8 e Coférece Iteratoale de MOdélsato et SIMulato - MOSIM 0-0 au 2 ma 200 - Hammamet - Tuse «Evaluato et optmsato des systèmes ovats de producto de bes et de servces» LE PARAMETRAE U MRP SOUS INCERTITUES E ELAIS APPROVISIONNEMENTS ET EMANE : LE CAS E SYSTEME ASSEMBLAE A UN NIVEAU F. HNAIEN LOSI / UTT Troyes 2 rue Mare Cure, Troyes Cedex - Frace Facel.Hae@utt.fr A. OLUI 2I / ENSM-SE Sat-Etee 58 Cours Faurel, 42023 Sat-Etee - Frace olgu@emse.fr RESUME : Nous cosdéros le problème de plafcato d approvsoemet et gesto de stocks pour le cas d assemblage d u produt f à partr de composats. Les composats sot commadés chez des foursseurs extéreurs af de satsfare la demade e produt fs. Les délas d approvsoemets e composats sot aléatores as que la demade e produts fs. L etreprse qu s occupe de l opérato d assemblage dot détermer combe commader et à quelle date lacer les ordres d approvsoemets chez les foursseurs? L objectf est de mmser le coût total composé du coût de stockage de composats, du coût de retard de lvraso de produts fs, et des pertes lées à la quatté de produts fs soldés et du ga perdu. Nous offros la modélsato aalytque du problème. Pluseurs proprétés de la focto objectf sot démotrées. Ces proprétés sot utlsées das le développemet d ue procédure par séparato et évaluato. Pluseurs tests sot effectués et dfféretes coclusos sot présetées. Cette étude peut être utlsée pour le paramétrage du MRP, plus précsémet pour le calcul de délas de sécurté et de stocks de sécurté sous certtudes des délas d approvsoemets et de demade. MOTS-CLES : déla d approvsoemet aléatore, demade aléatore, système d assemblage, plafcato d approvsoemet, gesto de stocks. INTROUCTION La plafcato d approvsoemets effcace est ue focto très mportate pour la gesto des etreprses dustrelles. E effet, ue mauvase poltque de gesto des stocks codut sot à des stocks utles sot à des ruptures. Les stocks coûtet de l'arget et mmoblset des fods. Ue rupture de stock codut à ue péalté due aux commades satsfates. Les méthodes de plafcato de type MRP sot les méthodes les plus coues das le cotexte dustrel (Axsäter, 2006). Les systèmes MRP sot acceptés faclemet par les dustrels, la majorté des décdeurs dustrels sot famlers avec eux à travers tous les systèmes exstats de gesto formatque de la producto. Les techques MRP dsposet d'u système d'formato be développé et ot fat leurs preuves au fl du temps. Toutefos, MRP est basée sur l hypothèse que la demade et les délas d'approvsoemet sot cous. Cepedat, das le mode dustrel, o costate que les délas d approvsoemet varet souvet d ue maère aléatore. Les délas d approvsoemets des composats fs sot raremet prévsbles d ue maère fable. E effet, l y a certas facteurs aléatores tels que les paes de maches, le retard de trasport, etc. Par coséquet, les hypothèses détermstes tégrées das les systèmes MRP cocerat le temps d approvsoemets sot souvet trop restrctves. Comme a été dqué das pluseurs artcles, dfféretes sources d certtudes peuvet exster le log de la chaîe logstque. Pour évter les coséqueces de ces certtudes, les etreprses utlset les stocks de sécurté ou les délas de sécurté, les deux provoquet des stocks complémetares qu sot coûteux. S ces stocks ou délas e sot pas satsfasats cela provoque des ruptures e produts fs et des coûts correspodats. Par coséquet, l est souhatable de développer des méthodes de plafcato des approvsoemets mmsat tous ces coûts e teat compte des proprétés stochastques des délas d approvsoemets et de la