Année 013/014 Tavaux paiques, L3 Elecomagnéisme 3 Encadan : Fank WAGNER : fank.wagne@univ-amu.f Responsable module: Géad TAYEB : gead.ayeb@univ-amu.f 3 séances de 4 heues Rende le compe-endu à la fin de la séance. Ne pas néglige les calculs d inceiudes.
TP 1 : Réflexion d une onde élecomagnéique polaisée pa une ineface diélecique On se popose dans ce TP de compae des mesues de éflecivié en inensié d une onde élecomagnéique polaisée e l expession héoique qui es donnée pa les «fomules de Fesnel». L ineface uilisée es de ype diélecique e on mesuea, ene aue, l angle de Bewse. Rafaîchissez vos connaissances su le suje (cous e aues souces). Appoez les fomules uiles en TP. Résumé de la héoie : Losqu une onde élecomagnéique plane se popagean dans un milieu diélecique d indice n 1 (supesa) encone une ineface plane avec un aue milieu diélecique d indice n (subsa), une paie de l onde es éfléchie pa l ineface e l aue paie es ansmise (voi Figue 1). k 1 k n 1 Diope 1 n k Figue 1 : Une onde plane incidene su une ineface diélecique. Définiion des noaions. Les veceus de popagaion k 1, k e k ainsi que la nomale de l ineface fomen le plan d incidence qui es pependiculaie à l ineface (ou diope). Les facions éfléchie e ansmise de l onde incidene son déeminées pa les condiions de passage de l élecodynamique. (La coninuié de H e E à l ineface, où l indice indique la composane paallèle à l ineface). On défini les coefficiens de éflexion en champ,, pa E E 1, où E e E 1 son les ampliudes des champs éleciques de l onde éfléchie e de l onde incidene. Il fau disingue deux cas de polaisaion pou expime les : Cas E : losque le champ élecique es pependiculaie au plan d'incidence e paallèle au diope. Cas H : losque le champ magnéique es pependiculaie au plan d'incidence e paallèle au diope. Page 1
Les coefficiens de éflexion en champ, égalemen appelés les «coefficiens de Fesnel» dépenden du cas de polaisaion e valen: où E n cos n cos 1 dans le cas E e n1 cos n cos les angles e son liés pa la loi de éfacion : n cos n cos 1 H dans le cas H n cos n1 cos n1 sin n sin Ces coefficiens de Fesnel pemeen de calcule la facion d'énegie éfléchie R e la facion d'énegie ansmise T : R e, pou des milieux non-absobans : T 1 R (Tou ce qui n es pas éfléchi es ansmis) Incidences paiculièes : 1. Incidence nomale : 0 0 On obien n n 1 où le signe négaif (si n1 n1 n n ) indique un sau de phase de 180. Angle de Bewse : En polaisaion H, il exise un angle d incidence B pou lequel la éflexion es nulle, l angle de Bewse. Pou ce angle, qui es donné pa an n B n1, le ayon éfléchi e le ayon ansmis fomen un angle de 90. Maéiel uilisé : * Un module de diode lase émean un faisceau coninu (e ouge) de faible divegence. Comme la divegence du faisceau es faible, on conclu que les fons d ondes ne son pas ès coubés e on peu alos appoxime le faisceau pa une onde plane. (Bien que le faisceau soi limié laéalemen, ce qui n es pas le cas d une onde plane.) * Une phoodiode avec éleconique amplificaice eliée à un mulimèe. Le signal affiché es popoionnel à la puissance de la lumièe ouchan la paie acive de la phoodiode. Pa cone il fau faie aenion à la sauaion! * Un obje en vee avec au moins une ineface polie. * Un plaeau ounan avec gaduaions en degés e minues su lequel on posea l obje en vee. * Deux polaiseus à polymèe (Polaoïds ). Ce son des polymèes don on a aligné les molécules en éian la maièe e, pa la naue du polymèe ou pa un pos-aiemen adapé, le maéiau es alos conduceu dans le sens des molécules, mais pas pependiculaiemen à celles-ci. Ces polaiseus ansmeen la lumièe polaisée pependiculaiemen au sens des molécules conducices. * Un banc opique pemean de fixe les élémens (aues que la phoodiode). * Odinaeu avec un logiciel ableu (Micosof Excel, Open Office Calc ou similaie) e impimane. Véifie la pésence e le bon foncionnemen du maéiel. Page
Déoulemen des mesues : 1. Insallaion du monage : Posiionne les élémens e/ou véifie leu bon posiionnemen selon Figue. Polaiseu 1 Polaiseu Déeceu ou écan Souce Obje en vee Rail opique Figue : Schéma du monage. Les polaiseus 1 e son des polaiseus ecilignes. Le polaiseu fixe la polaisaion de la lumièe incidene su l ineface. Le polaiseu 1 peu sevi à égle l inensié de la lumièe (en effe, la souce éme une lumièe déjà polaisée, e qui doi passe à aves les polaiseus 1 e, chacun d ene eux éan suscepible, selon son oienaion, d aénue le faisceau). Alignemen des élémens : a. La diode lase doi émee hoizonalemen le long du banc opique. b. Mee la phoodiode su un pied indépendan du ail e à la bonne haueu. c. Posiionne l obje en vee su le plaeau ounan el qu il soi possible de mesue de gands angles d incidence sans qu il y ai des pees aux bods (voi Figue 3). NON NON OUI Figue 3 : Bon posiionnemen de l ineface pa appo au faisceau e à l'axe de oaion.. Recheche de l angle de Bewse : Sachan que l angle de Bewse pou un vee es un peu plus que 45, cheche l angle de Bewse exac. Il y a deux condiions à éalise : avoi la bonne polaisaion incidene su l ineface, e avoi le bon angle d incidence. On pocèdea donc de manièe iéaive, en minimisan l inensié du faisceau éfléchi (conôle su un écan) : - Cheche l angle qui donne la éflexion minimale. (On s appoche ainsi de l angle de Bewse.) Page 3
