-f(-)) 0 f() 2p 4p 6p 8p C 0 = 5 C n = 5 n π j 43/50 Noion de specre (exemple) Un diagramme présenan les ampliudes des harmoniques d un signal, sous la forme d un ensemble de raies, es appelé un specre. Specre de l exemple : signal en dens de scie C n 5.6 0.8 2 3 4 n 44/50 Synhèse de Fourier (exemple ) La synhèse de Fourier consise à recombiner des ermes d une série rigonomérique pour reproduire la forme d onde originale. Synhèse de Fourier du signal en dens de scie Synhèse avec la composane coninue 45/50 5
Synhèse de Fourier (exemple ) Synhèse de Fourier du signal en dens de scie Synhèse avec les composanes coninue e fondamenale 46/50 Synhèse de Fourier (exemple ) Synhèse de Fourier du signal en dens de scie Synhèse avec les composanes coninue, fondamenale e une harmonique 47/50 Synhèse de Fourier (exemple ) Synhèse de Fourier du signal en dens de scie Synhèse avec les composanes coninue, fondamenale e deux harmoniques 48/50 6
Synhèse de Fourier (exemple ) Synhèse de Fourier du signal en dens de scie Synhèse avec les composanes coninue, fondamenale e rois harmoniques 49/50 Foncions périodiques: Exemple 2 Signal riangulaire (sans niveau DC, foncion paire) 24 f() - 2 3 5 (ms) C 0 = 2 C n = 24 cos(nπ) 2 (n π) 50/50 Noion de specre (exemple 2) Specre de l exemple 2: signal riangulaire C n 2 4.8634 0.5404 2 3 4 5 6 7 n 5/50 7
Synhèse de Fourier (exemple 2) Synhèse de Fourier du signal riangulaire 25 20 5 f() 0 5 0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 [s] 52/50 Pour en savoir plus Circuis élecriques, Hoang Le-Huy, Les presses de l universié Laval, 2004. Inroducion o elecric circuis, Dorf R.C., Svoboda J.A., Wiley, 2004. The analysis and design of linear circuis, Thomas R.E., Rosa A.J., Wiley, 2004. Circuis élecriques, M. Nahvi & J.A. Edminiser, Schaum s, 2002. 53/50 8