demade. as l approche MRP, ue dstcto mportate est fate etre la demade pour le produt fal, c'est-à-dre la demade dépedate, et la demade d'u de ses composats, c'est-à-dre la demade dépedate. La demade dépedate est coue ou prévue par les méthodes qu sot élaborées das le cadre de "la prévso des vetes". Les demades dépedates peuvet être calculées à partr de la demade dépedate à l'ade de la omeclature du produt fs correspodat et les délas d approvsoemet plafés. Sous la logque MRP, le temps est découpé e tervalles dscrets appelés «tme buckets». Le déla
MOSIM 0-0 au 2 ma 200 - Hammamet - Tuse d approvsoemet est égal au ombre d tervalles écoulés etre la date de lacemet de l ordre et sa date de lvraso. La talle du lot est la quatté des artcles commadés. La méthode MRP est basée sur le calcul détermste : toutes les commades des composats sot lacées au plus tard, doc le coût total sera automatquemet le plus pett possble. Mas, s'l exste des facteurs aléatores, le ses de l'expresso «au plus tard» est certa. as ce cas, pour chaque paramètre de la méthode MRP, ous pouvos avor ue probablté de stockage des composats et ue probablté de rupture e produt fs. Par coséquet, l faut utlser le paramétrage de la méthode MRP, c.-à-d. le chox des valeurs optmales des paramètres mmsat les coûts de stockages et/ou de ruptures. Ce problème est appelé le paramétrage des systèmes MRP sous certtudes. eux sources d certtude touchet prcpalemet la méthode MRP (Nahmas, 997; Vollma et al., 997) : la demade et les approvsoemets. O peut ecore dvser ces certtudes e deux catégores : quatté et temps. La premère sgfe que les quattés foures sot dfféretes des quattés réelles demadées. La deuxème cocere les dates de demades ou de réceptos qu e sot pas respectées. Es (2002) a étudé l effet de l erreur de la prévso sur la performace de MRP et commet l certtude de la demade peut être meux tratée. L auteur s est téressé à l mpact de l augmetato de stocks et de délas d approvsoemets sur le veau de servce. A travers la smulato, l a motré que le veau de servce augmete lorsque le rato (prévso/demade) augmete. Il a égalemet motré qu e augmetat les stocks de sécurté et les délas d approvsoet, le veau de servce augmete auss. Iderfurth (2007) a étudé la performace des systèmes MRP et ses paramètres sous les certtudes de la demade et du redemet. La demade état supposée statoare, le déla d approvsoemet égal à zéro et le redemet état proportoel à la quatté commadée. L auteur a préseté ue expresso aalytque de stock de sécurté pour les los coues uforme et ormale de la demade et du redemet quad la poltque d approvsoemet est la poltque Lot pour Lot. Nous ous téressos doc au problème de paramétrage du MRP sous certtudes de délas d approvsoemet et de demade pour le cas de système d assemblage à u veau. Af de se rapprocher de méthodes dustrelles de plafcato du type MRP, ous ous plaços das u evroemet temporel dscret (le temps est calculé e jours par exemple). As, ous supposos que les délas d approvsoemet e composats sot des varables aléatores dscrètes qu suvet ue lo quelcoque et coue. Nous supposos auss que la demade est aléatore et qu elle sut ue lo dscrète quelcoque. Nous cherchos alors les valeurs optmales des dates de lacemet des ordres aux foursseurs et la quatté optmale à commader à chacu d etre eux e mmsat le coût total moye dut par ces certtudes. Notos que ous teos compte das otre modèle de l terdépedace des stocks. Sgalos que ous lmtos otre étude à la plafcato à capacté