Devoir surveillé n o 5 4 heures) Ce devoir es consiué d'un eercice e de deu problèmes de concours)l'ordre des eercices ne correspond à aucun crière de diculé ou de longueur : vous pouvez les raier dans l'ordre que vous voulez Veillez à soigner la copie an pour l'écriure, la propreé que pour la rédacion, la rigueur e l'argumenaion Vous numéroerez vos copies e ferez apparaîre clairemen sur la première page le nombre de copies La calcularice n'es pas auorisée Pour rappel, on donne cerains DL qui pourron êre uiles : il s'agi pour des raisons praiques à chaque fois de DL à l'ordre 4 en ep) = +! + 2 2! + 3 3! + 4 4! + 4), ln + ) = 2 2 + 3 3 4 4 + 4) + = + 2 3 + 4 + 4) EXERCICE : Diérence symérique On considère un ensemble E non vide Pour A e B deu paries de E, on considère l'ensemble : A B = A B) \ A B) On rappelle que si C PE), la foncion indicarice de C es noée C Monrer que, pour ou couple A, B) de paries de E, on a : A B = A B ) 2 2 Monrer que pour ou couple A, B) de paries de E, on a : A B = A \ B) B \ A) 3 Monrer que : A, B, C) PE)) 3, A B) C = A B C) 4 Démonrer qu'il eise une unique parie de E, parie que l'on noera X e que l'on déerminera, elle que : A PE), A X = A = X A 5 Monrer que : A PE),!A PE) A A = X = A A PROBLEME I : On considère les foncions f e g dénies sur R + par : f) = ep ) e g) = f) PARTIE A : Généraliés Prouver que f e g son de classe C sur R + e que, pour ou R +, g) = f ) 2 Monrer que g es prolongeable par coninuié en e que le prolongemen encore noé g) es dérivable en 3 Dresser le ableau de variaions de g sur R +, puis en racer un graphe on donne e = 36 à 2 près) 4 Soi H la primiive sur R + s'annulan en de la foncion g a) Calculer H b) Former un développemen limié de H à l'ordre 3 au voisinage de 5 Soi n 3 un enier naurel On inrodui l'équaion E n ) : f) = n d'inconnue R + a) En uilisan la quesion 3, monrer que E n ) a une unique soluion α n dans ], [ Monrer de même que E n ) a une unique soluion dans ], + [, que l'on noera β n b) Monrer que les suies α n ) n 3 e β n ) n 3 son monoones c) Es-il possible que l'une de ces deu suies converge vers une limie l >? En déduire leurs limies )
PARTIE B : Foncions dénies par des inégrales On prolonge mainenan f à R + en posan f) = 6 Monrer que l'applicaion f ainsi prolongée es de classe C sur R + ; préciser f ) e monrer que l'égalié de la quesion de la parie A rese valable pour = 7 Soi R + On noe : F ) = f) d e G) = g) d Ces inégrales eisen car les foncions f e g son coninues sur R + a) Monrer que F ) = ep ) G) b) Monrer que pour ou, G) ln) + C où C = g) d c) En déduire que G) es négligeable devan au voisinage de + d) Déerminer un équivalen simple de F ) au voisinage de + 8 Résoudre sur R + l'équaion diérenielle E) : 2 y + y = 2 L'epression générale de la soluion fera apparaire la foncion F PARTIE C : Eude qualiaive d'une équaion diérenielle On considère mainenan une applicaion y soluion de E) : 2 y + y = 2 cee fois sur R + e on suppose que y es de classe C sur R + Nous allons, sans aucun calcul eplicie de y, déerminer enièremen la suie des u n = y n) ) à parir de l'équaion E) 9 Que vau u = y)? En dérivan E), calculer u = y ) puis u 2 = y ) Peu-on avoir y de la forme : α 2 + β + γ avec α, β, γ) R 3? 