'IDUCTIO ème parte / O5WF (MS) Dans la ère parte de cet artcle, nous avons vu qu'un courant électrque donnat leu à un champ magnétque (expérence d'oersted). ous avons ensute vu comment Faraday, après avor effectué dfférentes expérences, en dédust une lo caractérsant l'nfluence d'un champ magnétque varable sur un crcut conducteur. a deuxème parte de cet artcle sera consacrée plus partculèrement à l'étude de cette nfluence magnétque, ce qu nous amènera à ntrodure les notons d'nductance mutuelle et d'auto-nductance. 3. A OI DE EZ Henrch EZ (84 865). Physcen allemand d'orgne germano-balte. (source: Wkpeda) En 834, alors qu'l état professeur à l'unversté de Sant Petersbourg, Henrch enz a refat les expérences de Faraday et leur a donné une nterprétaton physque très précse. a lo de enz s'énonce comme sut: e courant ndut produt à travers son propre crcut un flux magnétque qu tend toujours à compenser la varaton de flux qu lu a donné nassance. Prenons par exemple le cas de la premère expérence de Faraday, lorsque l'on approche le pôle nord de l'amant de la bobne (stuaton à la fgure 7, ère parte). e flux magnétque produt par l'amant dans la bobne augmente. Un courant ndut prend alors nassance dans cette bobne, avec un sens tel que le champ magnétque qu'l produt s'oppose au champ magnétque de l'amant, ce qu tend à compenser la varaton de flux magnétque dans la bobne. Dans la stuaton, on élogne le pôle nord de l'amant par rapport à la bobne. Dans ce cas, le flux magnétque à travers la bobne dmnue et le courant ndut a un sens contrare à celu du cas précédent; le champ magnétque produt par le courant vent renforcer celu de l'amant, ce qu tend c auss, à compenser la varaton de flux. Exemple 4 Un long solénoïde de 3 cm de damètre comporte spres/cm. Une bobne de cm de damètre et comportant spres jontves, est placée au centre de, de manère à ce que leurs axes coïncdent (fgure 9). On fat passer dans la bobne un courant varant selon le graphque de la fgure. Calculer la force électromotrce ndute dans la bobne. Soluton orsque le courant dans la bobne passe de à ampères, le champ magnétque passe de à [relaton (5), ère parte ]: = µ n 4*π* 7* * 5,7* 3 = = tesla
/ Fgure 9: une bobne est placée au centre d'un long solénoïde, de façon à ce que leurs axes coïncdent. On s'ntéresse à la force électromotrce ndute dans lorsque le courant vare dans selon le graphque de la fgure. (ampère),,,3,4,5 t (seconde) d dt - ( 5 weber/s) 7,9 t (seconde),,,3,4,5-5,8 Fgure : le graphque supéreur représente la varaton dans le temps du courant dans la bobne. e graphque nféreur représente la vtesse de varaton du flux magnétque dans la bobne, en foncton du temps.