fe. Pour étuder ce problème, ous ous sommes essetellemet basés sur les travaux de Ould Louly et al., (2008 a et b), Ould Louly et olgu (2008) sur les systèmes d assemblage à u seul veau. Les auteurs ot étudé le problème de plafcato à u seul veau das le cas où les délas d approvsoemet suvet ue lo dscrète et la demade est coue est costate. Leur objectf état de trouver les stocks taux e composats qu permettet de rédure le coût total moye composé du coût de stockage des composats et du coût moye de rupture e produt f. Pour trouver la soluto optmale, ls ot proposé ue procédure de séparato et évaluato (PSE) basée sur des proprétés de domace et sur u calcul de bores féreures et d ue bore supéreure de la focto objectf. 2 ESCREPTION U PROBLEME Nous étudos le cas de système d assemblage à u veau. U produt f est obteu par l assemblage de types de composats dfférets (vor fgure ). Composat Composat Composat Produt f Fgure : Système d assemblage à u veau Nous utlsos par la sute les otatos suvates : emade e produts fs (varable aléatore dscrète), Nombre de types de composats écessares pour l assemblage de produt f, d Quatté écessare de chaque type de composat pour assembler ue uté de produt f,
MOSIM 0-0 au 2 ma 200 - Hammamet - Tuse r Prx de vete d ue uté de produt f, est supposée ulle). Le coût de stockage HC des composats est doc égal à : h Coût utare de stockage d u composat par pérode, b Coût utare de retard de début d assemblage d u produt f par pérode, s Coût utare de vete de produt f soldé par pérode, c Coût utare de producto de produt f par pérode, L éla d approvsoemet des composats (varable aléatore dscrète), u valeur maxmale de déla d approvsoemet de composats ( L u ;, 2,..., u max u, ); m valeur mmale de la demade,,..., max valeur maxmale de la demade ), ( m max x éla d approvsoemet calculé pour les composats de type, q La quatté commadée (plafée) du produt f, q La talle de lot de composats ( q q d ), X Vecteur de délas d approvsoemet plafés x,..., x ), ( L Vecteur de délas d approvsoemet réels (aléatores) x,..., x ), ( E [.] Espérace mathématque, F [.] Focto de répartto, Z Focto égale au maxmum de Z et 0 : max(z,0). L etreprse lace ses ordres aux foursseurs. Chaque foursseur lvre les composats écessares avec u déla de lvraso aléatore. Les composats sot esute utlsés pour assembler le produt f. L certtude de délas d approvsoemet egedre : Stockage des composats (=,,) s ls arrvet avat la date prévue d assemblage (ou s l y a u retard e lvraso d u type de composats). Cette date d assemblage est supposée la même que la date d achèvemet exgée par le clet (la durée d assemblage L HC q h max l x l x. (),.., U retard e lvraso de produts fs s les composats arrvet après la date prévue d achèvemet. Le retard est perms mas péalsé (l y a u coût de retard). Le coût de retard e produt f est le suvat : TC b max l x. (2),.., A so tour, l certtude de la demade egedre: U surplus e ombre de produts fs et doc ue quatté de produts o vedus. Ce surplus est supposé vedu plus tard au prx soldé. Le prx de vete d ue uté soldée est féreur au coût de producto. as le cas cotrare, l serat proftable de produre e e surplus r c s. La perte due à ce surplus est doc : SC ( c s) q. (3) U ga perdu (due à ue sous estmato de la demade). Le coût de cette perte est : LC ( r c) q. (4) Le coût total est doc : C( X, L,, q) q h x l,.., b q ( h d ) max l x q ( r c q ( c s) ) (5) Les délas d approvsoemets l et la demade sot des varables aléatores. Le coût c-dessus est doc ue varable aléatore. Notre objectf est de mmser so espérace mathématque, c est-à-dre le coût total moye C( X, q) E C( X, L,, q) qu s exprme comme sut : Proposto : C( X, q) q ( r s) d h x E[ l ] b E[ ] q ( h d ) F F [ x k 0 [ q k] ( c s) ( q E( )) k 0 k] (6)