2 Soi n un enier naurel a) On suppose ici n 3 Prouver à l'aide de la formule de Leibniz que, pour ou R + : 2 y n+) ) + + 2n) y n) ) + nn )y n ) ) = En déduire une relaion de récurrence enre u n e u n b) Donner une epression de u n en foncion de n en uilisan une facorielle, valable pour ou n 2 PROBLEME II : PARTIE I : ln + ) On considère la foncion f dénie par la relaion f ) = Déerminer l'ensemble de déniion D de f 2 Monrer que f adme en un prolongemen par coninuié On précisera par quelle valeur f es alors prolongée e on coninuera à appeler f le prolongemen ainsi obenu On appellera D le nouvel ensemble de déniion de f 3 f es-elle dérivable en? Si oui, préciser f ) Calculer f ) sur D puis prouver que f es de classe C sur D 4 Eudier les variaions de f On dressera son ableau de variaions On pourra uiliser la foncion auiliaire dénie par : ) = + ) ln + ) 2
PARTIE II : Dans la suie, on s'inéressera à l'inégrale suivane f ) d On noera L la valeur de cee inégrale mais on ne cherchera pas à calculer cee valeur Pour ou enier naurel n non nul on déni les polynômes P n X) = X X2 2 + X3 3 X4 4 + + X n n )n n = ) X e Q n X) = X X2 2 2 + X3 3 2 X4 4 2 + + )n X n n 2 = n = = ) X 5 Jusier : [, ], + 2 3 + + ) n n = )n n 6 En déduire : [, ], P n ) = ln + ) ) n + d Dans oue la suie on noera : n N, [, ], R n ) = 2 + ) n + d 7 Eablir la majoraion : n N, [, ], R n ) n+ n + 8 Comparer pour ou ], ] : Q n ) e P n ) 9 En noan, g n l'applicaion dénie pour ou ], ] par g n ) = P n ) monrer : En déduire lim Q n ) n + Q n ) L g n ) d n + ) 2 ln + ) e g n ) =, Déerminer un enier naurel N el que Q N ) donne une valeur approchée de L à 4 près PARTIE III : On s'inéresse à présen au dérivées successives de f que l'on noe f n), n N Monrer que f es indénimen dérivable ], + [ 2 Calculer, f ) sur ], + [ 3 Monrer que pour ou enier naurel n non nul il eise un polynôme T n à coeciens réels e un réel a n els que : R +, f n) ) = T n ) + ) n + a ln + ) n n n+ 4 Monrer que ous les coeciens de T n son des eniers 5 En uilisan la formule de Leibniz calculer f n) ) e en déduire la valeur de T n On ne cherchera pas à eplicier une epression de chacun des coeciens de N) de ce polynôme Vérier cee epression pour n = 2 3
EXERCICE : Diérence symérique On considère un ensemble E non vide Pour A e B deu paries de E, on considère l'ensemble : A B = A B) \ A B) On rappelle que si C PE), la foncion indicarice de C es noée C Connaissan les foncions indicarices des inersecions, des réunions e des complémenaires, on a : A B = A B A B ) = A + B A B ) A B ) Ainsi, comme les foncions indicarices son égales à leurs carrés, on a : A B = A + B 2 A B = A B ) 2 ie A B = A B ) 2 2 On calcule de même la foncion indicarice de A \ B) B \ A) : A\B) B\A) = A B ) + B A ) A B ) B A ) = A + B 2 A B = A B Or les foncions indicarices caracérisen les paries donc pour ou couple A, B) de paries de E, on a : A B = A \ B) B \ A) 3 Soi A, B, C) PE)) 3 On calcule les foncions indicarices de A B) C e de A B C) On a : A B) C = A B C ) 2 = A + B + C 2 A B 2 B C 2 A C + 4 A B C e de même A B C) = A B C ) 2 = A + B + C 2 A B 2 B C 2 A C + 4 A B C Ainsi A B) C = A B C) : la diérence symérique es associaive 4 Par analyse-synhèse, monrons!x PE) A PE), A X = A = X A Analyse : Si une elle parie X eise Alors pour oue parie A de E, on a : A X = A ie A X ) 2 = A En pariculier avec la parie A = don la foncion indicarice es nulle, on a : 2 X = ie X = Synhèse : Soi X = Pour oue parie A de E, on a : A X = 2 A = A Donc A X = A E par commuaivié de, on a aussi A = X A Ainsi il eise une unique parie de E, X = elle que : A PE), A X = A = X A 5 Par analyse-synhèse, on monre : A PE),!A PE) A A = X = A A e A = A PROBLEME I : Soi f) = ep ) e g) = f) PARTIE A : Généraliés f es la composée de deu foncions de classe C : Donc f es de classe C sur R + sur R + e ep sur R g es le quoien de deu foncions de classe C sur R + don le dénominaeur ne s'annule pas sur R + donc g es de classe C sur R + On dérive f : R +, f ) = ep ) = f) 2 Donc 2 R +, g) = f ) ) ep 2 Par croissance comparée lim = + Donc g es prolongeable par coninuié en en posan g) = De plus, oujours par croissance comparée, g) g) = ep 2 ) Ainsi g es dérivable en e g ) = + 4
g ) g) + + 3 On a pour > : g ) = e )f) 3 ae y 4 2 g) = ) ep 2 3 4 ae ce qui es du signe de On en dédui le ableau de variaion : la limie en de g ) s'obien par comparaison des puissances e des eponenielles ainsi que celle en + de g) 4 Soi H la primiive sur R + s'annulan en de la foncion g a) Soi R + On a : H) = H) = 2e + )e ) e d Donc en inégran par paries, on obien : b) En uilisan le résula sur le produi e la somme de DL, on a : H + u) == 5 Soi n 3 un enier naurel On inrodui l'équaion E n ) : f) = n d'inconnue R + u + u e 6e u3 + u 3) a) On remarque qu'en divisan par l'équaion E n ) devien : g) = Or à la quesion 3, on a n monré : g coninue e sricemen croissane sur l'inervalle ], [ lim g =, lim g = + e Ainsi par le héorème d'homéomorphisme, g es une bijecion de ], [ vers n 3 > e, on a ] n, e ], [ Or comme e [ Donc il eise un unique α n ], [ soluion de E n ) De même il eise un unique β n ], + [ soluion de E n ) b) Soi n 3 On a g α n+ ) = n + < n = g α n) Comme α n e α n+ son dans ], [ inervalle sur lequel g es croissane, on en dédui : α n+ < α n Ainsi α n ) n 3 es décroissane De même β n ) n 3 es croissane c) On noe u n ) n 3 une quelconque de ces suies Supposons par l'absurde que u n ) n 3 converge vers l > En passan à la limie dans la relaion g u n ) = n, on a par coninuié de g en l, gl) = ce qui conredi R +, g) > il es impossible que l'une de ces deu suies converge vers une limie l > La suie α n ) n 3 es décroissane e minorée par Donc elle converge vers une limie l Or cee limie ne peu pas êre sricemen posiive dans le poin précéden, donc α n ) n 3 converge vers La suie β n ) n 3 es croissane e minorée par Donc soi elle diverge vers + soi elle converge vers un réel l Or elle ne peu pas converger vers un réel sricemen posiif d'après le poin précéden, donc β n ) n 3 diverge vers + 5
