Universié Lyon PCSI L Année 3/4 Mahémaiques 4 Prinemps 4 I = FICHE TD Corrigé de l exercice Disribuions e d. La foncion e es coninue sur (l inervalle fermé en [, [, donc il fau éudier l inégrabilié vers +. En plus, I a la même naure que l inégrale sur [, [ : Ĩ = e d. On préfère l inervalle où car là on peu comparer la foncion e connai d êre inégrable sur [, [ (voir la remarque en-dessous : Alors on a : = = e e. e e sur ], [ e d converge crière de ======= comparaison Ĩ = Comme I e Ĩ on la même naure, on en dédui que I converge. e d converge. à la foncion e qu on Remarque. Le fai (à reenir que la foncion e a (pour ou a > es inégrable sur [, [ se démonre en uilisan la définiion : pour ou x >, on a x e a d === a [ ] e a x a = [ e ax ]. a Comme lim e ax = (ici on uilise le fai que a >, alors x ( e a d converge e elle es égale à. a I = 3 e d. La foncion f( = 3 e es coninue sur [, [, donc il fau éudier l inégrabilié vers +. On voi que la foncion f( end vers quand : lim f( = lim 3 e 3 = lim e = En fai, par le même argumen, on a e b lim 3 e / =. En combinan ça avec le fai que 3 e / = 3 e e / = f( e /, par le héorème de croissances comparées. pour ou a R e b >. Donc on a aussi :
on obien que la foncion f( es négligeable par rappor à e / vers + : lim f( = lim e / 3 e / = = f( = o(e /. En plus on sai que la foncion e / es inégrable sur [, [ (voir la remarque en-dessus. Alors on a : f( = o(e / e / d converge crière de ======== négligeabilié I = f( d converge... 5 I 3 = ( 4 + d. La foncion f( = 5 ( 4 + es coninue sur [, [, donc il fau éudier l inégrabilié vers +. On simplifie d abord l expression de f( en simplifian par : f( = 4 4 +. En comparan les puissances de dans le numéraeur (5 e dans le dénominaeur (4 / de la fracion f(, on rouve que f( es équivalen à vers + : Alors on a : f( = 4 4 + = f( e ils on le même signe 4 4 + quand. quand crière d ======= équivalence I 3 = f( d e d Quelle es la naure de x d = 3 [ 3/ ] x on la même naure. d? Il suffi d uiliser la définiion pour voir qu elle es divergene : = 3 On conclu que I 3 es elle-aussi divergene. ( x x +. 5 I 4 = ( 4 + d. La foncion f( = 5 ( 4 + es coninue sur ], ] (elle n es pas définie en, donc il fau éudier l inégrabilié en. Comme avan, on simplifie d abord l expression de f( en simplifian par : f( = 4 4 +. Ensuie, on calcule (comme oujours dans ce ype de siuaions la limie de f( quand end vers le poin où la foncion n es pas définie : 4 lim f( = lim 4 + =. Comme la limie obenue es finie, on prolonge la foncion f à une foncion f coninue sur ou l inervalle [, ]. Donc I 4 es égale à une l inégrale définie l inégrale (impropre I 4 es convergene. f( d. On conclu que
I 5 = ln(sin d. La foncion ln(sin es coninue sur ], π[ ; elle n es pas définie en e π car sin = sin π = e la foncion ln n es pas définie en. Donc les deux bornes d inégrabilié ( e π son impropres. On coupe alors l inégrale en deux e on raie les deux morceaux séparémen : Pour ( / ln(sin d = / ln(sin d + π/ ln(sin d. ln(sin d : la borne impropre es. On uilise l équivalence bien-connue (à reenir : sin x x e ils on le même signe quand x. Par le crière d équivalence, l inégrale a la même naure que / inégrale convergene (ln es inégrable en, voir exercice, fiche. Donc converge. Pour π/ à la place de x : ln d e cela es une / ln(sin d ln(sin d : la borne impropre es π. On uilise l équivalence ( ci-dessus avec π sin(π = sin π quand π. ç.-à.