- Cheche la polaisaion qui donne la éflexion minimale. (On s appoche ainsi de la polaisaion P 1 ). Répée les deux éapes pou obeni l angle de Bewse exac. Aenion, il ne s agi pas d éeinde la lumièe incidene su l ineface au moyen des polaiseus P1 e P, mais d annule la éflexion su l ineface. Le phénomène doi êe sensible à l angle d incidence. Remaque 1 : Il n es pas possible d obeni une annulaion complèe de la éflexion, mais elle devien ès faible. Elle es d auan plus faible que nos yeux (comme ous nos sens) on une sensibilié logaihmique e déecen alos des minimes quaniés de lumièe dans un envionnemen sombe. Remaque : Ne pas oublie de noe à quelle lecue d angle coespond l incidence nomale e à pai de ce momen ne plus déplace l obje en vee pa appo au plaeau ounan. Remaque 3 : Ne pas passe op de emps pou cee éape (1/ h maximum). 3. Rese en polaisaion P, mais aénue le faisceau lase avec le polaiseu 1 jusqu à ce que la phoodiode ne saue plus. (Tes en diec ou à incidence asane.) 4. Rese en polaisaion P e mesue l inensié éfléchie en foncion de l angle d incidence. (Avec un pas de 5 ) Faie aenion aux poins suivans : a. Afin de mesue l inensié du faisceau éfléchi, il es nécessaie que TOUT le faisceau éfléchi pénèe la zone acive de la phoodiode. Cee siuaion es obenue si le signal es indépendan de peis mouvemens laéaux de la phoodiode. b. L incidence du ayon éfléchi su la phoodiode doi êe poche de 0. c. La lumièe lase n es pas la seule lumièe qui ouche la phoodiode! Chaque mesue consise en deux lecues : (i) une valeu avec le faisceau lase qui passe e (ii) une valeu avec le faisceau lase occulé (pa un obsacle, feuille de papie pa exemple) sans que ien d aue ne change (poes qui s ouven, lampes de poches qui s allumen, gens qui se déplacen ). d. Toue la mesue es à ecommence si, en une posiion quelconque, la phoodiode saue. 5. Passe en polaisaion S en uilisan la gaduaion su le polaiseu. Véifie l absence de sauaion de la phoodiode. Faie la mesue en polaisaion S. 6. Éeinde ous les appaeils quand vous avez eminé vos mesues (souce, déeceu, mulimèe). Analyse : Avan de commence l analyse des données, mone voe poocole de mesues compléé d une esimaion des inceiudes (lecues, sysémaiques ec.) à un encadan. 1 En «polaisaion P» le champ élecique es paallèle au plan d incidence. On la nomme aussi «polaisaion TM» (le champ magnéique es ansvese au plan d incidence). Dans le cous, vous palez de polaisaion H (le champ magnéique éan paallèle à l ineface ene les deux milieux diéleciques). Toues ces noaions son ideniques. La «polaisaion S» es pependiculaie à la «polaisaion P». Les noaions équivalenes son : «polaisaion TE» e «polaisaion E». Page 4
Compae vos mesues à la héoie en faisan un gaphe qui espece les convenions habiuelles : - Des poins de mesues son epésenés pa des poins non-connecés pa une ligne. - La coube héoique es epésenée pa une ligne fine (échanillonnée plus finemen que les mesues). - Une légende peme d idenifie quelle polaisaion a éé uilisée. - Un gaphe à un ie, deux axes avec uniés ec. - Le acé uilise un maximum de la suface définie pa les axes. Discuez bièvemen la concodance de vos ésulas expéimenaux avec les pévisions héoiques! (Indice de éfacion du vee : n = 1.5). Quesions annexes : 1. Donnez une gamme aisonnable encadan la longueu d onde de voe onde élecomagnéique.. Pouquoi un polaiseu polymèe ne laisse--il pas passe la lumièe qui es polaisée ecilignemen dans une ceaine diecion? 3. Quel compoemen R ( ) aendez vous pou de la lumièe non-polaisée? Repésene la coube héoique Vous avez 4 heues. Il fau ende le appo à la fin de la séance. L odinaeu doi sevi à faie des gaphes de bonne qualié, mais pas à édige le compe endu. Page 5
