ère S Contrôle du eud octobre 00 ( h) ( ponts) Sot x et y deux réels tels que x 4 et y 5 Donner le melleur encadrement de x et de y En dédure le melleur encadrement de x + y Répondre très lsblement et sans rature, en écrvant au stylo à plume et sans utlser d abrévaton n rappelle que toute lettre utlsée dans la rédacton et non défne dans l énoncé dot être clarement défne Prénom et nom : ( ponts) Questons de cours ) Sot x et y deux réels quelconques Compléter : Note : /40 = /0 < x < < y < < x + y < ( pont) Sot D un axe de repère quelconque de D d abscsse x n pose f Exprmer f, tel que Sot A le pont de D d abscsse et M un pont x M AM x en foncton de x Donner le résultat sans ustfer f x = x = y équvaut à ) Sot ABC un trangle quelconque Ecrre l égalté vectorelle tradusant qu un pont M du plan a pour coordonnées cartésennes (x, y) dans le repère A, AB, AC ) Sot x un réel quelconque Compléter l égalté : x = 4 ) Sot A et B deux ponts quelconques du plan et a et b deux réels quelconques tels que a b 0 n note G le barycentre des ponts pondérés (A, a) et (B, b) Compléter l égalté c-dessous sans ustfer : Pour tout pont M du plan, ama bmb 5 ) Sot a un réel postf ou nul Compléter la défnton de la racne carrée de a 4 ( ponts) Sot x un réel tel que x () n pose ) Détermner un encadrement de y y x ) (Queston en len avec la précédente) Comparer sans calcul y, y et y n ne demande pas d explquer La racne carrée de a est ) Sot a et b deux réels quelconques Ecrre l expresson développée rédute et ordonnée 5 ( pont) Sot x un réel quelconque Compléter à l ade d négaltés portant sur x : a b x 9 équvaut à
) Donner sans détaller les calculs la forme canonque de Px ( ponts) n consdère la polynôme P x x x Les deux questons sont ndépendantes D = D = P x ) Calculer le dscrmnant de P x en détallant les calculs = 7 ( pont) Le plan est mun d un repère,, Hachurer sur le graphque c-dessous l ensemble E des ponts M(x, y) du plan tels que x 0 ou y 0 Comment qualfe-t-on le «ou» en mathématques? 0 ( ponts) Dans le plan mun d un repère quelconque,,, on donne les ponts A(, 0), B(0, ), C(, ) et D(, ) Placer les ponts sur la fgure c-dessous que l on complètera au fur et à mesure Marquer les valeurs de leurs coordonnées sur les axes n sognera partculèrement la présentaton des calculs et la rédacton dans cet exercce Encadrer tous les résultats en rouge à la règle ) Démontrer que ABCD est un parallélogramme ) Détermner une équaton cartésenne de la drote parallèle à (AC) passant par B Rédger très sogneusement en utlsant la colnéarté ) La drote coupe l axe des abscsses en un pont E Calculer x E 4 ) Sot G le barycentre des ponts pondérés (A, ) et (B, ) Calculer les coordonnées de G Démontrer G (D) 8 ( ponts) Compléter les phrases suvantes sans ustfer : Le maxmum de la foncton carrée sur l ntervalle [ ; ] est Le mnmum de la foncton carrée sur l ntervalle [ ; ] est 9 (4 ponts) n consdère les fonctons f : x 5 x et g : x 4 x Donner leurs ensembles de défnton respectfs D et D
(5 ponts) Logque ) Sot x et y deux réels quelconques n consdère l mplcaton c-dessous (I) : «S x et y, alors xy >» Cette mplcaton est-elle vrae? u Non Enoncer l mplcaton récproque de (I) «S, alors» L mplcaton récproque est-elle vrae? ( ponts) Algorthmque n consdère l algorthme c-dessous rédgé en langage naturel u Non Entrée Sasr n Tratement a prend la valeur n + 4 b prend la valeur a n c prend la valeur b + 4 Sorte Affcher c Enoncer la contraposée de l mplcaton (I) «S, alors» Quelles sont les varables nformatques utlsées dans cet algorthme? Quel est le nombre de sorte lorsque le nombre d entrée est? (n pourra fare «tourner» l algorthme «à la man» en ndquant le contenu de chaque varable nformatque) ) Sot x et y deux réels quelconques n consdère l mplcaton c-dessous (I) : Enoncer la contraposée de l mplcaton (I) «S xy 0, alors x 0 ou y 0» «S, alors»