MOSIM 0-0 au 2 ma 200 - Hammamet - Tuse émostrato : Pour la démostrato, l sufft de motrer que : E max l x,.., F [ x k]. k 0 Etat doée que : E max,.., l x Pr max l x Pr max l x k 0,.., k 0,.., k k et état que les délas d approvsoemets sot dépedats : l x k Prl x k,..., l x k Pr max,.., doc : E max,.., l x 3 OPTIMISATION k 0 F [ x k] Pour optmser le crtère (6), ous proposos ue procédure par séparato et évaluato PSE. Nous commeços par préseter des proprétés de domace qu permettet de rédure l espace de recherche de soluto à chaque étape de la procédure. Esute, ous présetos des bores féreures de la focto objectf qu serot utlsées das otre PSE à chaque étape de calcul. Ef, ous présetos ue bore supéreure. Af de smplfer l écrture des équatos ous remplaços q par x + et le vecteur X représetera doc les + varables de décso (x, x,,x + ). Le coût C ( X, q) sera oté par C (X ). Sot l esemble des solutos réalsables [A, B], avec A= ( a, a 2,, a ), et B = ( b, b 2,, b ), avec a, b les valeurs mmales et maxmales possbles de x. Nous proposos quelques techques qu permettet de rédure ces tervalles : a x b,,,. Pour cela, ous trodusos les accrossemets partels à drote et à gauche de x comme cela a été fat das les travaux Ould Louly et al., 2008a,b., par exemple: ( X ) C( x,..., x,..., x ) C( x,..., x,..., x ),(7) ( X ) C( x,..., x,..., x ) C( x,..., x,..., x ). (8) Proposto 2 : Pour =,, : (X ) = x d h b E[ ] x ( h d ) Pour =+ : Pr j j k 0 j j ( X ) = d h x E[ l ] l x k F [ x k] (9) ( h d ) F [ x k] k 0 ( r s) F [ x ] ( c s) (0) Pour =,,+ : (X ) =- x,..., x,..., x ) () ( Proposto 3 : Nous obtedros les proprétés suvates :. Pour =,, : (X ) est crossat par rapport à x et décrossat par rapport à x j pour j dfféret de. (X ) est décrossat par rapport à x et crossat par rapport à x j pour j dfféret de. 2. Pour =+ : ( X ) est crossat par rapport à x +. ( X ) est décrossat par rapport à x +. Ces propostos sot évdetes, ous e fasos doc pas leur démostrato. 3. Proprétés de domace Nos développos ue PSE pour trouver les valeurs optmaux des x, a x b,,,. Il est cou que des proprétés de domace peuvet amélorer la performace d ue PSE. Nous obtedros les proprétés de domace suvates : Proposto 3 : S ( A, b ) 0 (pour =,,), alors la soluto X de [A, B] avec x = a est domée. (2) S ( B, a ) 0 (pour =,,), alors la soluto X de [A, B] avec x = b est domée. (3) émostrato : E effet, s ( b b tel que ( A, ) 0, alors le vecteur A, ) est domé par le vecteur
MOSIM 0-0 au 2 ma 200 - Hammamet - Tuse,..., a..., a, b a car e utlsat la défto de la focto X ous obteos l'égalté strcte : C a,..., a,..., a, b ) C a,..., a,..., a, b ). E ( plus, pour tout vecteur ) ( ( X, b de [, B] x, ous auros l'égalté suvate : a ( x,..., x, a, x,..., x, b) ( a,..., a,..., a, b) car la focto X 0, A tel que est décrossate par rapport à pour j dfféret de. Le vecteur X, ) de [ A, B] tel que (,..., x, a, x,2,..., x, b ( b x a est doc, à so tour, domé par le vecteur x ). La proprété () est doc vérfée, la proprété () se démotre de la même faço. C.Q.F. Ces proprétés de domace peuvet être utlsées pour développer des coupes effcaces. E effet, das otre PSE, après u brachemet, deux œuds (descedats) sot crées. Pour chacu de ces œuds, pluseurs