TP : Changemens de la polaisaion pa des milieux biéfingens On se popose dans ce TP d éudie l acion de milieux biéfingens su l éa de polaisaion de la lumièe qui les avese. Les milieux biéfingens ouven des applicaions echnologiques impoanes comme les isolaeus opiques, les ineupeus éleco-opiques e les écans à cisaux liquides (LCD). Rafaîchissez vos connaissances su les mos clés suivans : biéfingence, biéfingence oaoie, acivié opique, lame demi-onde, lame qua d onde e dispesion (n(λ)) en uilisan le cous e d aues souces. Résumé de la héoie : Losqu une onde élecomagnéique plane encone un diope sépaan un milieu isoope e un milieu anisoope (biéfingen), l anisoopie des consanes élecomagnéiques du maéiau (pemiivié ec.) a pou conséquence qu il exise dans le maéiau anisoope deux soluions de l équaion de popagaion. De ce fai, seuls ceains éas de polaisaion son pemis (peuven se popage) dans le milieu, on pale de polaisaions popes. En généal il exise deux éas de polaisaion popes qui son ohogonaux ene eux. Une onde d un éa de polaisaion quelconque qui ene dans le milieu peu alos se décompose en une supeposiion cohéene des deux éas de polaisaion popes. Les deux ondes popes se popageon dans le cisal, chacune avec sa viesse (avec son indice) e, à la soie du cisal, les deux ondes popes céeon pa supeposiion cohéene une onde ésulane qui coninuea sa popagaion dans le vide. En généal cee onde ésulane n a pas la même polaisaion que l onde incidene. Nous egadeons deux cas de biéfingence : 1. Celui de la biéfingence oaoie Pou les maéiaux ayan une sucue hélicoïdale, la popagaion dans le sens de l axe de l hélice peu se décie comme une supeposiion d une onde de polaisaion ciculaie gauche e d une onde de polaisaion ciculaie doie, avec des indices difféens. Nous uiliseons un cisal de quaz avesé dans une diecion paiculièe pa appo à sa sucue cisalline, mais on obiendai le même effe dans ceaines soluions sucées. On pale dans ce conexe aussi d acivié opique. La décomposiion d une onde de polaisaion eciligne en une onde de polaisaion ciculaie doie e une onde de polaisaion ciculaie gauche donne deux ondes de même ampliude. Une supeposiion cohéene d une onde de polaisaion ciculaie doie avec une onde de polaisaion ciculaie gauche de même ampliude donne une onde polaisée ecilignemen, quel que soi le déphasage des deux ondes (voi Figue 1). Une onde incidene de polaisaion eciligne es donc ansfomée pa ces maéiaux en une onde de polaisaion eciligne (dans ous les cas) avec une diecion de polaisaion aue que celle de l onde incidene. On mesuea l angle de oaion ene les polaisaions incidene e soane. Page 1
1 Figue 1 : Composiion d une onde de polaisaion linéaie (en ouge) à pai de deux ondes de polaisaion ciculaie de sens conaie e de même ampliude (en noi), e epésenées à insans ( 1 en ai plein, en poinillés). Toues les flèches doies epésenen des veceus du champ élecique. L onde se popage ves l obsevaeu.. Celui de la biéfingence uni-axiale Pou d aues milieux on peu décie la popagaion à pai d une décomposiion en deux ondes de polaisaion eciligne don les oienaions son pependiculaies. En généal il exise ois axes ohogonaux fixés pa la sucue cisalline. Chacun de ces axes coespond à un indice opique difféen. Souven deux des ois indices son ideniques e on pale de maéiaux uniaxes ca ces maéiaux on un seul axe opique. Un axe opique (souven l axe de syméie du éseau cisallin) coespond à une diecion de popagaion pou laquelle l indice opique ne dépend pas de la polaisaion. Dans les cisaux uniaxes, il exise aussi une polaisaion (eciligne) pou laquelle l indice ne dépend pas de la diecion de popagaion, on pale de polaisaion odinaie. La polaisaion odinaie es pependiculaie au plan fomé pa la diecion de popagaion e l axe opique du cisal. Le cas généal, plus compliqué, es celui des maéiaux biaxes. La décomposiion d une onde en deux ondes de polaisaion eciligne avec des oienaions pependiculaies (maéiaux uniaxes e biaxes) donne en généal des ondes d ampliudes difféenes (voi Figue a). La supeposiion cohéene des deux ondes popes donne une onde don l éa de polaisaion dépend du déphasage des deux ondes. Pa exemple : La supeposiion de deux ondes de même ampliude e de polaisaions ecilignes pependiculaies ayan un déphasage d un qua de la longueu d onde (ou, ce qui evien au même, un qua de la péiode) donne une polaisaion ciculaie (voi Figue b). Un élémen opique qui génèe un déphasage d un qua de la longueu d onde es appelé «lame qua d onde». Une «lame qua d onde» peu ainsi ansfome une polaisaion eciligne en une polaisaion ciculaie, ou ellipique, ou la laisse eciligne, en foncion de l oienaion ene l axe opique du cisal e la polaisaion eciligne incidene. Le deuxième exemple impoan es la «lame demi onde» qui povoque un déphasage d une demi longueu d onde ene ses deux ondes popes. Une polaisaion eciligne (on pale aussi d une polaisaion linéaie) incidene es alos ansfomée en une aue polaisaion eciligne qui es plus ou moins ounée pa appo à la polaisaion incidene (voi Figue b). Page