e flux magnétque correspondant dans vaut, en supposant le champ unforme dans le centre du solénoïde: 3/ *(,) S 5,7* 3 π = = * = 5,79* 6 4 weber e courant vare de à ampères en, seconde, la vtesse de varaton du flux magnétque dans vaut alors: d 5,79* 6 = = 7,896* 5 dt, weber / s a valeur c-dessus est auss (en valeur absolue) celle de la force électromotrce ndute dans une spre de la bobne. a force électromotrce totale ndute dans la bobne vaut donc (en valeur absolue), lorsque le courant est crossant: d u ( crossant) = 5 3 dt = 7,896* * = 7,9* volt orsque le courant est ramené à zéro, le flux passe de sa valeur maxmum à zéro en, seconde. a vtesse de varaton du flux vaut alors: d 5,79* 6 = = 5,79* 5 dt, weber / s e sgne mons dans la relaton précédente correspond à une dmnuton et donc à une vtesse de varaton négatve. Par consuent, la force électromotrce ndute dans vaut, lorsque le courant est décrossant: d u ( décrossant) = 5 3 dt = 5,79* * = 5,8* volt Cette force électromotrce ndute est donc de sens opposé à celle ndute lors de la crossance du courant. 4. 'IDUCTACE 4.. 'Inducton mutuelle Consdérons le système de la fgure dans lequel une bobne est raccordée à une source de tenson U par l'ntermédare d'une résstance varable R. Un courant crcule dans ce crcut, donnant leu à un flux magnétque. S une seconde bobne est placée dans le vosnage de, une parte du flux, que nous appellerons, traversera la surface défne par la secton de la bobne. Ce flux réalse un couplage entre et. Joseph HERY (797 878). Physcen amércan. (source: Wkpeda)
S le courant vare dans la bobne, le flux varera suvant le même rythme. Selon la lo de Faraday, une force électromotrce ndute u apparaîtra aux bornes de : u d = (8) dt Dans la relaton (8), est le nombre de spres de (on suppose c que le flux est le même d pour toutes les spres de ) et est la vtesse de varaton du flux. Cette force dt électromotrce ndute donnera leu à un courant se manfestant par une dévaton du galvanomètre G. 4/ u u G R U Fgure : une bobne dans laquelle on peut fare passer un courant varable, est couplée magnétquement à une bobne branchée aux bornes d'un galvanomètre. Pour autant qu'aucun matérau ferromagnétque ne se trouve dans le vosnage des bobnes, le flux est drectement proportonnel au courant et la relaton (8) peut alors s'écrre comme sut, en appelant M le facteur de proportonnalté: u ( ) d( M ) d d d = M = = = dt dt dt (9) dt a force électromotrce ndute dans la bobne est donc drectement proportonnelle à la vtesse de varaton du courant dans la bobne. e phénomène de producton d'une force électromotrce ndute dans par un courant varable dans est appelé nducton mutuelle et le facteur de proportonnalté M est appelé nductance mutuelle. 'nductance mutuelle s'exprme en henry, en hommage à Joseph Henry qu a été un des premers à étuder le phénomène d'nducton. D'après la relaton (9), on peut écrre, pusque = M : M = ()
On peut donc dre que l'nductance mutuelle est égale au flux total produt à travers toutes les spres de, par unté de courant crculant dans. D'après la relaton (9), une nductance mutuelle de henry correspond à une force électromotrce de volt ndute dans, sute à une varaton de courant de ampère par seconde dans. Donc: V V s H A = A s = () S l'on nverse les rôles dans la fgure, c'est-à-dre s c'est la bobne qu est branchée sur la source de tenson et la bobne sur le galvanomètre, on observera un phénomène semblable d'nducton mutuelle entre les deux bobnes, caractérsé par une nductance mutuelle M. D'une façon générale, on a: M = M = M () a grandeur M est l'nductance mutuelle du système des deux bobnes. 5/ Remarque 4 'nductance mutuelle entre deux bobnes peut être augmentée dans de grandes proportons en plaçant à l'ntéreur des bobnes un noyau en fer (ou consttué d'un matérau aux proprétés magnétques semblables). Exemple 5 Calculer l'nductance mutuelle du système de bobnes de l'exemple 4. Soluton e champ magnétque produt par la bobne vaut: = µ n Dans cette relaton, n est le nombre de spres par unté de longueur de. e flux traversant la secton de la bobne vaut: = S = µ n S Selon la relaton () et en tenant compte de (), l'nductance mutuelle du système vaut: M = = µ n S = µ n S Avec les valeurs numérques de l'exemple 4, on obtent:
