La théorie moderne du portefeuille : théorie et applications

4986_.book Page 795 Vendred, 11. décembre 2009 3:46 15 28 La théore moderne du portefeulle : théore et applcatons PATRICE PONCET ET ROLAND PORTAIT Patrce Poncet est professeur à l ESSEC Busness School. Dplômé de l ESSEC, maîtrse de drot prvé (Pars-II Assas), agrégé des Unverstés en scences de geston, et PhD en fnance de l unversté de Northwestern (Kellogg School). Ex-drecteur du M2 Recherche «Fnance de marché» et de l école doctorale en scences de geston de l unversté Pars-I Panthéon- Sorbonne. Consultant à la Socété Générale. Auteur de nombreux ouvrages (dont Dynamc Asset Allocaton wth Forwards and Futures et Fnance de marché (avec Roland Portat)) et artcles (dont Management Scence, Journal of Economcs, Dynamcs and Control, Journal of Bankng and Fnance, European Economc Revew, Fnance ). Roland Portat est professeur ttulare de la chare de fnance au CNAM et professeur à l ESSEC Busness School. Ingéneur des télécommuncatons, dplômé de l Insttut d études poltques de Pars, et PhD en fnance de la Wharton School. Drecteur du master professonnel de «Fnance de marché et geston de captaux» au CNAM et consultant auprès d nsttutons fnancères. Auteur de nombreux ouvrages (dont Les Décsons fnancères de l entreprse et Fnance de marché (avec Patrce Poncet)) et artcles (dont Amercan Economc Revew, Management Scence, Journal of Busness, Journal of Economcs, Dynamcs and Control, European Economc Revew, Fnance ). INTRODUCTION La théore moderne du portefeulle est née en 1952 avec la publcaton de l artcle fondateur de Harry Markowtz. En partant du postulat que le rsque d un portefeulle peut être correctement mesuré par la varance de sa rentablté, Markowtz explcte et formalse le dlemme fondamental de la fnance moderne : obtenr une rentablté fable mas certane, ou accepter de prendre un rsque dans l espor d accroître cette rentablté, l espérance de rentablté étant d autant plus élevée

4986_.book Page 796 Vendred, 11. décembre 2009 3:46 15 796 MBA FINANCE que le rsque est mportant. Il formalse et quantfe également l effet de dversfcaton selon lequel une combnason judceuse de nombreux actfs dans un portefeulle permet de rédure le rsque total sub pour un taux de rentablté espérée donné. Les travaux de Markowtz devaent s avérer extrêmement mportants et modfer profondément la façon de concevor les problèmes fnancers. Ils montrent, en partculer, que l ntérêt d nvestr dans un ttre fnancer ne dot pas être évalué séparément mas dans le cadre de l ensemble du portefeulle consttué par l nvestsseur et d un marché concurrentel où de nombreux véhcules d épargne (actons, oblgatons, dépôts à terme, mmobler, foncer, etc.) sont en compétton. Une dzane d années après les travaux de Markowtz et sur les bases de ces derners, Sharpe, Lntner et Mossn développèrent un modèle (le modèle d équlbre des actfs fnancers ou MEDAF) qu aboutt, sous certanes hypothèses, à la rentablté espérée d équlbre d un ttre quelconque. Et une dzane d années plus tard, dans les années soxante-dx, en s appuyant sur des modèles multfactorels, S. Ross développa une alternatve au MEDAF nommée APT (arbtrage prcng theory). Le modèle de Markowtz, le MEDAF et l APT consttuent le noyau de la théore classque du portefeulle. Nous présentons la théore des chox dans l ncertan et le paradgme espérance-varance sur lequel les modèles classques sont fondés ($$ p. 00 $$), le concept de dversfcaton et sa formalsaton ($$ p. 00 $$), la constructon des portefeulles effcents (modèle de Markowtz) ($$ p. 00 $$), le modèle d équlbre des actfs fnancers ($$ p. 00 $$), les modèles factorels ($$ p. 00 $$), l APT ($$ p. 00 $$), les problèmes de mse en œuvre et des applcatons ($$ p. 00 $$), et un résumé des prncpaux concepts et résultats en guse de concluson ($$ p. 00 $$). CHOIX RATIONNELS DANS L INCERTAIN : AVERSION AU RISQUE, ESPÉRANCE D UTILITÉ ET PARADIGME ESPÉRANCE-VARIANCE Ce paragraphe présente succnctement la théore des chox dans l ncertan et le crtère espérance-varance. Les chox fnancers dans l ncertan et le crtère de l espérance de l utlté Il s agt de détermner la décson optmale parm des alternatves condusant à dfférents gans (ou pertes) aléatores %W prenant un nombre fn de valeurs (w 1,,w N ) avec des probabltés respectves (p 1,, p N ). On peut nterpréter %W comme la valeur postve (gan) ou négatve (perte) du gan généré par une lotere et l s agt d établr un crtère qu permette de comparer dfférentes loteres afn de chosr la «melleure». Avant les travaux de Bernoull et Cramer, au début du XVIII e sècle, «l attrat» d une lotere état censé être fondé sur l espérance mathématque de son gan %W :

4986_.book Page 797 Vendred, 11. décembre 2009 3:46 15 LA THÉORIE MODERNE DU PORTEFEUILLE : THÉORIE ET APPLICATIONS 797 EW% 1 Selon une telle concepton, un ndvdu ratonnel devrat être ndfférent entre la lotere au résultat ncertan %W et une somme certane égale à E ( %W ) et, entre pluseurs loteres, devrat préférer celle qu a l espérance de gan la plus élevée. Cet a pror smplste est en fat contredt par le comportement effectf de la plupart des ndvdus face au rsque. Donnons-en un contre-exemple. Sot une lotere %W donnant, avec des probabltés égales, sot 0 sot 100 000 euros. La plupart des ndvdus préfèrent une somme certane de 50 000 euros à la somme aléatore %W alors même que E( %W ) = 50 000 euros. Cette préférence pour le résultat certan reflète l averson au rsque qu caractérse la plupart des agents économques. Cette averson est lée au fat que l utlté margnale de l euro supplémentare décroît. En effet, l ndvdu ratonnel classe ses projets de dépense par ordre de prorté décrossante : les 50 000 premers euros sont affectés à des projets plus «utles» que les 50 000 euros suvants et, de ce fat, l utlté de 100 000 euros est nféreure au double de l utlté de 50 000 euros. On dt que l utlté margnale de la rchesse dmnue et que l «équvalent certan» de la lotere %W, qu dépend en fat de chaque ndvdu, est strctement nféreur à 50 000 euros. Ces dées, ntrodutes par Bernoull et Cramer dès le XVIII e sècle, ont été systématsées et rgoureusement formalsées par le mathématcen John Von Neumann, assocé à l économste Oscar Morgenstern (VNM c-après). Dans un ouvrage fondamental publé en 1944, VNM démontrèrent formellement que tout ndvdu obéssant à quelques prncpes de ratonalté cherche à maxmser, non pas l espérance de sa rchesse, mas l espérance de l utlté de sa rchesse. Synthétquement, le programme d un ndvdu confronté à des chox aux conséquences aléatores se résume à maxmser EÈUW% Î. La foncton d utlté U(.) tradut les préférences de chaque ndvdu, lu est spécfque, et dépend notamment de sa rchesse ntale au moment de la décson et de son averson au rsque. Cependant, la foncton d utlté U(.) de la plupart des ndvdus, possède les deux caractérstques suvantes : () elle est crossante avec la rchesse (on désre toujours être plus rche) ; dès lors, s elle est dérvable : U (.) > 0 ; () elle est concave (la pente U (.) décroît donc U (.) < 0) ; cette concavté tradut, sur le plan mathématque, non seulement la décrossance de l utlté margnale, mas auss l averson à l égard du rsque. Cet ndvdu dont la rchesse ntale est égale à W 0, est confronté à la décson d nvestr x euros qu rapporteront x y ou x + y avec des probabltés égales à 0,5 : le proft (+ y ou y) a donc une espérance nulle. En absence d nvestssement, la rchesse de W 0 génère une utlté de U(W 0 ) (cf. le pont 3 sur la fgure 28.1). En revanche, s l opératon est entreprse, l utlté sera sot égale à U(W 0 y) (avec une N Â pw