(a) Polaisaion incidene (b) Lame qua d onde 1 = 1 + 1 1 ν Polaisaions popes Axe opique du cisal Lame demi onde 1 1 Figue : (a) Décomposiion d une onde de polaisaion linéaie incidene (en bleu) en deux aues ondes de polaisaions ecilignes pependiculaies (les ondes popes du cisal, en noi). (b) Polaisaions incidenes (bleu) e ésulanes (ouge) généées pa des lames qua d onde (cas équilibé où la polaisaion incidene es à 45 des axes popes) e des lames demi onde (cas équilibé e cas généal). Dans les deux cas de biéfingence oaoie e biéfingence uni-axiale, les indices vus pa les deux ondes popes dépenden de la longueu d onde uilisée. Paiculièemen dans le cas de la biéfingence oaoie, cee dispesion n(λ) es impoane e peu êe mesuée facilemen. Paie I : Mesue de la dispesion de la biéfingence oaoie. Cee paie du TP es effecuée su un monage qui es aaché à un specomèe qui ien su un épied. ATTENTION DE NE PAS FAIRE BASCULER LE MONTAGE! Maéiel uilisé : * Comme souces de lumièe on uilisea : a) Une lampe specale à mecue, don on connai les lignes d émission, pou calibe le specomèe. b) Une lampe à incandescence pou mesue les oaions opéées pa le cisal de quaz à difféenes longueus d ondes. * Un condenseu (lenille) focalisea la lumièe su la fene d enée qui es collée su le pemie polaiseu don l oienaion es fixe. * Le monage opique suivan se à faie l image de la fene d enée su la fene églable du specomèe selon un schéma : plan focal / infini ; infini /plan focal (voi Figue 3). Si les disances son bien églées, les ayons son paallèles ene les deux lenilles. Page 3
Figue 3 : Schéma du monage éan aaché au specomèe. * C es ene ces deux lenilles, dans la égion où les ayons son paallèles, qu on peu insée le cisal de quaz d une épaisseu de 13.7 mm. * Devan la fene du specomèe se ouve un aue polaiseu, celui-ci éan moné dans une monue à oaion. Les deux polaiseus son des polaiseus à polymèe (Polaoïds ). Ce son des polymèes don on a aligné les molécules en éian la maièe e, pa la naue du polymèe ou pa un pos-aiemen adapé, le maéiau es alos conduceu dans le sens des molécules, mais pas pependiculaiemen à celles-ci. Ces polaiseus ansmeen la lumièe polaisée pependiculaiemen au sens des molécules conducices. * Le specomèe peme de décompose la lumièe avec une bonne ésoluion specale e la longueu d onde cenale (indiquée pa la flèche lumineuse) es églée en ounan le disque qui affiche une longueu d onde appoximaive en Å. * Un mioi sandad se à véifie le paallélisme des ayons ene les deux lenilles. * Odinaeu avec un logiciel ableu (Micosof Excel, Open Office Calc ou similaie) e impimane. Véifie la pésence e le bon foncionnemen du maéiel. Déoulemen des mesues : 1. Allume la lampe à mecue. Posiionne des écans pou ne pas ébloui les gens. Enleve le cisal de quaz. Véifie que le polaiseu ounan es placé devan la fene du specomèe. Véifie que la lumièe illumine la fene du specomèe.. Mesue les longueus d onde des lignes de la lampe à mecue : Deux jaunes, une vee, la plus foe des deux bleues e une violee. Compae les longueus d onde obenues avec les longueus d onde exaces : 579 nm, 577 nm, 546 nm, 49 nm e 436 nm e calcule la coecion qu il fau applique à la lecue su le specomèe pou obeni les vaies longueus d onde. 3. Remplace la lampe à mecue (ATTENTION CHAUD) pa la lampe à incandescence. Posiionne le condenseu pou que la lumièe de la lampe illumine la fene d enée. 4. Régle le monage pou obeni des ayons paallèles ene les deux lenilles (uilise le mioi pou faie le es de l auo-collimaion) e opimise la luminosié su la fene du specomèe. 5. En l absence du cisal de quaz, mesue quelle oienaion du polaiseu devan la fene du specomèe peme d éeinde la lumièe ansmise. Page 4
6. Insalle le cisal de quaz e mesue l évoluion de l angle de oaion de la polaisaion en foncion de la longueu d onde. Effecue une mesue ous les 0 nm dans l inevalle 650 nm 450 nm. Pou cela, noe les angles de l analyseu pemean d éeinde la longueu d onde que l on es en ain de mesue. (Cene la ligne sombe avec la flèche de lecue du specomèe. Le conase es bien meilleu dans le ouge ve que dans le bleu, donc, pou facilie le débu de la mesue, nous conseillons de commence la mesue dans le ouge ve.) Analyse : Avan de commence l analyse des données, mone voe poocole de mesues compléé d une esimaion des inceiudes (lecues, sysémaiques ec.) à un encadan. 1. Compae vos mesues à la loi empiique pou l angle de oaion θ en foncion de la longueu d onde λ qui pévoi θ ( λ) = C / λ (avec une consane C qui es posiive) en faisan un gaphe qui espece les convenions habiuelles : - Des poins de mesues son epésenés pa des poins non-connecés pa une ligne. - La coube héoique es epésenée pa une ligne fine (échanillonnée plus finemen que les mesues). - Une légende peme d idenifie les coubes. - Un gaphe a un ie, deux axes avec uniés ec. - Le acé uilise un maximum de la suface définie pa les axes.. Quelle coecion fau-il applique aux valeus d angles de oaion mesuées pou que les mesues suiven la héoie? Pouquoi a--on le doi de faie cee coecion? 3. Quelle es la valeu de la consane C si on expime λ en µm? 4. En egadan dans la diecion de popagaion, dans quelle diecion oune la polaisaion (sens des aiguilles d une mone ou sens invese)? 5. Quelle es (pobablemen) la oaion spécifique du quaz à 400 nm? (Le ésula a pou unié des /mm.) Paie II : Eude de «lames d ondes». Maéiel uilisé : * Un module de diode lase comme souce de lumièe. * Deux polaiseus * Une lame qua d onde Déoulemen des mesues : 1. Insalle deux polaiseus coisés, puis ajoue la lame qua d onde ene les deux polaiseus. Cheche l oienaion de la lame qua d onde pou laquelle on obien de nouveau l exincion complèe. Page 5