PARTIE B : Foncions dénies par des inégrales On prolonge mainenan f à R + en posan f) = 6 f es coninue sur R + e f) = f) Ainsi f es coninue sur R+ + f es de classe C sur R + ) Par croissance comparée, f ) = ep 2 qui es une limie nie + Ainsi par héorème de classe C par prolongemen, f es de classe C sur R + e f ) = On remarque alors en reprenan l'égalié de la quesion que 7 Soi R + On noe : F ) = foncions f e g son coninues sur R + f) d e G) = R +, g) = f ) g) d Ces inégrales eisen car les a) En inégran F ) par paries e en uilisan R +, g) = f ), on obien : F ) = ep ) G) b) Soi On a : G) = g) d +, G) ln) + C où C = c) On en dédui que :, G) G) Ainsi G) == + d) Soi On a : F ) = ep ) + ) G) 8 Soi l'équaion diérenielle E) : 2 y + y = 2 g) d C + g) d d ie C + ln) Ainsi par le héorème des gendarmes, Ainsi F ) au voisinage de + + Equaion homogène Les soluions de l'équaion homogène son de la forme : λ ep Variaion de la consane ) On cherche une soluion pariculière de E) sous la forme y) = λ) ep avec λ dérivable On rouve alors que : y es soluion de E) ssi R +, λ ) = f) On choisi alors λ = F ) Ainsi les soluions de E) sur R + son les foncions A + F )) ep où A R ) PARTIE C : Eude qualiaive d'une équaion diérenielle On considère mainenan une applicaion y soluion de E) : 2 y + y = 2 cee fois sur R + e on suppose que y es de classe C sur R + Nous allons, sans aucun calcul eplicie de y, déerminer enièremen la suie des u n = y n) ) à parir de l'équaion E) 9 Dans l'équaion E) on prend = On rouve y) = ie u = En dérivan E) une fois, on rouve : R +, 2 y ) + 2 + )y ) = 2 Donc en évaluan en, on rouve u = En dérivan deu fois E), on rouve : R +, 2 y 3) ) + 4 + )y ) + 2y ) = 2 Donc en évaluan en, on rouve u 2 = 2 6
Par l'absurde Supposons que y de la forme : α 2 + β + γ D'après la quesion précédene, on aurai alors γ = = β e α = donc y serai nécessairemen la foncion 2 Or on vérie aisémen que cee foncion n'es pas soluion de E) Ainsi y n'es pas un polynôme de degré inférieur ou égal à 2 2 Soi n un enier naurel a) On suppose ici n 3 On noe h la foncion 2 y ) D'après la formule de Leibniz e en consaan que les dérivées de 2 d'ordre 3 son nulles, on a : R +, h n) ) = 2 y n+) ) + 2ny n) ) + nn )y n ) ) Ainsi, en dérivan n fois E) e en consaan que le second membre aura une dérivée n ième nulle, on a : R + : 2 y n+) ) + + 2n) y n) ) + nn )y n ) ) = En évaluan la relaion précédene en =, on en dédui En déduire une relaion de récurrence enre u n e u n b) En uilisan une récurrence ou le produi éléscopique u n = u 2 n 3, u n = nn )u n n =3 u u = u 2 n ) ce qui es possible car les u son non nuls à parir de = 2), on rouve : n 2, u n = )n n!) 2 =3 n PROBLEME II : PARTIE I : On considère la foncion f dénie par la relaion f ) = f es dénie sur D = ], [ ], + [ ln + ) 2 On a ln + ) == 2 2 + 2) Ainsi, pour, on a f) == + ) Donc 2 f adme en un prolongemen par coninuié en posan f) = f ainsi prolongée es coninue sur D = ], + [ = 2 + ) f) f) 3 Pour, on a : Sur D, f es de classe C comme quoien de foncions de classe C don le dénominaeur ne s'annule pas sur D, e on a : ], [ ], + [, f ) = 2 Ainsi f es dérivable en e f ) = 2 + ln + ) 2 Par un calcul de DL, on rouve ln + ) == + 2 2 + 2) Ainsi f ) 2 = f ) Ainsi f es coninue en Comme f es de classe C sur D = ], [ ], + [, on en dédui que f es de classe C sur D = ], + [ 4 ], [ ], + [, f + ) ln + ) ) = = ) avec ) = + ) ln + ) + ) 2 + )2 Or es dérivable sur D = ], + [ e D, ) = ln + ) qui es du signe opposé à Ainsi possède un maimum global en Or ) = donc D, ) avec égalié 7