4986_.book Page 798 Vendred, 11. décembre 2009 3:46 15 798 MBA FINANCE Exemple Sot un agent économque dont la rchesse ntale est de 100 K. Cet ndvdu pourrat entreprendre un nvestssement dont la mse ntale est de 50 K et qu peut lu rapporter sot 100 K avec la probablté 0,5 sot 0,00 euro avec la probablté 0,5. L espérance du gan est donc nulle (0,5 (150+50) 100) et l ndvdu qu maxmserat l espérance de la valeur de son patrmone serat ndfférent entre les deux termes de l alternatve entreprendre/ne pas entreprendre. Tel ne serat pas le cas s sa foncton d utlté état concave, par exemple la foncton logarthme népéren (ln). En effet, s l nvestssement n est pas entreprs, l espérance de l utlté de sa rchesse est : ln(100) = 4,60. Dans l éventualté où l nvestssement serat entreprs, sa rchesse serat aléatore et égale à 150 (avec probablté 0,5) ou 50 (avec probablté 0,5). L espérance d utlté de cette rchesse est de : 0,5 ln(150) + 0,5 ln(50) = 4,46. L ndvdu n entreprendra pas l nvestssement consdéré car l espérance d utlté de la rchesse qu en résulte est nféreure à celle de sa rchesse ntale. On remarquera que la foncton ln(w) satsfat ben les deux proprétés requses d une foncton d utlté : elle est crossante et concave (d ln(w)/dw = 1/W > 0 ; d 2 ln(w)/dw 2 = 1/W 2 < 0). Cet exemple peut être asément généralsé pour mettre en évdence le fat que la concavté de la foncton d utlté tradut smultanément le caractère décrossant de l utlté margnale de la rchesse et l averson à l égard du rsque. Consdérons un ndvdu dont la foncton d utlté est concave quelconque (pas nécessarement logarthmque) et représentée graphquement par la courbe en rouge sur la fgure 28.1. Fgure 28.1 Averson au rsque et concavté de U U(W) U(W 0 + y) U(W 0 ) 3 U U(W 0 y) + U(W 0 + y) = U(c) 2 2 1 U(W 0 y) W 0 y c W 0 = 0,5(W 0 y + W 0 + y) W 0 + y W probablté de 0,5), sot à U(W 0 + y) (avec une probablté de 0,5). Remarquons que E[U ( %W )] UW ( 0 - y) UW ( 0 y) = (ordonnée du pont 1 sur la fgure) et qu elle est nféreure à U(W 0 ). 2

4986_.book Page 799 Vendred, 11. décembre 2009 3:46 15 LA THÉORIE MODERNE DU PORTEFEUILLE : THÉORIE ET APPLICATIONS 799 On remarquera auss qu l exste une rchesse certane c qu génère la même utlté que celle de la rchesse aléatore dans l hypothèse de réalsaton de l nvestssement ; c est tel que : UW ( U(c) = E [ UW ( % 0 - y) UW ( 0 y) )] = (cf. le pont 2 sur la fgure 1). 2 c s nterprète comme «l équvalent certan» de %W car l agent est ndfférent entre la rchesse certane c et la rchesse ncertane %W, pusqu l obtent dans les deux cas la même espérance d utlté. On retendra enfn (cf. fgure 28.1) que, du fat de la concavté de U : c < E( %W ) = W 0 ; donc : E [ UW ( % )] = U(c) < U(W 0 ) = U [ E( %W )], (comparer les ordonnées des ponts 2 et 3 sur la fgure 28.1). Pour résumer, une lotere ncertane %W a mons d attrat qu une somme certane égale à E( %W ). Ce résultat qu révèle l averson à l égard du rsque de l agent (nterprétaton fnancère) résulte de la concavté de U, comme cela apparaît clarement sur le graphque. Le crtère espérance-varance L utlsaton de fonctons d utlté générales s avère souvent complexe et ne condut pas à des solutons analytques. C est la rason pour laquelle Markowtz smplfa le problème du chox dans l ncertan de l nvestsseur afn de le résoudre de manère smple et explcte. Son dée conssta à mesurer le rsque affectant une rchesse %W (ou de la valeur globale d un portefeulle) par la varance de celle-c [notée σ 2 ( %W )]. L nvestsseur est alors présumé prendre ses décsons en foncton seulement de deux paramètres : l espérance de sa rchesse, E( %W ), qu l souhate la plus grande possble, et sa varance, σ 2 ( %W ), qu l désre la plus fable possble. Il s agt du crtère espérance-varance (E-V dans la sute). Il est mportant de détermner les condtons qu rendent le crtère E-V compatble avec celu de VNM de maxmsaton de l espérance d utlté, car seul ce derner est théorquement fondé. En fat, l est facle de montrer que, dans deux cas, celu d une foncton d utlté quadratque d une part, et celu d une rchesse dstrbuée selon une lo Normale (gaussenne), d autre part, le crtère E-V est ben mplqué par la ratonalté de VNM 1. 1. Dans le cas d une foncton d utlté quadratque (U(W) = W aw 2 ; a > 0 ; domane de défnton de la rchesse restrent à la parte ascendante de la parabole représentatve de l utlté : W < 1/(2a)), la maxmsaton de l espérance de l utlté EW % - a EW % 2 condut, pour E %W k donné, à préférer, quel que sot k, la rchesse mnmsant E %W 2, donc celle qu mnmse $$ W% E W% 2 k2 : l agent à préférences quadratques applque donc le crtère E-V. Dans - le cas gaussen, toute la dstrbuton de la rchesse %W est caractérsée par les seuls deux paramètres E %W et $$ ; on peut alors écrre, pour toute foncton d utlté U : EÈU W% f E W%,$$ W% Î. %W