. Renvoye la lumièe de polaisaion eciligne à l aide d un mioi à aves la lame qua d onde e le polaiseu pou voi un poin su le boiie de la souce (à côé de l ouveue d où so le ayon lase). 3. Toune la lame qua d onde de 45 e véifie que la polaisaion es ciculaie. 4. Comme au poin, envoye la lumièe de polaisaion ciculaie à l aide d un mioi à aves la lame qua d onde e le polaiseu. Décie voe obsevaion. Analyse : 1. Décie commen vous avez véifié que la polaisaion es ciculaie.. Décie le foncionnemen de l isolaeu opique que vous venez de éalise. Dans quel cas ne foncionneai-il pas? Quesions annexes : 1. Une «lame demi onde» e un maéiau à biéfingence ciculaie ansfomen ous deux une polaisaion eciligne incidene en une aue polaisaion eciligne plus ou moins ounée pa appo à la polaisaion incidene. Quel paamèe (à pa le choix du maéiau) déemine l angle de oaion de la polaisaion?. Pouquoi me-on le cisal de quaz dans la zone où les ayons son paallèles? Vous avez 4 heues. Il fau ende le appo à la fin de la séance. L odinaeu doi sevi à faie des gaphes de bonne qualié, mais pas à édige le compe endu. Page 6
TP 3 : Guides d ondes e éflexions dans des guides d ondes On se popose dans ce TP d éudie deux ypes de guides d ondes. Un guide d onde méallique à une féquence d envion 10 GHz e un câble coaxial à des féquences plus basses. On véifiea que la longueu d onde guidée diffèe de la longueu d onde en popagaion libe e on essayea d exaie les popiéés de difféens éfleceus à pai de mesues d ondes saionnaies. Finalemen on expéimenea avec «l adapaion d impédance» en uilisan un câble coaxial. Rafaichissez vos connaissances su les mos clés suivans : Guides d ondes, consane de popagaion dans un guide, modes TE, modes TM, modes TEM, onde saionnaie e impédance en uilisan le cous e d aues souces. Pou cela vous pouvez essaye de éponde aux quesions faculaives poposées à la fin de l énoncé. Résumé de la héoie : Descipion du poblème Il s'agi d'une sucue méallique desinée à guide les ondes élecomagnéiques. Nous nous inéessons à un domaine où les féquences son de l'ode du GHz (ypiquemen: 10 GHz), e les longueus d'onde de l'ode du cenimèe. Le plus couan des guides méalliques es celui de secion ecangulaie. Ses dimensions inenes son classiquemen noées a (pei côé) e b (gand côé). Guide à secion ecangulaie Les pemiivié e peméabilié du diélecique qui empli le guide son ε (éel) e µ 0. Si le guide es empli d'ai, ε = ε 0. La viesse de la lumièe dans le diélecique es donc ω π c = 1 ε µ 0. On noe f la féquence, ω = π f la pulsaion. On pose k = = : le "ka" (ou c λ «nombe d onde») du diélecique. On désigne pa λ la longueu d'onde dans le diélecique de l'onde (monochomaique) considéée. Aux féquences uilisées, le méal consiuan les paois peu êe supposé comme infinimen conduceu avec une ès bonne appoximaion. Cela enaine que le champ élecique es en ou poin nomal aux paois, que le champ magnéique es en ou poin angen aux paois, qu'un couan supeficiel peu cicule su la paoi du guide, e qu'il n'y a pas (ou ès peu) de pees Joule. Page 1
On cheche des champs qui se popagen selon la diecion z dans le guide. On uilise la noaion complexe en exp( iω ), dans laquelle le lien ene les veceus éels e les veceus complexes es la suivane (exemple donné pou le champ élecique). On uilise ici des minuscules pou le champ éel ca la lee E es uilisée pa ailleus (voi ()): e( x, y, z, ) = Re[ E ( x, y, z) exp( iω)] (1) On cheche donc des champs sous la fome: E ( x, y, z) = E( x, y) exp(i γz) () H ( x, y, z) = H( x, y) exp(i γz) (3) où γ es une consane éelle (consane de popagaion de l'onde). En effe, les champs éels ésulans de ces expessions auon une dépendance selon z e de la fome cos( γz ω ), ce qui signifie que ces champs se popagen su l'axe des z avec une viesse (de phase): ω V phase = (4) γ ce qui jusifie le eme de "consane de popagaion" pou γ. Cee viesse de phase es oujous supéieue (ou égale) à la viesse de la lumièe dans le diélecique qui empli le ω 1 guide: Vphase = c = γ ε µ. 0 On défini la longueu d'onde guidée pa λ = π / γ : c'es la péiodicié spaiale de l'onde guidée, dans la diecion z. g Modes La echeche mahémaique des soluions (champs de la fome () e (3), e véifian de plus les condiions aux limies imposées pa le méal infinimen conduceu au niveau des paois du guide) mone que ces soluions fomen une suie discèe de modes de popagaion. Ces modes se décomposen en 3 caégoies: modes TE pou lesquels le champ élecique es ansvese: Ez = 0 modes TM pou lesquels le champ magnéique es ansvese: Hz = 0 modes TEM pou lesquels les champs élecique e magnéique son ansveses: Ez = 0 e H z = 0 Coube de dispesion: On appelle coube de dispesion la coube qui epésene ω (ou ou aue gandeu diecemen liée à la féquence) en foncion de la consane de popagaion γ. Modes TEM On mone que les modes TEM ne peuven exise que si le diélecique siué dans une secion du guide fome un domaine "non simplemen connexe". En langage plus clai, pou qu'un mode TEM puisse exise, il fau soi qu'il y ai un aue conduceu à l'inéieu du pemie (le cas le plus classique es celui du câble coaxial), soi que le guide soi fomé de deux conduceus paallèles (le cas le plus classique es celui de la ligne bifilaie). Page