6/ π* (, ) M = µ n S *π* 7* * *,79* 3 = 4 = H Sot,79 mh. 4 4.. 'auto-nducton Dans l'expérence de la fgure, les varatons de flux magnétque produtes par la bobne ndusent une force électromotrce dans la bobne. A fortor, la bobne qu bagne dans son propre flux magnétque, sera auss le sège d'une force électromotrce ndute. Dans ce cas, on ne parle pas d'nducton mutuelle mas d'auto-nducton. S on suppose que le flux produt par la bobne est le même à travers toutes les spres de cette bobne (cas d'une bobne très serrée), la force électromotrce u ndute dans vaudra: u ( ) d d = = (3) dt dt Dans l'ar, le flux total est drectement proportonnel au courant dans la bobne. a relaton (3) peut donc s'écrre, en appelant le coeffcent de proportonnalté: u ( ) d( ) d d = = = (4) dt dt dt D'une façon générale, pour une bobne de spres traversée par un courant, l'nductance de cette bobne vaudra (s un même flux traverse toutes les spres de la bobne): = (5) a relaton (5) reste valable pour une bobne quelconque, mas le flux total sera plus complqué à calculer. e coeffcent est appelé auto-nductance ou plus smplement nductance de la bobne. Tout comme l'nductance mutuelle, l'nductance s'exprme en henry. En l'absence de matérau ferromagnétque dans le vosnage de la bobne, l'nductance de cette bobne ne dépend que des caractérstques géométrques de celle-c. Exemple 6 Calculer l'nductance d'un solénoïde de 3 cm de damètre et comportant 3 spres jontves répartes sur une longueur l = 3 cm. Soluton En supposant le champ magnétque unforme dans toute la bobne, le flux à travers une spre de la bobne vaut: e flux total vaut: = S = µ ns = µ l S
7/ = µ S l Fnalement, on obtent pour l'nductance: 3 π* (, 3) = = µ S *π* 7* *, 67* 3 H = 4 = l, 3 4 Sot 67 µh. Un calcul effectué avec la formule de agaoka donne: D( cm) 3 *3 ( µ H ) = = = 58 µ H * l( cm) + 45* D( cm) *3 + 45*3 Hantaro AGAOKA (865 95). Physcen japonas. (source: Wkpeda) 4.3. Expresson de l'nductance mutuelle en foncton de l'nductance des bobnes Consdérons les deux bobnes et de la fgure. On peut se demander quelle est la relaton entre l'nductance mutuelle M des deux bobnes et les nductances et de ces bobnes. Supposons que ces deux bobnes soent parfatement couplées; cela veut dre que tout le flux produt par M ( ) ( ) Fgure : deux bobnes et couplées; comporte spres et en comporte. On cherche la relaton entre l'nductance mutuelle M et les nductances et des bobnes. (lorsqu'elle est traversée par un courant) traverse les spres de et vce versa ( = et = ). Dans ces condtons, l'nductance mutuelle M des deux bobnes est à sa valeur maxmum M max. Fasons passer un courant de ampère dans la bobne et sot le flux produt par ous pouvons alors écrre, en foncton des relatons (), () et (5):
8/ max = M = = = (6) De même, en fasant passer un courant de ampère dans : max = = M = = (7) En multplant la premère relaton de (6) par la premère de (7) et la deuxème de (6) par la deuxème de (7) on obtent: M max = = (8) On en dédut mmédatement la relaton entre M max et et : M max = ou M max = (9) 'nductance mutuelle de deux bobnes peut varer, selon le degré de couplage des bobnes, entre M = et M = M max ; elle est au maxmum égale à la moyenne géométrque des deux nductances et. On défnt le coeffcent de couplage k de deux bobnes par la relaton: M M k = = () M max a relaton () montre que le coeffcent de couplage vare entre (couplage nul) et (couplage parfat). Remarque 5 e couplage entre deux bobnes peut être fortement augmenté en plaçant les bobnes sur un noyau en matérau ferromagnétque commun. 4.4. Inductances en sére ous termnerons cet artcle par l'étude de l'nductance uvalente à deux nductances en sére. ous consdérons c le cas de deux bobnes et connectées en sére (fgure 3) et entre ( ) ( ) Fgure 3: deux bobnes d'nductances et connectées en sére. On s'ntéresse à l'nductance totale du système.