4986_.book Page 800 Vendred, 11. décembre 2009 3:46 15 800 MBA FINANCE L nvestsseur qu obét le crtère E-V maxmse donc une foncton f (E( %W ), σ 2 ( %W ). où f est une foncton crossante de E et décrossante de σ 2 : à varance σ 2 ( %W ) donnée, l prend la décson qu condut à l espérance maxmale de rchesse, et, à espérance E( %W ) donnée, l mnmse la varance σ 2 ( %W ). L avantage décsf de cette formalsaton E-V, outre sa smplcté, est qu elle permet de rasonner graphquement dans un espace à deux dmensons seulement, facltant ans le rasonnement et gudant l ntuton. Notons de plus que s le crtère E-V a l avantage de la smplcté et est théorquement fondé dans les deux cas préctés d une utlté quadratque ou d une dstrbuton gaussenne de la rchesse, l est dans les autres cas «ad hoc» et très crtquable à dfférents égards. Parm les nconvénents, remarquons que l apprécaton du rsque à l ade de la varance condut à consdérer équvalentes les dévatons postves par rapport à la moyenne et les dévatons négatves. Par exemple, les deux dstrbutons de probablté des deux rchesses %W a et %W b de la fgure 28.2, qu ont la même moyenne μ et la même dsperson autour de μ, sont équvalentes pour l nvestsseur qu sut le crtère E-V. Par constructon, ces deux dstrbutons sont asymétrques mas symétrques l une de l autre par rapport à un axe vertcal passant par μ, leur moyenne commune. Elles ont donc auss la même varance, mas l asymétre est négatve pour %W b (assez forte probablté de très pettes valeurs et très fable probablté de très grandes valeurs), et postve pour %W a. Or les agents économques ne sont pas en général ndfférents à cette asymétre. En général l averson au rsque est assocée à une préférence pour une asymétre postve, telle que %W a, à fable rsque d encourr de très fortes pertes. Le crtère E-V ne capture donc pas, en général, tous les aspects de l averson au rsque. Fgure 28.2 Densté de probabltés b m a W LA DIVERSIFICATION DES PORTEFEUILLES Pour un nvestsseur obéssant au crtère espérance-varance, l s agt pour résoudre le programme précédent de comprendre comment se comportent l espérance et la varance du portefeulle en foncton de caractérstques de rentablté et de rsque des ttres le consttuant. L espé-

4986_.book Page 801 Vendred, 11. décembre 2009 3:46 15 LA THÉORIE MODERNE DU PORTEFEUILLE : THÉORIE ET APPLICATIONS 801 rance de rentablté du portefeulle est, du fat que l espérance mathématque est un opérateur lnéare, la moyenne pondérée des espérances de rentablté de chacun des ttres qu le composent. La contrbuton de chaque ttre à la rentablté espérée du portefeulle est donc drectement proportonnelle à sa rentablté attendue 1. Quant au rsque, nous pouvons mesurer celu du portefeulle par la varance (ou l écart-type) de sa rentablté. Mas ce qu est vra pour un portefeulle ne l est pas pour un ttre ndvduel. En effet, le rsque ndut par un ttre ndvduel pour l nvestsseur détenant le portefeulle P dot se mesurer par la contrbuton de au rsque global de P (comme c est sa contrbuton à l espérance de ce derner qu dot être retenue). Il est faux de mesurer le rsque ndut par par la varance ou l écart-type de sa rentablté car c est en fat sa corrélaton avec la rentablté de P qu consttue le facteur essentel de ce rsque. Pour comprendre ntutvement cette asserton fondamentale de la théore du portefeulle, consdérons un ttre négatvement corrélé avec le portefeulle P : quand les performances de sont mauvases, celles de P ont une forte probablté d être bonnes et vce versa. Le ttre tend par conséquent à trer la rentablté globale du portefeulle vers sa moyenne et donc à rédure l ampltude de ses varatons. Il rédut ans le rsque global, ben qu l pusse avor une varance très élevée. Au contrare, s est fortement et postvement corrélé avec P, les fluctuatons de sa rentablté sont en général dans le même sens que celles des autres ttres et sa détenton augmente la varance globale (donc l écart-type du portefeulle), même s sa varance (ou écart-type) est fable. Ces consdératons ntutves condusent donc à appréhender le rsque ndut par un ttre par la covarance de sa rentablté avec celle du portefeulle (cov(r, R P ) σ, P ). Plus précsément, on mesure le rsque du ttre mmergé dans le portefeulle P par le rapport σ, P/P (en prenant comme mesure de rsque pour P son écart-type). 2 C est ce rato qu mesure la contrbuton margnale du rsque de l actf au rsque total du portefeulle. Ce résultat entraîne deux conséquences mportantes : ben qu un ttre rsqué at par défnton une varance postve, le rsque (margnal) d un tel actf est négatf (respectvement, postf) s sa covarance avec le portefeulle dans lequel l est englobé est négatve (respectvement, postve) ; n 1. En notant x les pods des ttres rsqués dans le portefeulle P tels que  x 1, l espérance de la rentablté de P est égale à : ERp  x ER. Dans le texte, nous noterons plus conventonnellement et succnctement E( R) m. 2. En effet, toujours avec x les pods des ttres rsqués dans le portefeulle P, la varance de la rentablté de P est égale à s 2 n n P  x xj sj où s j est la covarance entre les ttres et j et s2 la varance de. D où l on tre : j s2 n P s2 P sp sp sp 2 x j sj 2sP. Par alleurs, on a : 2sP. Il ressort de ces deux équatons que. x j x x x sp

4986_.book Page 802 Vendred, 11. décembre 2009 3:46 15 802 MBA FINANCE comme tous les portefeulles des nvestsseurs sont a pror dfférents, l n est pas possble (pour l nstant!) de répondre à la queston smple suvante : «Quel est le rsque que j encours s j achète le ttre?» En effet, la réponse dépend du portefeulle qu est ou sera consttué. PORTEFEUILLES EFFICIENTS, FRONTIÈRE EFFICIENTE ET THÉORÈME DE SÉPARATION Les prncpaux concepts qu émergent de la théore des chox d nvestssement optmaux dans le cadre du crtère E-V peuvent être faclement appréhendés à partr de graphques et d outls mathématques et statstques smples. Supposons que l nvestsseur pusse, sans coûts de transacton, acheter ou vendre à découvert 1 des ttres qu l va combner pour construre un portefeulle, qu l évalue le rsque de ce derner par la varance de sa rentablté et qu l applque le crtère E-V. Markowtz défnt comme effcents (ou effcaces) les portefeulles caractérsés par une espérance de rentablté (notée μ c-après) maxmum à varance de rentablté donnée (ou par une varance mnmum à espérance de rentablté donnée, sachant que cette dernère dot être supéreure à celle du portefeulle ayant la plus pette varance ; cf. nfra). La frontère effcente (ou effcace) est l ensemble de tous les portefeulles effcents. Pour la trouver, on résout le programme quadratque suvant, dans lequel les portefeulles P combnent un nombre n quelconque de ttres rsqués : n n Mn s 2 P ÂÂxxjsj, sous les contrantes : Âx m m P et Âx 1 (1) j Il s agt de trouver le vecteur des pods x qu mnmse la varance du portefeulle, à espérance μ P de ce derner donnée (premère contrante, exprmant que la rentablté espérée du portefeulle est la somme pondérée des espérances de rentablté des ttres ndvduels), et respectant le fat que la somme des pods des ttres est égale à un (seconde contrante). On trouve ans pour un μ P donné le portefeulle (les pods x ) de varance mnmum 2, et, en fasant varer μ P, on obtent toute la frontère effcente. Pour des rasons à la fos graphques et fnancères qu apparaîtront clarement plus lon, l est préférable en fat de rasonner dans le plan espérance-écart-type plutôt que le plan espérancevarance, le problème mathématque étant le même pusque mnmser la varance s2 P revent à mnmser l écart-type. s P n n 1. Il faut que le vendeur à découvert pusse emprunter le ttre à un ters (moyennant une commsson, ben sûr) pour le vendre sur le marché sans en être proprétare. Quand l le rachètera sur le marché pour clore sa poston, l pourra le rendre à son prêteur. De même qu un achat suv d une vente est une stratége parant sur la hausse de la valeur du ttre, une vente à découvert suve d un rachat est une stratége gagnante en cas de basse du ttre. Algébrquement, une vente à découvert d un ttre se tradut smplement par un pods x négatf dans le portefeulle de l opérateur. 2. Technquement, on dérve le Lagrangen du programme (1) écrt sous forme matrcelle par rapport au vecteur des pods.