coupes peuvet être applqués pour rédure l espace de recherche correspodat (qu correspod au œud e questo) avat de passer au brachemet suvat. La valeur maxmal de x qu satsfas la codto (3) doe ue lmte supéreure b, et la valeur mmale de x qu satsfas la codto (2) doe ue lmte féreure de a pour chaque varable x. La valeur optmale de x dot respecter la codto : a x b. 3.2 Bore féreures de la focto objectf Nous avos égalemet beso de bores féreures à chaque étape de la procédure. as cette secto, ous développos ces bores. Proposto 4 : Nous avos les deux bores féreures suvates de la focto objectf sur l espace [A, B] : BI = (A) 2 C + ( b a )m ( b,..., b, a,..., a ), 0 d h a E[ l] ( h d ) F [ b k] k 0 F [ a ] ( c ) ( r s) s (4) BI = (B) C + ( b a )m ( a,..., a, b,..., b ), 0 + d h E[ l ] b ( h d) F [ a k] k 0 ( r s) F [ b ] ( c s) (5) x j émostrato : C ( X ) C( A) k k = x,..., x, a s a k x a s0 x a s0 k k k,..., + x,..., x, a s E utlsat le fat que : Pour k=,, : x x, a s,..., a b,..., b, a a k,..., k k k k k,..., Et que : x x, a s x,..., x a,,..., Et que x x a = d h x E[ l],...,, ( h d ) F [ x k 0 ( r s) F [ a ] ( c s) d h a E[ l ] ( h d ) F [ b k] k 0 ( r s) F [ a ] ( c s) oc ous obteos : C ( X ) C( A) xk ak k b,..., bk, ak,..., a k k] bk ak m k b,..., bk, ak,..., a, 0 k La premère bore féreure est doc démotrée. e la même maère, ous motros la deuxème bore féreure : C ( X ) C( B) b x k k = x,..., x, x s, b b k s0 b x s 0 k k k k..., + x,..., x x s E utlsat le fat que : Pour k=,, : k, x,..., xk, xk s, bk,..., b
MOSIM 0-0 au 2 ma 200 - Hammamet - Tuse Et k a,..., ak, bk, bk,..., b x x, x s x,..., x b,,..., Et x x b = d h x E[ l],...,, ( h d) F [ x k] k 0 ( r s) F [ b ] ( c s) d h E[ l ] b ( h d) F [ a k] k 0 ( r s) F [ b ] ( c s) oc ous obteos la deuxème bore féreure. C.Q.F. Comme bore féreure, ous utlseros das la PSE : BI= max (BI, BI 2 ) (6) 3.3 Bore supéreure Cette procédure commece par l talsato de l espace de recherche : A,...,,, m u,..., u, B u,...,. max Esute, la procédure suvate est applquée : BS m C( A), C( B) -Rédure l espace de recherche [ A, B] e utlsat les proprétés de domace. Tat que (le cardal de [ A, B] est supéreur à ) fare : - Séparer [ A, B] e deux sous esembles [A, B ] et [A, B] (cette dvso du pavé [A, B] e deux pavés [A, B ] et [A, B] est fate e coupat le coté le plus log du pavé [A, B]). - BS la soluto avec le coût le plus fable, chose parm les quatre possbltés : A, B, A ou B. - S A ou B alors [ A, B] [ A, B so [ A, B] [ A, B F S F Tat que 3.4 Algorthme PSE L algorthme PSE que ous proposos utlse pour brachemet le schéma suvat. L esemble des solutos, représeté par le pavé [ A, B], dot le cardal est le plus grad est dvsé e deux sous-esembles fls [ A, B ] et B [ A, ]. Avat d'être tégré das l'arbre, chaque sousesemble fls est rédut e utlsat les proprétés de domaces. L'dée de base est doc la recherche e largeur d'abord mas avec des modfcatos e teat compte des résultats de la réducto. ébut A,...,,, m u,..., u, B u,..., max. Utlser les proprétés de domace pour rédure l esemble [A, B], BS la bore supéreure de ( [A, B] ) le_m_actuel BS La_soluto_actuelle celle doée par BS // Italser l esemble E des sous esembles E { [A, B] } S A B alors Tat que (E est pas vde) fare [A, B] l élémet de E de cardal maxmal E E - { [A, B] } vser [A, B] e deux sous-esembles: [A, B ] et [A, B] S (l esemble [A, B ] est pas domé, AB, et sa bore féreure BI < le_m_actuel ) alors o l ajoute à E : E E {[A, B ]} F S S ( A B et sa bore féreure BI < le_m_actuel) alors o l ajoute à E : E E { [A, B] } F S S (C(A ) < le_m_actuel ) alors le_m_actuel C(A ) La_soluto_actuelle A F S S (C(B ) < le_m_actuel ) alors le_m_actuel C(B ) La_soluto_actuelle B F S Elmer les élémets de E dot la bore féreure (BI) est plus grade que le_m_actuel. F Tat que F S F