Une des conséquences, c'es qu'il ne peu pas y avoi de mode TEM dans le guide à secion ecangulaie pésené plus hau. Exemples de sucues admean des modes TEM c Caacéisiques emaquables des modes TEM: ω 1. Pou les modes TEM, γ = k =. Cela signifie que la viesse de phase es égale à c, e c ceci quelle que soi la féquence. Conaiemen aux modes TE e TM, le guidage su un mode TEM n'inodui donc pas de dispesion.. Pou un guide donné, il n'exise qu'une seule sucue de champs ansveses E( x, y) e H( x, y). On peu donc die qu'une sucue donnée, si elle adme un mode TEM, n'en adme qu'un seul: la cae des champs ansveses es uniquemen imposée pa la géoméie. On mone que le champ élecique ansvese es le même que celui du condensaeu (en élecosaique) ayan pou amaues les deux conduceus du guide. 3. Un mode TEM es une soluion liée à la géoméie du guide que l'on a envisagé. En paique, le guide ne coninue jamais jusqu'à l'infini... Il se emine d'une manièe ou d'une aue, e quand l'onde TEM aive su cee exémié, il y en a une paie qui coninue hos du guide (si l'exémié n'es pas occulée pa un écan opaque aux ondes élecomagnéiques), e une paie qui es éfléchie. On mone qu'il exise une impédance caacéisique Z elle que si les deux conduceus du guide son coucicuiés pa cee impédance Z c, ou se passe comme si le guide éai infini, e donc il n'y a plus de éflexion à ce niveau. On mone que si C es la capacié pa unié de longueu du condensaeu ayan pou amaue les conduceus du guide (généalemen expimée en pf/m), si c es la viesse de la lumièe dans le diélecique, alos C Zc c = 1. Modes TE e TM Popiéés généales des modes TE e TM Il exise une infinié de modes TE e TM, mais cee infinié fome une suie discèe. Chaque mode peu êe caacéisé pa deux enies n e m. On palea donc de modes TE n, m e T M n, m. Toues les gandeus définies dans les lignes suivanes son elaives à un mode donné. En oue igueu, on devai donc les indice pa n,m, mais cela aloudiai op les noaions. On omea donc ces indices de numéoaion pou simplifie l'éciue. Page 3
A chaque mode es associé: une féquence de coupue f c : si guide, une pulsaion de coupue ω c : si guide, une longueu d'onde de coupue λ c : si f < f, le mode ne peu pas se popage dans le c ω < ω c, le mode ne peu pas se popage dans le λ > λ c, le mode ne peu pas se popage dans λ es égalemen le guide. Noe que λ éan la longueu d'onde dans le diélecique, c expimée "dans le diélecique ", une valeu k = π / λ c c Cee consane k c es une caacéisique fondamenale du mode. Elle es liée à la géoméie de la secion du guide. On mone la elaion fondamenale dans l'éude des modes TE e TM : k = k c + γ (5) Qui condui aux coubes de dispesion suivanes (selon les cas, il es plus commode de aisonne su la coube k( γ ) ou su la coube ω( γ ) ). Coubes de dispesion k( γ ) e ω( γ ), données schémaiquemen pou 3 modes. La coube ω( γ ) se dédui de k( γ ) en muliplian les odonnées pa c. Page 4
Pou une féquence d'exciaion donnée, on voi su la coube ω( γ ) que plusieus siuaions peuven se pésene: Aucun mode TE ou TM ne peu se popage. Un seul mode peu se popage (le guide es alos "monomode", e ce mode es appelé "mode fondamenal"). Cee siuaion es inéessane ca on connai pécisémen oues les caacéisiques de ce seul mode de popagaion Plusieus modes peuven se popage, avec des consanes de popagaion (donc des viesses de phase) généalemen oues difféenes On voi égalemen que pou un mode donné, la viesse de popagaion du mode V phase = ω / γ, qui es la pene de la doie qui elie l'oigine au poin de foncionnemen su la coube ω( γ ), dépend de la féquence, ce qui indui de la dispesion "due au guidage su les modes TE ou TM". Cee dispesion n'exise pas pou les modes TEM. On noea que la elaion (5) peu égalemen s'écie sous la fome équivalene: 1 = 1 + 1 λ λ λ c g (6) Popiéés spécifiques au guide ecangulaie Pou le guide ecangulaie de côés a e b (avec b > a), les valeus de k c des modes TE n, m e T M n, m son ideniques, e données pa n π m π 4π kc = + = a b λ c, avec n e m enies posiifs (7) e la cae de champ de chaque mode se dédui de la composane axiale nπx mπy Hz = H0 cos cos a b, pou les modes TE n, m (8) nπx mπy Ez = E0 sin sin a b, pou