+ f ) + f) uniquemen en On en dédui que f es décroissane sur D PARTIE II : Soi L = f ) d On noera L la valeur de cee inégrale mais on ne cherchera pas à calculer cee valeur Pour ou enier naurel n non nul on déni les polynômes n ) X n ) X P n X) = e Q n X) = 2 = 5 D'après l'epression de la somme des premiers ermes d'une suie géomérique de raison diérene de, on a [, ], + 2 3 + + ) n n = )n n 6 Soi [, ] En inégran enre e les diérens membres de l'égalié précédene, on a : ) n ln + ) + d = ) n n n d = ) ) d = Ainsi + [, ], P n ) = ln + ) = = ) n + d Dans oue la suie on noera : n N, [, ], R n ) = 7 Soi n N e [, ] On a : R n ) ) n + d n N, [, ], R n ) n+ n + 8 On rouve aisémen ], ] : Q n ) = P n) = ) n + d 9 On noe g n l'applicaion dénie pour ou ], ] par g ) = P n ) D'après ce qui précéde, on a : [, ], g n ) = Q n) f) + ) n d = n+ n + Ainsi ln + ) e g n ) = valable aussi en car P n) f) enden vers lorsque end vers ) Par ailleurs, pour >, g n ) = R n) Aussi : Q n ) L = g n )d n g n ) d n + d = Ainsi lim n + ) Q 2 n ) = L n + Pour n 99, on a Q n ) L PARTIE III : n + ) 2 4 On s'inéresse à présen au dérivées successives de f que l'on noe f n), n N f es le quoien de foncions de classe C sur ], + [ don le dénominaeur ne s'annule pas sur ], + [, donc f es de classe C sur ], + [ e 8
2 On rouve : ], + [, f ) = ln + ) e f ) = + ) 2 2 3 2 ln + ) + 2 + ) 2 3 3 Soi P n la proposiion : T n, a n ) R[X] R R +, f n) ) = T n) + ) n + a ln + ) n n n+ P es-elle vraie? On a : R +, f ) = + ) polynôme consan égal à e a =, on a bien R +, f ) = Donc P es vraie ln + ) Donc si on pose T 2 le T ) + ) + a ln + ) 2 On suppose que P n es vraie pour un cerain enier n P n+ es-elle vraie? On a l'eisence d'un polynôme T n e d'un réel a n els que : R +, f n) ) = T n) + ) n + a ln + ) n n Donc, en n+ dérivan cee epression, on obien : R +, f n+) ) = + )T n) 2n + n)t n ) + a n + ) n ln + ) a + ) n+ n+ n n+) Ainsi n+2 en posan T n+ le polynôme déni par : T n+ ) = + )T n) 2n + n)t n ) + a n + ) n e a n+ = n + )a n, on a bien R +, f n+) T n+ ) ) = + ) n+ + a ln + ) n+ n+ On en n+2 dédui que P n+ es vraie Ainsi, on a monré que P es vraie e, pour ou enier n, P n vraie enraine P n+ vraie Ainsi, par le héorème de récurrence, on en dédui que pour ou n N, P n es vraie ie n N, T n, a n ) R[X] R R +, f n) ) = T n) + ) n + a ln + ) n n n+ 4 Soi P n la proposiion : T n es à coeciens eniers e a n es un enier P es-elle vraie? On a : T = le polynôme consan égal à e a =, on a bien T à coeciens eniers e a es enier Donc P es vraie On suppose que P n es vraie pour un cerain enier n P n+ es-elle vraie? On a T n es à coeciens eniers e a n es un enier Or T n+ es déni par : T n+ ) = + )T n) 2n + n)t n ) + a n + ) n ce qui es à coeciens eniers e a n+ = n + )a n ce qui es aussi enier On en dédui que P n+ es vraie Ainsi, on a monré que P es vraie e, pour ou enier n, P n vraie enraine P n+ vraie Ainsi, par le héorème de récurrence, on en dédui que pour ou n N, P n es vraie ie n N, T n es à coeciens eniers e a n es un enier 5 On pose ϕ : ln + ) e h : ϕ e h son de classe C sur R + e on a : Si, ϕ ) ) = ) )! + ) e pour p, hp) ) = ) p p! Aussi en appliquan la p+ n ) n formule de Leibniz, on a : f n) ) = ϕ ) )h n ) ) + ϕ)h n) ) ie = n ) n f n) ) = ) )! n )! + ) )n + )n n! ln + ) n + n+ = n Ainsi T n ) = ) n + ) n n! Pour n = 2, on a ) 2 2! = 2 + ) 2 = 2 + ) = 2 3 = T 2 ) = 9