4986_.book Page 803 Vendred, 11. décembre 2009 3:46 15 LA THÉORIE MODERNE DU PORTEFEUILLE : THÉORIE ET APPLICATIONS 803 En fat, la frontère effcente prend deux formes dfférentes, selon l absence ou la présence d un actf sans rsque, c est-à-dre dont la rémunératon est certane pour la pérode d nvestssement envsagée, typquement un bon du Trésor. Il faut donc consdérer deux stuatons. En absence d actf sans rsque, l ensemble des ponts représentatfs de tous les portefeulles possbles dans l espace (σ, μ) est consttué par la surface grsée S représentée sur la fgure 28.3 et délmtée par une hyperbole. Cependant, seuls sont effcents les portefeulles stués sur la branche supéreure (en rouge) de l hyperbole (on comparera les portefeulles A et B de même rsque σ A ). Cette courbe est la frontère effcente de Markowtz 1. m Fgure 28.3 Frontère effcente de Markowtz Frontère effcente : N actfs rsqués B S s A s Par une dversfcaton approprée (détenr vngt ttres appartenant au même secteur d actvté économque est un contre-exemple flagrant, en détenr vngt de secteurs dfférents semble judceux), l nvestsseur peut rédure sensblement son rsque sans sacrfce de rentablté espérée. On retrouve le bon sens de l adage populare : «Il ne faut pas mettre tous ses œufs dans le même paner.» Toutefos, et selon l autre adage suvant lequel «qu ne rsque ren n a ren», l faut accepter de prendre plus de rsque (ben dversfé) pour augmenter la rentablté attendue du portefeulle, la relaton n étant pas lnéare. Le fat qu une augmentaton d espérance de rentablté nécesste une prse de rsque supplémentare consttue l un des concepts les plus mportants de la fnance. 1. En supposant d une part que les ttres sont nfnment dvsbles et d autre part que les ventes à découvert sont autorsées, de sorte que les pods x appartennent à l ensemble des réels, tous les ponts de la frontère hyperbolque sont (en théore) attegnables.

4986_.book Page 804 Vendred, 11. décembre 2009 3:46 15 804 MBA FINANCE En foncton de sa rchesse ntale et de son averson au rsque, l nvestsseur chosra le portefeulle stué sur l hyperbole de Markowtz (tel que A sur la fgure 28.3) qu condut au melleur comproms, de son pont de vue, entre l espérance et la varance de la rentablté de son portefeulle 1. Comme c est le plus souvent le cas en pratque, l est possble, en plus d nvestr dans des ttres rsqués, de prêter et d emprunter au taux d ntérêt sans rsque, noté r. Un portefeulle nvest ntégralement dans cet actf sans rsque est représenté sur la fgure 28.4 par le pont d abscsse nulle et d ordonnée r. Fgure 28.4 Frontère effcente avec un actf sans rsque m Frontère effcente : N actfs rsqués et un actf sans rsque j T P k r T S s Les conséquences de la présence d un actf sans rsque (avec r 0) sont très mportantes, tant sur le plan théorque qu en pratque. 2 D une part, la frontère effcente devent la dem-drote (en rouge sur la fgure 28.4) tangente à l hyperbole de Markowtz passant par le pont r. T est le portefeulle effcent tangent et ne comprend que des actfs rsqués. L équaton de cette drote est la suvante : m P Ê ˆ mt - r r Á s Á Ë s Là encore, l nvestsseur chosra le portefeulle unque stué sur cette dem-drote qu maxmse son espérance d utlté. Tout portefeulle effcent peut être obtenu par combnason de deux portefeulles : l actf sans rsque (consdéré comme un portefeulle dégénéré, sans rsque) et le portefeulle tangent T. S les 1. Mathématquement, la soluton est le pont de tangence (unque) entre l hyperbole et la courbe, à concavté tournée vers le haut dans l espace (σ, μ), représentatve de la foncton f(μ, σ) exprmant les préférences de l nvestsseur. 2. Pour une démonstraton rgoureuse des propostons qu suvent, consulter Portat et Poncet (2009). T P (2)

4986_.book Page 805 Vendred, 11. décembre 2009 3:46 15 LA THÉORIE MODERNE DU PORTEFEUILLE : THÉORIE ET APPLICATIONS 805 pods respectfs de r et de T sont postfs, le portefeulle effcent P résultant sera stué sur le segment de drote [r, T]. S le pods affecté à l actf sans rsque peut être négatf (caractérsant un emprunt), la frontère effcente est toute la dem-drote ssue du pont r. Pour les portefeulles ben dversfés, c est-à-dre effcents, la relaton entre rentablté espérée et rsque est donc lnéare, résultat justfant par sa smplcté l adopton de l écart-type plutôt que de la varance comme mesure de rsque. De plus, cette frontère effcente domne en tous ponts (sauf un, évdemment, le pont de tangence T) la frontère effcente de Markowtz pusqu elle est stuée au nord-ouest de l hyperbole dans le plan (σ, μ). Le comproms rsque-rentablté est non seulement lnéare, l est plus favorable à l nvestsseur que ce que l analyse ntale de Markowtz mplquat. Le résultat fondamental (dû à James Tobn (1958)) selon lequel tous les portefeulles effcents sont des combnasons de l actf sans rsque et du portefeulle tangent est appelé «théorème de séparaton en deux fonds» : ben que le marché propose N +1 ttres dfférents (N rsqués et un sans rsque), tous les portefeulles effcents se construsent à partr des mêmes deux fonds (r et T). Les nvestsseurs partageant le même horzon d nvestssement et les mêmes croyances quant aux espérances, varances et covarances de rentablté (ls ont la même frontère effcente) détennent alors tous une combnason du même portefeulle d actfs rsqués T et de l actf sans rsque. Seuls les pods respectfs qu ls allouent à T et à r dans cette combnason dépendent de leur averson au rsque et de leur rchesse. Un ndvdu peu audaceux allouera un pods fable au portefeulle d actfs rsqués T et un pods élevé à l actf sans rsque (l chosra un portefeulle tel que sur la fgure 28.4) alors qu un nvestsseur plus témérare, pour obtenr une plus grande espérance de rentablté, affectera un pods élevé à T et un pods fable à r. Il chosra même éventuellement de s endetter (pods négatf sur l actf sans rsque) pour nvestr dans T plus que sa rchesse ntale et construra un portefeulle tel que j sur la fgure 28.4. Ce théorème de séparaton en deux fonds dû à (Markowtz et) Tobn est très mportant en pratque car l est à l orgne, et justfe, l exstence des fonds mutuels (SICAV et FCP) : deux fonds quelconques mas ben gérés (dont l un est nvest ntégralement dans des actfs sans rsque et l autre dans des actfs rsqués très ben dversfés) suffsent à satsfare les exgences de tous les nvestsseurs ayant le même horzon d nvestssement ; ces derners se contentent de les combner selon des pods qu dépendent de leurs rchesses et aversons au rsque. L économe réalsée en pratque par les nvestsseurs sur leurs coûts de transacton (fras d achat et de ventes de ttres) et d nformaton peut ans être consdérable (l sufft d acheter des parts de deux fonds mutuels ben choss). Cette économe permet de ratonalser le rôle de l ndustre de la geston déléguée de portefeulle 1. 1. Fsher Black démontra en 1972 que le théorème de séparaton en deux fonds reste valde en l absence d actf sans rsque. Les deux fonds mutuels sont consttués de portefeulles effcents (stués sur la frontère hyperbolque) dfférents. De ce fat, qu l y at ou non un actf sans rsque, deux portefeulles effcents quelconques suffsent pour construre n mporte quel portefeulle effcent.