les modes T M n, m (9) Popiéés spécifiques au mode T E 0,1 Losqu'un champ élecomagnéique se popage dans un guide méallique, il appaai su les paois du guide un couan supeficiel. Les lignes de ce couan supeficiel son liées à la cae de champ à l'inéieu du guide, donc au mode. Pou le mode T E 0,1, il exise une ligne de couan paallèle à l'axe Oz, e siuée au milieu du gand côé du guide. En faisan une fene le long de cee ligne, on peube donc ès peu le couan de suface, e donc ès peu le mode. On se se de cee caacéisique pou sonde le champ à l'inéieu du guide, au moyen d'une ès fine sonde que l'on fai pénée dans le guide pa cee fene. En noan e x le veceu uniaie de l'axe des x, le champ élecique complexe du mode T E 0,1 es : πy E ( y, z) = E0 sin ex exp( iγz) (10) b Page 5
Réflexion e Taux d'onde Saionnaie (TOS) Si, dans une secion du guide que nous epèeons pa z = 0, se ouve un obsacle, ou oue modificaion de la secion du guide, les modes de popagaion son égalemen modifiés. La soluion sous fome de mode se popagean sous la fome cos( γz ω ) "jusqu'en z = + " es donc peubée. Il en ésule qu'une onde es éfléchie en z = 0. Si le guide es monomode, cee onde ne poua êe que le mode iniial, à la seule difféence qu'il se popage en diecion invese, e que son ampliude (complexe) es mulipliée pa un coefficien de éflexion complexe de module e d'agumen ϕ. Réflexion d'un mode su une disconinuié du guide placée en z = 0. En éduisan le poblème à un poblème scalaie (ce scalaie éan la composane selon x du champ élecique), le poblème se amène à l'éude d'une foncion i γ z iφ i γ z u( z) = A (e + e e ), avec γ > 0, 0 1, 0 < ϕ π (11) On mone facilemen que la connaissance de e ϕ. Plus pécisémen: u en foncion de z peme de déemine γ, u pésene des maxima e des minima en foncion de z (ineféence ene les deux ondes se popagean en sens invese): u( z) = A (1 + ) 1 + ( s 1)sin ( γz ϕ / ) (1) 1 1 s en posan s = (qui s'invese en = ), en noan m e M les valeus des 1 + 1 + s minima e maxima de u, on a s = m / M (13) On dédui donc de la posiion des minima e maxima, en uilisan (1), la valeu de γ, donc de la longueu d'onde guidée λ. g On dédui de la mesue de m e M la valeu de s, puis du module du coefficien de éflexion. On dédui de la posiion des minima la valeu de ϕ. En effe, on dédui de (1) que les minima de u son obenus pou γ z ϕ / = π / + p π (14) soi λ g λ g λ z p g ϕ = + + (15) 4 4 π La mesue de z peme donc de calcule ϕ, à la condiion de connaie l'enie p. Cee déeminaion se fea en noan que 0 < ϕ π, d'où λ g λ g λ g ϕ 3 λ < + < g (16) 4 4 4π 4 ce qui vous pemea de déemine p. Page 6
Paie I : Guide d onde méallique. Maéiel uilisé : Les monages son déjà ou pês e il ne fauda modifie que le composan siué à la fin du guide d onde. Les deux exemplaies du monage ne son pas ideniques, l un des deux ayan des composans en plus que nous n uiliseons pas. PARTICULIEREMENT POUR CE MONTAGE PLUS SOPHISTIQUE : NE PAS TOUCHER A D AUTRES VIS QUE CELLES DECRITES CI-DESSOUS. La descipion ci-dessous se esein alos aux élémens uilisés. * La souce es une «diode Gunn» qui éme une onde à une féquence pès de 10 GHz. Rien n es à égle su la souce ni pès de la souce, si ce n es de l allume au débu du TP e de l éeinde à la fin. (Banche le ansfomaeu / alimene la diode en 9 V en monan pogessivemen à pai de 0V) * La secion inene du guide ecangulaie vau a = 0.4 inch e b = 0.9 inch. * La souce es poégée des éflexions pa un isolaeu. Rien n es à égle. * Le pochain élémen que nous uilisons es une cavié accodable (cylinde veical qu on appelle ondemèe). L accod es éalisé au moyen de la vis siuée au dessus, e la féquence de ésonance es affichée. A la ésonance, le champ dans la cavié es ès fo, e on epèe la ésonance en obsevan un maximum de ension au niveau du déeceu implané dans l ondemèe. * Sui un aénuaeu vaiable (Une gande boie avec un affichage en db, ne pas ouche à l aénuaeu su la manipe dans la peie salle qui se ègle avec la vis micoméique). * Le disposiif de mesue des ondes saionnaies es en fin du monage e consise en un guide d onde ayan une fene le long de son axe, pa laquelle il es possible de déplace un déeceu à l inéieu du guide. * Les difféenes eminaisons du guide d onde que nous uiliseons son : - une plaque méallique - une plaque de PMMA - de l ai (sans ien) - de l ai avec le cone * Un mulimèe pou visualise les signaux des déeceus. Véifie la pésence e le bon foncionnemen du maéiel. Déoulemen des mesues : 1. Mesue la féquence du champ en uilisan la cavié accodable (l ondemèe) : Allume la souce. Régle l aénuaeu vaiable su 0 db. Enleve ou obsacle en soie du guide. Banche le mulimèe (Vols DC) su le déeceu deièe la cavié accodable. Cheche la féquence de ésonance. Noe sa valeu e son inceiude.. Déemine si le déeceu dans le guide d onde fendu donne un signal qui es popoionnel au champ ou un signal popoionnel à l inensié : Désaccode l ondemèe pou ne pas pede de la puissance dans la cavié cylindique. Régle l aénuaeu vaiable su 0 db. Banche le mulimèe (Vols DC) su le Page 7