lesquelles peut exster un couplage défn comme c-dessus par son coeffcent k [relaton ()]. Ces deux bobnes comportent respectvement et spres et sont caractérsées par leurs nductances et ; l faut ben noter que et sont les nductances des bobnes consdérées séparément l'une de l'autre (c'est-à-dre dans le cas où aucun couplage n'exste entre les deux bobnes). ous désrons calculer l'nductance uvalente du système consttué par et. S le couplage entre les deux bobnes est nul (k = ), on a smplement, comme dans le cas de deux résstances en sére: = + () Dans le cas où le couplage entre et n'est pas nul, le flux produt par (lorsqu'elle est traversée par un courant) va renforcer ou atténuer le flux produt par et récproquement. Supposons que les deux bobnes de la fgure 3 soent coaxales et que leurs enroulements soent dans le même sens. Dans ce cas, les flux produts par les bobnes vont se renforcer mutuellement. S les enroulements sont en sens contrares, les flux vont s'atténuer. Pour tenr compte de ce renforcement ou de cette atténuaton, nous devons donner un sgne au coeffcent de couplage k; k peut donc varer c entre - (atténuaton totale) et + (renforcement total). S k est par exemple >, nous pouvons changer le sgne de k de tros façons: ) changer le sens de l'enroulement d'une des deux bobnes (cas n de la fgure 4). ) permuter les connexons d'une des deux bobnes (cas n de la fgure 4). 3 ) fare tourner une des deux bobnes de 8 par rapport à l'autre (cas n 3 de la fgure 4); dans ce cas, k vare de façon contnue de - à + (du mons théorquement). 9/ Même sens d'enroulement Connexons de permutées k > k < Enroulements de sens contrares Rotaton de 8 d'une des deux bobnes k < 3 k < Fgure 4: tros façons de modfer le sgne du coeffcent de couplage k entre les deux bobnes et.
/ Pour calculer l'nductance uvalente du système formé par les deux bobnes, nous devons d'abord calculer le flux total dans chacune des deux bobnes. ous avons, pour : total = + = + k () Dans la relaton (), est le flux produt par et = k est la parte du flux produt par qu traverse les spres de. De même, nous avons pour : 'nductance uvalente vaut alors: total = + = + k (3) total total = + (4) Dans la relaton (4), est le courant traversant les bobnes. En remplaçant dans (4) les flux totaux par leurs expressons () et (3), on obtent: : k k = + + + (5) Compte tenu du fat que =, = et k k M = =, (5) peut s'écrre: = + + M (6) Ou encore, pusque M = km max = k : = + + k (7) Dans le cas de deux bobnes coaxales, l'nductance uvalente peut varer, selon le sgne de k, de mn = + (pour k = -) (8) à = + + max (pour k = +) (9) Pour k = (pas de couplage entre les deux bobnes), on retrouve ben la relaton (). S les deux bobnes sont dentques ( = = ), l'nductance totale varera de = (pour k = -) à mn = 4 (pour k = +). C'est le prncpe du varomètre, un assemblage de deux bobnes max coaxales dont l'une peut tourner de 8 par rapport à l'autre. Dans la pratque, à cause des futes de flux, on n'attent pas les lmtes données c-dessus. Il faut noter également que le varomètre n'est
/ pas le melleur procédé pour obtenr une nductance varable. En effet, la longueur de conducteur reste la même quelque sot la valeur de l'nductance; cela entraîne une dégradaton du facteur de qualté de la bobne lorsque l'nductance dmnue. e cas de deux nductances couplées en parallèle est plus complqué à étuder du fat que les courants dans chacune des deux nductances dépendent de ces nductances qu elles-mêmes dépendent de ces courants. a varaton d'nductance uvalente que l'on obtent n'est pas auss mportante que dans le cas précédent (théorquement, de à la valeur de la plus pette des deux nductances). O5WF (on5wf@uba.be) IIOGRAPHIE. P. erché, "Pratque et théore de la TSF", Publcatons et édtons françases de la TSF et Radovson 934.. E. Gllon, "Cours d'électrotechnque", Dunod 96. 3. D. Hallday & R. Resnck, "Physcs Part ", Wley 96. 4. J. Qunet & A. Pettclerc, "Théore et pratque des crcuts de l'électronque et des amplfcateurs Tome ", Dunod 968. 5. R. M. Esberg &. S. erner, "Physcs Foundatons and Applcatons", Internatonal Student Edton 98. 6. G3YH, "From Transmtter to Antenna", Inductors and transformers. http://www.g3ynh.nfo/zdocs/ndex.html.