ère S Corrgé du contrôle du octobre 00 5 ) La racne carrée de a est l unque réel x postf ou nul* tel que x a Programme du contrôle : - les valeurs absolues () et () - les coordonnées dans le plan - les équatons de drotes - les fonctons de référence - les algorthmes (nstructons condtonnelles) - la logque (mplcaton, mplcaton récproque, mplcaton contraposée, les connecteurs «ou» et «et» en mathématques, négaton d une proposton) - le barycentre de deux ponts - le second degré (début : forme canonque et dscrmnant) Il est ndspensable de précser que ce réel x est postf ou nul ) x 4 et y 5 a b a a b ab b Questons de cours ) < x < 4 < y < 0 < x + y < 8 * x = y équvaut à x = y ou x = y * Explcaton : on peut aouter membre à membre deux négaltés de même sens sans changer le sens de l négalté ) AM xab yac M = x et AM = x f x = x x Explcaton : Rappel : Consdérons un repère,, Attenton à l ordre, le repère est noté,, : l y a un ordre est le premer vecteur de base ; est le deuxème vecteur de base Sot M un pont de coordonnées (x, y) dans le repère,, x et la ère coordonnée de M, y est la seconde coordonnée de M M a pour coordonnées (x, y) dans un repère,, sgnfe que M x y n adapte c la défnton en remplaçant par A, par AB et par AC ) x = x (la valeur absolue est ndspensable) 4 x () ) Détermnons un encadrement de y D après (), on a : x n aoute à chaque membre de l négalté n obtent alors : ) Comparons sans calcul y, 0 x sot 0 y () y et y D après () et la règle du cours correspondante, on a : y y y 4 ) Relaton fondamentale MA M MG Pour tout pont M du plan, a b B a b
5 Complétons à l ade d négaltés portant sur x : 9 f : x 5 x et g : x 4 x x 9 équvaut à x ou x D =] ; 5] D = \ { ; } n peut auss tradure à l ade d ntervalles : x ; ; Mas ce n est pas ce qu état demandé car on demandat des négaltés P x x x ) Forme canonque de P x ou à l ade d une valeur absolue : x Soluton détallée : f x exste s et seulement s 5 x 0 s et seulement s x 5 g x exste s et seulement s x 4 0 s et seulement s x 4 s et seulement s x et x x P x 4 0 A(, 0), B(0, ), C(, ), D(, ) Attenton, une écrture telle que P x x x la forme canonque de P x (car la varable x fgure à deux endrots) (obtenue en fasant une pette factorsaton partelle) n est pas Le barème est de ponts par questons + pont général qu concerne la rédacton et la présentaton des calculs D ) Calcul du dscrmnant de P x 4 4 Remarque très mportante : Attenton, ne pas écrre b 4ac sans avor précsé préalablement ce que désgnent les lettres a, b, c A C 7 Logque (ensembles) sur le connecteur «ou» B ) Démontrons que le quadrlatère ABCD est un parallélogramme AB DC n a donc AB DC Par sute, ABCD est un parallélogramme La cononcton «ou» en mathématques est un connecteurs logque Il a un sens nclusf
) Détermnons une équaton cartésenne de la drote, parallèle à (AC) passant par B M(x, y) est un pont quelconque du plan M s et seulement s BM s et seulement s x et y x 9 0 y s et seulement s x y 9 0 s et seulement s x 9y 8 0 9 AC sont colnéares L égalté x 9y 8 0 est une équaton cartésenne de Attenton au démarrage : «M s et seulement s» et pas «// (AC) s et seulement s» Démontrons que G (D) 5 G D 5 5 8 8 0 5 5 5 5 5 n en dédut que les vecteurs G et D sont colnéares Comme ls ont un pont commun, on peut dre que les ponts, G, D sont algnés n en dédut que G (D) ) Détermner les coordonnées de E, pont d ntersecton de avec l axe des abscsses n peut écrre : (x) = { E } Algorthmque Quelles sont les varables nformatques utlsées dans cet algorthme? E (x) donc ye 0 r E donc xe 9yE 8 0 d où xe 8 0 sot xe 8 4 ) Calculons les coordonnées du pont G, barycentre des ponts pondérés (A, ) et (B, ) D a, b, c, n Quel est le nombre de sorte lorsque le nombre d entrée est? Logque A C ) Cette mplcaton est-elle vrae? u G «S xy >, alors x et y» B L mplcaton récproque est-elle vrae? Non (contre-exemple : x = 0,5 et y = 4) n applque la formule donnant les coordonnées d un barycentre (beaucoup plus smple que de refare la démonstraton) «S xy, alors x ou y» G x A B G y A B G x x 0 5 5 y y 0 5 5 ) «S x 0 et y 0, alors xy 0»