déeceu dans le guide fendu. Fixe, au bou du guide d onde, la plaque d acie inox avec son côé lisse ves l inéieu. Mee le capeu pès de la plaque e mesue le signal en foncion des posiions avec un pas de 1 mm pès des minima. Véifie que la posiion lue su l échelle du guide fendu coespond bien à la disance ene le capeu (qui se ouve sous le cene du câble coaxial) e la plaque méallique en bou du guide. 3. Mesue aussi pécisémen que possible oues les posiions e valeus des minima e maxima de l onde saionnaie. En uilisan les quae eminaisons possibles : a) La plaque méallique b) La plaque de PMMA c) L ai (sans ien) d) L ai avec le cone 4. Aêe la souce (débanche le ansfomaeu / descende l alimenaion à 0V puis éeinde su la manipe dans la peie salle, éeinde le mulimèe e mee l aénuaeu vaiable à sa valeu maximale. Analyse : Avan de commence l analyse des données, mone voe poocole de mesues compléé d une esimaion des inceiudes (lecues, flucuaions) à un encadan. 1. Calcule la longueu d onde dans le vide à pai de la mesue de la féquence pa la cavié accodable. Calcule la longueu d onde de coupue λ C de noe guide pou noe mode (TE 0,1 ) en uilisan (7). Calcule la longueu d onde guidée héoique en uilisan (6) e la compae à la longueu d onde guidée mesuée.. Tace u (z) e dans Excel. u (z) avec l expession de l équaion (1) e en supposan un méal pafai 3. Tace le signal mesué dans le guide fendu en foncion de la posiion z du calcul (plaque à z = 0, mesues dans les z négaifs). 4. Pa compaaison ene la fome de la coube mesuée e celle de la coube héoique déduie si voe capeu mesue le champ ou l inensié. 5. En açan la coube héoique pou les mêmes valeus de z que les mesues déemine si voe capeu mesue le champ élecique ou le champ magnéique. 6. Impime le gaphe qui compae héoie e expéience apès l avoi fomaé en especan les convenions habiuelles : - Des poins de mesue son epésenés pa des poins non-connecés pa une ligne. - La coube héoique es epésenée pa une ligne fine (échanillonné plus finemen que les mesues). - Une légende peme d idenifie les coubes. - Un gaphe à un ie, deux axes avec uniés ec. - Le acé uilise un maximum de la suface défini pa les axes. Discue les déviaions des mesues de la coube héoique. Page 8
7. Repésene gaphiquemen les mesues de minima e maxima obenues avec les quae eminaisons. 8. Calcule la éflecivié e le changemen de phase à la éflexion pou les quae eminaisons. Ne pas oublie de discue les inceiudes. Paie II : Câble coaxial. Maéiel uilisé : * Un généaeu de basses féquences (GBF) qui peme de génée des pulses ecangulaies d un appo cyclique de 10%. * Deux câbles BNC longs * Un oscilloscope * Dives peis conneceus e câbles * Un poeniomèe * Un mulimèe Déoulemen des mesues : 1. Génée des pulses ecangulaies cous e espacés (appo cyclique de 10%) avec un aux de épéiion d envion 10 khz, e les visualise su l oscilloscope.. Envoye ces pulses aussi dans le câble coaxial long qui n es pas connecé de l aue côé. Repoduie de manièe schémaique le signal su l oscilloscope. 3. Aache le poeniomèe à la fin du câble. Mesue quelle ésisance il fau mee pou qu on ne voie plus la pésence du câble coaxial. 4. Eeinde les appaeils. Analyse : Décie e explique voe obsevaion. Que fau-il eeni pa appo aux câbles non-connecés dans l éleconique à «haue féquence»? A quoi se une adapaion d impédance? Quesions annexes : 1) Que epésene pou vous la viesse de la lumièe dans le diélecique c = 1 ε µ 0. Qu'esce qui se popage à cee viesse e dans quelles ciconsances? ) À pai de la elaion (1), des champs écis sous la fome () ou (3), e en supposan que les veceus E( x, y) e H( x, y) son éels, eouve que les champs éels associés on une dépendance selon z e de la fome cos( γz ω ). Page 9
3) On a di que λ g = π / γ es la péiodicié spaiale de l'onde guidée, dans la diecion z. Pouquoi donc? 4) Quelle es la coube de dispesion pou un mode TEM? 5) Pou les modes TM, oues les composanes des champs E( x, y) e H( x, y) se déduisen de E z ( x, y ). A pai de (9), se convaince que pou les modes T M n, m, n e m son focémen au moins égaux à 1. 6) A pai de la coube de dispesion e des dimensions du guide (a = 0.4 inch e b = 0.9 inch, 1 inch = 5.4 mm), calcule les féquences de coupue des modes associés aux couples ( n, m ) suivans: (0,1), (0, ), (1,0), (1,1). En déduie que le mode fondamenal es le mode T E 0,1. Dans quelle plage de féquences peu-on assue que le guide es monomode? 7) A pai de (1) e (10), déemine le champ éel e( x, y, z, ) le. du mode T E 0,1, puis décivez Vous avez 4 heues. Il fau ende le appo à la fin de la séance. L odinaeu doi sevi à faie des gaphes de bonne qualié, mais pas à édige le compe endu. Page 10