MOSIM 0-0 au 2 ma 200 - Hammamet - Tuse 4. EXEMPLE NUMERIQUE Cosdéros l exemple suvat d u système d assemblage de 0 composats. La quatté d de composat écessare pour assembler ue uté de produt f est égale à, =,,0. Le prx de vete r d ue uté de produt f est égal à 0. Le coût de producto c est égal à 5. Le coût utare de vete s de produt f soldé est égal à 3. Le coût utare de retard b de produt f est égal à 5. Les coûts de stockage utares au veau et au veau 2 sot présetés das le tableau. 2 3 4 5 6 7 8 9 0 h 2 0.5 0.3.5.4 0.8 0.7.2.8 Tableau : Les coûts de stockages utares Les valeurs maxmales u de tous les délas d approvsoemet sot égales à 5. Les los de probabltés des délas d approvsoemet sot reportées das le tableau 2. w 2 3 4 5 Pr (L =w) 0.50 0.30 0.0 0.05 0.05 Pr (L 2 =w) 0.25 0.5 0.20 0.20 0.20 Pr (L 3=w) 0.5 0.30 0.20 0.5 0.20 Pr (L 4=w) 0.0 0.20 0.30 0.5 0.25 Pr (L 5=w) 0.40 0.0 0.20 0.5 0.5 Pr (L 6=w) 0.40 0.30 0.0 0.0 0.0 Pr (L 7 =w) 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 Pr (L 8 =w) 0.20 0.20 0.25 0.5 0.20 Pr (L 9 =w) 0.5 0.20 0.50 0.05 0.0 Pr (L 0 =w) 0.0 0.0 0.20 0.30 0.30 Tableau 2 : Lo de dstrbuto des délas d approvsoemet La demade e produt f pred eagalemet 5 valeurs possble ={,2,3,4,5} ( m = et max =5}. La lo de probablté de la demade est présetée das le tableau 3. w 2 3 4 5 Pr (L =w) 0.0 0.20 0.40 0.20 0.0 Tableau 3 : Lo de dstrbuto de la demade Les lmtes féreures et supéreures des varables de décso x (=,,) : a = et b =5. 4. Comportemet de PSE Le cardal de l espace de recherche tale est doc ) solutos (4882825 solutos poss- égal à 5 ( u bles). Nous avos obteu la valeur optmale de la focto objectf qu est égal à 56,8252. Nous l avos obteue après 2 tératos. La bore féreure à la premère térato est 79.6823 et la bore supéreure est 56,8252 et à la deuxème opérato la bore féreure est égale à la bore supéreure est égale à 56,8252. 4.2 Tests des performaces de l algorthme Les tests cosstaet à exécuter l algorthme sur 00 staces géérées d ue maère aléatore. Pour ces staces, le ombre des composats état chos parm les valeurs suvates [0, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 00]. Pour chaque ombre des composats, 0 staces dfféretes ot été géérées. Les doées de chaque stace sot : la focto de dstrbuto des délas d approvsoemets des composats et celle de la demade (le ombre de réalsato maxmale=5), les coûts utares de stockage des composats, le coût utare de retard e produt f, le coût utare de revet (coup de producto) et le coût utare d u produt soldé. E utlsat la PSE proposée, les staces de talle supéreure à 30 composats ot pas été résolues das u temps d ue heure vu le cardal très mportat de l espace de recherche das ce cas-là (vor le tableau 4). 0 20 30 40 50 60 70 80 90 00 3,76 PSE 0-5,23,26 Pas résolus Tableau 4 : Le temps moye de calcul (e secods) Les résultats motret l effcacté des algorthmes proposés pour les problèmes de pette et moyee talle. La résoluto optmale du problème déped doc fortemet de la qualté des proprétés de domace, des bores féreures et de la bore supéreure. 5. CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES Nous ous sommes téressés à la plafcato des réapprovsoemets des systèmes d assemblage quad les délas d approvsoemet des composats sot aléatores et la demade e produts fs est égalemet aléatore. Cette démarche s scrt das l étude plus géérale du paramétrage de la méthode MRP. Nous proposos ue ouvelle méthode d optmsato pour les systèmes d assemblage à u veau. Le crtère cosdéré est la somme du coût de stockage des composats, du coût de retard e produts, des pertes lés aux produts soldés et de gas perdus sute à ue sousestmato de la demade. Notre approche se base sur ue techque d optmsato avec des varables de décso etères, ce qu est plus adapté au cotexte de MRP qu ue approche cotue, plus souvet utlsée das la lttérature. Nous avos développé u algorthme d optmsato basé sur la techque de séparato et évaluato (PSE). Notre modèle est moo-pérode, c.-à-d. que l optmsato est fate pour ue seule pérode (pour ue demade à ue date précse). So utlsato pour ue
MOSIM 0-0 au 2 ma 200 - Hammamet - Tuse plafcato sur pluseurs pérodes peut e pas fourr des solutos optmales car, das ce cas, otre modèle surévalue l fluece égatve des délas aléatores (l e tet pas compte des compesatos possbles etre les stocks de dfféretes pérodes). as otre future recherche, ous voulos étedre le modèle et les techques proposés au cotexte multpérode. Nous allos ous appuyer sur les travaux de Ould Louly et olgu (2002; 2004, 2008) qu portet sur des modèles de plafcato mult-pérodes pour des systèmes d assemblage à u seul veau avec des délas d approvsoemet aléatores. Il serat alors possble de rédure davatage les stocks de composats. La dffculté est pas la modre, car e plus de la dépedace des stocks des composats du même veau (due à l opérato d assemblage), das les modèles multpérodes, ous devros auss cosdérer la dépedace etre les stocks des pérodes cosécutves et l effet de «crossovers» possbles. Ue autre pste de recherche cossterat à étedre otre étude aux systèmes d assemblage à plus d u veau et auss aux systèmes à plus qu u type de produts fs où les omeclatures se croset (les dfférets produts fs utlset les mêmes types de composats). REFERENCES Axsäter S., 2006. Ivetory cotrol, 2 d ed., Sprger. Nahmas, S., 997. Producto ad Operatos Aalyss. Irw. Vollma T.E., Berry W.L., Whybark.C., 997. Maufacturg Plag ad Cotrol Systems. Irw/Mcgraw-Hll. Es S.T., 2002. MRP performace effects due to forecast bas ad demad ucertaty. Europea Joural of Operatoal Research, 38(), pp. 87-02. Iderfurth, K., 2007. How to protect agast demad ad yeld rsks MRP systems. Iteratoal Joural of Producto Ecoomcs, do :0.06/j.jpe.2007. 02.05. Ould Louly M.-A., olgu A., 2002. eeralzed ewsboy model to compute the optmal plaed lead tmes assembly systems. Iteratoal Joural of Producto Research, 40 (7), pp. 440-444. Ould-Louly M.-A., olgu A., 2004. The MPS parameterzato uder lead tme ucertaty. Iteratoal Joural of Producto Ecoomcs, 90(3), 8, pp. 369-376. Ould Louly M.-A., olgu A., Hae F., 2008a. Optmal Supply Plag MRP Evromets for Assembly Systems wth Radom Compoet Procuremet Tmes. Iteratoal Joural of Producto Research, 46(9), pp. 544-5467. Ould Louly M.-A., olgu A., Hae F., 2008b. Supply plag for sgle-level assembly system wth stochastc compoet delvery tmes ad servce level costrat. Iteratoal Joural of Producto Ecoomcs. Avalable ole 5 jullet 2008 (Scece rect). Ould Louly M.-A., olgu A., 2009. Calculatg safety stocks for assembly systems wth radom compoet procuremet lead tmes: A brach ad boud algorthm. Europea Joural of Operatoal Research. 99(3), pp. 723-73.