4986_.book Page 806 Vendred, 11. décembre 2009 3:46 15 806 MBA FINANCE La théore du portefeulle a révolutonné la façon de concevor la geston de patrmone, qu l s agsse d un nvestsseur ndvduel ou d une geston collectve (ou déléguée), et ses apports sont devenus absolument ncontournables. Sur le plan pratque, cependant, sa mse en œuvre pose encore de formdables problèmes qu l convent de ne pas sous-estmer. D abord, l nvestsseur dot savor résoudre le programme quadratque contrant de Markowtz, ce qu, même aujourd hu n est pas le cas de beaucoup d ndvdus. Ensute et surtout, pour résoudre le programme (1) de mnmsaton quadratque de la varance du portefeulle, sujet aux deux contrantes d une espérance de rentablté donnée et d une somme des pods des ttres égale à un, l faut au préalable remplr deux condtons. La premère est de chosr l ensemble des n ttres sur lesquels on veut nvestr, et la seconde de se donner comme nputs le vecteur des espérances de rentablté de ces ttres et la matrce de leurs varancescovarances. Cette dernère exgence mplque un nombre parfos consdérable de paramètres nconnus à estmer (l éventuel taux sans rsque r, lu, est connu) : n espérances, n varances et n(n 1)/2 covarances. Ces problèmes sont examnés dans la hutème secton. LE MODÈLE D ÉQUILIBRE DES ACTIFS FINANCIERS (MEDAF OU CAPM) Les travaux de Markowtz (et de Tobn) se sont arrêtés à l étude du comportement optmal d un nvestsseur ndvduel. Or ce derner ntervent en fat sur un marché concurrentel mplquant de nombreux autres nvestsseurs essayant eux auss de maxmser leur espérance d utlté et dans lequel s établssent (en général) des prx d équlbre, c est-à-dre tels que la demande et l offre soent égales, pour un ttre donné, et cec smultanément pour tous les ttres exstants. La prse en compte de la multplcté des nvestsseurs a about sous certanes hypothèses à un modèle qu exprme les rentabltés espérées d équlbre. Ce modèle est le modèle d équlbre (ou d évaluaton) des actfs fnancers (MEDAF), traducton de Captal Asset Prcng Model (CAPM en bref). Il a été développé dans les années 1960, sur la base des travaux de Markowtz et Tobn, par les Amércans Wllam Sharpe (1964), J. Treynor (1965) et John Lntner (1965), et le Norvégen Jan Mossn (1966). Son message central est que, pour tout actf fnancer prs solément, la relaton entre rsque et rentablté espérée est crossante lnéarement, comme, on l a vu, pour un portefeulle ben dversfé en présence d un actf sans rsque. Toutefos la mesure de rsque est, on le verra, dfférente pour un ttre solé et pour un portefeulle dversfé. Le MEDAF a connu depus de nombreuses applcatons, a été soums à d nnombrables tests emprques sur l ensemble des marchés fnancers, et reste à ce jour le paradgme domnant malgré des attaques contnuelles, de nature tant théorque qu emprque, dont nous ferons partellement état. Pour détermner la relaton entre rentablté espérée et rsque d un ttre fnancer à l équlbre (partel 1 ) du marché résultant de l agrégaton des comportements ndvduels, l est supposé que tous les nvestsseurs se comportent conformément au crtère espérance-varance et qu l exste un actf sans rsque. Par conséquent, pour chacun d entre eux, la frontère effcente est la dem-

4986_.book Page 807 Vendred, 11. décembre 2009 3:46 15 LA THÉORIE MODERNE DU PORTEFEUILLE : THÉORIE ET APPLICATIONS 807 drote de Markowtz-Tobn. Cette hypothèse ne sufft cependant pas à caractérser l équlbre du marché, car le portefeulle tangent T (de la fgure 28.4) dépend de l hyperbole qu est effectvement construte, et celle-c dépend des nputs ntroduts dans le programme par l nvestsseur. Il est alors commode d adopter l hypothèse selon laquelle les ndvdus ont (un même horzon d nvestssement et) des antcpatons homogènes, c est-à-dre utlsent tous, pour former leurs portefeulles optmaux, le même vecteur des rentabltés espérées et la même matrce de varancecovarance 1. Un résultat ntermédare mportant découle de l hypothèse d antcpatons homogènes. En présence d un actf sans rsque, l exste à l équlbre du marché une relaton lnéare entre la rentablté espérée et le rsque (mesuré par l écart-type) d un portefeulle effcent : m P Ê ˆ mm - r r Á s Á Ë s où P est un portefeulle effcent quelconque et M représente le portefeulle de marché (market portfolo) comprenant tous les actfs rsqués (on peut donc, smplement, dre le marché). Ce résultat découle drectement de l équaton (2) de la dem-drote, llustrée sur la fgure 28.4, dans laquelle on a remplacé T par M. En effet, pusque les antcpatons sont homogènes et l horzon d nvestssement est commun, tous les nvestsseurs ont le même portefeulle tangent T d actfs rsqués. Or, à l équlbre du marché, tous les actfs offerts dovent être détenus, par défnton de l équlbre. Par conséquent, T comprend tous les actfs dsponbles et se confond dès lors avec M. L équaton (3) représentant la frontère effcace pour des portefeulles optmaux est représentée graphquement par une drote appelée CML (captal market lne) ou drote de marché des captaux. Elle est llustrée sur la fgure 28.5. La pente de la drote (3) est appelée prx de marché du rsque (market prce of rsk) pour un portefeulle. Ce prx est lu-même égal à la prme de rsque du marché (market rsk premum) offerte en moyenne au marché (μ M r) dvsée par le montant du rsque supporté (σ M ). Il est mportant de noter que la prme espérée ex ante (μ M r) dot être postve pour ncter les nvestsseurs (qu n ament pas le rsque) à fnancer des entreprses ou des projets rsqués. Cependant, du fat du caractère aléatore de la rentablté R M du marché dans son ensemble, la dfférence (R M r) se M P (3) 1. L équlbre est partel et non pas général parce que l offre de ttres (par les frmes) est passée sous slence et que le MEDAF résulte de condtons d optmsaton concernant la seule demande. 1. Cette hypothèse, contrare à l ntuton et même au bon sens, fut formulée pour obtenr des résultats à partr de rasonnements et de mathématques smples. Depus, on sat reformuler le problème de façon telle que les antcpatons peuvent être hétérogènes, mas évdemment au prx d une autre hypothèse, certes un peu mons forte. Selon cette dernère, le portefeulle de marché M est effcent au sens espérance-varance. Consulter Portat et Poncet (2009), chaptre 22, sur cette queston délcate.

