Nacy-Mtz trmial C 979 : comparaiso ds trois moys L problèm Nacy-Mtz C 979 a pour objctif u comparaiso ds trois moys usulls Suivt du applicatios L sujt A U résultat prélimiair Démotrr qu qul qu soit l rél strictmt positif : l ( Cas d égalité? B Comparaiso ds trois moys usulls Soit u tir supériur ou égal à À tout -uplt ( a, a,, ls trois ombrs réls u, v, w aisi défiis : a d réls strictmt positifs, o associ u = v = a a a = + + + w a a a ( a + a + + a Ls trois ombrs u, v, w sot rspctivmt ls moys arithmétiqu, géométriqu t harmoiqu ds ombrs ( a, a,, a E appliquat l iégalité ( succssivmt pour iégalités aisi obtus, motrr qu a a a = ; = :; = u u u t combiat ls v u ( Das qul cas a-t-o v = u? E rmplaçat das ( ls ombrs ( a, a,, Das qul cas a-t-o w = v? a par lurs ivrss, motrr qu v w (3 C U prmièr applicatio Soit u rél supériur ou égal à zéro O prd ; a = a = Das c cas, ls iégalités (t (3 dot = ; approché d la moy arithmétiqu m ( ds ombrs + O s propos d prdr comm valur t g Etudir ls variatios d la foctio g( = m( sur [ 0 ; + [ E déduir qu pour, m ( 0 3 000 G Julia, 08/09
D U duièm applicatio Motrr qu pour tout tir strictmt positif : = + Motrr qu l t déduir l iégalité l Fi du sujt Nacy-Mtz 979 O rmarqu qu d la «duièm applicatio», o put déduir u cadrmt d la factorill d Ct cadrmt a l mérit d istr (il put dor u vagu idé d l ordr d gradur d u factorill mais st crts pas d u grad qualité (c était pas l objctif du problèm J ajout u autr parti, qui a ri à voir avc l thèm du prést sujt, mais qui aboutit à u cadrmt d millur qualité E U millur cadrmt d la factorill d f O cosidèr das ctt parti la foctio f : [, + [ f ( = l [ 0, + [ rpréstativ das u rpèr orthoormé t o ot C f sa courb O admt qu f st u foctio cocav (sa dérivé scod st fft la foctio f ' [, + [ f ''( = ' qui st strictmt égativ sur tout l smbl d défiitio Sa rpréstatio graphiqu C f st d c fait au dssous d ss tagts t au dssus d ss sécats O utilisra sas autr démostratio ctt propriété Pour tout tir supériur ou égal à o désig par I l itégral : I = l d Pour tout tir tl qu H l poit d coordoés ( o désig par u l itégral : u, 0 t par M l poit d C f d absciss = l d O désig d autr part par Calculr la valur act d I u = Qull rlatio y a-t-il tr I t la somm? E utilisat la cocavité d la courb C f, comparr u à l air du trapèz H H M M + La tagt à C f M coup la droit d équatio = au poit oté N - Calculr ls coordoés d c poit E utilisat la cocavité d la courb C f, comparr u à l air du trapèz H H M N = 3 E déduir l cadrmt : ( l l I ( l = = = = = 4 E déduir u cadrmt d la factorill d O pourra utilisr, si bsoi st, l iégalité : l( + = G Julia, 08/09
Elémts d corrctio u A O défiit sur l itrvall ] 0, + [ la foctio : u( = l ] 0, + [ Sa dérivé st la foctio défii par u' ( = =, du sig d ( strictmt décroissat sur ] 0, ] t strictmt croissat sur [ [ absolu, u ( = 0 Ctt foctio st doc positiv sur ], + [ qul qu soit d l itrvall ] 0, + [, l, foctio dérivabl sur La foctio u st, + Ell admt u miimum 0 t s aul qu au poit Il résult qu, l égalité ayat liu qu si = B Soit u tir supériur ou égal à À tout -uplt ( a, a,, associ ls trois moys u, v, w a d réls strictmt positifs, o E appliquat l iégalité ( pour a ai : l u u tir i {,,, } i a a a = ; = :; = u u u, o obtit succssivmt, pour chaqu E additioat mmbr à mmbr ls iégalités aisi obtus, o obtit : ai ai l d où o u u déduit divisat par : a i a = l l u ai i i v u = = 0 c'st-à-dir : l = l 0 t u u u u u v fialmt par passag à l potill (qui cosrv l ss ds iégalités : puis u v u NB Ls du prmièrs étaps du calcul rvit à cosidérr ls moys arithmétiqus rspctivs d u part ds ombrs a a l i t d autr part ds ombrs i : lorsqu u suit fii st, trm à u u trm, plus ptit qu u autr, lurs moys arithmétiqus sot classés das l mêm ordr Cas d égalité : Si ls ombrs a j sot tous égau, il st clair qu lurs trois moys coïcidt S ils sot pas tous égau, au mois u ds u a j st pas égal à (par mpl l plus ptit ds a j st alors strictmt plus ptit qu lur moy, t alors u au mois ds iégalités ajoutés mmbr à mmbr st strict : lur somm mmbr à mmbr st u égalité strict Doc v = u si t sulmt si ls a j sot tous égau G Julia, 08/09 3