-d. π Par le crière d équivalence, l inégrale a la même naure que le changemen de variable (π = u, d = du on a π/ ln(π d = ln u du = π/ / ln u du qui es la même inégrale convergene comme précédemmen. Donc Conclusion : I 5 converge comme somme de deux inégrales convergenes. π/ π/ ln(π d. En faisan ln(sin d converge. [ ( ] I 6 = cos d. La foncion donc il fau éudier l inégrabilié vers +. [ cos La présence du erme / nous suggère de faire le changemen de variable ( ] es coninue sur [, [, = x ; d = x dx, car il ransforme l inervalle infini [, [ dans l inervalle fini ], /]. On obien : I 6 = ( cos x dx / / x = cos x dx. x 3
Ainsi I 6 devien une inégrale impropre en où la foncion à inégrer n es pas définie. Le pas suivan es donc d éudier la limie de cee foncion en (si elle es finie, alors on s en sor avec un prolongemen coninue. On a : cos x l Hôpial ( cos x sin x lim ====== lim = lim x x x (x x x =. de ype / La limie éan finie, la foncion es prolongeable par coninuié dans la borne impropre es donc I 6 es convergene. ( ( I 7 = sin d. La foncion sin es coninue sur ], [ (elle n es pas définie en car / n es pas définie en. Donc il fau éudier l inégrabilié en. Remarque : ici la foncion à inégrer n es pas prolongeable par coninuié au poin de nondéfiniion car / quand e la foncion sin n a pas de limie vers. Aure remarque : ici il ne ser à rien de faire le changemen de variable x = / car il va ransformer l inervalle fini ], ] dans l inervalle infini [, [ (e ça n améliore pas la siuaion. En revanche, la soluion es rès facile : on uilise la borniude de la foncion sin : sin x, x. Alors on a : } sin(/, d es une inégrale définie crière de ======= comparaison sin ( d converge, c.-à.-d. I 7 converge absolumen, ce qui implique que I 7 converge. Aenion : la foncion sin(/ sur ], ] prend de valeurs posiives aussi que de valeurs négaives, donc pour pouvoir appliquer le crière de comparaison (qui exige la posiivié de la foncion il fau passer par la valeur absolue. I 8 = d. La foncion f( = es coninue sur ], [ (elle 4 4 n es pas définie en e car le dénominaeur s annule dans ces poins. Donc les deux bornes d inégrabilié ( e son impropres. On reconnaî en f( la dérivé d un arcsin : on a (arcsin x = donc : = 4 ( = ( = d ( 4 d arcsin, 4 4, pour < x <, x
e c es valide pour /, ç.-à.-d. pour < <. En conséquen, en uilisan juse la définiion de l inégrale impropre, on a I 8 = lim x y x y 4 d = lim x y = π ( π = π, e donc I 8 es une inégrale convergene. [ arcsin ( ] x y [ ( x ( y = lim arcsin arcsin x ] y [ ( ] [ ( ] I 9 = ln cos d. La foncion f( = ln cos es coninue sur /π ]/π, [, voyons pourquoi : ] [ π, π < < < π ( cos décroissane ( π ========= cos > cos > cos sur [,π/] = = ( π cos ], [, e ln es coninue sur ], [. L inégrale es donc impropre dans les deux bornes (/π e. La présence de l argumen / dans l inervalle infini [/π, [ nous condui au changemen de variable = /x ( d = /x dx : I 9 = π/ ln(cos x dx x = / ln(cos x x Cee fois-ci, les bornes impropres son e π/ (la foncion f(x = dx. ln(cos x x n es pas définie dans ces poins. On raie ces bornes séparémen (on sous-enend ici qu on coupe l inégrale en deux morceaux, chacun avec une seule borne impropre. Pour : on calcule la limie de f(x en : lim f(x = lim x x ln(cos x x de ype / l Hôpial [ln(cos x] sin x/cos x ====== lim x (x = lim x x sin x = lim x x cos x =. On a obenu une limie finie donc la foncion es prolongeable par coninuié dans ce poin, e en conséquen il n y a pas de problème d inégrabilié ici. Pour π/ : on uilise l équivalence cos x π / x quand x π / obenu (par example ainsi : (( cos x = cos x π + π ( = cos x π cos ( π = ( sin x π ( π sin = ( = sin x π ( π = sin x π x quand x π. 5
