Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00) Chapitre 4 Lois de Probabilité Sommaire. Itroductio. 4. Lois discrètes..4.. Loi uiforme..4... Défiitio...4... Espérace et variace..5.. Loi de Beroulli..5... Défiitio...5... Espérace et variace.5.3. Loi Biomiale.6.3.. Défiitio...6.3.. Espérace et variace.. 8.3.3. Symétrie et récurrece de la loi biomiale..8.3.4. Stabilité de la loi biomiale 9.4. Loi de Poisso..9.4.. Approximatio d ue loi biomiale 9.4.. Loi de Poisso...0.4.3. Espérace et variace.4.4. Stabilité de la loi de Poisso...5. Loi biomiale égative..
Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00).5.. Défiitio...5.. Espérace et variace.3.6. Loi géométrique.3 3. Lois cotiues 4 3.. Loi uiforme 4 3... Défiitio.4 3... Espérace et variace 5 3.. Loi ormale ou loi de Laplace-Gauss. 6 3... Défiitio.6 3... Etude de la foctio desité de probabilité.7 3..3. Espérace et variace 7 3..4. Stabilité de la loi ormale.8 3.3. Loi ormale réduite.8 3.3.. Défiitio. 8 3.3.. Etude de la foctio desité de probabilité.9 3.3.3. Espérace et variace 9 3.3.4. Relatio avec la loi ormale.0 3.3.5. Calcul des probabilités d ue loi ormale..0 3.4. Lois déduites de la loi ormale... 3.4.. Loi du χ de Pearso... 3.4.. Loi de Studet..3 3.4.3. Loi de Fisher-Sédécor.. 4 4. Covergece.5 4.. Covergece e loi 5 4.. Le théorème cetral limite 5 4.3. Covergece vers la loi ormale 7 4.3.. La loi biomiale.. 7
Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00) 4.3.. La loi de Poisso....7 4.4. Iégalité de Bieaymé-Tchébycheff....7 4.4.. Iégalité de Markov...8 4.4.. Iégalité de Bieaymé-Tchébycheff.. 8 3
Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00) Itroductio Il est toujours possible d associer à ue variable aléatoire ue probabilité et défiir aisi ue loi de probabilité. Lorsque le ombre d épreuves augmete idéfiimet, les fréqueces observées pour le phéomèe étudié tedet vers les probabilités et les distributios observées vers les distributios de probabilité ou loi de probabilité. Idetifier la loi de probabilité suivie par ue variable aléatoire doée est essetiel car cela coditioe le choix des méthodes employées pour répodre à ue questio biologique doée (chapitre 5 et 6). Idetifier la loi de probabilité suivie par ue variable aléatoire doée est essetiel car cela coditioe le choix des méthodes employées pour répodre à ue questio biologique doée (chapitre 5 et 6). Lois discrètes Par défiitio, les variables aléatoires discrètes preet des valeurs etières discotiues sur u itervalle doé. Ce sot gééralemet le résultat de déombremet.. Loi uiforme.. Défiitio Ue distributio de probabilité suit ue loi uiforme lorsque toutes les valeurs prises par la variable aléatoire sot équiprobables. Si est le ombre de valeurs différetes prises par la variable aléatoire, i, P(X = x i ) = Exemple : La distributio des chiffres obteus au lacer de dé (si ce derier est o pipé) suit ue loi uiforme dot la loi de probabilité est la suivate : X 3 4 5 6 P X = x ) ( i 6 6 6 6 6 6 4
Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00) 6 avec pour espérace : E(X ) = i = 3,5 et pour variace V(X ) = 6 i= 6 où les valeurs x i correspodet au rag i de la variable X das la série. 6 i = i E(X) =,9.. Espérace et variace Das le cas particulier d ue loi discrète uiforme où les valeurs de la variable aléatoire X correspodet au rag x i = i ( i [, ]) E(X) = + et V(X) = Démostratio.. Loi de Beroulli.. Défiitio Soit u uivers Ω costitué de deux évetualités, S pour succès et E pour échec Ω = {E, S} sur lequel o costruit ue variable aléatoire discrète, «ombre de succès» telle que au cours d ue épreuve, si S est réalisé, X = si E est réalisé, X = 0 O appelle variable de Beroulli ou variable idicatrice, la variable aléatoire X telle que : X : Ω R X (Ω) = {0,} La loi de probabilité associée à la variable de Beroulli X telle que, P(X = 0) = q P(X =) = p avec p+q = est appelée loi de Beroulli otée B(, p).. Espérace et variace L espérace de la variable de Beroulli est car par défiitio E(X) = x i p i = (0 x q) + ( x p) = p i= E(X) = p 5
Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00) La variace de la variable de Beroulli est V(X) = pq car par défiitio V(X) = x i p i - E(X) = [(0 x q) + ( x p)] p i= d où V(X) = p p = p ( p) = pq.3 Loi biomiale.3. Défiitio Décrite pour la première fois par Isaac Newto e 676 et démotrée pour la première fois par le mathématicie suisse Jacob Beroulli e 73, la loi biomiale est l ue des distributios de probabilité les plus fréquemmet recotrées e statistique appliquée. Soit l applicatio S : Ω R avec S = X + X + + X i +...+ X où X i est ue variable de Beroulli La variable biomiale, S, représete le ombre de succès obteus lors de la répétitio de épreuves idetiques et idépedates, chaque épreuve e pouvat doer que deux résultats possibles. Aisi la loi de probabilité suivie par la somme de variables de Beroulli où la probabilité associée au succès est p, est la loi biomiale de paramètres et p. S : Ω R S = X i i= B(,p) La probabilité que S = k, c est à dire l obtetio de k succès au cours de épreuves idépedates est : P(S = k) = C k p k q k Démostratio Il est facile de démotrer que l o a bie ue loi de probabilité car : k P(S = k) = C p k q k = (p + q) = car p+q = k=0 k=0 Remarque : Le développemet du biôme de Newto (p+q) permet d obteir l esemble des probabilités pour ue distributio biomiale avec ue valeur et p doée. Il existe égalemet des tables de la loi biomiale où les probabilités sot tabulées pour des valeurs et p doées. 6
Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00) Exemple : Das ue expériece sur le comportemet du rat, rattus orvegicus, o fait péétrer successivemet rats das u labyrithe e forme de H. O étudie alors la probabilité que k rats emprutet la brache supérieure droite du H. A chaque épreuve, deux évèemets peuvet se produire : soit le rat suit l itiéraire voulu (succès) soit il e l emprute pas (échec). Sachat qu il y a 4 itiéraires possibles (braches), la probabilité du succès p = /4. Hypothèse : - si les rats ot pas été coditioés, - si la brache supérieure droite e comporte aucu élémet attractif ou répulsif, - si le choix de l itiéraire d u rat affecte pas le choix du suivat (odeurs) alors : la variable aléatoire X «itiéraire empruté pour x rats» suit ue loi biomiale X β(, 4 ) dot la distributio des probabilités est la suivate si l o étudie le comportemet de 5 rats : 0, 40 0, 30 0, 0 0, 0 0, 00 P(X=k) 0 3 4 Distributio de probabilités de la variable biomiale X X B (5, 0,5) Nombre de rats ayat emprutˇ la brache supˇrieure droite du labyrithe. 5 k k 0 3 4 5 P(X = k) 5 0 3 C 5 = 0,37 4 4 3 C 5 = 0,395 4 4 3 3 C 5 = 0,64 4 4 3 3 3 C 5 = 0,088 4 4 4 3 C 5 4 4 4 = 0,05 5 5 C 5 = 0,00 4 Remarque : Il est possible d obteir aisémet les valeurs des combiaisos de la loi biomiale e utilisat le triagle de Pascal. De plus o vérifie que la somme des probabilités est bie égale à. 7
Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00).3. Espérace et variace L espérace d ue variable biomiale S est égale à E(S ) = p e effet E(S ) = E(X + X + + X i +...+ X ) or E(X + X + + X i +...+ X ) = E(X i ) propriété de l espérace et E(S ) = E(X i ) = p avec E(X i ) = p variable de Beroulli d où i= E(S ) = p i= i= La variace d ue variable biomiale S est égale à V(S ) = pq e effet V(S ) = V(X + X + + X i +...+ X ) or V(X + X + + X i +...+ X ) = V (X i ) propriété de la variace et V(S ) = V (X i ) = pq avec V(X i ) = pq car variable de Beroulli d où i= V(S ) = pq i= i= Exemple : Das le cadre de l étude de comportemet du rat, quel est e moyee le ombre attedu de rats qui vot empruter l itiéraire prévu si l expériece porte sur u lot de 0 rats? Doez égalemet la variace et l écart type de cette variable? Répose..3.3 Symétrie et récurrece de la loi biomiale La loi biomiale déped des deux paramètres et p. Elle est symétrique pour p = 0,5 et dissymétrique pour les autres valeurs de p. La dissymétrie est d autat plus forte : () pour fixe, que p est différet de q (graphe) () pour p fixe que est plus petit. Afi de faciliter les calculs des probabilités, il est possible d utiliser ue formule de récurrece doat les valeurs des probabilités successives : P(S = k) = k + k p q P(S = k ) Démostratio 8
Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00).3.4 Stabilité de la loi biomiale Théorème : Si S et S m sot deux variables idépedates suivat des lois biomiales respectivemet S B(,p) et S m B(m,p) alors S + S m B(+m,p) démostratio.4 Loi de Poisso La loi de Poisso découverte au début du XIX e siècle par le magistrat fraçais Siméo-Deis Poisso s applique souvet aux phéomèes accidetels où la probabilité p est très faible (p < 0,05). Elle peut égalemet das certaies coditios être défiie comme limite d ue loi biomiale..4. Approximatio d ue loi biomiale Lorsque deviet grad, le calcul des probabilités d ue loi biomiale P(S = k) = C k p k q k deviet très fastidieux. O va doc, sous certaies coditios, trouver ue approximatio de p k plus maiable. Comportemet asymptotique : si et p 0, alors X : B(,p) P(λ) avec p λ (voir démostratio) Remarque : Cette approximatio est correcte si 50 et p 5. Exemple : Soit ue loi biomiale de paramètres (00 ; 0,0), les valeurs des probabilités pour k de 0 à 5 aisi que leur approximatio à 0-3 avec ue loi de Poisso de paramètre (λ= p =) sot doées das le tableau ci-dessous : k 0 3 4 5 P(X=k) Approximatio 0,366 0,370 0,85 0,06 0,05 0,000 0,368 0,368 0,84 0,06 0,05 0,003 9
Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00) Das le cas de cet exemple où =00 et p =, l approximatio de la loi biomiale par ue loi de poisso doe des valeurs de probabilités idetiques à 0-3 près..4. Loi de Poisso O appelle processus poissoie (ou processus de Poisso), le modèle probabiliste des situatios qui voiet u flux d évèemets se produire les us à la suite des autres de faço aléatoire (das le temps et das l espace), obéissat aux coditios suivates : - la probabilité de réalisatio de l évèemet au cours d ue petite période ou sur ue petite portio d espace t est proportioelle à t soit p t. - elle est idépedate de ce qui s est produit atérieuremet ou à côté, - la probabilité de deux apparitios sur le même t est égligeable. Aisi, des évèemets qui se réaliset de faço aléatoire comme des paes de machies, des accidets d avios, des fautes das u texte, peuvet être cosidérés comme relevat d u processus poissoie. Ue variable aléatoire X à valeurs das R suit ue loi de Poisso de paramètre λ (λ > 0) si P(X = k) = λk e λ les réels p k sot doés par k! o ote : X P(λ) Remarque : Ue loi de Poisso est doée par sa loi de probabilité : () k, P(X = k) > 0 e λ λ () k P(X = k) = = e λ λ k k! k! or λ k = e λ k! k 0 k 0 d où P(X = k) = e λ e λ = k 0 k 0 k 0 Exemple : Ue suspesio bactériee cotiet 5000 bactéries/litre. O esemece à partir de cette suspesio, 50 boites de Pétri, à raiso d cm 3 par boite. Si X représete le ombre de coloies par boite, alors la loi de probabilité de X est : X P (λ=5) La probabilité qu il y ait aucue coloie sur la boite de Pétri est : 0
Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00) P(X = 0) = 50 e 5 0! =0,0067 soit approximativemet 0,67 % de chace. La probabilité qu il y ait au mois ue coloie sur la boite de Pétri est : P(X > 0)=- P(X = 0) = -0,0067 = 0,9933 soit 99,3 % de chace d avoir au mois ue coloie bactériee qui se développe das la boite de Pétri. (voir évéemet cotraire) Comme pour la loi biomiale, il est possible d utiliser ue formule de récurrece pour calculer les valeurs des probabilités successives : P(X = k) = λ k P(X = k ) Démostratio.4.3 Espérace et variace L espérace d ue variable aléatoire de Poisso est E(X) = λ Par défiitio E(X ) = kp k = k λk e λ k 0 k! avec k N valeurs prises par la v.a. X k 0 avec k 0 k! = λ + λ! + λ3! +...+ λk + = λ + λ k!! + λ λk +...+! k! λ k d où E(X ) = λe λ λ k k >0 k! = λe λ e λ = λ La variace d ue variable de Poisso est V(X) = λ λ Par défiitio V(X ) = k p k E(X) = k k e λ λ k! k 0 e posat k = k + k(k ), alors k λ k e λ k = λ k e λ + k! k! k 0 d où k 0 k λ k e λ = k 0 k! k 0 k(k ) λ k e λ k! e λ λ + λ! + λ3! +...+ λk + + e λ λ + λ3 k!! + λ4! +...+ λk + k! k 0 d où λ k e λ λ k λ k = λ e λ + λe λ k k! k! k! k 0 k 0 k 0
Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00) d où V(X ) = λ e λ e λ + λe λ e λ λ = λ Remarque : Il est à oter que das le cas d ue variable aléatoire de Poisso, l espérace et la variace preet la même valeur. Ceci est u élémet à predre e compte lors des tests de coformité à ue loi de probabilité. Exemples : Das le cadre de la culture bactériee, le ombre moye de coloies attedu sur la boite de Pétri est : E(X) = λ = 5 coloies. Aisi si l o effectue plusieurs cultures bactériees (plusieurs boites de Pétri) à partir de la même solutio iitiale, o atted e moyee ciq coloies pour l esemble des boites. E ce qui cocere la variace et l écart-type, o aura : V(X) = λ = 5 et σ(x) = V(X) =,4 coloies..4.4 Stabilité de la loi de Poisso Si X et Y sot deux variables aléatoires idépedates suivat des lois de Poisso respectivemet X P (λ) et Y P (µ) alors X + Y P (λ+µ) démostratio.5 Loi biomiale égative.5. Défiitio Sous le schéma de Beroulli (épreuves idetiques et idépedates), o désire obteir succès et l o cosidère la variable aléatoire discrète X qui représete le ombre d épreuves idépedates k écessaire à l obtetio des succès. X suit ue loi biomiale égative de paramètres et p otée BN (,p) si : P(X = k) = C k p q k avec k, N et k
Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00) Remarque : Das le cas de la loi biomiale égative, le ombre de succès est cou et l o cherche le ombre d épreuves k, écessaire pour obteir les succès. Aisi le derier évèemet est cou car les épreuves cesset avec l obtetio du ieme succès et l o choisit - objets parmi k-. Exemple : Pour étudier le domaie vital d ue populatio de poissos, des émetteurs radio sot fixés au iveau de la ageoire dorsale après ue légère aesthésie locale. Suite à divers aléas, o cosidère que 30 % des poissos équipés e sot pas repérés par la suite. Si l o cosidère qu u miimum de 5 poissos doivet être suivis pour avoir des résultats statistiquemet acceptables, la variable aléatoire X «ombre de poissos devat être équipés» suit ue loi biomiale égative X BN (5, 0,70) E posat comme hypothèse que les causes de pertes de liaisos radio soiet suffisammet ombreuses pour assurer l idépedace etre chaque épreuve, la probabilité d être obligé d équiper 0 poissos est de : P(X = 0) = 9! 4!5! (0,70)5 (0, 30) 5 = 0,3.5. Espérace et variace L espérace associée à ue loi biomiale égative est : E(X) = p La variace associée à ue loi biomiale égative est : V(X) = q p.5.3 Loi géométrique Lorsque le ombre de succès est égal à, la loi de la variable aléatoire discrète X porte le om de loi de Pascal ou loi géométrique de paramètre p telle que : P(X = k) = pq k- avec k N * 3
Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00) Voici pourquoi : Si l o cosidère la variable aléatoire X «ombre de aissaces observées avat l obtetio d ue fille» avec p = / (même probabilité de aissace d ue fille ou d u garço), la loi suivit par X est ue loi géométrique car : X = si {X= F} avec P(X = ) = p X = si {X= G F} avec P(X = ) = qp X = 3 si {X= G G F} avec P(X = 3) = qqp = q p d où X = k si {X=G G.G F} avec k- {X=G} et doc P(X = k) = pq k- D où l espérace associée à la loi géométrique est : E(X ) = p et la variace associée à la loi géométrique est : V(X ) = q p 3 Lois cotiues Par défiitio, les variables aléatoires cotiues preet des valeurs cotiues sur u itervalle doé. 3. Loi uiforme 3.. Défiitio La loi uiforme est la loi exacte de phéomèes cotius uiformémet répartis sur u itervalle. La variable aléatoire X suit ue loi uiforme sur le segmet [a,b] avec a < b si sa desité de probabilité est doée par : f(x) = si x [a,b] b a f(x) = 0 si x [a,b] 4
Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00) f(x) F(x) b-a 0 a b x 0 a b x Foctio de desité de probabilité Foctio de répartitio Quelques commetaires : () La loi uiforme cotiue état ue loi de probabilité, l aire hachurée e rouge sur la figure ci-dessus vaut. Ceci implique que la valeur prise par f(x) vaut b a. () La probabilité que X [a,b ] avec a < b et a,b [a,b] vaut : P( a X b ) = f (x)dx = b b dx b = a a a b a b a (3) La foctio de répartitio associée à la loi uiforme cotiue est telle que : F X (x) = 0 si x < a F X (x) = si x > b F X (x) = x a b a si a x b 3.. Espérace et variace L espérace de la loi uiforme cotiue vaut : E(X ) = b + a E effet par défiitio E(X) = xf(x)dx a b E(X) = xf(x)dx + xf(x)dx + xf(x)dx cours aalyse (Itégrale) a b a or xf(x)dx = 0 et xf(x)dx = 0 par défiitio de la loi uiforme cotiue b b d où E(X) = x dx = b x b xdx = a b a b a a b a a E(X) = [ (b a) b a ]= (b a) ( b a)b ( + a)= b + a 5
Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00) La variace de la loi uiforme cotiue vaut : E effet par défiitio V(X) = x f (x)dx E(X) V(X ) = ( b a) b V(X) = x dx a b a E(X) même simplificatio que pour l espérace V(X) = x 3 b E(X) = b 3 a 3 b + a b a 3 b a 3 a b 3 a 3 or = b a 3 3 (b (b + a) + ab + a ) et = 4 4 (b + ab + a ) d où V(X ) = b 3 a 3 (b + a) (b a) = b a 3 4 3. Loi ormale ou loi de Laplace-Gauss 3.. Défiitio O parle de loi ormale lorsque l o a affaire à ue variable aléatoire cotiue dépedat d u grad ombre de causes idépedates dot les effets s additioet et dot aucue est prépodérate (coditios de Borel). Cette loi acquiert sa forme défiitive avec Gauss (e 809) et Laplace (e 8). C est pourquoi elle porte égalemet les oms de : loi de Laplace, loi de Gauss et loi de Laplace-Gauss. Exemple : Aisi la taille corporelle d u aimal déped des facteurs eviroemetaux (dispoibilité pour la ourriture, climat, prédatio, etc.) et géétiques. Das la mesure où ces facteurs sot idépedats et qu aucu est prépodérat, o peut supposer que la taille corporelle suit ue loi ormale. Ue variable aléatoire absolumet cotiue X suit ue loi ormale de paramètres (µ, σ) si sa desité de probabilité est doée par : f : R R x a f (x) = σ Notatio : X N(µ, σ) x µ π e σ avec µ R et σ R + 6
Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00) Remarque : O admet que impossible. f (x)dx = das la mesure où l itégratio aalytique est 3.. Etude de la foctio desité de probabilité La foctio f est paire autour d u axe de symétrie x = µ car f(x + µ ) = f(µ - x) d où D E = [µ, [ x µ La dérivé première f (x) est égale à : f (x) = f(x) Démostratio σ d où f (x) = 0 pour x = µ et f (x) < 0 pour x > µ La dérivé secode f (x) est égale à : f (x) = ( x µ) f ( x) Démostratio σ σ d où f (x) = 0 pour x = µ + σ et f (x) > 0 pour x > µ + σ x µ µ + σ + f (x) - 0 + f (x) 0 - σ π f(x) σ π e 0 Remarque : Le paramètre µ représete l axe de symétrie et σ le degré d aplatissemet de la courbe de la loi ormale dot la forme est celle d ue courbe e cloche. 3..3 Espérace et variace L espérace de la loi ormale vaut : E(X) = µ La variace de la loi ormale vaut : V(X) = σ 7
Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00) 3..4 Stabilité de la loi ormale Théorème : Soiet X et X deux variables aléatoires ormales idépedates de paramètres respectifs (µ, σ ), (µ, σ ), alors leur somme X +X est ue variable aléatoire ormale de paramètres (µ + µ, σ + σ ). Voici pourquoi : () E(X +X ) = E(X ) + E(X ) Propriété P de l espérace. or E(X ) = µ et E(X ) = µ d où E(X +X ) = µ + µ () V(X +X ) =V(X ) + V(X ) Propriété P de la variace lorsque X et X sot idépedates. or V(X ) = σ et V(X ) = σ d où V(X +X ) = σ + σ Ce théorème se gééralise immédiatemet à la somme de variables aléatoires ormales idépedates. 3.3 Loi ormale réduite 3.3. Défiitio Ue variable aléatoire cotiue X suit ue loi ormale réduite si sa desité de probabilité est doée par : f : R R x a f (x) = π e x Remarque : f est bie ue loi de probabilité car : x R, f(x) 0 f est itégrable sur ]-, + [ et f (x)dx = 8
Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00) 3.3. Etude de la foctio desité de probabilité La foctio f est paire car f(-x) = f(x) d où D E = [0, [ La dérivé première est f (x) = -x f(x) avec f (x) 0 pour x 0. La dérivée secode est f (x) = -f(x) + x f(x) = (x ) f(x) qui s aule pour x = sur D E. x 0 + f (x) + 0 - f (x) 0 - f(x) π πe 0 Remarque : L axe de symétrie correspod à l axe des ordoées (x = 0) et le degré d aplatissemet de la courbe de la loi ormale réduite est. 3.3.3 Espérace et variace L espérace d ue loi ormale réduite est : E(X) = 0 E effet par défiitio E(X) = xf(x)dx. Or la foctio à itégrer est impaire d où E(X)=0 (cours d aalyse : itégrale) La variace d ue loi ormale réduite est : V(X) = E effet par défiitio V(X) = x f (x)dx E(X) d où V(X) = π x e x dx E effectuat ue itégratio par partie : 9
Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00) V(X) = xe x π e x dx avec xe x = 0 or V(X) = π e x dx = par défiitio d ue foctio de répartitio d où V(X) = 3.3.4 Relatio avec la loi ormale Si X suit ue loi ormale N (µ,σ), alors Z = X µ, ue variable cetrée réduite suit σ ue la loi ormale réduite N (0,). 3.3.5 Calcul des probabilités d ue loi ormale La foctio de répartitio de la loi ormale réduite permet d obteir les probabilités associées à toutes variables aléatoires ormales N (µ,σ) après trasformatio e variable cetrée réduite. O appelle foctio π, la foctio de répartitio d ue variable ormale réduite X telle que : π : R R t a π(t) = P(X < t) = π t e t dt Les propriétés associées à la foctio de répartitio π sot : (P ) π est croissate, cotiue et dérivable sur R et vérifie : lim π (t) = et lim π (t) = 0 t t (P ) t R π (t) + π (-t) = t R π (t) - π (-t) = π(t) - 0
Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00) Ue applicatio directe de la foctio π est la lecture des probabilités sur la table de la loi ormale réduite. 3.4 Lois déduites de la loi ormale 3.4. Loi du χ de Pearso Défiitio La loi de Pearso ou loi de χ (Khi deux) trouve de ombreuses applicatios das le cadre de la comparaiso de proportios, des tests de coformité d ue distributio observée à ue distributio théorique et le test d idépedace de deux caractères qualitatifs. Ce sot les test du khi-deux. Soit X, X,, X i,, X, variables ormales cetrées réduites, o appelle χ la variable aléatoire défiie par : χ = X + X + + X i + + X = X i O dit que χ suit ue loi de Pearso à degrés de liberté (d.d.l.). i= Remarque : Si =, la variable du χ correspod au carré d ue variable ormale réduite de loi N(0,) (voir Rapport etre loi de probabilité). Propriétés : (P ) Si X, X, X 3,, X i,, X sot variables ormales cetrées réduites et s il existe k relatios de dépedace etre ces variables alors X + X + X 3 + + X i + + X suit ue loi de Pearso à - k degrés de liberté. (P ) Si U suit ue loi de Pearso à d.d.l., si V suit ue loi de Pearso à m d.d.l., et si U et V sot idépedates alors U+ V suit ue loi de Pearso à +m ddl U-V suit ue loi de Pearso à -m ddl (si <m)
Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00) Pour χ > 0, la foctio desité de probabilité est de la forme : f (χ ) = C()χ e χ avec C() = π Pour χ 0, f(χ ) = 0 Pour >, o utilise la table du Khi Remarque : La costate C() est telle que f ( xdx ) =. La distributio du χ est dissymétrique et ted à deveir symétrique lorsque augmete e se rapprochat de la distributio ormale à laquelle elle peut être assimilée lorsque > 30. Espérace et variace L espérace de la variable du χ est : E(χ ) = car par défiitio E(χ ) = E(X i ) avec X i variable ormale réduite i= or V(X i ) = E(X i ) - E(X i ) = pour la variable ormale réduite avec E(X i ) = 0 d où E(X i ) = et doc E(χ ) = La variace de la variable du χ est : V(χ ) = car par défiitio les X i variables ormales réduites état idépedates, V(χ ) = V (X i ) et d autre part V(X i ) = E(X 4 i ) [E(X i )] i= or E(X i 4 ) = 3 d où V(X i ) = 3 = aisi V(χ ) = V (X i ) = i=
Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00) 3.4. Loi de studet Défiitio La loi de Studet (ou loi de Studet-Fisher) est utilisée lors des tests de comparaiso de paramètres comme la moyee et das l estimatio de paramètres de la populatio à partir de doées sur u échatillo (Test de Studet). Studet est le pseudoyme du statisticie aglais William Gosset qui travaillait comme coseiller à la brasserie Guiess et qui publia e 908 sous ce om, ue étude portat sur cette variable aléatoire. Soit U ue variable aléatoire suivat ue loi ormale réduite N(0,) et V ue variable aléatoire suivat ue loi de Pearso à degrés de liberté χ, U et V état idépedates, o dit alors que T = U V suit ue loi de Studet à degrés de liberté. La foctio desité de probabilité est de la forme : f (T) = C() + T ( +) Calcul des probabilités avec la table de la loi de Studet Remarque : La costate C() est telle que f ( xdx ) =. La distributio du T de Studet est symétrique et ted vers ue loi ormale lorsque augmete idéfiimet. Espérace et variace L espérace de la variable de Studet est : E(T) = 0 si > 3
Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00) La variace de la variable de Studet est : V(T) = si > 3.4.3 Loi de Fisher-Sedecor La loi de Fisher-Sedecor est utilisée pour comparer deux variaces observées et sert surtout das les très ombreux tests d aalyse de variace et de covariace. Soit U et V deux variables aléatoires idépedates suivat ue loi de Pearso respectivemet à et m degrés de liberté. O dit que F = U suit ue loi de Fisher-Sedecor à degrés de liberté. Vm m Pour F > 0, la foctio desité de probabilité est de la forme : f (F) = C (,m ) F (m + F ) + m Pour F 0, f(f) = 0 Utilisatio des tables de Fisher-Sedecor pour le calcul des probabilités. Remarque : Si =, alors o a la relatio suivate : F (,m) = U etre loi de probabilité). Vm = T m (voir Rapport Espérace et variace L espérace de la variable de Fisher-Sédecor est : E(F) = m m si m > 4
Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00) La variace de la variable de Fisher-Sédecor est : V(F) = m ( + m ) (m ) (m 4) si m > 4 4 Covergece Das ce paragraphe, sot traités des élémets de calcul des probabilités dot l applicatio statistique est ombreuse. La partie fodametale est le théorème cetral limite. Les élémets présetés permettet de préciser ce que sigifie l ajustemet d ue loi de probabilité par ue autre (otio de covergece) et aisi de justifier l approximatio d ue distributio observée par ue loi théorique (chapitre 7). De plus ces élémets permettet de doer des limites d erreurs possibles das l estimatio d u élémet d ue populatio (chapitre 6). 4. Covergece e loi Soit ue suite de variables aléatoires X, X, X 3,, X i,, X. Cette suite coverge e loi vers la variable aléatoire X de foctio de répartitio F X quad augmete idéfiimet, si la suite des foctios de répartitio F X,F X,F X 3,...,F XI,...F X ted vers la foctio de répartitio F X pour tout x pour lequel F X est cotiue. Exemple : Nous avos motré que la loi de probabilité d ue variable biomiale ted vers ue loi de Poisso lorsque ted vers l ifii. Il e serait de même des foctios de répartitio correspodates. O peut doc dire que la loi biomiale B(,p) coverge e loi vers ue loi de Poisso de paramètres p. (voir Rapport etre loi de probabilité). 4. Le théorème cetral limite Appelé égalemet théorème de la limite cetrale, il fut établi par Liapouoff et Lideberg. O se place das ue situatio d épreuves répétées, caractérisées par ue suite X, X, X 3,, X i,, X de variables aléatoires idépedates et de même loi (espérace E(X i ) = µ et variace V (X i ) = σ ). O défiit aisi deux ouvelles variables aléatoires : la somme S = X + X + + X i +...+ X la moyee M = X + X +...+ X = S 5
Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00) telles que : E(S ) = µ V(S ) = σ E(M ) = µ V(M ) = σ Voici pouquoi : Pour les deux variables aléatoires, les valeurs de l espérace et de la variace sot liées aux propriétés de liéarité et d idépedace. Ces formules sot à la base des pricipaux estimateurs e statistique. Théorème cetral limite Soit la variable aléatoire S résultat de la somme de variables aléatoires idépedates et de même loi, o costruit la variable cetrée réduite telle que : S µ Z = σ ( ) Alors pour tout t R, la foctio de répartitio F (t) = P(Z < t) est telle que : F (t) π t e z dz quad c est à dire N(0,). Remarque : O peut calculer Z aussi bie à partir de S que de M car Z = S µ σ = M µ σ Ue variable aléatoire résultat de la somme de plusieurs v.a. ayat même loi et même paramètres est distribuée suivat ue loi ormale réduite lorsque le ombre d épreuves ted vers l ifii. Le théorème cetral limite s applique quelque soit la loi de probabilité suivie par les variables aléatoires discrètes ou cotiues, pourvu que les épreuves soiet idépedates, reproductibles et e très grad ombre. Grâce au théorème de la limite cetrale, o peut voir que des phéomèes dot la variatio est egedrée par u ombre importat de causes idépedates sot gééralemet susceptibles d être représetés par ue loi ormale. 6
Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00) A l aide de la covergece e loi et du théorème cetral limite, il est possible de faire l approximatio de certaies lois de probabilités par d autres (voir Rapport etre loi de probabilité). 4.3 Covergece vers la loi ormale 4.3. La loi biomiale Théorème : Soit X ue variable aléatoire suivat ue loi biomiale de paramètres (,p), alors k µ P(X = k) σ π e σ quad c est à dire N(0,) avec µ = E(X) = p et σ = V(X) = p q La covergece est d autat plus rapide que p est voisi de 0,5, distributio symétrique pour la loi biomiale. Remarque : O cosidère que l approximatio est valable si o a à la fois p 5 et q 5 (voir Rapport etre loi de probabilité). 4.3. Loi de Poisso Théorème : Soit X ue variable aléatoire suivat ue loi de Poisso de paramètre λ alors P(X = k) λ avec E(X) = λ et V(X) = λ k λ π e λ quad c est à dire N(0,) Remarque : O cosidère qu o peut faire ces approximatios si λ 0 (voir Rapport etre loi de probabilité). 4.4 Iégalité de Bieaymé-Tchébycheff 7
Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00) L iégalité de Markov et l iégalité de Bieaymé-Tchébycheff s appliquet aussi bie aux variables aléatoires discrètes ou absolumet cotiues. Elles permettet pour ue variable aléatoire X d espérace E(X) = µ et de variace σ d évaluer la probabilité pour que X diffère de la moyee d ue quatité iférieure à ue valeur h. Le problème est de doer ue cosistace quatitative à la remarque déjà faite que, plus l écart-type d ue variable aléatoire est faible, plus sa distributio de probabilité est cocetrée autour de so espérace mathématique (voir degré d aplatissemet de la loi ormale). Afi de démotrer cette iégalité, ous allos préseter tout d abord l iégalité de Markov. 4.4. Iégalité de Markov Soit X ue variable aléatoire admettat ue espérace E(X) et ue variace V(X), état doé, u réel h>0 l iégalité de Markov doe : P( X h) h E(X ) Voici pourquoi : P( X h) = p i la sommatio état étedue à toutes les valeurs de i tels que x i > h i I das ce cas : x i h soit x i x h p i p i i h aisi p i p i I h i x i d où p i E(X ) et P( X h) i I i I h h E(X ) 4.4. Iégalité de Bieaymé-Tchébycheff Si l o applique l iégalité de Markov à la variable aléatoire X X, o a P( X X h) h E[(X X) ] or E[(X X) ] = V(X) = σ et e passat à l évèemet cotraire, o a : P( X X h) σ h E posat h = tσ avec t > 0, o obtiet l iégalité suivate P( X X t) sachat que σ > 0 σ t 8
Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00) qui est équivalete à t > 0 P( X X σ t) iégalité de Bieaymé-Tchébycheff t Remarque : Ces iégalités ot d itérêt que si t est assez grad. 9