4986_.book Page 808 Vendred, 11. décembre 2009 3:46 15 808 MBA FINANCE Fgure 28.5 Drote de marché des captaux (CML) m P FE' (CML) FE m M M r sm sp révèle souvent négatve ex post, et parfos gravement comme à l ssue des krachs boursers de 1929, 1987, 1989 ou 2001, sans évdemment que cela ne remette en queston la valdté de la théore. Par alleurs, la composton du portefeulle de marché M est telle que le pods m de chaque ttre est égal au rapport de sa captalsaton boursère V sur la somme de toutes les captalsatons boursères, c est-à-dre la valeur totale du marché : m V V V n  V n m, de sorte que l on retrouve  1. Les portefeulles des nvestsseurs dffèrent en foncton de la rchesse et de l averson au rsque de ces derners, mas ls ne dffèrent que par les pods respectfs alloués à M et à l actf sans rsque. Ils sont donc parfatement (postvement) corrélés, pusque l actf sans rsque ne joue aucun rôle dans le calcul de la corrélaton. L équaton (3), ben que très mportante, n est cependant valde que pour des portefeulles effcents et non pour un ttre prs ndvduel. Le MEDAF établt la relaton qu dot prévalor à l équlbre entre le rsque et la rentablté espérée d un ttre envsagé solément. Sa justfcaton ntutve est fondée sur une observaton, déjà formulée précédemment, selon laquelle la mesure correcte du rsque d un ttre englobé dans un portefeulle P est σ P/P. Comme, à l équlbre, tout portefeulle rsqué est le portefeulle de marché M, on obtent drectement le MEDAF en remplaçant dans l équaton (3) le rsque σ P du portefeulle effcent P par le rsque σ M/M de l actf solé : m Ê ˆ mm - r r Á sm r b mm - r Á Ë s2 M (4)

4986_.book Page 809 Vendred, 11. décembre 2009 3:46 15 LA THÉORIE MODERNE DU PORTEFEUILLE : THÉORIE ET APPLICATIONS 809 ou encore : ( m - r) b m - r de tout actf sont par consé- La rentablté espérée (μ ) et le rsque margnal quent lés par une relaton lnéare. M b sm s2 M (4 ) La pente de la drote de régresson de la rentablté de l actf ndvduel R sur la rentablté du marché R M est égale à s et est habtuellement appelée β en économétre. C est la rason M / 2 M pour laquelle on utlse habtuellement la notaton «bêta» dans l équaton du MEDAF. D après (4 ), le bêta s nterprète comme la sensblté de la prme de rsque du ttre aux fluctuatons de la prme de rsque du marché global. Sachant que le bêta du marché est (évdemment) égal à 1, un bêta d un ttre supéreur (respectvement, nféreur) à 1 ndque un ttre plus (mons) rsqué que le marché. Un ttre plus rsqué, dans cette accepton, qu un autre ttre dot avor une rentablté espérée plus élevée. Dre que le MEDAF est un modèle de prx d équlbre, c est dre que les cours actuels des ttres dovent être tels que, en moyenne, le marché rapporte μ M et chaque ttre rapporte μ donné par (4). La prme de rsque ex ante offerte par le marché, (μ M r), dépend par alleurs, conformément à l ntuton, de l averson au rsque moyenne des nvestsseurs 1. Cec explque pourquo, même s le taux d ntérêt sans rsque et les flux futurs de trésorere attendus des frmes restent nchangés, les cours boursers des ttres varent s l averson moyenne au rsque se modfe, les nvestsseurs devenant plus, ou mons, frleux ou audaceux. Le graphe dans le plan È Îb, m de la relaton (4), llustrée sur la fgure 28.6, est appelé drote de marché des actfs rsqués (securty market lne), ou plus sobrement drote de marché. Celle-c passe par les 2 ponts de coordonnées (0, r) et (1, μm). À l équlbre, les ponts représentatfs de tous les ttres dovent (théorquement) être stués sur cette drote, la prme de rsque (μ r) offerte à chaque ttre étant proportonnelle à son rsque mesuré par le bêta. Ce résultat explque pourquo un actf rsqué ayant une varance très élevée peut offrr une prme de rsque ex ante plus fable qu un autre ttre de varance plus rédute, s sa covarance avec le marché (son bêta, donc) est plus pette. De la même façon, un actf rsqué (tel que le ttre n sur la fgure 28.6) peut parfatement offrr une rentablté espérée nféreure à r, et même négatve, s son bêta est négatf. En effet, dans ce cas, le ttre est un «super-dversfcateur» de rsque pusque sa rentablté co-vare négatvement avec celle du marché. C est le cas par exemple de l or ou des actons de mnes d or, dont on sat que sur très longue pérode le taux de rentablté est très fable. Il est ans à noter que la drote de marché des actfs rsqués est complète (contrarement à la drote de marché des captaux qu n est qu une dem-drote tronquée à gauche) pusqu l n y a pas de lmte théorque à la valeur, postve ou négatve, du bêta. 1. Cette averson «moyenne» du marché est mathématquement la moyenne harmonque des coeffcents d averson relatve à l égard du rsque des ndvdus pondérés par leurs rchesses respectves.

4986_.book Page 810 Vendred, 11. décembre 2009 3:46 15 810 MBA FINANCE Fgure 28.6 Le MEDAF m Drote de marché des actfs rsqués (SML) m M M r n 0 1 β En plus d être un modèle d équlbre (partel) répondant à la double queston «à quo sont égales les rentabltés espérées? comment sont établs les cours d équlbre?», le MEDAF permet de résoudre une dffculté majeure : la mesure du rsque d un ttre ndvduel. En effet, on se souvent que le rsque d un ttre ndvduel est apprécé par σ P, sa covarance avec le portefeulle P dans lequel l est nséré, rendant ans «subjectve» la mesure de rsque en ce sens qu elle dépend du portefeulle de l nvestsseur. Or le MEDAF fat précsément dsparaître cette dffculté : le rsque du ttre est mesuré, sans ambguïté, par sa sensblté β aux fluctuatons du (portefeulle de) marché, c est-à-dre sa covarance avec ce derner, et cette mesure est la même quel que sot l nvestsseur. Le rsque d un ttre devent donc «objectf» en ce sens. On comprend meux alors l mportance conceptuelle et pratque du paradgme que consttue le modèle. LES MODÈLES À FACTEURS Les modèles à facteurs, contrarement au MEDAF, ne sont pas des modèles d équlbre mas des constructons statstques a pror. Ces modèles permettent notamment de smplfer grandement l estmaton des covarances des rentabltés des dfférents ttres, comme on l explque dans la hutème secton. Nous commençons par présenter succnctement le modèle à un facteur de Sharpe avant d aborder les modèles mult-facteurs.