Donc on a, quand x π / : cos x π x e ils on le même signe ( = ln(cos x π ln x = ln(cos x x ln(π / x ( π / / / ln(cos x Par le crière d équivalence la naure des inégrales dx e ln( x π / x dx es la même. Remarque : on a oublié le faceur dans la deuxième inégrale car c es ( π / une consane e n inervien pas dans l éude de l inégrabilié. Aussi, il suffi de prendre les inégrales enre les bornes e π / parce qu on s inéresse mainenan seulemen de la borne π / (la borne on l a déjà résolu. Il nous rese de rouver donc la naure de (y = π / x on se ramène à / / ln es inégrable en (voir exercice, fiche. Conclusion : I 9 converge. ln( π / x dx. Par un changemen de variable ln y dy. E cee inégrale es convergene car la foncion I = dx, avec α R. La foncion x es coninue sur [, [, donc il fau xα xα éudier l inégrabilié vers +. Il s appellen les inégrales impropres de Riemann e leur naure dépend des valeurs du paramère α. On va uiliser seulemen la définiion de l inégrale impropre (comme limie des inégrales définies. Si α : y I = lim y dx = lim x α [ dx = lim ] xα x α y α = lim +, si α > On a lim y α =., si α < Donc I diverge dans le cas α < e converge dans le cas α >. Si α = : y [ ] y I = lim dx = lim ln x x = lim (ln y ln = +. [ y α ]. α Donc I diverge dans le cas α =. Conclusion (à reenir : I converge si e seulemen si α >. 6
I = dx. La foncion x es coninue sur R (car le dénominaeur + x + x ne s annule jamais, donc il fau éudier l inégrabilié vers e vers +. Mais il s agi de nouveau d une foncion paire (comme à I 8 e on a donc I = + x dx e on doi alors n examiner que la borne +. On uilise de nouveau la définiion : dx = lim + x y [ ] y dx lim + x arcan x = lim (arcan y arcan = = lim arcan y = π. La limie es finie, donc I converge. I = (x + dx, avec n N. La foncion x es coninue sur [, [ n (x + n (le dénominaeur ne s annule jamais, donc il fau éudier l inégrabilié vers +. On peu la comparer avec I : comme x + pour ou x, on a : (x + n (x + = (x + n x +. La dernière foncion es inégrable sur [, [ (voir I, donc par le crière de comparaison, I converge aussi. I 3 = e ax sin(bx dx, avec a > e b R. es coninue sur [, [, donc il fau éudier l inégrabilié vers +. La foncion x f(x = e ax sin(bx On va uiliser la comparaison, car sin es borné es l exponenielle d argumen négaif es inégrable. Comme f n es pas oujours posiif, il fau passer par la valeur absolue : f(x = e ax sin(bx e ax qui es inégrable sur [, [ (car a > d après la remarque. Donc I 3 es absolumen convergen e en conséquen convergene. I 4 = e ax cos(bx dx, avec a > e b R. coninue sur [, [, donc il fau éudier l inégrabilié vers +. La foncion x e ax cos(bx es Avec le même raisonnemen que pour I 3, l inégrale I 4 es (absolumen convergene. %dofill 7
sin(ax I 5 = e x dx, avec a R. La foncion x f(x sin(ax e x es coninue x x sur ], [ (elle n es pas définie en, donc les deux bornes ( e son impropres. Pour la borne : la foncion es inégrable ici car elle es prolongeable par coninuié : lim x sin(ax e x = lim x qui es une quanié finie. a sin(ax e x = a, x ax Pour la borne + : il suffi de considérer l inégrale sur [, [ : ici, on peu majorer la valeur absolue de f(x par : f(x = sin(ax e x x x e x e x qui es inégrable sur [, [ (car a > d après la remarque. Par le crière de comparaison, f es (absolumen inégrable vers +. Conclusion : I 5 converge. 8