E rmplaçat das ( ls ombrs ( a, a,, = t par suit w v v w w Il y a égalité si t sulmt si tous ls a par lurs ivrss : ai ai, c qui do sot égau, c'st-à-dir si t sulmt si tous ls ai sot égau a i C La foctio g st cotiu sur l itrvall [ 0, + [ t dérivabl sur l itrvall ouvrt ], + [ m ( + 6 + = + = 4( + U logicil d calcul forml motr qu : ( ( = 4 m puis qu : 4 ( + 3 ( ( ( ( + + m ' = gjulia 4 ( + ctt dérivé st du sig d, c'stà-dir du sig d La foctio g g( = m( décroissat sur ], ] croissat sur [, + [ st strictmt 0 t strictmt Ell admt u miimum absolu, qui st égal à zéro Il s agit d u foctio positiv sur so smbl d défiitio La rstrictio d g à l itrvall, st positiv ou ull (ull t attit so maimum l u ou l autr ds du trémités L calcul motr qu 7 g ( = g = t qu 7 0,004 < < 0,005 O put coclur qu, sur ct itrvall : 5 0 m(, u ptit pu gilbrtjulia 0000 miu qu l iégalité dmadé ; 0 Sur l itrvall, L approimatio ratioll d la foctio raci carré approimatio par défaut à mois d trois millièms près O rcoaît otammt : m ( approimatio ratioll d déjà proposé st u = 7, u qu ls Babylois, aisi qu Héro d Aladri paraît-il, utilisait G Julia, 08/09 4
D U duièm applicatio Si o cosidèr la suit ds prmirs tirs : a i = i pour i =,,,, lur moy arithmétiqu st : ( ( + u = + + = = + t lur moy géométriqu st : v = ( = ( Par coséqut : ( < +, l iégalité état strict puisqu ls a i sot disticts Lur moy harmoiqu w st tll qu : = + + + Aisi w w = = Vu qu : = l (démostratio ci-dssous, o obtit : w t a fortiori, l v > w l E fi d compt, + < ( < gj l Comm l motr l tablur cicotr, ls trois moys (colos B, C t E sot sigificativmt différts Tout cci amè à l cadrmt d la factorill : ( l < ( < ( + gjulia Démostratio d l iégalité = l : Soit u tir tl qu [, ], d d Or : d = l l( t d = Doc l l ( pour tout tl qu Par sommatio : ( l l( = = c qui do : + + + l soit 3 + + + + l 3 G Julia, 08/09 5
E U millur cadrmt d la factorill d I = d = [ l ] = l + l Ctt itégral rprést «l air sous la courb», air du domai délimité par O, C f t la droit d équatio = Quat à u, il rprést «l air sous la courb», cll d la portio du domai situé das la bad L découpag bads d largur du domai réalis u partitio d c domai ( morcau L air d st la somm ds airs d cs ( morcau : u = I = Compt tu d la cocavité d la courb C f, ctt courb st au dssus d ss sécats, l trapèz H H M M + st iclus das l morcau du domai situé das la bad So air st plus ptit qu l air d c morcau Aisi : ( l( + l u l Ell coup la droit d équatio = au poit N, l Compt tu d la cocavité d la courb C f, ctt courb st au dssous d ss tagts : l «morcau» cotit l trapèz H H M N t so air st plus grad qu cll d H H M N La tagt à C f M a pour équatio : y = ( L air d c trapèz st : D où l cadrmt : ( l( + l = l + l = l C qui do : u Par sommatio : ( l( + l I gj l = l = = soit aussi : u l = = ( l + l I gj l = = = = O déduit : ( l l l + ( l = = = = Vu qu l( + = = ( l l l + ( l ( l( + gjulia = = = (à justifir o obtit : G Julia, 08/09 6
G Julia, 08/09 7 E rgroupat u sul logarithm : + l l l t vu qu l potill cosrv l ordr : + 08 gilbrtjulia puis ( ( 08 gjulia + Ci-cotr, résultats obtus à l aid d u tablur pour ls prmirs tirs