4986_.book Page 811 Vendred, 11. décembre 2009 3:46 15 LA THÉORIE MODERNE DU PORTEFEUILLE : THÉORIE ET APPLICATIONS 811 Le modèle à un facteur ou modèle de marché (Sharpe) Le modèle de marché que nous présentons dans ce qu sut, peut servr de base à une melleure compréhenson du phénomène de dversfcaton et à une justfcaton ntutve de la relaton du MEDAF. Insstons sur le fat que le modèle de marché est fondé sur une décomposton statstque ad hoc et n est pas nécessare à la valdté du MEDAF, qu a un caractère plus théorque, mas l permet une explcaton ntutve de la théore du portefeulle qu lmte au maxmum le recours à la statstque mathématque. Le modèle de marché repose sur l hypothèse selon laquelle l aléa sur chaque ttre est dû : pour parte à la conjoncture du marché global représentée par la rentablté R M du marché ; pour parte à un facteur, spécfque au ttre consdéré, ndépendant du précédent. On écrra alors la rentablté R d un ttre quelconque comme la somme de tros composantes : R = μ + β (R M μ M ) + ε = 1, n La premère composante, μ, est une grandeur non aléatore représentant l espérance de R ; La deuxème composante, β (R M μ M ), exprme la réacton de la rentablté R aux fluctuatons du marché : quand R M est supéreur (nféreur) à sa moyenne μ M, R est majoré (mnoré) d une fracton β de la dfférence R M μ M qu reflète donc l ntensté de la «covaraton» de R et de R M ; l s agt de la pente de la drote de régresson de R sur R M et que l on peut écrre : β = σ M/M 2. 1 Nous reconnassons le bêta qu joue le rôle central dans le MEDAF. L aléa représenté par β R M s appelle rsque systématque ou encore rsque non dversfable, pour des rasons explquées plus lon. La trosème composante ε représente le rsque spécfque au ttre ; elle est présumée ndépendante de l ndce de marché R M et son espérance mathématque est nulle ; les dfférents ε sont en outre supposés ndépendants entre eux ; ls sont appelés rsques dversfables pour des rasons qu seront éclarces dans la sute. De manère analogue la rentablté du portefeulle P s écrt auss comme la somme de tros composantes : En effet, s x représente le pods du ttre dans le portefeulle P, l on a : R n  x R P 1 et l vent : R p = (x 1 μ 1 + x 2 μ 2 + + x n μ n ) + (x 1 β 1 + + x n β n )(R M μ M ) + (x 1 ε 1 + x 2 ε 2 + + x n ε n ) R p = E(R p ) + β P (R M μ M ) + ε P espérance aléa non dversfable aléa dversfable. 1. En effet, σ M = cov(μ + β (R M μ M) + ε, R M ) = β σ 2 M, d où β = σ M / M 2.

4986_.book Page 812 Vendred, 11. décembre 2009 3:46 15 812 MBA FINANCE La premère composante (x 1 μ 1 + x 2 μ 2 + + x n μ n ) représente la moyenne pondérée des espérances mathématques des rentabltés des dfférents ttres : c est l espérance de rentablté du portefeulle P, c est-à-dre μ P. La deuxème composante (x 1 β 1 + + x n β n )(R M μ M ) correspond à la réacton du rendement du portefeulle P aux fluctuatons du marché ; on posera β P = x 1 β 1 + + x n β n que l on appellera, par analoge avec la termnologe adoptée pour les ttres ndvduels, le bêta du portefeulle P. Le bêta d un portefeulle est donc égal à la moyenne pondérée des bêtas des ttres qu le composent. La trosème composante (x 1 ε 1 + x 2 ε 2 + + x n ε n = ε P ) est la somme pondérée des rsques ndépendants, spécfques aux ttres ndvduels. La lo des grands nombres permet d annuler pratquement ce derner rsque pourvu que le portefeulle P sot ben dversfé (c est-à-dre que n sot suffsamment grand et chaque x suffsamment pett). En effet, quand certans ε sont postfs, d autres sont négatfs et leur somme pondérée toujours pratquement nulle. C est pourquo la composante ε de chaque rentablté R est appelée rsque dversfable car l est pratquement élmné dans un portefeulle ben dversfé. En revanche, la deuxème composante, β P (R M μ M ), ne peut pas être élmnée par la dversfcaton et consttue le seul vra aléa entachant la rentablté d un portefeulle ben dversfé. Pour un portefeulle ben dversfé quelconque P, l on peut donc écrre : RP ª mp bprm mm Réécrvons la rentablté d un portefeulle (non nécessarement dversfé) sous la forme plus générale : Rp E( Rp) b R m e P M M P Dès lors, en vertu de l ndépendance présumée de R M et de ε P et de l addtvté des varances qu en résulte, le rsque total affectant R P, σ 2 (R P ), peut être décomposé en deux : s 2 Rp b 2 Ps 2 RM s 2 ep 2 2 La premère composante bps R M consttue donc le rsque systématque, rréductble à la dversfcaton, alors que la deuxème composante (σ 2 (ε P )) représente le rsque dversfable ou spécfque qu peut être, à la lmte, annulé par dversfcaton. À la lumère du modèle de marché, la relaton du MEDAF paraît donc très naturelle : pusqu un ttre a vocaton à être mmergé dans un portefeulle ben dversfé, donc son rsque dversfable à être annulé, seul son rsque systématque dot être rémunéré. De ce fat son espérance de rentablté ne dépend que de son bêta. (5) Modèles mult-facteurs Les modèles mult-facteurs généralsent le modèle de marché et s écrvent : m R m F º n  b e pour 1,, k1 k k

4986_.book Page 813 Vendred, 11. décembre 2009 3:46 15 LA THÉORIE MODERNE DU PORTEFEUILLE : THÉORIE ET APPLICATIONS 813 Exemple Consdérons n ttres et supposons que le modèle de marché prévaut. Supposons également que, pour tous ces ttres, l écart-type des rentabltés sot égal à 30 % et le bêta sot égal à 0,9. On suppose en outre que σ(r M ) = 20 %. Le modèle de marché mplque : R r 09, RM mm e, donc s2 2 s2 s2 2 R 09, M e 03,,, Le rsque total se décompose donc comme sut : rsque total : s 2 R 009 ; rsque systématque s2 2 M 09, rsque spécfque 0, 0576. Consdérons mantenant un portefeulle équ-pondéré, formé des n ttres précédemment décrts. Le bêta de ce portefeulle est égal à la moyenne de celu de ses composantes, sot P = 0,9, et sa rentablté s écrt : Rp r 09, RM - mm P Comme ε P et R M sont ndépendants, l on a : s 2 P var 09, RM s 2 ep. 1 n 1 n Le rsque spécfque lé à ep Âe peut se mesurer par s2 e s2 P Â ( e ) = 0,0576/n. n 1 n2 1 Le rsque systématque peut se mesurer par var(0,8 R m ) = [0,9 0,2] 2 = 0,0324. Il apparaît donc que le rsque spécfque est : prépondérant pour un ttre (n = 1) ; non néglgeable pour un portefeulle peu dversfé (pour n = 4, en termes de varance, l représente près du quart du rsque systématque dans notre exemple) ; néglgeable en regard du rsque systématque pour un portefeulle ben dversfé (pour n = 20, l est dx fos plus fable que le rsque systématque, dans notre exemple). k où les b représentent les sensbltés de la rentablté du ttre aux m facteurs communs F k, ε est un brut blanc, et où les facteurs communs F k sont centrés et décorrélés entre eux 1. La varance de R pourra alors être décomposée comme sut : s2( R ) ( b ) 2s2( ) s2 Â F ( e ) pour 1, º, n k1 m rsques systématques rsque dversfable. m k k 1. En général, on peut s attendre à ce que les facteurs communs soent plus ou mons corrélés entre eux. Cec ne pose cependant pas de problème car l est toujours possble de convertr un ensemble de facteurs corrélés en un autre ensemble de facteurs non corrélés par la décomposton de Cholesk. Vor par exemple Portat et Poncet (2009), chap. 26.

4986_.book Page 814 Vendred, 11. décembre 2009 3:46 15 814 MBA FINANCE Les facteurs peuvent être choss de manère exogène (l s agra en général de varables économques consdérées, a pror, comme pertnentes) ou de manère endogène par une analyse de données (analyse factorelle). Que l on utlse la méthode endogène ou l approche exogène, l s agt d explquer du meux possble la structure de corrélaton des rentabltés des dfférents ttres et de séparer les rsques systématques, qu sont en moyenne rémunérés, des rsques dversfables qu ne le sont pas. La méthode «exogène» est en pratque plus répandue. Typquement, on retrouve dans les facteurs communs des éléments macro-économques relatfs aux poltques monétares et fscales, à la crossance économque et au nveau des taux d ntérêt et de change, des éléments méso-économques de type secteurs ndustrels, et parfos des éléments mcro-économques trés des blans des entreprses comme le rato d endettement, le taux de dstrbuton des dvdendes ou le degré de lqudté. En outre, les modèles mult-facteurs présentent les autres avantages potentels suvants : ls sont sous-tendus par une logque économque et fnancère, ce qu les rend crédbles et faclement compréhensbles ; leur mse en œuvre est relatvement asée ; ls sont flexbles et s adaptent assez ben aux préférences, jugements et ntutons des utlsateurs ; ls prennent en compte les changements ntervenus dans les caractérstques des ttres dans la mesure où des facteurs de type mcro-économque sont nclus dans la lste des facteurs, comme le rato d endettement ou le rato de lqudté générale de la frme ; le rsque est décomposé en pluseurs sources, ce qu permet une analyse plus fne. Un modèle mérte une menton partculère, celu de Fama et French (1995). Tros facteurs semblent en effet explquer de façon satsfasante les rentabltés constatées des actons (amércanes au mons) : le portefeulle de marché, le book-to-market rato et la talle (relatve, mesurée par la captalsaton boursère relatve). Le rato book-to-market (valeur comptable des fonds propres sur captalsaton boursère) dstngue les valeurs dtes de rendement (value stocks) des valeurs dtes de crossance (growth stocks). Les premères ont un rato élevé, les secondes un rato fable, du fat que le marché valorse les nvestssements futurs prévsbles de la frme. Quand ces derners ont une valeur nette présente espérée élevée, la captalsaton boursère est forte, et le rato book-to-market fable. Selon Fama et French, l effet talle tradurat des problèmes lés à la lqudté et à la qualté de l nformaton ; et le facteur book-to-market serat lé au rsque de défallance de certanes entreprses dû à leur vulnérablté partculère aux conjonctures économques défavorables et par conséquent refléterat la prme de rsque requse par les nvestsseurs pour les fnancer. D autres nterprétatons ont cependant été proposées. Quo qu l en sot, le modèle à tros facteurs de Fama et French est devenu populare au pont de supplanter le MEDAF dans nombre d applcatons pratques.

4986_.book Page 815 Vendred, 11. décembre 2009 3:46 15 LA THÉORIE MODERNE DU PORTEFEUILLE : THÉORIE ET APPLICATIONS 815 UN MODÈLE ALTERNATIF AU MEDAF : L APT Le MEDAF est un modèle ntutf et commode mas souffre du caractère très restrctf de certanes des hypothèses (fonctons d utlté quadratques ou taux de rentablté gaussens) qu le soustendent. S. Ross a tenté de s en affranchr et a élaboré en 1976 un modèle alternatf appelé modèle d évaluaton par arbtrage ou arbtrage prcng theory (APT) 1. Ce derner est fondé, d une part, sur la noton qu un portefeulle d arbtrage (sans rsque et de valeur ntale nulle) ne saurat rapporter de l argent à coup sûr et, d autre part, sur l ntuton selon laquelle un nombre lmté de facteurs de rsque systématques communs affecte le taux de rentablté espéré de tous les actfs fnancers. Le double objectf du modèle est d dentfer ces facteurs et d obtenr l équaton relant l espérance de rentablté d un ttre à ses sensbltés aux dfférentes sources communes de rsque. Le modèle, mono-pérodque comme le CAPM, est fondé sur un modèle multfactorel consttuant une hypothèse purement statstque (sans fondements théorques) : R r  b F e " 1, º, n où μ est l espérance de R, b k désgne c la sensblté de la rentablté du ttre au facteur commun rsqué k (= 1,, m), F k est la varaton non antcpée du facteur k, d espérance nulle, par conséquent, les F k sont non corrélés entre eux, et ε est le rsque spécfque du ttre, d espérance nulle et de covarance nulle avec chacun des facteurs k. Outre les hypothèses générales concernant la perfecton du marché fnancer, le comportement des nvestsseurs, la possblté d acheter ou de vendre à découvert tous les ttres dont l offre est fxe et qu sont par alleurs nfnment dvsbles, on suppose de plus que le nombre de ttres offerts n est très grand et que le nombre de facteurs communs m est pett devant n. Ces facteurs sont a pror arbtrares (cf. nfra). L dée fondamentale sous-tendant le modèle est que, en l absence d opportuntés d arbtrage (AOA), la relaton entre l espérance du taux de rentablté et les rsques systématques, mesurés par les sensbltés b k, dot être lnéare. Pour donner l ntuton de ce résultat, supposons pour le moment qu l n y at qu une seule source de rsque commune, c est-à-dre un seul facteur (le n 1). Supposons également qu une relaton non lnéare sot observée entre l espérance de rentablté des portefeulles et leur sensblté à ce facteur, conformément à la fgure 28.7 où sont représentés les quatre portefeulles très ben dversfés A, B, C et D. Une combnason lnéare approprée des portefeulles A (acheté) et B (vendu à découvert) permet d obtenr le portefeulle E. Ce derner est nsensble au facteur (unque) de rsque, est donc (approxmatvement) sans rsque, et rapporte le taux r E. Le pont E est stué sur le prolongement (à gauche) du segment AB pusque E est un portefeulle obtenu par combnason lnéare de A et B, la somme des pods fasant un. 1. C est l acronyme anglas qu prévaut, même dans les pays francophones. m k k k (1)